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Transcript

DIFICULTADES DE LOS ESTUDIANTES EN LA CONSTRUCCIÓN
DE LA DEMOSTRACIÓN DEDUCTIVA FORMAL EN GEOMETRÍA
EUCLÍDEA: UN ESTUDIO EN LA FORMACIÓN INICIAL DE
PROFESORES DE MATEMÁTICA
SAMUEL MORALES PARRA
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
BOGOTÁ D.C
2008
DIFICULTADES DE LOS ESTUDIANTES EN LA CONSTRUCCIÓN
DE LA DEMOSTRACIÓN DEDUCTIVA FORMAL EN GEOMETRÍA
EUCLÍDEA: UN ESTUDIO EN LA FORMACIÓN INICIAL DE
PROFESORES DE MATEMÁTICA
SAMUEL MORALES PARRA
Trabajo de grado como requisito para optar el título de Magister en
Docencia de la Matemática:
Asesora de Investigación:
CARMEN SAMPER DE CAICEDO
Profesora titular Departamento de Matemáticas
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
BOGOTÁ D.C
2008
Nota de aceptación
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Firma del presidente del jurado
_________________________________
Firma del jurado
_________________________________
Firma del jurado
Bogotá D.C., _______________
AGRADECIMIENTOS
Quiero ante todo agradecer a Dios, por darme la vida, la salud y las fuerzas
necesarias para no desfallecer en los momentos más difíciles de los procesos de
estudio e investigación, así mismo a mi familia por su comprensión y ayuda, sobre
todo en el cubrimiento de tareas y responsabilidades que han hecho posible la
dedicación a la terminación de esta tesis; a los amigos y demás personas que
siempre han estado de mi lado durante estos últimos años, apoyándome en esta
nueva meta propuesta, como parte indispensable y necesaria para el desarrollo
integral de mi vida, como persona y como profesional.
De igual manera agradezco el apoyo brindado por la directora de tesis Carmen
Samper de Caicedo, sin cuyos aportes, interés y apoyo no hubiese sido posible la
realización de la misma, y haber logrado ampliar mi conocimiento en el campo de
la investigación.
iv
DEDICATORIA
Dedico
este trabajo de grado a mi familia, quienes siempre me apoyaron
incondicionalmente con su comprensión y aceptación de compartir el tiempo
necesario de dedicación a ellos, para permitirme alcanzar esta nueva meta.
v
RESUMEN ANALÍTICO
TIPO DE DOCUMENTO: Tesis de Maestría
ACCESO AL DOCUMENTO: Universidad Pedagógica Nacional
TITULO DEL DOCUMENTO: Dificultades de los estudiantes en la construcción de
la
demostración deductiva formal en geometría euclídea: un estudio en la
formación inicial de profesores de matemática
AUTOR: Morales Parra Samuel
PUBLICACIÓN: Bogotá, D.C, 2008
PALABRAS CLAVES: Geometría euclidea, geometría dinámica, actividad
demostrativa,
dificultad,
formación
de
profesores,
educación
matemática,
demostración, triángulos, congruencia.
DESCRIPCIÓN
La presente investigación se desarrolló con base en la información recogida
durante la observación de las clases que se desarrollaron del espacio académico
geometría euclídea, curso orientado a los alumnos de la Licenciatura en
Matemáticas y Física en la Universidad de la Amazonia, del semestre A del año
2006. Uno de los objetivos de la investigación fue identificar las dificultades que
vi
tienen los estudiantes de la asignatura geometría euclidiana, relacionadas con el
aprendizaje de la demostración deductiva formal, y a partir de éstas establecer
recomendaciones tanto para los profesores que enseñan geometría en
bachillerato como a nivel universitario.
Para la identificación de las dificultades, se trabajó con base en las categorías y
subcategorías
de
análisis
creadas,
definidas
y
ejemplificadas
por
el grupo de investigación Aprendizaje y Enseñanza de la Geometría, Æ•G , de la
Universidad Pedagógica Nacional, dirigido por las profesoras Patricia Perry
Carrasco, Leonor Camargo Uribe y Carmen Samper de Caicedo, a partir del
análisis realizado, se tuvo la posibilidad de identificar una nueva categoría de
dificultad que se denominó “Relacionadas con el manejo de la sintaxis y/o
lenguaje icónico propio de la geometría”.
FUENTES
Para la elaboración de los antecedentes se realiza la revisión de algunos trabajos
de investigación teniendo en cuenta los siguientes aspectos:
a) Enseñanza y aprendizaje de la demostración: Radford (1994); Tall (1995);
Perks y Prestage (1995); Sackur, Drouhard y Maurel (2000); Perry, Camargo,
Samper & Rojas (2006); además de las anteriores fuentes, se consultó las
vii
siguientes: Smith (1940); Dieudonné (1987); Durand- Guerrier et al., (1992);
Hoyles (1997); Recio (1999) y Macías, et al., (2000)
b) Dificultades en el aprendizaje de la demostración: Fischbein (1982); Senk
(1985); Martín &Harel (1989); Harel & Sowder (1996, 1998); Balacheff (2000);
Hoyles & Küchemann (1999 - 2003); Recio & Godino (1996) y Recio (2000);
Gutiérrez & Jaime (1996); Corral de Zurita (2000); Ibáñez (2001); De La Torre
(2002).
c) Geometría dinámica y enseñanza de la demostración:
Laborde (2001);
Jones (2001); Olivero (2002); Mariotti (2001); Marrades &
Gutiérrez (2001); Hadas, Hershkowitz & Schwarz (2001).
d) Geometría
dinámica,
actividad
demostrativa
y
formación
inicial
de
profesores: Mariotti (2001); Laborde (2001); Zuccheri (2003); Tapan (2003).
Es de anotar, que algunos de los anteriores reportes aparecen en el estado de
arte de la investigación realizada por Perry, et al. (2006).
El estudio se fundamenta en los referentes teóricos que se mencionan a
continuación:
viii
a) Ambiente de Aprendizaje: Ponte et al., (1997); Laborde (2001).
b) Comunicación y Negociación: Ponte et al., (1997).
c) Negociación de significados Bishop y Goffre (1986); Ponte et al.,(1997)
d) La demostración en Matemáticas: Balacheff (1982); Estándares curriculares y
de evaluación para la educación matemática: NCTM (1989); Knowless (1998);
Recio (2001); Ibáñez (2001); Crespo (2005); Perry et al., (2006).
e) Dificultades en la demostración: Del puerto y Minnaard (2006).
f) Visualización: Carrión y Ávalos (2006) ; Moreno (2006).
g) Razonamiento: Hershhkowitz (2006); Habermas (1981).
h) Visión Constructivista del aprendizaje: Martín, Murillo y Fortuny (2006);
Jonhson y Jonhson (1987).
Para el desarrollo de la metodología cualitativa- interpretativa, se tiene en cuenta
la investigación de Perry, et al. (2006).
ix
CONTENIDO
•
Problema de investigación
•
Estado del Arte
•
Marco teórico
•
Aspectos metodológicos
•
Análisis de los resultados
•
Conclusiones
•
Bibliografía
METODOLOGÍA
La investigación adopta una metodología cualitativa situada en la tradición
descriptiva – interpretativa, que se enfoca en la recolección de datos, su
interpretación, y análisis participativo.
Los actores implicados (el grupo de
investigadores, siendo uno de los miembros el profesor del curso) se convierten en
los protagonistas del proceso de construcción de conocimiento del objeto de
estudio, las dificultades que tienen los estudiantes para aprender a demostrar,
para posteriormente hacer sugerencias para la acción y diseño de estrategias
para el cambio. Esta investigación se inscribe en la “Investigación –Acción”, pero
en este trabajo sólo se reporta el análisis de las dificultades que tienen los
estudiantes. En una segunda fase, como proyecto de investigación, se diseñarán
estrategias para apoyar a los estudiantes a sobreponer dichas dificultades, se
x
aplicarán las estrategias, y se estudiará el efecto de éstas en el aprendizaje de la
demostración.
CONCLUSIONES
Los estudiantes de la Licenciatura en Matemáticas y Física que cursaron
Geometría Euclidea durante el primer semestre del 2006 tuvieron o presentaron
algunas de las dificultades definidas por Perry, et al., (2006: 255 - 277). Cuando
se expresa que no se encontró cierta clase de dificultad en la producción escrita
de los estudiantes, no es porque en realidad no la puedan tener, sino que las
situaciones problémicas propuestas o teoremas a demostrar no permitieron
evidenciarla o porque, la dinámica de clase y tipo de tratamiento dado a la teoría
no era igual al que se realizó con aquellos estudiantes cuyas producciones dieron
lugar a las categorías.
Se pudo identificar y explicitar una nueva categoría de dificultad de los estudiantes
en el proceso de demostración deductiva formal en geometría euclidiana que se
denominó “Relacionada con el manejo de la sintaxis y/o lenguaje icónico propio
de la geometría”.
Es importante que los profesores de matemáticas que orientan la asignatura
geometría euclídea o geometría plana en los programas de educación superior y/o
en la educación básica secundaria y media, reconozcan el tipo de dificultades a
xi
los que se enfrentan sus estudiantes en el proceso de hacer demostraciones, para
poder brindarles un apoyo eficaz y hacerles aportes significativos que les permita
superar las dificultades
28 /09 /2007
FECHA ELABORACIÓN RESUMEN:
xii
CONTENIDOS
Pág.
INTRODUCCIÓN
…………………………………………………………………….1
1. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN .................................................................... 3
1.1 JUSTIFICACIÓN ............................................................................................... 3
1.2 PRESENTACIÒN DEL PROBLEMA ................................................................ 5
PROBLEMA....................................................................................................... 5
1.3 OBJETIVOS ...................................................................................................... 6
1.3.1 Objetivo General ............................................................................................ 6
1.3.2 Objetivos Específicos ..................................................................................... 6
1.4 HIPÓTESIS ....................................................................................................... 7
2. ESTADO DEL ARTE ......................................................................................... 8
2.1 LA DEMOSTRACIÓN EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS ............. 8
2.2 DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DE LA DEMOSTRACIÓN ................ 12
2.3 GEOMETRÍA DINÁMICA Y ENSEÑANZA DE LA DEMOSTRACIÓN ............. 14
2.4 GEOMETRÍA DINÁMICA, ACTIVIDAD DEMOSTRATIVA Y FORMACIÓN
INICIAL DE PROFESORES ............................................................................ 16
3. REFERENTES TEORICOS…………………………………………………………18
3.1 AMBIENTES DE APRENDIZAJE .................................................................... 18
3.2 COMUNICACIÓN Y NEGOCIACIÓN .............................................................. 19
3.3 NEGOCIACIÓN DE SIGNIFICADOS ............................................................... 21
3.4 LA DEMOSTRACIÓN EN MATEMATICAS...................................................... 23
xiii
3.5 DIFICULTADES EN LA DEMOSTRACION ..................................................... 29
3.6 VISUALIZACIÓN ............................................................................................. 30
3.7 CONJETURA................................................................................................... 31
3.8 EXPLORACIÓN ............................................................................................... 32
3.9 RAZONAMIENTO............................................................................................ 32
3.10 ARGUMENTACIÓN ....................................................................................... 33
3.11 PRUEBA DEL ARRASTRE ............................................................................ 34
3.12 VISIÓN CONSTRUCTIVISTA DEL APRENDIZAJE ...................................... 35
4. METODOLOGÍA……………………………………………………… …………… 37
4.1 TIPO DE INVESTIGACIÓN ............................................................................. 37
4.2 INSTRUMENTOS PARA RECOLECCIÓN DE DATOS ................................... 38
4.3 POBLACIÓN Y CONTEXTO ........................................................................... 39
4.4 PROCESO ...................................................................................................... 42
4.5 CATEGORÍAS DE ANÁLISIS - EXPLICACIÓN Y EJEMPLIFICACIÓN
43
5. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS ................................................................. 66
5.1 CLASE DEL 27 DE MARZO DEL 2006 .......................................................... 66
5.2 CLASE DEL 17 DE ABRIL DEL 2006.............................................................. 69
5.3 CLASE DEL 24 DE ABRIL DEL 2006.............................................................. 73
5.4 CLASE DEL 08 DE MAYO DEL 2006 ............................................................. 77
5.5 CLASE DEL 31 DE MAYO DEL 2006 ............................................................. 86
5.6 CLASE DEL 13 DE JUNIO DEL 2006 ............................................................. 93
6. CONCLUSIONES .......................................................................................... 106
7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................. 115
8
ANEXOS ........................................................................................................ 118 xiv
LISTA DE TABLAS
pág.
Tabla 1. Investigaciones sobre la demostración en matemáticas. ........................... 9 Tabla 2. Otras Investigaciones sobre la demostración en matemáticas. ............... 11 Tabla 3. Dificultades en el aprendizaje de la demostración en matemáticas. ........ 14 Tabla 4. Geometría dinámica y enseñanza de la demostración. ........................ 16 Tabla 5. Geometría dinámica, actividad demostrativa y formación inicial de
profesores ............................................................................................... 17 Tabla 6: Frecuencia de presentación de las dificultades de los estudiantes ....... 107 xv
LISTA DE ANEXOS
pág.
Anexo A1. ENCUESTA DIAGNÓSTICA – TABULACIÓN E INTERPRETACIÓN
119
Anexo A2. CONTENIDOS TEÓRICOS
122
Anexo A3. AUTOPROTOCOLOS o REGISTRO ESCRITO DE ESTUDIANTES 129
Anexo A4. TRANSCRIPCIÓN DE DEMOSTRACIONES
xvi
140
INTRODUCCIÓN
La investigación educativa, que aquí se reporta, es del tipo “Investigación –
Acción”, adopta la metodología cualitativa situada en la tradición descriptiva –
interpretativa,
que se enfoca en la recolección de datos,
su interpretación,
análisis participativo. Los actores implicados (el grupo de investigadores, siendo
uno de los miembros el profesor del curso) se convierten en los protagonistas del
proceso de construcción del conocimiento de la realidad sobre el objeto de
estudio, las dificultades que tienen los estudiantes para aprender a demostrar,
para posteriormente hacer sugerencias para la acción y diseño de estrategias
para el cambio. Ésta se desarrolló con veintiocho jóvenes del curso A, quienes
ingresaron en el primer semestre académico del 2006 a la Licenciatura en
Matemáticas y Física en la Universidad de la Amazonia, en la sede principal de
Florencia, Caquetá.
Los procesos de enseñanza y de aprendizaje se registraron en doce grabaciones
en audio y audio-video, incluyendo no solo los momentos en que se hacía
presentación pública de demostraciones sino también el trabajo desarrollado por
los equipos de estudiantes durante las sesiones de trabajo en clase. Además se
compilaron los auto-protocolos o producción escrita de los estudiantes, en los que
registraron las demostraciones construidas en equipo. A partir de la información
registrada, se procedió a sistematizarla a través de la transcripción de los
protocolos de cada una de las sesiones.
Con base en éstos, se hizo el análisis
tomando como categorías de análisis de las dificultades las creadas, propuestas,
definidas y ejemplificadas por Perry, Camargo, Samper & Rojas (2006: 255).
Del total de demostraciones desarrolladas y socializadas por los estudiantes, se
presenta el análisis de diez de ellas. Se escogieron éstas de tal forma que se
tienen ejemplos de producciones realizadas al comenzar, mediados y al finalizar el
curso de geometría. Hay demostraciones sobre las relaciones entre punto-recta y
plano, relacionadas con el punto medio; tres sobre congruencia de ángulos, tres
sobre congruencia de triángulos y tres sobre relaciones entre elementos de los
cuadriláteros.
El propósito de esta investigación fue identificar las dificultades de los estudiantes
en la construcción de demostraciones deductivas formales en geometría
euclidiana; para ello, se realizó una revisión de artículos y publicaciones sobre la
demostración en matemáticas, aprendizaje de la demostración y aprendizaje de la
demostración con el apoyo de un software de geometría dinámica. También se
estudiaron investigaciones sobre el proceso de demostración utilizando software
de geometría dinámica realizada en un curso de geometría plana. Consultamos,
analizamos, estudiamos y nos apoyamos en diversas fuentes bibliográficas
suministradas por investigadores contemporáneos en el contexto nacional, Perry,
et. al (2006), latinoamericano: Macías (2006), norteamericano: Moreno Armella
(2002), Crespo Crespo (2005) ; Italia: Mariotti y Bartolini (2001), Zucchery (2002);
España: Recio (2001); Francia: Laborde, Colette (2001).
2
1. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
1.1 JUSTIFICACIÓN
En el contexto regional, la Universidad de la Amazonia coordina, actualmente, una
extensión del
proyecto “Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de
Matemáticas de la Educación Media de Colombia”, que fue originalmente liderado
por el Ministerio de Educación Nacional – MEN – hasta diciembre del 2004. Para
asumir el reto de promover e incentivar la incorporación de las nuevas tecnologías
al currículo de matemáticas en el departamento del Caquetá, y de esta forma estar
actualizados en los avances en la educación matemática, nacional e internacional,
la Universidad ha propiciado la organización y participación de estudiantes y
profesores del programa de Licenciatura en Matemáticas y Física, en eventos
académicos de carácter local regional y nacional, en donde se comunican
resultados sobre el estudio de la geometría Euclídea con el apoyo de software de
geometría
dinámica.
Además,
ha
propiciado
las
condiciones
para
la
reestructuración del programa curricular de Geometría Euclídea.
Al interior de la Universidad de la Amazonia no se han realizado estudios sobre las
dificultades en el aprendizaje de la demostración deductiva formal en geometría
Euclídea, menos aún cuando el software de Geometría Dinámica – S.G.D es
herramienta didáctica en el curso. A la fecha, el Colectivo de Investigación en
Tecnologías de la Educación Matemática de la Universidad de la Amazonia,
3
CITEM – UA, en el marco de la Línea de Investigación “Innovación tecnológica e
incorporación de tecnologías en la educación matemática y física" está
desarrollando la investigación “Incidencias de la incorporación de herramientas
tecnológicas en los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas
en la educación media del Caquetá”. Se pretende evidenciar las condiciones de
favorabilidad del uso del software de matemáticas incorporados al computador o a
la Calculadora Graficadora Algebraica – CGA – en el aprendizaje de las
matemáticas.
Se considera pertinente el desarrollo de este trabajo de grado que busca
identificar las dificultades de los estudiantes en la construcción de demostración
deductiva formal y proponer estrategias didácticas para la superación de las
mismas, no sólo para responder a la situación problémica planteada, sino porque
es una oportunidad para que desde lo académico se reconozcan los problemas
que enfrentan los maestros en formación en su proceso de desarrollo
de la
competencia demostrativa. Además, así se capacitan para que en el futuro tengan
la sensibilidad necesaria para que la actividad demostrativa realmente incida en la
comprensión y aprendizaje de la matemática. Adicionalmente, este trabajo puede
servir para que los maestros en formación tengan un ejemplo de una
investigación, se motiven hacia la investigación, y se fomenten los procesos de
investigación.
4
Este trabajo se centra en la identificación de las
estudiantes para la construcción de
dificultades que tienen los
demostraciones deductivas en geometría
euclidiana. Se pretende sugerir estrategias para ayudar a los futuros profesores
de matemáticas a sobreponer dichas dificultades y desarrollar la competencia
demostrativa de los maestros en formación. Esto se justifica por la posibilidad de
aportar a la didáctica de la matemática elementos para comprender cómo se
construyen ambientes de enseñanza que favorecen el aprendizaje de la
demostración,
atendiendo a las posibilidades cognitivas de los estudiantes pero
que, al mismo tiempo, estén reguladas por un currículo que exige un tratamiento
matemático riguroso para la geometría en la licenciatura en matemáticas y física.
Se espera con este reporte, que los maestros avancen en la comprensión de la
complejidad que demanda la tarea de hacer demostraciones deductivas en
geometría, y por lo tanto, en la búsqueda de alternativas de gestión de la
enseñanza que superen prácticas poco exitosas en dicha tarea.
1.2 PRESENTACIÒN DEL PROBLEMA
PROBLEMA
La investigación trata de responder la siguiente pregunta:
5
¿Cuáles son las dificultades que tienen los estudiantes que cursan
Geometría Euclídea, en el programa de Licenciatura en Matemáticas y Física,
en la Universidad de la Amazonia, relacionadas con la construcción de
demostraciones deductivas formales?
1.3 OBJETIVOS
1.3.1 Objetivo General
Con base en los registros de sesión de clase, la investigación se propone el
siguiente objetivo:
Identificar las dificultades relacionadas con la construcción de demostración
deductiva formal, que tienen los estudiantes que cursan geometría euclídea en el
primer semestre del programa de Licenciatura en matemáticas y física, y sugerir
estrategias didácticas que puedan apoyar los procesos de enseñanza y de
aprendizaje en cursos posteriores para potenciar la competencia demostrativa de
los maestros en formación.
1.3.2 Objetivos Específicos
Reconocer las dificultades que con mayor frecuencia presentan los estudiantes en
la construcción de demostraciones deductivas formales en geometría plana.
6
Analizar las posibles causas de dificultad asociadas al proceso de demostración
deductiva formal.
1.4 HIPÓTESIS
Las dificultades de los estudiantes para la construcción de la demostración
deductiva formal en un curso de geometría Euclídea o afines, son de diversa
índole, no todas relacionadas con la actividad del alumno. Estas tienen que ver
con:
•
Establecer la estructura lógica requerida para el desarrollo de demostraciones
del tipo “deductiva formal”
•
La consolidación paulatina por el estudiante, del sistema axiomático requerido
para el trabajo en el curso de geometría.
•
El uso de la lógica matemática como guía y sustento del razonamiento
requerido para producir la justificación apropiada a las afirmaciones o premisas
que el estudiante va deduciendo.
7
2. ESTADO DEL ARTE
Este estado del arte posibilita dimensionar la actividad demostrativa como objeto
de investigación y las dificultades que se evidencian en su aprendizaje y
enseñanza. Como el interés de este trabajo es determinar las dificultades que
tienen los estudiantes para construir demostraciones deductivas formales, durante
el desarrollo de un curso de geometría euclidiana en el que se usan nuevas
tecnologías, para la elaboración de este estado del arte se consideran algunos de
los resultados de investigaciones relevantes, relacionados con la demostración en
matemáticas, particularmente en geometría y las dificultades en el aprendizaje de
la misma.
2.1 LA DEMOSTRACIÓN EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
En la Tabla 1 se resumen los aportes de algunas investigaciones sobre la
demostración en matemáticas que se consideran relevantes para el desarrollo de
la presente tesis de maestría. La información para algunos de estos estudios se
hizo con base en lo reportado en Perry, Camargo, Samper & Rojas (2006).
8
Investigador/Fecha
Descripción
El aprendizaje de la demostración se ve afectado por la
Radford (1994)
imagen conceptual que tienen los estudiantes de las figuras y
relaciones que intervienen en una demostración.
Señala la importancia de considerar diferentes tipos de
representaciones (tabular, gráfica, simbólica...) en la
Tall (1995)
actividad demostrativa y de aceptar que el desarrollo
cognitivo de la noción de demostración debe incluir el
desarrollo paulatino de la visualización y la simbolización,
antes que la demostración lógica rigurosa o deductiva formal.
Este estudio hace referencia a los modelos de enseñanza de
la demostración. Destacan que la enseñanza se ha reducido
a la presentación de la demostración como productos
Alibert y Thomas (1991)
acabados sin permitir que los estudiantes participen en el
proceso de su construcción. Señalan que la enseñanza se
enfoca en los aspectos formales y no permite que los
estudiantes desarrollen un sentido real y profundo del
argumento involucrado.
Este estudio plantea la existencia de una relación entre el
éxito en la demostración y el haber tenido, la costumbre de
proveer explicaciones y argumentos en la clase de
Perks y Prestage (1995)
matemáticas desde temprana edad.
A través de la
interacción social se va fomentando un ambiente propicio
para el aprendizaje de la demostración.
Para este estudio, similar al realizado por Perks y Prestage
(1995), trabajan con estudiantes de primer año de
universidad.Se les invitó a validar ciertos enunciados
geométricos; primero de manera individual, con el objeto de
Sackur, Drouhard y Maurel
activar sus conocimientos, y luego en grupos pequeños,
(2000)
exigiéndoles ponerse de acuerdo acerca de la validez del
enunciado y su justificación. En esta última fase, el papel del
conflicto suscitado entre diferentes puntos de vista fue
esencial para la validación de enunciados y conjeturas sobre
geometría.
A partir del proyecto de investigación “Geometría dinámica en
la formación del profesor de matemáticas” desarrollado con
estudiantes de un curso de geometría plana de la
Universidad Pedagógica Nacional, identifican y sistematizan
experiencias significativas para la construcción de ambientes
de aprendizaje favorables para el fortalecimiento de la
Perry, Camargo, Samper &
competencia demostrativa en los estudiantes. Además, el
Rojas (2006)
equipo de investigadoras identifica, define y clasifica, las
dificultades que presentan los estudiantes en el proceso de
construcción de las demostraciones.
Tabla 1. Investigaciones sobre la demostración en matemáticas. Fuente Perry, Camargo, Samper y
Rojas (2006).
9
Investigador/Fecha
Smith (1940)
Dieudonné (1987)
Durand- Guerrier et al., (1992)
Hoyles (1997)
Descripción
Reporta una mejora en la comprensión de enunciados de la
forma "si-entonces", cuando se exigen construcciones para
evaluar enunciados geométricos. Construir partes de las
figuras para que se cumplan propiedades específicas obliga
a otras partes de éstas a tener alguna propiedad especial.
Con esto los estudiantes logran diferenciar las relaciones que
ellos construyen y que pueden controlar de aquellas que
surgen como consecuencia de la construcción. Esto los llevó
a diferenciar entre la hipótesis y la tesis de un teorema.
Afirma que no puede haber demostración ‘rigurosa’ excepto
en el contexto de una teoría axiomática. Diferentes
investigaciones
desarrolladas en las últimas décadas
señalan que la enseñanza de la demostración formal en el
ámbito escolar está cuestionada, dadas las dificultades que
comporta para los estudiantes aprenderla.
La investigación: “Which notion of implication is the right one?
From logical considerations to a didactic perspective” fue
desarrollada en la Universidad de Valence (Francia) con 273
estudiantes de primer año, 92 de ellos repitentes, en la
Facultad de ciencias.
Formularon 17 que debieron
responderse como verdaderas, falsas, o contingentes,
dependiendo del manejo lógico de la implicación matemática
o de las correspondientes clases de condicional reconocidos
por cada uno de los encuestados. No encontraron diferencia
significativa entre los estudiantes repitentes y los estudiantes
recientemente
admitidos.
Como
esperaban
los
investigadores, los estudiantes usaron argumentos
matemáticos similares en las respuestas.
Los investigadores proponen abandonar el punto de vista
dogmático en la matemática que se imparte sólo con las
proposiciones condicionales generalizadas, con un valor de
verdad bien definido, independientemente del conocimiento y
contexto. Consideran que se requiere un acercamiento más
pragmático a la pregunta sobre el valor de verdad,
permitiendo como modelos las proposiciones abiertas y
buscando los dominios en los que éstas sean verdaderas,
para ir más allá de la búsqueda de contra-ejemplos para
invalidar una proposición general.
La imposición de un formato –afirmación, razón- para la
construcción y presentación de las demostraciones desvía la
atención de los estudiantes más hacia la forma que al poder
argumentativo expresado en las justificaciones.
Las observaciones anteriores las ratifica Herbst (2002) quien
expresa que el esquema a dos columnas lleva a los
estudiantes a creer que están aprendiendo a demostrar y a
los profesores a creer que les están enseñando a construir
demostraciones, y recomiendan estar muy atentos a la
capacidad de razonamiento de los estudiantes.
10
Crea una situación para verificar cómo influye la manera de
redactar los enunciados de los teoremas en la comprensión
que tienen los alumnos de éstos. Informa que, en contra de
Recio (1999)
lo que esperaba, las respuestas de los estudiantes
universitarios de primer semestre no son mejores que las
obtenidas con alumnos del bachillerato.
Se centra en el estudio de dos aspectos: las concepciones
de los profesores acerca de la demostración y sus ideas
sobre cómo se aprende a demostrar; adicionalmente,
caracterizan las concepciones sobre la enseñanza. El
estudio, de tipo exploratorio, lo iniciaron con la aplicación de
una encuesta de preguntas abiertas a 20 profesores del
Departamento de Matemática, que orientaban diferentes
asignaturas del plan de estudios de las carreras de
Profesorado y Licenciatura en Matemáticas. Se les pedía
que explicaran qué es demostrar y como enseñan a
Macías, et al., (2000)
demostrar. Para el estudio de los resultados utilizaron una
metodología mixta, analizando los datos en forma cuantitativa
y cualitativa. Al final del estudio, los investigadores
concluyeron que las prácticas educativas de casi todos los
profesores encuestados son muy similares. Además
evidenciaron características de diversas tendencias sobre la
naturaleza de la demostración matemática, predominando el
modelo de enseñanza tradicional de transmisión.
Tabla 2. Otras Investigaciones sobre la demostración en matemáticas.
Diversos investigadores han analizado la forma cómo
los estudiantes de
diferentes niveles educativos desarrollan demostraciones y han elaborado
clasificaciones de las mismas. Las clasificaciones de uso más frecuente, en la
actualidad, son las de Balacheff (1988 a, 1988 b) y de Harel y Sowder (1998).
Estos autores agrupan los tipos de demostraciones en dos grandes categorías:
demostraciones empíricas y demostraciones deductivas.
Las demostraciones
empíricas son aquellas que se basan en las figuras geométricas construidas con el
propósito de explicar y convencer a otros y a si mismo acerca de la veracidad de
los teoremas. Las demostraciones deductivas son aquellas donde, a partir de la
identificación de las hipótesis y la tesis del enunciado y con base en la
11
construcción geométrica y el razonamiento, se hace un desarrollo deductivo
usando definiciones, postulados y teoremas ya demostrados, con el propósito de
convencerse y convencer a otros acerca de la generalización y validez del
teorema.
2.2 DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DE LA DEMOSTRACIÓN
A continuación, en la Tabla 3, se resumen los aportes hechos por diversos
investigadores en esta categoría. La información para algunos de estos estudios
se toma de Perry, Camargo, Samper y Rojas (2006).
Investigador / Fecha
Fischbein (1982)
Senk (1985)
Martín &Harel (1989)
Descripción
En una investigación realizada con una muestra de 400
estudiantes de secundaria en Tel Aviv, encontró que sólo el
14,5% de los estudiantes fueron capaces de realizar una
demostración usando un razonamiento estrictamente lógico,
siendo consistentes hasta el final y sin realizar
comprobaciones empíricas adicionales, una vez terminada la
demostración
En un estudio realizado con 1520 estudiantes, de diversos
colegios en Estados Unidos a quienes les habían enseñado
a demostrar en un curso de geometría, encontró que sólo el
30% alcanzó un 75% de nivel de maestría en producir
demostraciones escritas.
En una investigación sobre esquemas personales de
demostración matemática, realizada con 101 alumnos de
Magisterio, encontraron que más de la mitad de los
estudiantes aceptaban un argumento empírico-inductivo
como demostración matemática válida.
12
Harel & Sowder (1996, 1998);
Balacheff (2000)
Hoyles & Küchemann (1999 2003)
Recio & Godino (1996) y
Recio (2000)
Gutiérrez & Jaime (1996)
Sus estudios se centran en la dificultad que tienen los
alumnos para demostrar, dado que prefieren los argumentos
empíricos a los deductivos, a la hora de justificar una
afirmación matemática. Según estos investigadores, los
estudiantes alcanzan a comprender que en matemáticas se
valida (afirmaciones) deductivamente, pero sienten la
necesidad de asegurarse de la verdad de la proposición que
formulan por otras vías; para muchos alumnos, la producción
de una demostración les lleva a concluir la certeza de la
afirmación para el caso particular que se presenta en la figura
en que se apoya la prueba, sin apreciar la generalidad del
argumento (demostrado).
La investigación que se realizó con estudiantes de grado
octavo, de diversas escuelas en Inglaterra, les permitió
analizar la trayectoria del desarrollo del razonamiento
matemático. A través de cuestionarios, trataron de identificar
las formas como los estudiantes usan el razonamiento
matemático al tomar decisiones en geometría y hasta qué
punto simplemente estaban argumentando con base en la
percepción. Entre los resultados obtenidos, encontraron que
los estudiantes no disminuyen, a lo largo del tiempo, el uso
de la percepción para tomar decisiones.
Reportan una investigación desarrollada con 429 estudiantes
de primer semestre de matemáticas en la Universidad de
Córdoba–España, en el período 1994–95, la cual fue
replicada en 1997 – 98. Aplicaron una prueba en la que se
solicitaba dos demostraciones, una relacionada con una
propiedad aritmética y otro con una geométrica, con el fin de
analizar
los
esquemas
de
demostración usados.
Establecieron como tipo 1 a las respuestas incorrectas que
mostraban que los estudiantes tenían comprensión limitada
respecto del enunciado de los problemas y en su capacidad
validativa; como tipo 2, aquellas respuestas correctas en
donde se evidenciaba el uso de la argumentación explicativa
en los dos problemas; como tipo 3 a las respuestas correctas
en las que se usaron argumentos empírico inductivo; como
tipo 4 aquellas respuestas correctas en las que se usaban
pruebas deductivas informales; y de tipo 5 en donde se usó
la demostración deductiva formal.
Encontraron que un porcentaje importante de estudiantes
acude espontáneamente a argumentaciones empíricoinductivas para hacer demostraciones matemáticas.
En este estudio, sobre el uso de definiciones e imagen
conceptual de objetos y relaciones geométricas por
estudiantes, se trabajó con jóvenes de tres cursos de la
Escuela de Magisterio de la Universidad de Valencia. Al
analizar los errores cometidos por los alumnos, encontraron
que están relacionadas a la imagen conceptual asociada a
cada concepto geométrico.
Un tipo de error identificado en esta investigación, es que el
estudiante liga el concepto de altura al de mediatriz. Esto
sucede cuando el alumno no tiene una imagen errónea del
concepto de altura, pues los segmentos que dibujó son
13
realmente alturas sobre los lados marcados, sino que tiene
una imagen parcial de ésta, que le obliga a dibujar la altura
desde el punto medio de la base del triángulo. Para los
autores, esta imagen parcial puede llevar a que el educando
no sea capaz de resolver un problema en el que
necesariamente haya que dibujar la altura desde otro punto.
Indaga sobre las habilidades del pensamiento que
intervienen en actividades de razonamiento deductivo que no
corresponden a contextos formales de la matemática ni de la
lógica, con estudiantes universitarios quienes, se supone,
tienen madurez desde el punto de vista inferencial. En las
pruebas individuales que realizó, participaron 28 estudiantes
de primer año y 25 de nivel avanzado de las distintas
carreras de la Facultad de Humanidades de la Universidad
Nacional Del Nordeste (Argentina).
Concluye que es necesario intentar incorporar en los
Corral de Zurita (2000)
procesos inferenciales otros procesos cognitivos, tales como
los referidos a la identificación y selección de rasgos
relevantes en los problemas y aquellos ligados a los
significados, ligados a los conocimientos del alumno, a su
experiencia y prácticas reales. Los efectos estructurales de
los silogismos se ajustan a las predicciones de la teoría, pero
ésta aún no da cuenta de la razón del orden en la
construcción
de
la
secuencia
de
las
posibles
interpretaciones.
Señala que los alumnos interpretan correctamente la
expresión “si…, y recíprocamente”, pero presentan
dificultades en la interpretación de las demás expresiones
utilizadas, incurriendo en diversos errores como el de
Ibáñez (2001)
considerar sólo una condición (en teoremas de condición
necesaria y suficiente), confundir la proposición con su
recíproca (cuando el teorema es de un solo sentido), o
duplicar la condición (también cuando el teorema es de un
solo sentido).
Señala que el fracaso de la enseñanza de la geometría está
dado, inicialmente, por la falta de reconocimiento de la
complejidad subyacente a la prueba. Lo tradicional ha sido
De La Torre (2002)
presentar la prueba deductiva formal, sin atender a su
función o cómo podría relacionarse con las intuiciones de los
estudiantes acerca de lo que puede ser un argumento
convincente.
Tabla 3. Dificultades en el aprendizaje de la demostración en matemáticas.
2.3
GEOMETRÍA DINÁMICA Y ENSEÑANZA DE LA DEMOSTRACIÓN
En este apartado se muestra como la geometría dinámica ha incidido
positivamente en el proceso de enseñanza y en el de aprendizaje de la
demostración en geometría euclidiana.
14
Investigador / fecha
Laborde (2001)
Jones (2001)
Olivero (2002)
Descripción
Reconoce dos tendencias investigativas en geometría
dinámica: una que se centra en la preparación para la
demostración y la otra en la enseñanza de la demostración.
En la primera se pretende que los estudiantes adquieran
conciencia de la dependencia entre las propiedades y
argumentos geométricos y puedan formularlas en lenguaje
matemático. En la otra se sugiere bien sea establecer un
contrato didáctico en el que las conjeturas y/o las
construcciones deben ser justificadas o se genere la necesidad
de demostrar como recurso para superar contradicciones o
incertidumbres.
En su investigación, centrada en el uso del programa de
geometría dinámica para la clasificación de cuadriláteros,
induce a los alumnos a construirlos, explicar y describir, las
propiedades y relaciones específicas de ellos, después de que
estos son sometidos y resisten la prueba del arrastre.
Además, busca el establecimiento de una clasificación
inclusiva de cuadriláteros que explicite la dependencia entre
propiedades geométricas.
Una de las conclusiones a que llega es que las explicaciones
prefiguran la demostración, ya que al explicar se dan las
condiciones matemáticas que llevan a que la figura sea el tipo
de cuadrilátero esperado, razón por la cual se juega con el
concepto lógico de implicación entre propiedades o relaciones,
aspecto necesario para comprender como opera una
demostración.
Investiga acerca de los procesos llevados a cabo en la
construcción de conjeturas y demostraciones en un ambiente
de geometría dinámica. Como resultado de la investigación
señala que el aprendizaje de la demostración se favorece
mediante procesos que focalizan la atención de los estudiantes
en hechos particulares de los cuales van emergiendo las
conjeturas y los elementos para la realización de una
demostración.
Con respecto a la enseñanza de la demostración identifica dos
opciones. En una de ellas, se enseña a demostrar a partir del
establecimiento de un contrato social en el que se formulan
conjeturas que deben ser justificadas para su aprobación en el
grupo; la otra opción, introduce la enseñanza de la
demostración como vía para superar contradicciones.
Según la investigadora, el proceso de demostrar es complicado
porque comporta dos tipos de aprendizajes simultáneos. Uno
es la necesidad de introducir la idea general de justificación y
el otro es la necesidad de justificar con principios específicos y
reglas de inferencia aceptadas como parte de una teoría.
En la misma investigación, se modificó el uso común y
corriente del
programa de geometría dinámica, con el
propósito de superar la dificultad de los alumnos para distinguir
entre las afirmaciones que están dadas y aquellas que deben
ser probadas. Concluye que la demostración está implicada en
15
dos momentos: uno, cuando cada individuo se convence de la
validez de su construcción y el otro, cuando se esfuerza por
Mariotti (2001)
convencer a otros para que acepten (validen) su proceso de
construcción.
La investigadora pide hacer uso del comando histórico del
programa de geometría dinámica, cuando solicita a los
alumnos que, a partir de un segmento dado construyeran un
cuadrado que resista la prueba del arrastre. El comando
histórico contribuyó a explicitar relaciones de dependencia
entre propiedades geométricas que en el programa de
geometría dinámica son expresadas globalmente y pueden
quedar escondidas o perdidas a los alumnos. De esa forma
lograron un control de las relaciones lógicas entre las
propiedades involucradas.
El objetivo del experimento de investigación era lograr que los
estudiantes comprendieran la naturaleza de la demostración
matemática e incrementaran sus habilidades para demostrar a
partir de la producción de justificaciones que validaran las
construcciones hechas en el programa de geometría dinámica.
Marrades & Gutiérrez (2001) Una de las principales conclusiones fue que los estudiantes de
secundaria no pueden hacer una transición rápida desde las
vías empíricas de justificación hacia las vías formales. El
aporte del programa de geometría dinámica está en permitir
una exploración empírica
significativa mediante la
experimentación con las representaciones geométricas en un
sinnúmero de rutas posibles.
Este estudio atiende a consideraciones según las cuales los
estudiantes no aprenden a demostrar no porque no sean
capaces de hacerlo sino porque no ven la necesidad de
Hadas,
Hershkowitz
& demostrar.
El software se aprovechó para generar un
Schwarz (2001)
ambiente en el que los alumnos formularan conjeturas, usaran
las herramientas del programa para confirmar o refutar las
conjeturas, percibieran una contradicción entre el resultado
esperado y el obtenido y validaran este último. Las conjeturas
falsas fueron refutadas gracias a otras funciones
proporcionadas por el programa de geometría dinámica.
Tabla 4. Geometría dinámica y enseñanza de la demostración. Fuente: Perry et, al, 2006.
2.4 GEOMETRÍA DINÁMICA, ACTIVIDAD DEMOSTRATIVA Y FORMACIÓN
INICIAL DE PROFESORES
Se presenta a continuación una síntesis de investigaciones, en las que se
relaciona el uso del software de geometría dinámica con el desarrollo o
construcción de demostraciones por parte de quienes adelantan su capacitación
como maestros.
16
Investigador / fecha
Descripción
La presencia del computador y de un programa de
geometría dinámica, genera perturbaciones en el
Mariotti (2001)
“contexto interno” del profesor, quien debe elaborar una
nueva relación con el conocimiento matemático, y
adoptar su papel como mediador, tomando en cuenta
los nuevos elementos que le ofrece el programa.
En el proceso de investigación desarrollado con
profesores en ejercicio, les pidió construir escenarios
para la enseñanza, en los cuales se explotaran las
Laborde (2001)
potencialidades del Programa Cabri de geometría
dinámica. Observó que los profesores generalmente
veían el potencial de la geometría dinámica en la
exploración y toma de medidas, razón por la cual creían
innecesario avanzar en la enseñanza de la demostración
y usaban la existencia del software como un argumento
a favor de la abolición de la demostración deductiva.
Así, subutilizaban el potencial de esta herramienta para
estimular en sus
estudiantes la necesidad de la
demostración formal.
Analiza las dificultades que encontró en las
concepciones que tienen los maestros en formación
sobre las matemáticas. Una de sus conclusiones es que
Zuccheri (2003)
se requiere que los futuros profesores tengan
competencia en el uso de la tecnología para obtener
buenos resultados en la incorporación de la tecnología a
los procesos de enseñanza y de aprendizaje. La citada
competencia no depende tanto de un sólido
conocimiento geométrico sino de las concepciones y
creencias sobre cómo debe ser presentada la
matemática a los estudiantes y de la experiencia que los
futuros maestros han tenido como resolutores de
problemas de matemáticas.
Un objetivo de su estudio de investigación fue identificar
cómo hacen los maestros en formación para integrar la
geometría dinámica en sus diseños curriculares antes y
después de recibir educación específica acerca de la
incorporación de la tecnología. También indagó acerca
de las tareas que son capaces de proponer a sus
alumnos para ayudarlos a superar las dificultades en la
producción escrita de demostraciones.
Tapan (2003)
El estudio puso en evidencia que las funciones ”arrastre”
y “construcción” del programa de geometría dinámica,
fueron usadas por los profesores, por lo que infirió que
su relación con la enseñanza de la demostración es
clara para los usuarios, mientras que otras funciones
como el comando “histórico”, la construcción de “cajas
negras”, de “macros” o el uso de la información sobre la
“ambigüedad” del objeto señalado son más complicadas
de analizar y requieren que los profesores reciban un
entrenamiento explícito.
Tabla 5. Geometría dinámica, actividad demostrativa y formación inicial de profesores
17
3 REFERENTES TEORICOS
A continuación se presentan los contenidos teóricos que se tienen en cuenta para
el desarrollo de la investigación.
3.1 AMBIENTES DE APRENDIZAJE
El ambiente de aprendizaje es ideado y/o desarrollado por el profesor. Lo ideal es
crear un ambiente en el que se de la participación activa y efectiva de los
estudiantes en clase, fomentando el trabajo colaborativo, de manera que éstos
asuman parte de la responsabilidad de su aprendizaje, a partir de las tareas y
actividades que el docente propone, del modo en que los motive a manifestar
dudas u opiniones y de las oportunidades que les de para que argumenten y
justifiquen sus ideas. Los temas discutidos y validados en grupo motivan la
construcción del nuevo conocimiento; la necesidad de articular y explicar a los
compañeros las ideas propias lleva a que éstas sean más concretas y precisas y
ayuda a organizar e integrar mejor el saber. Estas exigencias encierran mensajes
implícitos sobre el papel que el profesor atribuye a los alumnos en el aprendizaje y
sobre las expectativas que tiene sobre sus capacidades.
Según Ponte et al. (1997:17-18), en el ambiente de aprendizaje influyen aspectos
como las características físicas del aula, el número de estudiantes, el tipo de tarea
18
propuesto y los materiales usados. Los recursos tecnológicos, como el
computador o la calculadora, incitan a una actividad matemática genuina y al
trabajo participativo. “El ambiente de aprendizaje está condicionado por la relación
de poder establecida por el profesor y por los papeles que éste le atribuye a los
alumnos, es decir, subyacente al ambiente de cada clase hay una determinada
cultura que regula las normas de comportamiento y de interacción y establece las
expectativas de los participantes”. (Ponte, 1997)
Para Laborde (2001: 8), un escenario de aprendizaje en el que se incorporan
nuevas tecnologías, lleva a una combinación de tareas interrelacionadas, en las
que el maestro expresa definiciones y teoremas que deben ser examinadas,
conjeturadas, comprobadas, demostradas,
socializadas y validadas en clase.
Para ello se debe contar con guías didácticas que exijan el uso del programa de
geometría dinámica, en las que están explícitos los objetivos, los procesos y/o
actividades problémicas a desarrollar, de acuerdo a lo previsto en el currículo
propuesto.
3.2
COMUNICACIÓN Y NEGOCIACIÓN
La enseñanza y aprendizaje de las matemáticas,según Ponte et al. (1997:11),
exige que los alumnos interactúen entre sí y con el profesor. Dos de esas formas
de interacción tienen una importancia capital: la comunicación y la negociación de
significados. La comunicación se refiere a la interacción entre los diversos sujetos
19
que hay en una clase, empleando una lengua propia, que es una mezcla de
lenguaje cotidiano y de lenguaje matemático. Por su parte, la negociación de
significados se refiere al modo en que los alumnos y el profesor exponen unos a
otros su forma de ver los conceptos y los procesos matemáticos para
perfeccionarlos y ajustarlos a lo establecido desde la matemática.
La comunicación se analiza a través del discurso de los participantes. De acuerdo
con Ponte et al. (1997:11), en el sentido lingüístico “discurso” indica el modo en
que los participantes atribuyen significados en situaciones concretas y
contextualizadas. Supone la forma en que se presentan las ideas y lo que se
relaciona implícitamente con ellas. El discurso puede ser oral, escrito o gestual y
existe siempre, de una u otra forma, en todas las situaciones de enseñanza y
aprendizaje.
En las clases de matemáticas, los interlocutores son el profesor y los alumnos.
Para Ponte (1997:11), de forma general, el discurso es controlado por el profesor
y éste puede atribuir a los alumnos una participación más o menos importante. La
comunicación oral tiene un papel fundamental en la clase de matemáticas. Es
imprescindible para que los alumnos puedan expresar sus ideas y confrontarlas
con las de sus compañeros. Es determinante de lo que aprenden acerca de la
geometría, de sus contenidos y de la propia naturaleza de las matemáticas.
20
La comunicación escrita proporciona una oportunidad importante para expresar
ideas matemáticas; ésta desempeña un papel estructurante, muchas veces
decisivo, en las actividades de aprendizaje.
A través de la comunicación los
estudiantes toman conciencia de los procesos de construcción y validación de los
conocimientos
matemáticos, aprenden a expresar las razones que justifican
porque algo tiene sentido o no y a argumentar si una afirmación es o no verdadera
en matemáticas.
Los alumnos deben habituarse a emplear una gran variedad de herramientas para
validar y comunicar hechos matemáticos. Para ello es fundamental que adquieran
destreza en el uso de la tecnología y puedan emplearla con flexibilidad cuando
sea útil y pertinente.
El profesor debe garantizar la comunicación efectiva entre los miembros de la
comunidad en el aula. El éxito del desarrollo de los conocimientos, capacidades y
valores establecidos en el currículo depende en gran parte de la fluidez y de la
naturalidad de la comunicación entre los participantes y de los soportes: orales,
escritos, empleando medios audiovisuales o nuevas tecnologías.
3.3 NEGOCIACIÓN DE SIGNIFICADOS
La negociación es una interacción entre dos o más individuos (estudiante –
profesor – estudiantes), con puntos de partida e intereses muchas veces
21
diferentes, para establecer acuerdos. En los procesos de enseñanza y
aprendizaje, el maestro y los alumnos tienen, al comienzo, experiencias y
conocimientos muy diferentes. Por eso la negociación de significados matemáticos
en clase es un aspecto a resaltar en el proceso de aprendizaje. Es importante
caracterizar el papel que desempeñan en la
negociación el profesor y los
alumnos.
Al significado matemático se llega estableciendo conexiones entre la idea
matemática que se estudia en particular y los otros conocimientos personales del
individuo. Una nueva idea es significativa en la medida en que cada persona es
capaz de aprenderla y relacionarla con los conocimientos que ya tiene. Las ideas
forman conexiones con otras ideas matemáticas y también con otros aspectos del
conocimiento personal. Profesor y alumnos llegarán, al final del proceso, a tener
sus propios conjuntos de significados, únicos para cada individuo.
Para Bishop y Goffre, 1986, citados por Ponte (1997), el profesor que desea
promover la negociación de significados en clase “Necesita preguntar y responder
a preguntas, dar razones y pedir razones, dar analogías y pedir analogías,
describir y pedir descripciones, explicar y pedir explicaciones, dar y recibir
ejemplos”.
22
3.4 LA DEMOSTRACIÓN EN MATEMATICAS
El equipo de investigación Aprendizaje y Enseñanza de la Geometría, Æ • G, de
la Universidad Pedagógica Nacional, define la demostración formal como
“Una justificación de carácter deductivo que explicita y encadena, en forma
exhaustiva, afirmaciones y sus respectivas razones, referidas a un sistema
axiomático, partiendo de la información dada hasta llegar a aquella que se desea
demostrar. Se relaciona con la construcción de un discurso conformado por una serie
de enunciados que se organizan, siguiendo un conjunto de reglas lógicas controlados
por el profesor, representante de la comunidad matemática, con el objetivo de
incorporar un hecho matemático al sistema axiomático, establecido en el aula,
imitando así prácticas matemáticas”. (Perry, Camargo, Samper y Rojas 2006)
Según Crespo (2005: 97-132), son diversos los criterios por los que pueden
categorizarse las demostraciones; con base en sus definiciones y ejemplos se ha
elaborado el esquema que se ilustra en la página siguiente.
Una clasificación, tradicionalmente aceptada por la comunidad internacional de
educadores matemáticos, de las demostraciones, se relaciona con la forma como
se encadenan las ideas, premisas, afirmaciones, hasta llegar a la conclusión.
Según Crespo, éstas se clasifican en demostraciones inductivas y demostraciones
deductivas.
Las demostraciones inductivas “Son aquellas en las que se parte de lo particular
hacia lo general. En este tipo de demostración, una afirmación general sobre un
dominio de objetos es derivada de la verdad de todos los enunciados singulares
sobre determinado dominio. Este tipo de razonamiento permite enunciar
propiedades válidas dentro del dominio considerado”. (Crespo, 2005)
23
Para la construcción de demostraciones deductivas se parte de lo general a lo
particular. Se hacen inferencias básicas (consideradas fundamentales) con datos
que se aceptan como hipótesis inicial y a partir de enunciados, que son
definiciones, postulados, teoremas, considerados verdaderos, se hacen los
encadenamientos necesarios hasta llegar a la conclusión o tesis esperada.
CUADRO SINOPTICO 1. Clases o tipos de demostración según Crespo (2005).
⎧
⎪
⎪ ESTRUCTURA LÓGICA DEL ENUNCIADO ⎧⎨Condición necesaria o suficiente
⎪
⎩Condición necesaria y suficiente
⎪
⎪
⎪
⎧Universal o de no existencia
⎪
⎪
⎪
⎧Simple
⎪
⎪ EN RELACIÓN CON LA C UANTIFICACIÓN ⎨
⎪
⎨De existencia y unicidad
⎪
⎪Existencial
⎪De imposibilidad
⎪
⎪
⎩
⎩
⎪
⎪
⎧Silogismo
⎪
⎪Casos
⎪
⎪
⎪
⎪Reducción al absurdo
⎪ PROCEDIMIENTOS LÓGICOS
⎪
⎧Principio de inducción fuerte
⎪
⎪
⎪UTILIZADOS EN LA DEMOSTRACIÓN ⎪ Inducción completa ⎪Constructivo
⎨
⎪
⎪⎪
⎪ o
⎪⎪Analogía
⎨
⎪ recurrencia
⎨
⎪
⎪
⎪Dualidad
⎪
⎪
⎪Consideración de casos
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩
⎪⎩
particulares de otros teoremas
⎪
⎪
⎧De la geometría sintética
⎪ PROCEDIMIENTOS MATEMÁTICOS UTILIZADOS ⎪
⎪
⎪Algebraícos
EN LA DEMOSTRACIÓN
⎨
⎪
⎪Cartesiano
⎪
⎪⎩Del análisis matemático
⎪
⎪
⎪
⎪
⎧Sintético o Directo
⎪ PROCEDIMIENTOS DE EXPOSICIÓN DE LA DEMOSTRACIÓN ⎨
⎪
⎩Analítico o Indirecto
⎪
⎪
⎪
⎧Deductivas
⎪ FORMA DE PENSAMIENTO LÓGICO ⎨
⎪⎩
⎩Inductivas
24
Según Balacheff (1982) es posible considerar las demostraciones como objetos
matemáticos. Esto se debe a que se ajustan de manera precisa a los requisitos de
teorías formalizadas.
Él clasifica las justificaciones que proveen los estudiantes
en: explicaciones, pruebas y demostraciones.
• Una explicación es un discurso que pretende comunicar de manera informal, el
carácter de verdad, de una proposición o de un resultado.
• Una prueba se compone de explicaciones aceptadas por una comunidad en
particular, los miembros de la clase, por ejemplo, en un momento dado.
• Una demostración es una prueba que tiene una forma particular, dada por una
serie de reglas determinadas de deducción, provistas por la comunidad
matemática.
• Un razonamiento es la actividad intelectual de manipulación de informaciones
para obtener nuevas informaciones a partir de otras dadas.
La demostración matemática es el proceso validativo que siguen los matemáticos
para justificar sus teorías. Para Knowless (1998: 1) “Una demostración en una
teoría matemática es una secuencia de proposiciones, cada una de las cuales es
o bien un axioma, o bien una proposición que ha sido derivada de los axiomas
iniciales por las reglas de inferencia de la teoría. Un teorema es una proposición
25
así derivada por una demostración”. En la actualidad, el modelo de demostración
dominante en la institución matemática es la demostración lógico-formal, su
concepción evita recurrir a la intuición y se prefiere el uso de reglas de inferencias
lógicas, formales, precisas, bien definidas. La demostración se convierte en un
procedimiento algorítmico que puede ser materializado mediante el uso de
computadores.
Los estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática,
(NCTM, 1989: 147) de los Estados Unidos, en las orientaciones para el ciclo 912, centran la atención en la necesidad de combinar el pensamiento inductivo con
el deductivo, marcando como objetivo que todos los estudiantes tengan
experiencias con estos dos modos de pensamiento, para que lleguen a apreciar el
papel que cumplen ambos en la matemática y fuera de ellas.
Junto al
pensamiento estrictamente deductivo, se resalta también la necesidad
de
potenciar otros modos validativos de tipo empírico-inductivo, la formulación de
conjeturas, los ejemplos, contraejemplos y los procesos de generalización.
Partiendo de los esquemas personales de demostración matemática y de su
posible relación con los significados de la demostración en distintos contextos, la
propuesta es dotar de un sentido más amplio a la demostración matemática y
considerar que tanto la argumentación intuitiva, la prueba empírico-inductiva, la
demostración deductiva informal, como la demostración deductiva formal,
constituyen aspectos de la demostración matemática. Ésta representa un proceso
26
activo, vivo, que implica distintas fases, desde la formulación inicial de las
primeras conjeturas hasta los procesos finales de expresión formalizada de la
demostración.
Recio (2001: 30) ha encontrado cuatro tipos básicos de esquemas personales de
demostración matemática: argumentación explicativa, argumentación empíricoinductiva, prueba deductiva informal y demostración deductiva formal.
Los
esquemas de tipo “argumentación explicativa” son formas muy elementales de
argumentación, que sirven a los individuos para explicarse el significado de la
proposición a demostrar a partir de su ejemplificación en algunos casos
particulares. La intención es esencialmente convencer así mismo y a otros de la
validez de una afirmación.
Los esquemas de tipo “argumentación empírico-inductiva” se centran en la
verificación del cumplimiento del correspondiente teorema para un conjunto de
casos especiales. Se pretende comprobar el cumplimiento en general de dicho
teorema, lo que se reconoce por la utilización casos genéricos.
Los
esquemas
de
tipo
“prueba
deductiva
informal”
corresponden
a
argumentaciones lógicas de tipo informal, apoyadas en analogías con otros
modelos isomorfos y en la utilización de elementos gráficos.
Los esquemas de tipo “demostración deductiva formal” corresponden a
argumentaciones construidas a través del encadenamiento de elementos de un
27
sistema axiomático, pudiendo aparecer elementos intuitivos que ayudan a la
demostración lógico-formal, pero que no la sustituyen.
Para Ibáñez (2001: 15), en el aprendizaje de la demostración pueden considerarse
dos tipos de actividades: entender demostraciones y hacer demostraciones.
Es
necesario comprender el enunciado, lo que incluye varios aspectos: unos
matemáticos (comprender los términos matemáticos empleados, darse cuenta de
la necesidad de las hipótesis, reconocer el significado del teorema, establecer
relación con otros resultados e interpretar gráficas); otros pueden considerarse
lógicos (interpretar correctamente las proposiciones utilizadas -en particular, las
condicionales-, identificar la hipótesis y la tesis e identificar el tipo de enunciado).
Finalmente, los hay semánticos (interpretar correctamente expresiones usuales,
unas del lenguaje ordinario, como –todo, cualquiera, …- y otras más específicas,
como condición necesaria, condición suficiente para hacer demostraciones).
Es imprescindible entender los pasos a seguir para hacer demostraciones. En
esta tarea también
entran en juego aspectos matemáticos (comprender los
términos matemáticos empleados, recordar resultados
-conceptos, teoremas,
algoritmos- anteriores y relacionarlos oportunamente con la proposición objeto de
estudio),
lógicos
(interpretar
correctamente
las
proposiciones,
aplicar
correctamente las reglas de inferencia -en particular, el modus ponendo ponens y
el modus tollendo tollens-), y semánticos (utilizar adecuadamente las palabras de
enlace –“así”, “ya que”, “luego”, interpretar correctamente la notación utilizada).
28
3.5
DIFICULTADES1 EN LA DEMOSTRACION
Del Puerto y Minnaard (2006) señalan que en el contexto de la matemática escolar los
errores aparecen en las producciones de los estudiantes. Las dificultades son de distinta
naturaleza, se generan en el proceso de aprendizaje, se conectan y refuerzan en redes
complejas que obstaculizan el aprendizaje. Estos obstáculos se manifiestan, en la práctica
escolar y cotidiana, como respuestas equivocadas. Ellos agregan que “El error es
posible en todo proceso de adquisición y consolidación de conocimientos. El
conocimiento humano es falible, esto es: unida a la capacidad que tiene el ser
humano de conocer, se halla siempre presente la posibilidad de que conceptos y
procedimientos deficientemente desarrollados, y aún completamente equivocados,
sean considerados como verdaderos” . (Del Puerto y Minnaard, 2006: 5).
Bachelard introdujo el concepto de obstáculo epistemológico para explicar la
aparición de los errores durante la conformación del conocimiento (Bachelard,
1988, citado por Del Puerto y Minnaard, 2006). Él señala que los entorpecimientos
y confusiones, que causan estancamientos y retrocesos en el proceso del
conocimiento, provienen de una tendencia a la inercia, a la que da el nombre de
obstáculo. Lo que se conoce va en contra de un conocimiento anterior (insuficiente
o adquirido deficientemente) generando resistencia, la mayoría de las veces
porque el conocimiento que se tiene ha sido poco eficaz hasta el momento.
1
Dificultad: (del Lat. Dificultas, -àtis): 1. Contrariedad que impide conseguir, ejecutar o entender
bien pronto una cosa. 2. réplica propuesta contra una opinión. “Diccionario enciclopédico Norma
Castell. Ediciones castell. Barcelona, c1985. p.454.
29
Cuando se lo pretende utilizar en un contexto o una situación inadecuados, se
produce el error.
Brousseau, citado por Del Puerto y Minnaard, (2006), distingue entre los
obstáculos, que están vinculados con el estadio de desarrollo del estudiante.
Estos son, los de origen didáctico vinculados con la metodología que caracterizó al
aprendizaje, y los de origen epistemológico, relacionados con la dificultad
intrínseca del concepto y que pueden ser rastreados, a lo largo de la historia de la
matemática, hasta la génesis misma de éste. En todos lo casos, los obstáculos
son difíciles de superar, condición necesaria para lograr nuevos conocimientos.
3.6
VISUALIZACIÓN
La visualización en matemáticas es un proceso de descomposición y
recomposición de figuras representadas en lápiz y papel, o con la ayuda de un
medio tecnológico.
Es necesaria para el descubrimiento y comprensión de
nociones matemáticas y juega un papel muy importante en el proceso de
enseñanza. Visualizar un problema significa entenderlo en términos de un
diagrama o de una imagen visual. Carrión y Ávalos (2006 :5).
Una de las funciones de la visualización es la verificación subjetiva, como una
parte integral que apoya los procesos de razonamiento. El razonamiento visual
30
puede funcionar por sí mismo, con el fin de apoyar argumentos matemáticos
rigurosos o combinado con otra clase de razonamiento.
Según Hanna, citado por Hershkowitz, “El razonamiento visual es mucho más que
un soporte intuitivo de un razonamiento de más alto nivel, es la columna vertebral
de una prueba rigurosa, e incluye una nueva manera de ver la situación con el fin
de sugerir una generalización”.
Según, Moreno (2006), “La manipulación del entorno geométrico permite la
ampliación de la experiencia posible del estudiante.
La visualización y las
representaciones externas permiten atender el problema de la validación de los
enunciados matemáticos.
La manipulación directa de los objetos geométricos
hace posible la experimentación en dominios que anteriormente eran inaccesibles
para el estudiante”.
3.7
CONJETURA
Una conjetura en geometría es una proposición que puede ser verdadera o falsa;
al momento de considerarla, la persona que la formula no sabe si es cierta o falsa
pero piensa que es cierta. La conjetura es el resultado de la observación y el
razonamiento inductivo; no es una definición ni un postulado, pero si se demuestra
se convierte en un teorema.
31
Al explorar las construcciones geométricas con el apoyo de un
programa de
geometría dinámica el estudiante obtiene información que posibilita la formulación
de conjeturas, pues poder analizar un gran número de casos o situaciones permite
la generalización.
3.8
EXPLORACIÓN
Cuando se explora una representación en un ambiente de geometría dinámica, el
estudiante cuenta con herramientas que posibilitan un análisis cuidadoso y
expedito de ésta. Los cambios en la representación cuando ésta es manipulada
permiten comprender las relaciones de dependencia entre las características de
una figura. Es importante tener en cuenta que las soluciones gráficas y simbólicas
abren una oportunidad de aprendizaje, puesto que los alumnos pueden comparar
las diferentes soluciones a una misma situación problémica.
3.9
RAZONAMIENTO
Duval, citado por Hershkowitz2, plantea que, “El razonamiento es un proceso
holístico en el cual la “demostración” es solo una de sus tres funciones. Las otras
dos son: la “extensión del conocimiento” y la “explicación”.
2
Duval analiza la
Hershkowitz, Rina. Acerca del razonamiento en geometría. (Traducción Victor Hernández y
Martha Villalba) http://euclides.org/menu/articles/ article104. http://www.xtec.es /~jdomen28
/article104.htm
32
interacción entre el proceso de razonamiento y otros dos procesos de
pensamiento en geometría – visualización y construcción.
Los aspectos sugeridos por Duval, sobre ver el razonamiento como una extensión
del conocimiento y como una herramienta explicativa, cobran vida en la clase
cuando el ambiente de aprendizaje cuenta con el apoyo del software de geometría
dinámica. Mediante la experimentación y la generalización inductiva, los alumnos
amplían sus conocimientos sobre los conceptos y las relaciones geométricas.
Los procesos de razonamiento son considerados como una variedad de acciones
realizadas por los alumnos con el fin de comunicar y explicar a otros, tanto como
así mismos, lo que ven, descubren y lo que piensan y concluyen.
Para Jones, citado por Hershkowitz3, el razonamiento intuitivo precede
necesariamente al razonamiento formal. Cuando los alumnos están resolviendo
problemas en un ambiente de aprendizaje el cual se hace uso del software de
geometría dinámica, el razonamiento oscila entre lo visual intuitivo y el deductivo.
3.10 ARGUMENTACIÓN
La argumentación es un fenómeno social que ocurre cuando dos o más individuos
tratan de ajustar sus intenciones e interpretaciones y comunicar la racionalidad de
sus actos. En el contexto del aula, la argumentación está relacionada con una
explicación intencional del razonamiento acerca de una solución, durante o
3
Op.Cit.
33
después de su desarrollo. La argumentación debe entenderse como una acción
comunicativa, realizada por un miembro de la comunidad en el aula, busca
convencer a otros de la validez de unas ideas. (Habermas, 1981).
Los estudiantes de distintos niveles de escolaridad experimentan dificultad cuando
se enfrentan a la tarea de argumentar sus conjeturas y razonamientos, algunas
veces debido a factores sociales o afectivos que los inhiben. Ciertos aspectos
propios de la interacción social de los estudiantes pueden desplazar el debate del
campo cognitivo a otros ámbitos; algunas veces los alumnos defienden puntos de
vista animados por la simpatía,
por la intención de solidarizarse con un
compañero; en ocasiones y como muestra de tolerancia “aceptan” argumentos o
no se oponen a éstos, sólo por finalizar un posible conflicto.
3.11 PRUEBA DEL ARRASTRE
Se utiliza para comprobar que una representación geométrica en la pantalla del
computador o de la calculadora es realmente una construcción que respeta las
propiedades
intrínsecas
del
objeto,
y
no
simplemente
un
dibujo
que
perceptualmente parece ser la representación de una figura geométrica.
Moviendo un punto (vértice) de la figura, se muestra que el objeto geométrico no
es estático, que puede y debe cambiar (de tamaño o forma) mientras conserve sus
34
relaciones geométricas intrínsecas (las propiedades). Es una tarea que no puede
desarrollarse en ambientes de lápiz y papel.
El arrastre de objetos en la pantalla del computador es la característica más
peculiar del software de geometría dinámica. Esta acción permite modificar en
tiempo real el dibujo en la pantalla para convertirlo en otro asociado a la misma
figura (realmente lo convierte en una sucesión casi continua de dibujos) gracias a
la gran libertad de movimientos y transformación que permite el software de
geometría dinámica.
Otra función del arrastre es la de verificar que la construcción que se acaba de
realizar es correcta. Aquí hay un contrato didáctico implícito según el cual si una
construcción soporta cualquier arrastre sin perder ninguna de sus propiedades
matemáticas características, el profesor y los estudiantes aceptan que la
construcción es correcta.
3.12 VISIÓN CONSTRUCTIVISTA DEL APRENDIZAJE
Desde una perspectiva general los conceptos de trabajo cooperativo y aprendizaje
colaborativo aparecen muy relacionados y podría llegarse a pensar que se refieren
a los mismos aspectos. A medida que se va estudiando y analizando la literatura y
trabajos realizados, vamos descubriendo que se trata de conceptos distintos que
35
tienen puntos de encuentro, pero que parten de necesidades diferentes, aunque
finalmente resulten complementarios.
El aprendizaje cooperativo se refiere a un método de enseñanza y de aprendizaje
en el que los estudiantes trabajan conjuntamente en grupos para alcanzar metas
comunes. Los estudiantes ayudan a otros para que “todos” puedan alcanzar en
alguna medida el éxito. En el trabajo cooperativo el centro es el estudiante y se
considera al profesor como un facilitador y guía del aprendizaje y a los estudiantes
como buscadores de información; mientras que en la enseñanza tradicional el
profesor es el centro de la clase, siendo éste el transmisor de la información.
En el ámbito de la educación, se define el trabajo cooperativo, como un conjunto
de estrategias (docentes y discentes) y de herramientas tecnológicas, encaminado
a fomentar e implantar el trabajo en grupo entre los alumnos con la finalidad de
optimizar la construcción de conocimientos y capacidades personales pretendidas.
Martín, Murillo y Fortuny (2006 : 3).
Siguiendo a Johnson y Johnson podemos definir el aprendizaje colaborativo, como
“un conjunto de métodos de enseñanza para la aplicación en los grupos pequeños
de trabajo y desarrollo de habilidades mixtas (aprendizaje y desarrollo personal y
social), donde cada miembro del grupo es responsable tanto de su aprendizaje
como del de los restantes miembros del grupo”. (Jonhson, D. y Jonhson, R. 1987)
36
4 METODOLOGÍA
4.1 TIPO DE INVESTIGACIÓN
La investigación adopta una metodología cualitativa situada en la tradición
descriptiva – interpretativa, que se enfoca en la recolección de datos, su
interpretación, y el análisis participativo. Los actores implicados (el grupo de
investigadores, siendo uno de ellos el profesor del curso) se convierten en los
protagonistas del proceso de construcción del conocimiento, del objeto de estudio,
las dificultades
que tienen los estudiantes para aprender a demostrar, para
posteriormente hacer sugerencias para la acción y diseño de acciones para el
cambio. Esta investigación es del tipo “Investigación –Acción”, pero en este trabajo
sólo se reporta el análisis de las dificultades que tienen los estudiantes ya que en
la segunda fase de la investigación, que se realizará, no como parte del trabajo de
grado sino como proyecto del grupo de investigación de la Universidad de la
Amazonia,
se diseñarán estrategias para apoyar a los estudiantes a sobreponer
dichas dificultades, se aplicarán las estrategias, y se estudiará el efecto de éstas
en el aprendizaje de la demostración.
A continuación se describe el proceso metodológico desarrollado, aclarando que la
linealidad con la que se propone sólo obedece a la claridad de la presentación de
37
la información, ya que durante el trabajo se hizo necesaria
la estrecha
interrelación de los aspectos que se describen.
4.2 INSTRUMENTOS PARA RECOLECCIÓN DE DATOS
Al iniciar el curso, se aplicó una encuesta (Anexo A1) exploratoria, descriptiva e
interpretativa a los estudiantes, con el propósito de determinar si durante el
bachillerato, los estudiantes habían trabajado el concepto de demostración en
matemáticas o geometría, usando la calculadora graficadora algebraica (CGA) o
algún programa de geometría dinámica, y estudiado geometría plana.
Durante el semestre, para recoger la más completa información posible de la
interacción de los estudiantes con la CGA, y con sus compañeros de equipo, y
comprender qué hicieron los estudiantes, cuando y por qué tomaban cierta
decisión, se utilizó la técnica de “autoprotocolo escrito por los estudiantes”. (Anexo
A3) Gutiérrez (2002: 6) plantea que
“Los estudiantes, al mismo tiempo que avanzan en la resolución de un
problema, van escribiendo notas comentando su actividad, los motivos de sus
decisiones, etc. La directriz dada a los estudiantes es que, paralelamente a la
resolución del problema, escriban comentarios sobre sus procesos metacognitivos de toma de decisiones, ideas o acciones, motivo por el que han
decidido actuar así, etc. Al usar el autoprotocolo en situaciones de trabajo con
papel y lápiz o con ordenador, la interferencia que puede producir la escritura
del autoprotocolo en los estudiantes es menor que al pensar en voz alta, pues
éstos de todas formas deben detener su flujo de pensamiento para escribir o
manipular el ordenador”.
38
Como los estudiantes trabajaban en ternas, una estrategia que utilizaban era que,
inicialmente, los tres miembros del equipo empezaban a desarrollar la
construcción utilizando la CGA. Durante el proceso iban interactuando
verbalmente e introduciéndole “mejoras” hasta establecer invariantes o darla por
terminada. A continuación uno de ellos tomaba la iniciativa de empezar a escribir
paso a paso el proceso desarrollado.
Se analizaron los autoprotocolos porque, una vez terminada la construcción con la
calculadora de la situación presentada y validada ésta por los miembros del
equipo, los estudiantes consignaban en él la demostración que construyeron. Así
mismo se registró en audio y en video y luego se transcribió, la interacción
suscitada cuando uno de los estudiantes del grupo exponía el trabajo realizado.
En la medida en que el alumno avanzaba en la socialización de su demostración,
los compañeros de equipo, de la clase o el profesor hacían preguntas para ir
aclarando dudas, validando premisas y razones. Toda esta información se usó
para identificar las dificultades que los estudiantes tuvieron durante el proceso de
construcción de una demostración.
El registro escrito se hizo con base en las transcripciones de las grabaciones de
audio, las de video y los autoprotocolos realizados durante todas las clases que se
desarrollaron los días lunes. En total se obtuvieron 15 registros de los cuales se
seleccionaron 10 para los propósitos de la presente investigación.
4.3 POBLACIÓN Y CONTEXTO
La población objeto de esta investigación fueron los veintiocho estudiantes del
grupo A de la asignatura, Geometría Euclídea, del primer semestre del 2006, del
Programa de Licenciatura de Matemáticas y Física, de la Universidad de la
39
Amazonia, en la jornada nocturna, con horario desde las 18:30 hasta las 22:30
horas, de lunes a viernes. Distribuidos en siete equipos identificados desde la A
hasta la F.
Las cuatro horas de clase semanales - dos el lunes y dos el miércoles - tuvieron
lugar en el salón del Laboratorio de Matemáticas. Cada estudiante dispuso de una
CGA, la cual contaba con un programa de geometría dinámica. Además, se
dispuso de accesorios complementarios como el proyector de acetatos, el
viewscreen, y el señalizador laser. Para el trabajo en la jornada de los lunes, los
estudiantes estaban distribuidos en equipos – ternas – de trabajo, constituidos a
voluntad propia desde comienzo del semestre. Este tiempo de clase se dedicó al
proceso de construcción en la CGA de la figura geométrica que ilustra y sustenta
el enunciado de la situación problemática o teorema a demostrar.
Finalizada la primera hora de clase, se elegía al azar a un estudiante para que, en
representación de su correspondiente equipo de trabajo, pasara a socializar, tanto
el proceso de construcción de la figura geometría en la CGA,
como la
demostración correspondiente a la situación problema o teorema asignado por el
profesor. Durante el proceso de socialización, los demás estudiantes de la clase
tenían la oportunidad de discutir con el ponente acerca de las afirmaciones y
justificaciones que él estaba haciendo, para aclarar sus dudas y sugerir posibles
correcciones al proceso de demostración.
40
La jornada de trabajo del día miércoles se destinó al proceso de construcción del
sistema axiomático, es decir: al estudio de las definiciones, los postulados, los
teoremas ya demostrados y al planteamiento y solución de ejercicios inherentes a
las temáticas que estaban siendo objeto de estudio.
La CGA se utilizó para construir figuras geométricas. El programa cuenta con
herramientas que
permiten el desarrollo de algunas construcciones en forma
automática, como rectas paralelas, perpendiculares, circunferencias, que son
útiles para la construcción de figuras geométricas con condiciones especiales.
Además, tiene funciones que permiten realizar la exploración de construcciones
geométricas para estudiar las propiedades inherentes de ellas, tales como
verificación de propiedades, traza, lugar geométrico. Es así como los estudiantes
pueden reconstruir las figuras geométricas, de acuerdo a los planteamientos de
los enunciados en la situación problema o del teorema a demostrar.
El análisis de la encuesta
permitió establecer que un número significativo de
estudiantes (23) no tenían conocimiento sobre el manejo del software de
geometría dinámica ni habían usado la CGA en las clases de matemáticas; así
mismo, no habían tenido la experiencia de construir demostraciones matemáticas
y pocos habían estudiado geometría plana. (Ver Anexo A1).
En consecuencia, el profesor responsable del espacio académico, dedicó tres
sesiones de clase enfocadas a que los alumnos desarrollaran la competencia para
41
diferenciar entre dibujo y figura, aspecto fundamental en las construcciones
geométricas en ambiente dinámico, se familiarizaran con algunas herramientas
básicas del software y con el uso de algunos comandos básicos de la CGA,
referentes a objetos, propiedades y relaciones geométricas.
Con el trabajo en las sesiones de clase descritas, se logró direccionar y motivar a
los estudiantes hacia el manejo adecuado del software, permitiendo mejorar de
manera significativa el accionar individual y colectivo de los estudiantes en el uso
de la calculadora graficadora.
4.4 PROCESO
Para este trabajo se realizó una revisión de artículos y publicaciones sobre la
demostración en matemáticas, aprendizaje de la demostración y aprendizaje de la
demostración con el apoyo de un software de geometría dinámica. También se
estudiaron investigaciones sobre el proceso de demostración, utilizando software
de geometría dinámica, realizada en un curso de geometría plana.
Para el análisis de los datos recogidos en la investigación, existen algunas
metodologías generales, como el análisis estadístico, el análisis de autoprotocolos,
clasificación de respuestas en categorías o tipos, análisis de los
registros de clase, entre otras.
Para el contexto de las dificultades en el
aprendizaje de la demostración deductiva formal, con la ayuda del software de
42
geometría dinámica, se utilizó la metodología del análisis de autoprotocolo escrito
por los estudiantes.
Para
el
proceso
de
identificación
de
dificultades,
se
partió
de
los
correspondientes análisis de registro; éstos se compararon simultáneamente con
el autoprotocolo o producción escrita de los estudiantes. A continuación se hizo la
identificación de las dificultades con base en las categorías y subcategorías de
análisis creadas por el grupo de investigación Enseñanza y Aprendizaje de la
Geometría (Perry, Camargo, Samper &Rojas, 2006) de la Universidad Pedagógica
Nacional.
4.5 CATEGORÍAS DE ANÁLISIS - EXPLICACIÓN Y EJEMPLIFICACIÓN
Para el análisis de las dificultades de los estudiantes, relacionadas con el
aprendizaje de la demostración deductiva formal en geometría euclídea, se
tomaron las cuatro categorías y sus correspondientes subcategorías, creadas,
definidas y ejemplificadas por el grupo de investigación Æ • G, Aprendizaje y
Enseñanza de la Geometría, de la Universidad Pedagógica Nacional (Perry,
Camargo, Samper & Rojas (2006: 255 - 277)).
Se escogieron las categorías de análisis que se citan a continuación, por tres
razones básicas:
43
1. En el contexto internacional el número de investigaciones sobre los procesos
de enseñanza aprendizaje de la geometría euclidiana o plana, en educación
superior son bien escasas.
2. Son aun más escasas las investigaciones que tratan sobre los procesos de
aprendizaje o los de enseñanza de la demostración, en particular la deductiva
formal.
3. En el contexto nacional, el grupo de investigación Æ • G, Aprendizaje y
Enseñanza de la Geometría, de la Universidad Pedagógica Nacional se
destaca por sus investigaciones acerca del aprendizaje y la enseñanza de la
geometría. Tanto así que se ha convertido en un colectivo a tener en cuenta
por parte de quienes adelantamos investigaciones en torno a la geometría
euclidiana.
Las categorías y subcategorías de análisis que se tuvieron en cuenta para el
tratamiento analítico en la investigación y que se describen detalladamente a
continuación, son las siguientes:
1.
Relacionados con el trabajo dentro de un sistema axiomático
a. Necesidad de formulación precisa de las definiciones, postulados,
teoremas.
b. Verificación del cumplimiento de las condiciones de la hipótesis del
hecho geométrico que se pretende usar.
c. Uso exclusivo de hechos geométricos previamente incorporados al
sistema como respaldo de las afirmaciones que se hacen.
44
d. Respaldo teórico, explícito y apropiado, de las proposiciones que
conforman la justificación.
e. Comprensión y manejo del concepto de existencia expresado en
definiciones, postulados y teoremas.
f.
Comprensión y manejo de la lógica que hay detrás de acciones tales
como localizar, escoger, determinar.
2.
Relacionados con el uso de la lógica matemática como guía y
sustento del razonamiento requerido para producir una justificación
a. Conocimiento conceptual y procedimental de las conectivas lógicas
y de las tautologías asociadas.
b.
Comprensión de la validez del método de prueba indirecta y del
respectivo procedimiento.
3. Relacionados con prerrequisitos de aritmética de los reales, álgebra o
teoría de conjuntos
a.
Conocimiento conceptual y procedimental de las propiedades de los
números reales.
b.
Conocimiento conceptual y procedimental de la igualdad como
relación de equivalencia y de la desigualdad como relación de orden.
c.
Comprensión del principio de sustitución.
d.
Conocimiento conceptual y procedimental de las operaciones entre
conjuntos.
e.
Manejo de la sintaxis de la teoría de conjuntos en la formulación de
enunciados para hacerlos operativos.
45
4.
Relacionados con la comprensión y el manejo del enunciado de un
teorema.
a. Establecimiento de las condiciones válidas en el enunciado incluso
los tácitos,
b. Establecimiento del hecho que se debe demostrar.
c. Formulación en formato lógico del hecho expresado en lenguaje
natural.
d. Particularización de un enunciado expresado en forma general y
descontextualización de un enunciado particular para formularlo de
manera general
5. Relacionadas con el manejo de la sintaxis y/o lenguaje icónico propio
de la geometría.
Explicación y Ejemplificación de las Categorías de Análisis
A continuación se explicará cada dificultad y se ilustra con un ejemplo tomado de
los registros de clase. En ellos la letra P denota la intervención correspondiente al
profesor.
1. Relacionados con el trabajo dentro de un sistema axiomático
a. Necesidad de formulación precisa de las definiciones, postulados, teoremas.
46
Cuando para la justificación de una afirmación se requiere el uso de una
definición, un postulado o un teorema, el estudiante no la escribe textualmente,
dejando a un lado propiedades necesarias.
“En la siguiente figura, si AB =CB, ∠ MAE
≅ ∠ NCD y AE = CD, demostrar que ∆ABE
≅ ∆CBD”
*
Moise & Downs. ( 1986: 131)
4) ∠ MAE y ∠ BAE forman un par lineal
5) ∠ MAE y ∠ BAE = 180
Hipótesis gráfica
Definición de ángulos suplementarios.
Cuadro No.1
En la quinta proposición del cuadro anterior, Mery y su equipo tuvieron dificultad
para dar la justificación apropiada. Hay indicios de una formulación imprecisa del
concepto de ángulos suplementarios: define el concepto en términos de las figuras
(de los ángulos) y no de la suma de las dos medidas.
b. Verificación del cumplimiento de las condiciones de la hipótesis del hecho
geométrico que se pretende usar.
Esta dificultad sucede cuando el estudiante usa un teorema o definición, sin tener,
en las afirmaciones anteriores, las condiciones exigidas en la hipótesis del
teorema o no logra inferir, a partir de la hipótesis, otras premisas que se deben
explicitar para el desarrollo de la demostración. Por ejemplo, para la demostración
del teorema “Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes” se da una
figura como la que aparece en el cuadro No. 2.
47
AFIRMACIÓN
1 Luís
2 Luís
RAZÓN
Hipótesis gráfica
Definición de par lineal.
∠1 y ∠2 son opuestos por el vértice
∠1 y ∠3; ∠2 y ∠3 forman par lineal
Cuadro No. 2
Para deducir la afirmación de la fila dos del cuadro anterior, Luís debía haber
declarado la existencia de los pares de rayos opuestos (
y
y
, lo mismo que
forman dos pares de rayos opuestos), que se deduce de la definición de
ángulos opuestos por el vértice.
existencia del
Además, le hizo falta incluir la condición de
, para poder declarar que los ángulos a que aduce forman par
lineal. Así completa todas las condiciones requeridas en la definición de ángulos
par lineal para poder usarla como justificación.
c. Uso exclusivo de hechos geométricos previamente incorporados al sistema
como respaldo de las afirmaciones que se hacen.
Se entiende por “hechos geométricos previamente incorporados al sistema”, todos
los postulados, definiciones, teoremas estudiados antes de empezar a resolver la
situación problémica que se está planteando. Constituye factor de dificultad el
pretender usar cualquiera hecho que, aunque sea verdadero, aún no se ha
estudiado (no se ha incorporado al sistema). Un ejemplo se encuentra en la
48
demostración que hizo Alba para la siguiente situación: si el XY se biseca con el
AB ,
en el punto P, entonces los triángulos correspondientes (∆XAP y ∆YBP) son
congruentes.
AFIRMACIÓN
1
2
3
4
5
RAZÓN
Hipótesis
XY y AB se bisecan en P
XP = PY
AP = PB
Definición de bisecar
Definición de bisecar
Si dos segmentos se bisecan los
segmentos que unen los extremos
correspondientes son congruentes.
Postulado L – L – L
XA ≅ YB
Luego: ∆XAP ≅ ∆YBP
Cuadro No. 3
En la justificación de la cuarta proposición, Alba, declara como teorema una
propiedad que precisamente se podría deducir de lo que está demostrando, pero
que no es ni será teorema del sistema axiomático.
d. Respaldo teórico, explícito y apropiado, de las proposiciones que conforman la
justificación.
El estudiante no recuerda correctamente la definición, postulado o teorema que
quiere usar para respaldar, desde la teoría, una afirmación. Por ejemplo, Alex hizo
49
la demostración que se ilustra en el cuadro 4, para verificar que “Dada una recta y
un punto fuera de ella existe exactamente un plano que contiene a ambos”.
1
2
AFIRMACIÓN
RAZÓN
L es una recta y P es un punto que no está en Hipótesis
la recta
Existen los puntos R y Q que pertenecen a L
Postulado de la recta
Cuadro No. 4
La justificación dada por Alex a la afirmación 2 no es la apropiada porque dicho
postulado establece que por dos puntos dados existe una única recta que los
contiene, y no lo contrario, que es lo que él está usando.
e. Comprensión y manejo del concepto de existencia expresado en definiciones,
postulados y teoremas.
Este tipo de dificultad se encuentra cuando el estudiante pretende justificar la
existencia de algún objeto geométrico usando la definición o un teorema que hace
referencia a él pero no aquel que asegura la existencia de éste.
En el siguiente
cuadro, Tulio, trató de demostrar que “Todo segmento tiene exactamente un punto
medio”.
50
AFIRMACIÓN
1
Sea AC cualquier segmento
2
Sea B un punto de AC
3
B es el punto medio de AC
RAZÓN
Hipótesis- Dado
Definición de segmento [La verbaliza
correctamente]
Definición de Punto medio
Cuadro No. 5
La justificación de la segunda premisa no es la correcta ya que la definición de
segmento no garantiza la existencia de puntos entre los extremos del segmento.
Para ello hay que usar el teorema que establece esa existencia.
f. Comprensión y manejo de la lógica que hay detrás de acciones tales como
localizar, escoger, determinar.
Esta dificultad hace referencia al hecho de que el estudiante no logra dimensionar
la diferencia entre localizar o escoger un punto, un segmento, un ángulo, y acaba
adjudicándole incorrectamente propiedades. Escoger un punto es generarlo pero
sin que éste tenga alguna propiedad especial. Localizar un punto es encontrar
uno que tiene una propiedad específica, respecto a su distancia a un punto
especial. Determinar un punto es generar aquel que tiene una propiedad especial:
por ejemplo, punto de intersección. En el siguiente cuadro, se encuentra una
ejemplificación de lo expresado anteriormente.
51
P
Alex
P
Alex
Alex
Alex
Mery
P
Alex
P
Alex
AFIRMACIÓN
Alex, ¿Qué es lo que debemos demostrar?
Que cualquier cuadrilátero convexo ABCD
tiene exactamente dos diagonales.
Bien, continúe
Primera, ABCD es un cuadrilátero convexo
Segunda D y C son dos puntos en el interior de
los ángulos ABC y BAD respectivamente
Existen los segmentos BD y AC
Yo considero que ahí todavía no es correcto
aplicar la definición de segmentos
Mery, Alex ha aplicado la definición de
segmento. Lo que sucede es que estamos
acostumbrados a observar el dibujo sobre una
recta. Ahí él ya puede trazar los segmentos
que menciona. Continúe, Alex.
El segmento AC es congruente con el
segmento BD
Esta afirmación y su correspondiente razón sí
son incorrectas
[Borra la afirmación anterior y expresa . . . ]
Entonces, la cuarta: El segmento AC y el
segmento BD se bisecan en el punto de
intersección X.
Cuadro No. 6
RAZÓN
Hipótesis dada por el enunciado
Aquí, yo puedo decir, dado por la
construcción o por definición de punto
en el interior de un ángulo
Definición de segmento
Porque C y D son puntos en el
interior de ángulos diferentes pero del
mismo cuadrilátero.
Las diagonales de un paralelogramo
se bisecan.
En la tercera intervención de Alex, hace surgir (es decir, los determina) los
segmentos (las diagonales) y en la cuarta intervención, los quiere obligar a ser
congruentes, propiedad que sólo se puede obtener si así se construyen o si hay
forma de deducirla de otras propiedades.
52
2. Relacionados con el uso de la lógica matemática como guía y sustento
del razonamiento requerido para producir una justificación.
a. Conocimiento conceptual y procedimental de las conectivas lógicas y de las
tautologías asociadas.
Es probable que los estudiantes establezcan correctamente el significado y el
valor
de
verdad
de
conjunciones
y
disyunciones,
pero
al
desarrollar
demostraciones en geometría euclídea tienen serias dificultades con el manejo
del condicional (o implicación). Este error surge cuando se afirma el consecuente
de un teorema para obtener como conclusión el antecedente, o considera que al
negar el antecedente del teorema se puede concluir la negación del consecuente.
Por ejemplo, ante las afirmaciones “Si el polígono es un rectángulo, entonces es
un cuadrilátero. El polígono no es un rectángulo” es posible que se concluya que
el polígono no es un cuadrilátero. Pero, si el polígono no es un rectángulo, puede
ser cualquier otro tipo de cuadrilátero como un rombo, romboide o un trapecio, o
no ser cuadrilátero. Un ejemplo concreto de este tipo de dificultad se puede
observar en el cuadro No. 7.
AFIRMACIONES
1) L es una recta y P es un punto
RAZONES
hipótesis
hipótesis
2) L ⊉ P ≡ P ⊄ L
3) Q ∧ R son dos puntos ∈ L
4) Q, R ∧ P son tres puntos no colineales
5) P, Q y R están exactamente en un plano
Postulado de la recta
Afirmaciones 2, 3
Postulado: Tres puntos cualesquiera
están al menos en un plano, y tres
puntos cualesquiera no alineados están
exactamente en un plano, y afirmación
53
4
Postulado: Si dos puntos de una recta
están en un plano, entonces la recta
está en el mismo plano, y afirmación
5
6) L ∧ P están exactamente en el mismo
plano
7) Luego: Dada una recta y un punto fuera de ella,
hay exactamente un plano que contiene a ambos.
Cuadro No.7
La justificación correcta para la afirmación dada por los estudiantes en el paso 3
es la segunda parte del Postulado de la regla (Anexo A2.) El citado postulado
tiene como hipótesis la existencia de la recta, lo cual está dado, y como
consecuencia, al establecer la correspondencia con el conjunto de los números
reales, se deduce la existencia de infinitos puntos en ella. Pero, al citar como
justificación al Postulado de la recta, se evidencia que falta compresión y buen
manejo de la implicación lógica. Pues, una de dos o los estudiantes están usando
el recíproco del Postulado de la recta sin darse cuenta (Anexo A2.), o creen que
el Postulado es una equivalencia.
b. Comprensión de la validez del método de prueba indirecta y del respectivo
procedimiento.
Algunas demostraciones en geometría euclídea resultan más manejables si se
utiliza el método de demostración por contradicción, pero para algunos estudiantes
es difícil comprender por qué es necesaria la introducción de premisas auxiliares
que lleguen a contradecir la hipótesis y de qué forma la negación de la tesis
conlleva a la confirmación de ésta cuando surge una contradicción.
54
A manera de ejemplo, analicemos la demostración que hicieron Zamir y su equipo,
para resolver la siguiente situación: “Si dos rectas diferentes se intersecan, su
intersección contiene un punto solamente”.
1
2
3
AFIRMACIÓN
L y M son dos rectas diferentes
L ∩ M= { P }
L ∩ M= {Q }
4
PЄLyQЄL
5
PЄMyQЄM
6
7
L = M (La recta L es la misma recta M)
Pero la afirmación anterior contradice la
proposición uno, entonces, se ratifica que si dos
rectas diferentes se intersecan su intersección
contiene un punto solamente.
Cuadro No. 8
RAZÓN
Dado – hipótesis
Dado; Las rectas se intersecan
Hipótesis auxiliar [Tácitamente niega
la tesis]
Definición de intersección; afirmación
2 y 3.
Definición de intersección; afirmación
2y3
Postulado de la recta, de 4 y 5
Se presenta el ejemplo anterior por dos razones: La primera, porque Zamir y su
equipo fueron los únicos que utilizaron este modelo de demostración, y la
segunda, por la dificultad que tuvo el resto de estudiantes de la clase para
comprender la demostración desarrollada.
55
3. Relacionados con prerrequisitos de aritmética de los reales, álgebra o
teoría de conjuntos.
a. Conocimiento conceptual y procedimental de las propiedades de los números
reales.
Para hacer demostraciones en geometría euclidiana, las propiedades de los
números reales son importantes cuando se manejan premisas que involucran
medidas de segmentos o ángulos. Éstas se pueden convertir en un factor de
dificultad, porque en sus argumentos los estudiantes no tienen en cuenta que las
citadas medidas en geometría son números positivos, lo cual asegura el
cumplimiento de relaciones entre los números involucrados, que no se cumplen
necesariamente para cualquier número real. En el siguiente ejemplo, se ilustran y
explican errores asociados a esta dificultad.
Con el propósito de llegar a demostrar que el ∠ADF es congruente con el ∠BEF y
a partir de ésta demostrar la congruencia del ΔADF con el ΔBFE, Luís escribió las
premisas que se muestran en el cuadro No. 9.
56
Luís
Luís
Luís
Entonces en la afirmación catorce, igualo las medidas de los ángulos, digo: la medida
del ∠CDF menos la medida del ∠EDF es igual a la medida del ∠CEF menos la
medida del ∠DEF por igualación de las afirmaciones 10 y 13.
Quince: medida del ∠CDF es igual a la medida del ∠CEF
por la propiedad
cancelativa de los números reales, en la afirmación 14 y de la gráfica.
Dieciséis, digo también que la medida del ∠EDF es igual a la medida del ∠DEF por la
propiedad cancelativa de los números reales, en la afirmación 14. y multiplicando por
(-1) para poder cancelar y de la gráfica.
Cuadro No. 9
Para arribar con éxito a la afirmación quince transcrita en el cuadro anterior, el
estudiante debió afirmar previamente que las medidas del ∠DEF y ∠EDF son
iguales para así poder usar la propiedad cancelativa pero no lo hizo. El estudiante
toma como válida, para deducir las afirmaciones 15 y 16, la siguiente situación: si
a – b =c – d, entonces a = c y b = d. Es decir, él consideró que al tener una
igualdad entre dos diferencias, podía aplicar la propiedad cancelativa a los
sustraendos para obtener la igualdad entre los minuendos.
b. Conocimiento conceptual y procedimental de la igualdad como relación de
equivalencia y de la desigualdad como relación de orden.
En relación con este aspecto problémico, en ocasiones el estudiante logra aplicar,
por ejemplo, el Postulado de adición de ángulos o el del suplemento, para hacer
57
dos o más afirmaciones relacionadas con medidas, pero se le dificulta reconocer
que, con base en dichas premisas, puede aplicar la propiedad transitiva de la
igualdad para deducir correctamente la igualdad entre medidas y por ende la
congruencia de algunas figuras geométricas. Por ejemplo, la afirmación 14 que
Luís establece en el cuadro 9, se obtiene por el uso de la propiedad transitiva de la
igualdad pero la justificación que el provee es “por igualación de las afirmaciones
10 y 13”.
c. Comprensión del principio de sustitución.
Teniendo la igualdad o equivalencia entre medidas de partes de figuras
geométricas, en ciertos procesos de demostración, se hace necesario reemplazar
(sustituir) esas cantidades en otras ecuaciones para continuar con el proceso
hasta completar la demostración. Por ejemplo, a partir de las afirmaciones m∠A =
m∠B y m∠A > m∠C, un estudiante deduce, usando la propiedad transitiva que
m∠B > m∠C, no reconociendo que se trata de una sustitución.
d. Conocimiento conceptual y procedimental de las operaciones entre conjuntos.
Esta dificultad tiene que ver con comprender la relación de pertenencia y de
inclusión, cuándo es una o la otra relación, y entender que al ser diferente de
vacío un conjunto sólo se puede asegurar que hay por lo menos un elemento en
58
él. La unión y la intersección son las dos operaciones de conjuntos de uso más
frecuente en geometría euclídea. Los estudiantes no presentaron esta dificultad al
realizar sus demostraciones.
e. Manejo de la sintaxis de la teoría de conjuntos en la formulación de enunciados
para hacerlos operativos.
Para el estudiante, es factor de dificultad la correcta escritura de las relaciones de
pertenencia y de contenencia entre elementos y conjuntos de puntos y viceversa;
esta dificultad tiene que ver con la traducción al lenguaje de la teoría de conjuntos
expresiones que establecen estas relaciones entre conjuntos de puntos. Por
ejemplo, la expresión de la definición del interior de un ángulo como intersección
de dos conjuntos.
Esta situación se ejemplifica en el análisis hecho a las
producciones escritas de los estudiantes, en el cuadro No. 7. ”.
el uso de la notación L ⊉
El error está en
P ≡ P ⊄ L, pues los símbolos ⊉ y ⊄ se usan para
denotar la relación entre dos conjuntos no entre un elemento y un conjunto. La
formulación correcta del hecho expresado en lenguaje natural, es P ∉ L, (el
elemento (punto) P no pertenece al conjunto (recta) L).
59
4. Relacionados con la comprensión y el manejo del enunciado de un
teorema
a. Establecimiento de las condiciones válidas en el enunciado, incluso las tácitas.
El enunciado de una situación problémica o de un teorema suele contener
implícitamente información que debe ser explicitada por los estudiantes, pues
son propiedades que obligan al cumplimiento de la tesis.
El no
reconocimiento de tal información puede ocasionar bloqueos en el proceso de
demostración.
Un ejemplo de esta dificultad se evidencia en el siguiente
protocolo en donde Tomás está intentando demostrar que cuando los ángulos
opuestos de un cuadrilátero son congruentes entonces el cuadrilátero es un
paralelogramo.
Tomás
P
Pedro
P
Walter
[Dibujando un romboide, comúnmente llamado paralelogramo.] Bueno, nosotros
empezamos a sacar primero las hipótesis. Como es un cuadrilátero, el segmento
AB y CD, lo mismo que BC y AD son los lados opuestos en el cuadrilátero. Como
base, entonces, yo digo por hipótesis. ¿Si, o qué? Ya. La segunda. Digo que el
segmento AB…
[Repite la premisa que escribió Tomás, varios estudiantes desean intervenir.] Pero
es que no hemos dicho que esa construcción es un cuadrilátero.
Ahí podemos decir que el ángulo CA [profesor le interrumpe]
Primero digamos que tenemos un cuadrilátero; primero, que ABCD es un
cuadrilátero.
No me parece que eso sea lo que tenemos que demostrar. . . . Por lo que [Se
60
P
Tomás
P
Tomás
refiere a lo que Tomás escribió en la parte superior del tablero: tenemos que
demostrar que el ángulo ABC es congruente con el ángulo ADC y el ángulo BAD
es congruente con el ángulo BCD]
Ordenemos, Tomás. Empecemos diciendo que esa figura es un cuadrilátero.
Entonces borramos ésta [se refiere a la premisa que había escrito]. Sea A, B, C, D
un cuadrilátero.
Pero ¿cómo será? ¿Así se representa y simboliza un cuadrilátero?
Sea A, B, C, D un cuadrilátero.
Cuadro No. 10
En el cuadro anterior se muestra que al iniciar el proceso de demostración, Tomás
tiene dificultad expresada en este numeral pues no identifica correctamente la
hipótesis ya que no incluye como datos dados que la figura es un cuadrilátero y
que se tiene la congruencia de ambos pares de ángulos opuestos.
b. Establecimiento del hecho que se debe demostrar.
Este tipo de dificultad se ocasiona porque el enunciado de una situación
problémica o teorema no está enunciado como una implicación, y los estudiantes
no logran diferenciar entre la hipótesis (hechos y situaciones geométricas dadas
en el enunciado) y la tesis o conclusión a que deben llegar después de desarrollar
la demostración. La ejemplificación de esta dificultad se explica concretamente en
la continuación de la demostración anterior. (Véanse los cuadros No. 10 y 11).
P
Tomás
P
Luís
Tomás
Como ese, el cuadrilátero, puede ser cualquiera, ¡no? ¿Qué es lo que va a
demostrar Tomás?
Que los ángulos opuestos son congruentes.
Luís, ¿eso es lo que nos corresponde demostrar?
Pues, primero: que es un paralelogramo y luego que los ángulos opuestos . . .
Ya la cogí: Que si los ángulos opuestos son congruentes, entonces el cuadrilátero
es un paralelogramo.
Cuadro No. 11
61
c. Formulación en formato lógico del hecho expresado en lenguaje natural.
Para el estudiante puede ser factor de dificultad pasar sus observaciones del
lenguaje natural (cotidiano) al lenguaje lógico – formal de la geometría. Este error
se refiere a reconocer sí el enunciado es una implicación, sí hay partes de ésta
que son conjunciones o disyunciones. Por ejemplo, los estudiantes no reconocen
en la formulación del teorema “Si una recta interseca a un plano que no la
contiene entonces la intersección contiene un solo punto.” que la hipótesis es una
conjunción. Las dos condiciones exigidas son: la recta interseca el plano y la recta
no está contenida en el plano.
d. Particularización
de
un
enunciado
expresado
en
forma
general
y
descontextualización de un enunciado particular para formularlo de manera
general.
Esto se refiere a ponerle nombres a las partes de una figura geométrica para
poder hacer referencia a ellos al escribir la demostración y a poder pasar de lo
particular a lo general para escribir un teorema o hacer el proceso contrario. Por
ejemplo, las diagonales de un paralelogramo se bisecan se convertiría en: si
ABCD es paralelogramo, entonces AC y BD se bisecan.
Un ejemplo se encuentra en la solución que dieron Lucía y su equipo al problema
que se describe e ilustra a continuación. Ellos construyeron el triángulo ABC y
62
ocultaron el lado AC (segmento AC ) para responder a las preguntas: 1) ¿Qué
sucede con la medida del ∠ABC al desplazar el punto C en la misma dirección
(horizontal)? 2) ¿Qué sucede con la amplitud del ∠ABC al desplazar el punto A
en la misma dirección (de la recta AB )? 3) Generalice sus observaciones. Las
respuestas de los estudiantes se registraron en el Cuadro 12.
Pregunta
1
Estudiante
Lucía
Respuesta – Conclusión
Al desplazar el punto C en la dirección horizontal, la medida del
segmento BC se puede hacer menor o mayor dependiendo del
sentido en que desplacemos a C, La medida del ∠ABC no varía.
2
Luís
Al desplazar el punto A en la dirección de la recta AB , la medida del
3
Rosa
∠ABC tampoco varía, así la medida del AB se haga mayor o menor.
[Conclusión:] Al alargar o acortar la medida de los segmentos que
hacen parte de los lados de cualquier ángulo, no se altera la medida
de éste.
Cuadro No.12
En la situación planteada, los estudiantes reconocen la invarianza de la medida
del ángulo, pero se les dificultó expresar la generalidad de lo que encontraron por
dos razones: uno, no caen en cuenta que no se puede hablar de la longitud de los
lados de un ángulo pues son rayos, y dos, porque no pudieron abstraer lo que
descubrieron. El hecho se puede expresar así: “En un triángulo, la medida del
ángulo no depende de la longitud de los lados del triángulo que lo determinan.”
63
5. Relacionadas con el manejo de la sintaxis y/o lenguaje icónico propio de
la geometría.
Una dificultad que se evidencia con mucha frecuencia pero que no afecta el
proceso que sigue un estudiante para construir una demostración es el uso
incorrecto del lenguaje propio de la geometría. Por la razón antes expuesta, no
fue incluida como dificultad por el grupo de investigación que definió las categorías
de dificultades que en esta investigación se están usando. Como se considera que
es un asunto que deben identificar los profesores y propender por corregirlo, se
decidió incluirla como una dificultad más.
Un icono es un signo que representa una relación o nombre. El uso inapropiado
de los símbolos lleva a la comunicación defectuosa de ideas, aspecto importante
en la demostración;
por ejemplo, segmento AB
se representa por AB . La
distancia desde el punto C hasta el punto D tiene por signo CD.
Aunque la comparación parezca un exabrupto, el uso inadecuado del lenguaje
icónico de la geometría, se puede asemejar con un error de ortografía. Ejemplo
de esta dificultad se puede observar en el cuadro No.13.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
AFIRMACIÓN
AE y DF se bisecan en P
AP = EP
DP = FP
∠EPF es opuesto al ∠DPA
m∠EPF = m ∠DPA
∆PDA = ∆PFE
Por lo tanto: ∆PDA ≅ ∆PFE
RAZON
Hipótesis
Definición de bisecar
Definición de bisecar
Definición de ángulos opuestos por el vértice
Teorema de los ángulos opuestos por el vértice
Definición de congruencia.
Cuadro No.13
64
En las afirmaciones 2, 3
y 6 , se encontró la dificultad correspondiente a la
categoría 5, pues la igualdad es una relación entre los números reales, que
corresponde a la distancia o a la medida angular, entre otros, y la congruencia una
relación
entre figuras geométricas, como lo debieron escribir en la sexta
proposición.
65
5. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
A continuación, se analizan las dificultades que presentaron los estudiantes en las
demostraciones que construían, teniendo en cuenta las categorías de análisis
expuestas en el capítulo tres.
Para cada evento, se analizará en extenso la
propuesta del grupo que expuso ante toda la clase y se reportarán las dificultades
que tuvieron los demás grupos, en el mismo problema, en forma reducida. En la
tercera columna de cada cuadro, se coloca el código de la dificultad identificada.
5.1
CLASE DEL 27 DE MARZO DEL 2006
La actividad propuesta para esta clase consistió en realizar la demostración del
teorema “Dada una recta y un punto fuera de ella, hay exactamente un plano que
los contiene.” Los estudiantes trabajaron con su equipo, durante 45 minutos.
Después de recogidas las propuestas escritas, se escogió al Equipo A para que
pasara a exponer su solución.
Equipo A: Walter, David y Mery
La demostración presentada por el grupo se transcribe a continuación.
66
AFIRMACIONES
1) L es una recta y P es un punto
RAZONES
Hipótesis
Hipótesis
3e
2) L ⊉ P ≡ P ⊄ L
3) Q ∧ R son dos puntos ∈ L
Postulado de la recta
2a
4) Q, R ∧ P son tres puntos no colineales Afirmaciones 2, 3
5) P, Q y R están exactamente en un plano Postulado:
Tres puntos cualesquiera
están al menos en un plano, y tres puntos
cualesquiera
no
alineados
están
exactamente en un plano., y afirmación 4
6) L ∧ P están exactamente en el mismo
Postulado: Si dos puntos de una recta
plano
están en un plano, entonces la recta está
en el mismo plano, y afirmación 5
7) Luego: Dada una recta y un punto fuera
de ella, hay exactamente un plano que
contiene a ambos.
Cuadro No.14
Aunque el equipo de Walter, en el paso 2 de la demostración, está refiriéndose a
parte de la hipótesis del teorema a demostrar, la forma como fue escrita muestra
que hay dos tipos de dificultades. La primera tiene que ver con el uso incorrecto
del lenguaje de la teoría de conjuntos para traducir la frase “un punto fuera de la
recta” (3e). Específicamente, la dificultad está en el uso de la notación L ⊉ p ≡ p
⊄ L, pues los símbolos no son los correctos.
La justificación correcta para la afirmación dada por los estudiantes en el paso 3
es la segunda parte del Postulado de la regla (Ver Anexo A2). Esta parte del
Postulado tiene como hipótesis la existencia de la recta, lo cual está dada, y como
tesis la existencia de la correspondencia entre el conjunto de los números reales y
los puntos de la recta, lo cual permite deducir la existencia de infinitos puntos en
ella. Específicamente, esto permite asegurar que hay dos puntos en la recta. Pero,
67
al citar como justificación al Postulado de la recta, se evidencia que falta
compresión y buen manejo de la implicación lógica (2a).
En las demostraciones que presentaron los cinco grupos restantes, se observa
que todos tienen las mismas dificultades identificadas en las afirmaciones 2 y 3,
de la demostración del Equipo A y descritas anteriormente en el análisis. En la
afirmación tres de la demostración de los grupos B y D, les faltó precisar que los
puntos pertenecen o están sobre la recta L, hecho importante para poder deducir
que estos puntos y el punto P no son colineales. Esta dificultad corresponde a 1 a.
En la afirmación 3 de la demostración del Equipo E, los estudiantes contradicen
lo establecido en la afirmación dos pues escogen dos puntos de la recta, de los
cuales uno es P. Al parecer se trata de un error de escritura porque en la
afirmación 4, expresan “Q, R y P son tres puntos no colineales”, lo cual lleva a
suponer que los puntos en cuestión son Q y R, no P y Q. Esto no se considera
como dificultad.
El grupo D, además de presentar las dificultades (3e y 2a) citadas anteriormente
no logró encadenar lógicamente las proposiciones para culminar con éxito la
demostración.
68
5.2 CLASE DEL 17 DE ABRIL DEL 2006
A continuación se hace el análisis de las dificultades que presentaron Luís y
Pablo, durante la socialización que presenta ante la clase Luís, miembro del
Equipo D, de la demostración que construyeron para la siguiente afirmación: “Los
ángulos opuestos por el vértice son congruentes”. Se transcriben fragmentos del
protocolo de clase en los cuales se han reconocido las dificultades, junto con la
clasificación de éstas y la explicación correspondiente.
1
2
Luís
P
Listo, ya.
Ahora, ya tenemos la construcción. Vamos a empezar, a escribir las
hipótesis y las premisas que nos van a permitir construir la
demostración
La figura construida por el estudiante fue la siguiente.
3
Luís
1d
4a
4
P
5
Juan
6
P
→
Bueno, entonces como primera afirmación, yo digo que el rayo PA es
→
→
opuesto al rayo PB y también el rayo PC es opuesto al rayo PD .
Esto sería por hipótesis.
En ninguna parte del enunciado del teorema dice que esos 4 sean dos
pares de rayos opuestos. Veamos la construcción. A ver, Juan
¿cómo es?
Debe colocar que un ángulo es opuesto al otro. Se puede decir que el
ángulo 1 es opuesto al ángulo 2.
Según lo que dice Juan es que, el ángulo 1 es opuesto por el vértice
con el ángulo 2. Entonces, cambiemos ahí en su primera afirmación,
Luís.
7
Pablo
5
8
P
El rayo AB y el rayo CD se intersecan en [señala la proyección que
está en el tablero].
En el enunciado del teorema no nos habla nada de los rayos. Las
condiciones para los rayos las tenemos que deducir de la definición
69
9
Luís
de ángulos opuestos por el vértice. El ángulo 1 es opuesto por el
vértice con el ángulo 2. Esa si es la hipótesis. Ahora si, una
afirmación que podemos deducir de la primera hipótesis es lo que
había escrito Luís antes. Escribamos la simbología.
[Escribe lo que va diciendo el profesor]. 1) Ángulo 1 es opuesto por el
vértice con el ángulo 2, por hipótesis. [Luego, escribe afirmación 2].
2) El rayo PA es opuesto al rayo PB , y el rayo
10
11
12
13
14
15
16
17
18
P
Tito
Luís
P
Luís
P
Murmullo
P
Luís
19
P
20
21
22
Alba
P
Juán
23
24
25
P
Estudiante
P
26
27
Estudiante
P
28
29
Luís
P
30
31
Luís
P
32
33
34
35
36
37
38
Luís
P
Luís
P
Luís
P
Luís
39
40
Estudiante
P
41
Luís
PC
es opuesto al
rayo PD .
¿Y la razón?
Por definición de ángulos opuesto por el vértice.
[Escribe].
¿Que podemos decir del ángulo 1 y del ángulo 3, Luís?
Son suplementarios.
Pero antes de decir que son suplementarios, falta decir algo.
[Varios estudiantes afirman] Forman un par lineal.
Ahí entonces, escribamos esa razón.
[Escribe la afirmación 3]. El ángulo 3 y el ángulo 1 forman un par
lineal. La razón seria: por definición de par lineal.
No. En el enunciado del teorema, no dice que esos 2 ángulos formen
un par lineal. Alba, ¿cuál puede ser la razón ahí?
[Afirma algo, no se le entiende].
No, porque es que el ángulo 1 y el ángulo 3…Juan [lo señala].
El rayo PC , el rayo PD son rayos opuestos.
Y además…
[Varios opinan, no se les entiende].
Ah bueno, entonces ¿cuál es la razón? Ya la tenemos escrita, por ahí
en alguna parte.
Por la afirmación 2.
Muy bien. Ellos forman un par lineal, pero la razón no es por
definición, de par lineal, la razón es porque los ángulos tienen un lado
común y los otros 2 son un par de rayos opuestos, y ya hablamos de
rayos opuestos en la afirmación 2. La afirmación 4…
Sería, el ángulo 2 y el ángulo 3 forman un par lineal.
Y la razón, es la afirmación 2, que nos sustenta la definición de par
lineal. La afirmación 2 y la definición de par lineal…
[Escribe].
Entonces, para nosotros decir que, forman un par lineal es por que
estamos mostrando en la afirmación 2 que hay pares de rayos
opuesto. Entonces, complementemos ahí.
[Escribe, en la razón]. Afirmación 2 y definición de par lineal.
Como el ángulo 3 y el ángulo 1 forman un par lineal. . .
Entonces, son suplementarios.
Ah, bueno, escribamos también esa afirmación.
[Escribe]. Ángulo 3…
Escribamos la medida.
[Escribe la quinta premisa]
quinta: m ∠ 3 + m ∠ 1 = 180. Por
definición de ángulos suplementarios
[Varios afirman opinan].
No. Por el postulado del suplemento. ¿Qué dice el postulado del
suplemento?, Luís.
Dice que: Si 2 ángulos forman un par lineal, entonces son
70
1d
1d
42
P
43
Luís
44
45
46
P
Murmullo
P
47
Luís
suplementarios.
Vuelvo y repito, mire, ahí [en la razón] escribimos por el postulado del
suplemento, pero dejamos constancia de que sí sabe que dice el
enunciado del postulado del suplemento.
La sexta dice lo mismo, pero cambiando el ∠ 1 por el ∠ 2. Sexta: m
∠ 3 + m ∠ 2 = 180.
Por el postulado del suplemento. La siete
sería… [Piensa y mira fotocopias].
¿Qué podemos escribir como afirmación 7?
[Varios opinan].
Walter dice, que el ángulo 3 es congruente con el ángulo 3. ¿Y la
razón?
Por el teorema 4.2., que dice: todo ángulo es congruente consigo
1b
mismo. La séptima: el ∠ 3 ≅ ∠ 3.
Cuadro No. 15
La justificación que da Luís para la afirmación 3 de la demostración (fila 18) no es
correcta. Aquí se reconocen dos problemas. La existencia de rayos opuestos se
debe a la definición de ángulos opuestos por el vértice y no a la hipótesis (1 d).
Además, Luís no ha reconocido que la hipótesis consiste en que los ángulos son
opuestos por el vértice (4 a). En la intervención 7, Pablo tuvo dificultad (5) al
referirse a rayos y no a rectas.
En la razón de la afirmación 3, fila 18 del cuadro No. 15, a Luís le faltó completar
la justificación con la afirmación dos, situación que corrigió en la afirmación 4, fila
28, dificultad 1 d, porque los compañeros se lo dijeron.
También se hace
evidente la dificultad (1 b), es decir aduce una justificación sin tener en cuenta el
hecho geométrico dado en una afirmación previa. En las intervenciones 14 y 28
se evidencia la dificultad que tiene Luis para dar respaldo teórico explícito y
apropiado a las proposiciones que conforman la justificación. En la afirmación 14,
los ángulos forman par lineal y,
como consecuencia del
71
Postulado del
suplemento, son suplementarios.
La justificación dada a la afirmación 28 es
incompleta. Le falta lo expresado por el profesor en la fila 27 o en la 29.
En las demostraciones que construyeron los Equipos E y G (Se ilustran en los
Cuadros 4 – D y 4 – E, Anexo A4), es innecesario escribir la unidad de medida
angular, puesto que en la expresión m ∠1 + m∠3 = 180, la letra eme (m) se
encarga de ello (Moise & Downs: 1986, 81). Por lo demás, se puede afirmar que
las demostraciones hechas por los equipos: A, B, C, E y el G, son correctas y que
una razón probable es el haber proporcionado el dibujo que ilustra el enunciado
del teorema. (Obsérvense los cuadros 4 – A a 4 – E y el G, Anexo A4).
El equipo F tuvo dificultad (4 a) pues como primera afirmación debieron escribir
que ∠1 y el ∠2 son opuestos por el vértice, no identificaron como hipótesis algo
que no está en el enunciado, ya que el dibujo fue suministrado por el profesor en
la guía de trabajo, al escribir la citada premisa, podían justificarla con “hipótesis
gráfica”. (Cuadro 4 – F Anexo A4).
A partir de la primera afirmación escrita por ese equipo se puede inferir que ellos
tienen la dificultad (1 b), ya que las citadas parejas de rayos no corresponden a
rayos opuestos, (Obsérvese el dibujo del cuadro No.15).
72
5.3
CLASE DEL 24 DE ABRIL DEL 2006
Esta actividad se programó para ser resuelta por tres de los equipos de trabajo; a
los restantes se les asignó la demostración de otros teoremas sobre el mismo
tema: congruencia de ángulos.
A continuación se presenta el análisis de las dificultades registradas en la
producción escrita por Luz, del equipo B, al desarrollar la demostración de la
siguiente situación:
Datos: En la figura, m ∠ CAB = m ∠ CBA y
m ∠ DAB = m ∠ DBA. Demostrar que
m ∠ CAD = m ∠ CBD
El proceso que siguió luz para construir una demostración basada en la
desarrollada originalmente por su equipo, y que se modificó debido a la
colaboración y las correcciones realizadas por sus compañeros y a las
orientaciones del profesor, se ilustra en el cuadro No.16.
Luz presenta inicialmente la dificultad relacionada con la comprensión y el manejo
del enunciado de la situación problémica a resolver; tal dificultad es (4 b).
73
1
P
2
3
4
Luz
P
Luz
5
6
P
Luz
7
8
9
10
11
12
13
14
P
Luz
P
Luz
P
Luz
P
Luz
15
P
16
Luz
17
P
18
19
20
Tito
P
Tito
21
22
23
24
25
26
P
Luz
P
Luz
Luz
P
27
28
29
30
Walter
P
Luz
P
31
32
33
34
35
Luz
P
Luz
P
Mary
Luz, ya conocemos el proceso que usted desarrolló para la
construcción de la figura que nos ilustra el ejercicio que va a
demostrar. ¿Entonces que le pedimos que demuestre?
Que... el ángulo BAD es igual al ángulo CBA [seria: ángulo DBA].
Luz hay un error
Que la medida del ángulo CAB es igual a la medida del ángulo CBA
y la...
Ese es un dato, ¿no?
Sí. Y la medida del ángulo DAB, es igual a la medida del ángulo
DBA. [Es otro dato o hipótesis].
¿Y qué es lo que nos corresponde demostrar?
Que son...
Que la medida del ángulo CAD
CAD
Que la medida del ángulo CAD es igual...
A la medida del ángulo CBD
Entonces empecemos a hacer la demostración, Luz.
A bueno, entonces la primera afirmación es que, la medida del
ángulo CAB es igual a la medida del ángulo CBA, esa sería por
hipótesis. La segunda...
Luz, ¿me permite un segundo? Aquí está el enunciado del ejercicio
[No se entiende]...
Que el ángulo D, que la medida del ángulo DAB es igual a la medida
del ángulo DBA. También por hipótesis. La tercera, que D está en el
interior del ángulo CAB y CBA, ese es por el postulado de adición.
Le pregunto a los compañeros de Luz y a todos ustedes, ¿la razón
que nos da Luz con respecto a la ubicación del punto D, será
correcta?
No profesor
Tito, ¿por qué no?
Los datos que usted nos da [No se entiende] nos da la figura, cierto.
En la figura podemos observar de que D está en el interior del ángulo
CAB. Esto lo podemos tomar como una hipótesis de la figura
¿Qué clase de hipótesis?
Gráfica, de la gráfica.
Una hipótesis gráfica, una hipótesis de la figura, ¿cierto?
Sí.
Cuarta. La medida del ángulo CAD más la medida del ángulo...
Analicen la pregunta que yo les estaba haciendo. Por favor préstenle
atención. ¿Qué podemos hacer con la cuarta y la quinta premisa?
Igualarlas.
Igualarlas. Entonces igualémosla.
Que la medida del ángulo CAD más la medida del ángulo D...
Mire la cuarta, escriba la cuarta tal cual como la tiene allá. Mire la
quinta, la suma que tiene si es de la quinta.
O sea esa y esta [muestra las dos afirmaciones: 4 y 5].
Sí. ¿Por qué razón las igualamos?
Por... [no responde]
¿Por qué razón podemos igualar la 4 y la 5, Mary?
Por la... [no responde]
74
4b
1d
36
P
37
38
Luz
P
39
40
Luz
P
41
42
43
44
Luz
P
Luz
P
[Se escucha un murmullo, pero no se entiende]. Escuchemos a Luz.
¿Qué nos dice? La pregunta es, ¿por qué podemos igualar la cuarta
con la quinta?
Por... la afirmación 1
Igualamos la cuarta con la quinta, porque en la afirmación 1, ¿qué
estamos diciendo en la afirmación 1?
m∠CAB es igual a la m∠CBA.
¿Y dónde tenemos escrita, medida del ángulo CAB? ¿En cuál de las
premisas?
En la cuarta y también la 5.
Por la afirmación 1 puedo igualar...
La 4 y la 5.
La cuarta con la quinta. Igualación de la cuarta con la quinta, pero
justificada en la afirmación 1, sí.
Cuadro No. 16
3b
En la fila 16 del cuadro No. 16, se muestra que la estudiante tiene dificultad 1 d
para justificar apropiadamente la afirmación 3. Una adecuada justificación para la
citada afirmación es “hipótesis gráfica”, ya que, como parte del enunciado se les
dio la figura, la cual provee información acerca de la situación problémica. En su
intervención, Tito (fila 20) indica cómo corregir el problema: “En la figura podemos
observar que D está en el interior del ∠CAB; esto se puede tomar como una
hipótesis de la figura”.
Luz tiene dificultad para la construcción y justificación de la sexta proposición.
Para ello el profesor tuvo que motivar la participación de los estudiantes (Mary, del
mismo equipo de Luz y de Juan, del equipo G) quienes también, mostraron
dificultad con el manejo aritmético de la situación, (3 b),
Prácticamente, el
profesor indujo (¿qué podemos hacer con la cuarta y la quinta premisa?), la
respuesta de Walter “Igualarlas”. Luz igualó los resultados de las dos ecuaciones,
pero no estableció qué premisas le permitían justificar lo afirmado.
75
Los estudiantes del equipo F introducen
premisas innecesarias, en las
afirmaciones cuatro y nueve (Cuadro 7 – A, Anexo A4),
También se puede
observar que en las proposiciones ocho y diez, del mencionado cuadro se
identifica dificultad en el nombre de las figuras geométricas. Debieron escribir
m∠CBD = m∠CBA - m∠DBA, como la razón dada es correcta, no se puede inferir
que sustituyeron la afirmación uno en la siete.
Los estudiantes de este equipo debieron aplicar (en la afirmación diez del cuadro
No. 7 – A) la propiedad transitiva de la igualdad, usando las proposiciones seis y
ocho así a partir de ello podrían aplicar la propiedad cancelativa de la igualdad con
respecto a la suma o diferencia de números reales y eliminar m∠CAB con la
m∠CBA para obtener la conclusión que escribieron en la afirmación once. Es
decir: tuvieron la misma dificultad, 3 b, que los equipos de luz y Alex.
Alex y su equipo también tuvieron la dificultad (1 d), en las afirmaciones tres y
seis (Cuadro No. 7 – B Anexo A4) pues la afirmación se justifica por la hipótesis
gráfica.
Si querían dar una justificación más teórica podían complementarla
aplicando la definición de punto en el interior de un ángulo (Anexo A2). En la
proposición nueve, ellos dieron como razón la sustitución de las afirmaciones 4 y
7 en la ecuación de la afirmación 1. En realidad lo que aplicaron fue la propiedad
transitiva de la igualdad como relación de equivalencia: Es decir, también tuvieron
la misma dificultad 3 d.
76
Vale la pena hacer notar que en las demostraciones construidas por los equipos F
y G (En los cuadros No. 7 – A y 7 – B, Anexos A4), se registraron menos
dificultades
que las que se identificaron en el proceso de socialización
desarrollados por Luz.
5.4 CLASE DEL 08 DE MAYO DEL 2006
En esta oportunidad, cada equipo de estudiantes debía construir, durante el
desarrollo de la clase, dos demostraciones. A continuación, se presentan las
transcripciones y análisis de la producción escrita de los estudiantes del equipo C
correspondiente a la primera actividad propuesta.
La demostración que finalmente construyó Tomás, con base en la desarrollada
originalmente por su equipo, y que se modificó debido a la colaboración y las
correcciones realizadas por sus compañeros y a las orientaciones del profesor, se
transcribe en el cuadro No. 17. Ésta corresponde a la situación que se plantea a
__
__
continuación: “Demuestre que si los AE y DF se bisecan en P, entonces el ∆PDA
≅ ∆PFE (Construya la figura)”.
77
Equipo C: Tomás, Arbey y Pablo.
Construcción hecha por Tomás en
la CGA
AFIRMACIONES
__
RAZONES
Hipótesis
__
1. AE y DF se bisecan en P
__
Afirmación 1
__
2. P es el punto medio de AE y DF
__
3. AP ≅
__
4. DP ≅
__
PE
__
PF
5. PF Λ PD Definen dos pares
PE Λ PA de rayos opuestos
6. ∠ DPA Λ ∠ FPE son opuestos por el
vértice
7. ∠ DPA ≅ ∠ FPE
8. ∆PDA ≅ ∆PFE
1
Tomás
2
3
4
5
Pedro
Tomás
P
Tomás
6
P
7
8
Tomás
P
Definición de punto medio y definición
congruencia de segmentos
Definición
de
bisecar
y
definición
congruencia de segmentos
Dos puntos cualesquiera definen 6 figuras
geométricas y un número
De la 5 y definición de ángulos opuestos por
el vértice
Los ángulos opuestos por el vértice son
congruentes.
Postulado L – A – L , 3, 7, 4
Cuadro No.17
En el trabajo de hoy, debemos demostrar este ejercicio. Entonces ya
tenemos la construcción aquí en pantalla. Voy a demostrar que el
triángulo PEF, es congruente con el triángulo PDA. [Escribe en el
tablero] Afirmación y Razón. Entonces, la primera hipótesis es que
el segmento AE y el segmento DF se bisecan en P, según la
gráfica. Entonces [va escribiendo y verbalizando]
Profe, ahí se equivocó en los triángulos. No es DPE, sino DPA
Listo, ahorita sí, ¿cierto?
Remarque la A y también la D.
Ésta fue la primera afirmación que yo hice, entonces, es por
hipótesis. Bueno, entonces dos. Yo digo que AP es igual a PE.
Esto lo digo por la definición de bisecar. ¿Por qué digo eso? Pues
porque P es el punto donde es bisecado el segmento EA. Entonces,
existe una misma distancia entre los dos puntos.
Mire, Tomás, y para todos los demás compañeros, esa afirmación es
correcta, ¿cierto? AP = PE, pero sería conveniente antes de esa
premisa, hablar del punto P, qué es P del segmento AE y del
segmento DF. ¿Qué es P?
El punto de intersección
El punto. . . . Por bisecar, entonces decimos que P es el punto . . .
78
9
10
11
Pedro
P
Tomás
12
13
14
P
Tomás
P
15
Tomás
16
P
17
18
Tomás
P
19
20
21
Tomás
P
Tomás
22
P
23
Tomás
24
P
medio.
Como dice Pedro, P es el punto medio.
Ah, entonces borro aquí y escribo la. . . Entonces ésta va después.
P es el punto medio de AE y de DF. Por definición de punto medio.
Entonces sigo con la tercera. Ahora sí. AP = PE.
La distancia AP es igual a la distancia PE.
Por definición de bisecar.
Tomás disculpe. Veamos, [Llama la atención al curso.] Tomás nos
dice: P es el punto medio de AE , y de DF , y nosotros sabemos
que efectivamente P, si es el punto medio de los dos segmentos.
Pero la razón que dio él, ¿si corresponde?
¿Qué dicen?. . . O ¿será por definición de bisecar? [Escribió en la
razón: de la afirmación 1]. Listo; ahora sí.
Marque ahí en el tablero; de acuerdo con la construcción que
tenemos en la calculadora, esa afirmación de que AP ... ¿Cuál es el
segmento AP?
Entonces, el otro, . . .
¿Ese segmento congruente con cuál? [El profesor le está mostrando
el segmento AP, en la proyección que está en un costado del
tablero.]
Con este. [Señala al segmento PE ]
Bueno, otra afirmación, Tomás.
Otra sería, en la misma distancia, pero ya con las otras partes. PF
con DP. DP es igual a PF. Por la misma razón.
Y definición de congruencia de segmentos. Ahí en la misma tercera
y en la cuarta.
Listo, ¿ahora si está bien? Entonces sigo con la quinta [premisa].
Entonces, como P es el punto medio, donde se bisecan los
segmentos, yo digo que el ángulo APD es congruente con el
ángulo FPD. Esto yo lo digo, por la definición de ángulos opuestos
por el vértice.
Escríbalo. ¿Nos deja ver la premisa completa? Bueno, Walter dice,
que ahí es necesario introducir una premisa anterior a esta. Que
antes de la afirmación quinta, hay que hacer otra premisa. ¿Cuál es,
Walter?
Cuadro No. 18
1d
1d
1d
1b
En las filas 11, 13 y 15 del cuadro No. 18, se señala que Tomás tuvo dificultad (1
d) al establecer la
premisa 3, ya que la justificación de esa afirmación es la
hipótesis y la definición de punto medio.
Antes de escribir la congruencia entre los ángulos en la quinta proposición (fila 23)
del cuadro No. 18, Tomás y su equipo, debieron garantizar la existencia de las
79
rectas
AE ,
DF y de los dos pares de rayos opuestos ( PA , PE y PD , PF ).
Además, debieron declarar la existencia de los ángulos opuestos por el vértice. En
este punto se pone en evidencia que el grupo de Tomás no ha verificado si tiene la
hipótesis del teorema que quiere usar (dificultad 1 b). Omitieron la verificación de
las condiciones bajo las cuales es posible establecer la congruencia de ángulos
opuestos por el vértice, dificultad que se superó por las interacciones estudiante –
profesor – estudiantes.
1
Walter
2
3
P
Walter
4
P
5
6
P
Tomás
7
P
Pero tenga en cuenta que ustedes me iban a decir que era necesario hablar
de: primero, los ángulos son opuestos por el vértice. Tomás está afirmando
que los ángulos son congruentes porque son opuestos por el vértice, pero él
no nos ha dicho, antes, que ellos son ángulos opuestos por el vértice.
¿Dónde escribió que el ángulo APD y el ángulo FPE?
8
Tomás
Ah, si, si.
Una definición dice que: si dos segmentos son bisecados, entonces, los
1c
segmentos que unen los extremos de los segmentos dados, son congruentes.
O sea que el segmento EF y el DA son congruentes.
¿Nos lo lee despacio? Que: si dos segmentos …
Si dos segmentos son bisecados, entonces, los segmentos que unen los 1 c
extremos de los segmentos dados, son congruentes.
Ah bueno, ese es un ejercicio que hay en el desarrollo del capítulo cinco. Es
un ejercicio; ese no es un teorema ni una definición. Lo podremos convertir
en teorema, en el momento que lo demostremos. Pero nosotros no lo
hemos demostrado; como no lo hemos demostrado, no lo podemos utilizar,
y la otra cosa es la siguiente. . . . [Volviendo a la construcción que está
proyectada en el tablero]. ¿Cuáles son los extremos de los segmentos que
se bisecan? ¿Quién nos los quiere nombrar?
A ver, Tomás, ¿qué escribió?
Yo escribí, que el segmento AD es congruente con el segmento FE. Yo lo 1 c
dije por hipótesis y por definición de congruencia de segmentos.
1c
Cuadro No. 19
Obsérvese el cuadro No. 19, en el cual se evidencia la dificultad 1 c. Aunque la
afirmación de Walter corresponde a un ejercicio del texto (guía), como lo ha
expresado el profesor en el diálogo (fila 4), éste aún no hacía parte del sistema
axiomático, razón por la cual no podía usarse.
80
P
Luís
P
Tomás
P
Tomás
Tito
P
Tito
P
Tomás
P
Tomás
P
Tito
P
Tomás
P
Tomás
P
Tito
P
David
P
Tomás
Tomás
Tomás
P
E
Tomás
P
Tomás
P
Tomás
P
Tomás
¿Listo? Nos hace falta escribir esa premisa. Pero anterior a esa. [La que
debe quedar en el 6º lugar.]
Que hay dos pares de rayos opuestos.
Que hay dos pares de rayos opuestos. ¿Cuáles son los pares de rayos
opuestos Tomás?
EP y AP. No, no, no,. . . Ya, PE y PA [escribe y va leyendo la afirmación]
son dos pares de rayos opuestos. Entonces ahora si, monto la que . . .
Sí, son dos pares de rayos opuestos, ¿pero por qué razón?
Ah., Por la definición de rayos opuestos.
Porque los segmentos se están bisecando, por la….., afirmación 1.
Tito dice que por la primera afirmación. Pero es que en la primera afirmación
nos habla es de segmentos que se bisecan.
Por definición de rayos opuestos.
No, porque ahí todavía no tenemos construidos los rayos.
Ya se, dos puntos cualesquiera definen seis figuras geométricas.
Bueno escriba esa.
Bueno, y un número. La siete [premisa] ve, la seis. Que yo tengo esto. . .
Bueno, como son dos pares de rayos opuestos, ¿dos pares de rayos
opuestos qué nos definen?
Dos ángulos opuestos.
Tito nos dice que: Dos pares de rayos opuestos, nos definen dos. . . ángulos
opuestos por el vértice. Entonces, ¿cuáles son los ángulos opuestos por el
vértice?
El ángulo DPA y el ángulo FPE.
Entonces, escribamos: El ángulo . . . DPA y el ángulo EPF
El ángulo DPA y el ángulo EPF son ángulos opuestos por el vértice.
¿Y la razón?. ¿Por qué sabemos, que esos son ángulos opuestos por el
vértice?
Por definición de ángulos opuestos
No, entonces, ¿si él nos hubiera dicho que son ángulos rectos, diríamos que
por definición?
De la afirmación anterior.
De la afirmación cinco y la definición de ángulos opuestos por el vértice.
[Repite]
La siete.
Ah ja! [Escribe: los ángulos DPA y EPF son congruentes] por . . . Porque los
ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
Octava: triángulo DPA congruente con el triángulo EPF.
¿La razón? ¿Qué tiene señalado en los triángulos?
[varios estudiantes a la vez] L – A – L
[asombrado dice . . . ] No, que son congruentes.
Mire su dibujo. ¿Qué postulado le aplicamos?
Ah., Lado – Angulo – Lado
Ah h , bueno: Postulado: Lado – Angulo – Lado
Postulado: Lado – Angulo – Lado.
¿Qué premisas utilizamos para montar ese postulado?
Esto, es, la . . . ya le digo. . . El ángulo es la 6, faltan los lados. La tres, y la
cuatro
Cuadro No. 20
81
1d
1d
1d
1d
1d
En el cuadro No. 20, se puede evidenciar que Tomás y Tito tienen dificultad (1 d)
para dar respaldo teórico, explicito y apropiado a las proposiciones que se
deducen en el proceso de demostración, pues los segmentos que ellos
mencionan, si determinan dos pares de rayos opuestos, porque cada par de ellos
está sobre la misma recta y tienen el extremo común (el punto P está entre A y E,
y entre D y F). Cuando el estudiante fue a justificar la séptima proposición, ratifica
tener la citada dificultad, ya que los ángulos que menciona si son opuestos por el
vértice porque, como afirmó en la premisa cinco, sus lados forman dos pares de
rayos opuestos, condición necesaria para poder hacer uso de la citada definición.
A continuación, se analizan las producciones de los demás equipos de
estudiantes.
En las afirmaciones 6 y 7 (Cuadro No. 11 – B, Anexo A4) el equipo D, muestra
tener la misma dificultad (1 d) ya que la existencia de los segmentos es una
condición necesaria, pero no suficiente para aplicar la definición de rayo. Debían
crear a AE , y DF , por aplicación del “Postulado de la recta” y, como en la
afirmación uno establecen que P es el punto medio de los correspondientes
segmentos, les hubiese resultado así la justificación adecuada.
El no haber
incluido las dos afirmaciones anteriores (existencia de las dos rectas y la
interistancia del punto P) también está relacionado con la dificultad (1 f). Situación
similar se puede observar en las afirmación 5; en la 2 y la 3, en la 5 y en la dos de
los cuadros: 11 – D, 11 – E y 11 – G, respectivamente. (Anexo A4).
82
En las afirmaciones 2, 3 y 6 del equipo B (Cuadro No. 11 – C, Anexo A4), se
encontró la dificultad correspondiente a la nueva categoría (5), pues la igualdad es
relación entre números reales, que corresponden a la distancia o a la medida
angular, entre otros, y la congruencia se da entre figuras geométricas. La misma
dificultad la tienen los estudiantes del equipo A, en las proposiciones: dos, tres y
cuatro (cuadro 11 – F, Anexo A4).
En la construcción de la demostración, en la afirmación 4 (Cuadro No. 11 – F,
Anexo A4.) Walter, del equipo A, muestra tener la misma dificultad 1 c, que tuvo
el equipo ponente.
Los estudiantes del equipo G, tienen serias dificultades al hacer la misma
demostración. (Cuadro No. 11 – E, Anexo A4). Ven al ΔAPD y al ΔPDA como
diferentes y demuestran dos veces su congruencia. No tuvieron en cuenta que a
pesar de sus dificultades y errores el proceso terminaba con su afirmación seis.
A continuación se analiza la segunda demostración que hicieron los equipos de
estudiantes durante el desarrollo de la misma jornada de clase.
La demostración que terminó escribiendo Mery, con base en la desarrollada por su
equipo, A, debido a las modificaciones que sufrió por la interacción con los
compañeros y el profesor, se ilustra en el cuadro No. 21.
situación que se plantea a continuación.
83
Corresponde a la
“En la siguiente figura si AB =CB,
∠ MAE ≅ ∠ NCD y AE = CD,
Demostrar que ∆ABE ≅ ∆CBD”
*
Moise & Downs. ( 1986: 131)
AFIRMACIONES
1. AB ≅ CB
2. ∠ MAE ≅ ∠ NCD
3. AE ≅ CD
4. ∠ MAE y ∠ BAE forman un par lineal
5.
6.
∠ MAE y ∠ BAE = 180
∠ BAE es suplemento del ∠ MAE
7.
∠ NCD y ∠ BCD forman un par lineal.
8. ∠ NCD y ∠ BCD = 180
9. ∠ BCD es suplemento del ∠ NCD
10. ∠ BAE ≅ ∠ BCD
11. ΔABE ≅ ΔCBD
Observando el cuadro No. 21,
RAZONES
Hipótesis
Hipótesis
Hipótesis
Hipótesis gráfica
Definición de ángulos suplementarios.
Postulado del suplemento, afirmación
5
Hipótesis gráfica
Def. de ángulos suplementarios
Postulado del suplemento
Teo. Los suplementos de ángulos
congruentes
son
congruentes.
Afirmaciones: 2, 6, 9.
Postulado L – A – L, 1, 10, 3.
Cuadro No. 21
5
5
1 a, d
1d
se evidencia que en las afirmaciones uno y tres,
establecidas por Mery, existe la dificultad categoría 5; ella aún no tiene claro que
la congruencia es para figuras geométricas y no entre números. En los dos casos,
si quería expresar la congruencia entre los segmentos debió escribir AB ≅ CB y
AE ≅ CD ,
pues la igualdad entre las distancias es un dato y tácitamente está
establecida la congruencia entre los segmentos. Una dificultad idéntica tuvieron
los equipos B y D (Cuadros 14 – C y 14 – D, Anexo A4).
En el cuadro anterior, la quinta proposición muestra que Mery y su equipo tuvieron
dificultad (1 d) para dar la justificación apropiada. Como ∠ MAE y ∠ BAE, forman un
84
par lineal, como consecuencia del Postulado del suplemento, son suplementarios.
Esta misma dificultad se evidenció en las demostraciones construidas por los
equipos D, E, F, G (Cuadros No. 14 – C, E, F, y G, Anexo A4) También, Mery da
indicios de una formulación imprecisa del concepto de ángulos suplementarios:
define el concepto en términos de las figuras (de los ángulos) y no de la suma de
las dos medidas, por eso hay dificultad 1 a. En la proposición seis enmiendan
parte del error pero no reenumeran ni reordenan las proposiciones; la dificultad
descrita fue repetida con las proposiciones siete, ocho y nueve.
El equipo B, en la demostración del mismo ejercicio, muestra la dificultad 4 a,
porque teniendo la igualdad entre las longitudes de los segmentos AE y CD, no
declararon su congruencia, sino su igualdad, con lo cual ratifican la existencia de
la dificultad de categoría 5, (Cuadro No. 14 – D, Anexo A4)
El equipo C, (Cuadro No. 14 – A, Anexo A4), tuvo dificultad al establecer las
afirmaciones doce y trece, al escribir ∠ABE en lugar de registrar ∠EAB, que es el
que realmente corresponde. Pero esta no se considera como dificultad ya que,
como se puede apreciar en la demostración, sabían cómo hacerla y el desacuerdo
parece ser sólo en la escritura.
También en la demostración elaborada por el equipo B, se puede establecer que
presentan la dificultad 4 b. Sus
afirmaciones son incorrectas ya que la
85
congruencia que expresan como razón no la han demostrado, es decir, han
ingresado en un círculo vicioso, que consiste en “suponer ser cierto precisamente
aquello que tratan de demostrar”, Moise & Downs (1986: 129). Realmente las
dificultades de este grupo se presentan porque ni siquiera entienden el problema.
No tienen idea alguna de cómo conectar lo dado con lo que se busca, ni qué
significa demostrar congruencia de triángulos. (Cuadro No. 14 D, Anexo A4)
La única dificultad, 1 d, que presentó el grupo F se debe a que no tienen el
conocimiento de la teoría para poder usar los diferentes elementos del sistema
axiomático y así construir la demostración. A partir de la falta de la justificación
para las proposiciones (cinco y ocho en el cuadro 14 – E, Anexo A4), se afirma
que en este caso los estudiantes no pudieron dar el respaldo teórico necesario a
la afirmación.
Al equipo G se le identifica la dificultad
1 d, pues les hizo falta incluir las
afirmaciones anteriores que les permitía deducir las que allí establecen;
particularmente les falta el respaldo, desde el sistema axiomático, para deducir las
afirmaciones de los pasos 6 y 7 del cuadro No. 14 – F, (Anexo A4).
5.5
CLASE DEL 31 DE MAYO DEL 2006
En el cuadro No. 8 - A (Anexo A4) se registra la demostración correspondiente al
teorema “Si ambos pares de ángulos opuestos de un cuadrilátero son
congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo”. La información se
86
obtiene de las grabaciones en audio y video que se realizaron en la clase. El
desarrollo de la demostración se había dejado como tarea – extraclase, individual;
en el momento de la clase el profesor verificó que sólo dos estudiantes – Tomás y
Luís – resolvieron la tarea, razón por la cual se le pidió a Tomás, que iniciara el
proceso de socialización.
Esta demostración la desarrollaron conjuntamente –
estudiantes – profesor –y es producto del análisis y discusión conjunta. El análisis
de las dificultades se hizo con base en las afirmaciones iniciales del estudiante.
1
Tomás
2
P
3
4
Pedro
P
5
Walter
6
P
7
Tomás
8
9
P
Tomás
[Dibujando un romboide, comúnmente llamado paralelogramo.] Bueno,
nosotros empezamos a sacar primero las hipótesis. Como es un
cuadrilátero, el segmento AB y CD, lo mismo que BC y AD son los lados
opuestos en el cuadrilátero. Como base, entonces, yo digo por hipótesis.
¿Si, o qué? Ya. La segunda. Digo que el segmento AB…
[Repite la premisa que escribió Tomás, varios estudiantes desean
intervenir.] Pero es que no hemos dicho que esa construcción es un
cuadrilátero.
Ahí podemos decir que el ángulo CA [profesor le interrumpe]
Primero digamos que tenemos un cuadrilátero; primero, que ABCD es un
cuadrilátero.
No me parece que eso sea lo que tenemos que demostrar. . . . Por lo que
[No continúa, porque Tomás escribió en la parte superior del tablero
tenemos que demostrar que el ángulo ABC es congruente con el ángulo
ADC y el ángulo BAD es congruente con el ángulo BCD]
Ordenemos, Tomás. Empecemos diciendo que esa figura es un
cuadrilátero.
Entonces borramos esta [se refiere a la premisa que había escrito]. Sea A,
B, C, D un cuadrilátero.
Pero ¿cómo será? ¿Así se representa y simboliza un cuadrilátero?
Sea A, B, C, D un cuadrilátero.
Cuadro No. 22
87
4a
4a
En el cuadro anterior se muestra que al iniciar el proceso de demostración, Tomás
tiene dificultad (4 a) pues no identifica correctamente la hipótesis, ya que no incluye
como datos dados que la figura es un cuadrilátero y que se tiene la congruencia de
ambos pares de ángulos opuestos. Adicionalmente, debía considerar la importancia
de establecer la existencia del cuadrilátero con base en el cual va a desarrollar el
proceso de demostración.
10
P
11
12
13
Tomás
P
Luís
14
Tomás
Como ese, el cuadrilátero, puede ser cualquiera, ¡no? ¿Qué es lo que
va a demostrar Tomás?
Que los ángulos opuestos son congruentes.
Luís, ¿eso es lo que nos corresponde demostrar?
Pues, primero: que es un paralelogramo y luego que los ángulos
opuestos . . .
Ya la cogí: Que si los ángulos opuestos son congruentes, entonces el
cuadrilátero es un paralelogramo.
Cuadro No. 23
4b
En el cuadro anterior, se puede establecer que Tomás también presenta dificultad
4 b, pues no reconoció qué era lo que tenía que demostrar.
1
P
2
3
4
Pablo
P
Juán
5
6
Tomás
P
7
8
Luís
P
9
10
11
12
Walter
Luís
Tomás
Walter
Que si ambos pares de ángulos opuestos son congruentes, entonces el
cuadrilátero es un paralelogramo. Pablo ¿cuál es la hipótesis ahí? [Quien
manifestó haber desarrollado y dejado la demostración en casa.]
¿La hipótesis Nº 2? No, no.
¿No tiene ni idea? Juán, ¿cuál será la afirmación dos?
Que el segmento AB y el segmento CD, lo mismo que el BC y el AD ,
son los lados opuestos.
Ahh, lo que yo tenía como primera premisa.
Si, pero esa todavía no. Luís, ¿cuál es la afirmación que tiene que seguir
ahí?
Que los segmentos diagonales son iguales
¿Cuáles son las que están allá arriba? [Anteriormente, Tomás ya había
escrito la congruencia entre los pares de ángulos opuestos del
cuadrilátero. ]
No, no, la que necesariamente tiene que ir ahí.
Que el ángulo A es congruente con el ángulo C.
Noooo, esa no es la que va ahí.
Que el ángulo ABC es congruente con el ángulo ADC y el ángulo BAD es
congruente con el ángulo BCD.
88
4a
4a
13
P
Walter tiene razón. El enunciado del teorema dice que: si en el
cuadrilátero ambos pares de ángulos opuestos son . . . .congruentes
Cuadro No.24
En el diálogo que se registra en el cuadro No.24, se evidencia la dificultad (4 a) de
los estudiantes: Pablo, Luís, Tomás, David y Pedro, pues no reconocieron la
hipótesis “ambos pares de ángulos opuestos del cuadrilátero son congruentes...”,
es decir, no reconocieron la importancia y validez de la citada congruencia para la
justificación de posteriores afirmaciones.
1
Tomás
2
P
3
4
5
Tomás
Arbey
P
6
7
8
9
10
11
12
13
Tomás
Luís
Alex
P
Pedro
P
Lucía
P
14
Alba
∠ A y el ∠C coma y el ∠B y el ∠D, son los pares de ángulos
opuestos. [va escribiendo y verbalizando a la vez]. Listo, otra vez, por
Hipótesis
No, esa afirmación no es por hipótesis. ¿De dónde dedujimos nosotros
que esos son los ángulos opuestos? Arbey.
Del enunciado del ejercicio.
Porque es un cuadrilátero.
No; ¿por qué podemos decir que el ∠ A y el ∠C, son ángulos
opuestos? Alex.
¿Por definición de ángulos opuestos? [debió afirmar]
Por demostración gráfica.
Por definición de ángulos opuestos. El teorema . . .
No, no es por un teorema. Pedro
¿Por definición de paralelogramo?
Pero como no estamos trabajando con un paralelogramo. A ver, Lucía.
Pues porque lo estamos viendo
Porque lo estamos viendo. Y por la convención que se tiene respecto a
la forma como se nombran los cuadriláteros, entonces no tienen un lado
en común. ¿Cierto?
Por la hipótesis gráfica.
Cuadro No. 25
1d
1d
1d
1d
El grupo de cinco estudiantes, incluido Tomás, presentan la dificultad (1 d) ya que
no proponen la justificación adecuada para la afirmación que asegura que los dos
pares de ángulos mencionados los conforman ángulos opuestos del cuadrilátero.
1
2
3
Tomás
P
Tomás
Ahora, vuelvo a trazar las diagonales para formar triángulos. ¿Si?
Bueno, trácelas.
Bueno, esa es la diagonal AC. Entonces, yo digo, sea el segmento
AC y el segmento BD, las diagonales del cuadrilátero.
89
4
P
5
Tomás
6
P
7
8
9
10
Tomás
P
Tomás
P
11
12
13
David
P
Miguel
14
15
16
17
18
P
Luz
P
Alba
P
19
20
21
Mary
Walter
Tomás
22
P
23
24
25
Tomás
Luís
Juán
26
Alba
27
P
28
29
Pedro
P
¿Por qué razón usted dice que AC y BD [se refiere a los segmentos]
son las diagonales del cuadrilátero?
Porque todo cuadrilátero tiene dos diagonales y también por
hipótesis.
Si, es cierto, todo cuadrilátero tiene dos diagonales, pero ¿qué tal
que las diagonales fueran, AB, CD, o que de pronto las diagonales
se llamaran BC y AD? ¿Por qué usted está seguro que las
diagonales son esas y no las que yo le nombro?
Ahhh, por la hipótesis gráfica.
Por la construcción que se hizo, y ¿por qué otra razón?
Por esa [razón]
¿Por qué se que AC [el segmento] es una diagonal de ese
cuadrilátero? ¿David?, [le repite] ¿Por qué ese segmento AC es una
diagonal?
Porque va de lado a lado de los ángulos opuestos.
Miguel: ¿Por qué se que el segmento AC es una diagonal?
[Da a entender que no sabe, que no tiene el significado geométrico
de diagonal]
No sabe, no tiene idea. Y ¿Luz?
¿Porque parte al cuadrilátero en dos triángulos iguales?
No, nadie ha dicho eso. Alba.
Yo la tomo por una hipótesis gráfica
Por una hipótesis gráfica, sí, pero ¿por qué se que en ese dibujo,
esa se llama diagonal y no es un lado, por ejemplo? No, no. ¿Mary?
[El profesor le va peguntado a varios estudiantes]
O sea, que va del ángulo opuesto al otro ángulo.
No, no se.
Yo digo que es por hipótesis gráfica y porque todo cuadrilátero tiene
sus diagonales.
El dibujo si me indica que [el segmento] AC es una diagonal, pero
¿por qué se que es una diagonal?
Porque va así [con la mano derecha traza una oblicua por el aire]
Nos equivocamos los dos profe [al hacer la demostración].
[Da a entender que no tiene una definición para diagonal de un
cuadrilátero.]
Profe, no es porque divide al paralelogramo en dos . . . [el profesor la
interrumpe]
No es un paralelogramo [refiriéndose al enunciado del ejercicio]. Es
por la definición de diagonal. Se supone que ustedes han estudiado
la teoría que hay ahí en el capítulo 9; y la definición de diagonal,
Pero es que en ningún teorema la hemos utilizado.
No, pero la teoría que hay ahí, donde está la definición de
cuadrilátero, lados opuestos, lados adyacentes, ángulos opuestos,
diagonales . . .¿ Cuál es la definición de diagonal de un cuadrilátero?
¿Quien tiene un significado para la diagonal de un cuadrilátero? [El
profesor se la pregunta a varios estudiantes], ¿Pablo, Arbey, Tito,
Abel, Rosa? La diagonal de un cuadrilátero es el segmento que une
dos vértices no consecutivos. [La repite.] Por eso AB [el segmento]
no puede ser diagonal. Porque AB es un segmento, pero está
uniendo dos vértices consecutivos del cuadrilátero. Seguimos,
Tomás.
Cuadro No. 26
90
4a
1d
1d
1d
1d
1d
1d
1d
1d
1d
En el diálogo que se ilustra en el cuadro No. 26 se evidencia la dificultad (1 d) que
tienen los estudiantes. Este punto problemático se da porque los alumnos no han
estudiado las definiciones
de los objetos geométricos que intervienen en los
problemas que abordan o de sus elementos. Tomás, de nuevo, muestra tener
dificultad para distinguir cuál es la hipótesis y qué se deduce de lo dado, lo cual se
refiere a la dificultad 4 a.
1
Tomás
2
P
3
4
5
6
Tomás
P
Alba
P
Listo, ahorita si las marco. Entonces yo digo, este ángulo, ∠ CAB y
el ∠ ACD, entonces esos son los ángulos,. . . Pero de una vez voy
a escribir los otros para dejar una sola premisa. ∠ BCA y ∠ DAC
son ángulos alternos internos, y la razón es la definición de ángulos
alternos internos. ¿Si están de acuerdo?
¿Si son esos ángulos alternos internos? ¿Por qué sabe que esos
son los ángulos alternos internos? [Le pregunta a Tomás.]
Por definición de ángulos alternos internos.
Y además por. . . .
Por el teorema 9.8, e hipótesis gráfica.
Entonces, por la definición de ángulos alternos internos y por la
construcción [Tomás escribe la razón]
Cuadro No.27
1a
1b
1c
En la interacción anterior, se evidencia que Tomás no incluye, como pasos
anteriores en la demostración, elementos necesarios, según lo establecido en la
clase,
para declarar que los ángulos sí son alternos internos. Le faltó
específicamente, usar el “Postulado de la recta” y así garantizar la existencia de
las rectas AB y CD , además, de la existencia de una transversal, y puntos en
lados opuestos de la transversal. Todos estos elementos exigidos por la definición
de ángulos alternos internos. Esta es la dificultad 1 a y 1 c.
91
1
P
2
3
4
5
6
7
Pablo
P
David
P
Juán
P
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Tomás
David
P
Pablo
P
Tomás
P
Estudia
ntes
P
17
Pablo
18
19
Juan
P
20
P
21
22
23
Tomás
P
Tomás
24
P
25
Juán
26
P
Hablemos qué pasa con el punto D, ¿qué podemos afirmar respecto,
únicamente, al punto D?
Que D es un vértice del cuadrilátero.
¿Qué otra cosa podemos decir?
Que es un ángulo.
No, estoy hablando del punto y si es un punto, no es un ángulo.
Que es extremo del segmento AD que se une con el segmento CD.
Veamos el punto D. Les doy una pista a ver quien la coge: veamos el
punto D y veamos que pasa respecto a los segmentos AB y BC.
¿Qué son rayos?
¿Qué son perpendiculares?
No, no son perpendiculares.
Está entre el ángulo AB y el ángulo BC.
No, si está en el interior del ángulo ABC.
[y varios estudiantes, repiten la afirmación del profesor]
Ahora ¿qué podemos afirmar del punto B?
[varios] Que está en el interior del ángulo ADC.
Entonces: premisa once. D está en el interior del ángulo ABC y lo
mismo podemos decir: B está en el interior del ángulo ADC. ¿Por qué
podemos afirmar que esos dos puntos, están respectivamente en el
interior de esos dos ángulos?
Por el postulado doce [se refiere al postulado de la construcción del
ángulo.]
Por definición de estar entre.
Pero es que la definición de estar entre es para puntos colineales. ¿Lo
estamos viendo? [Con el dedo les muestra que el punto D está en el
interior del ∠ABC]
[Trata de que los estudiantes ratifiquen que han comprendido el
concepto de punto en el interior de un ángulo. Por eso les plantea la
siguiente negación.] Por ejemplo, C, no está en el interior del ángulo
∠DAB.
Si C no estuviera en la diagonal, si estaría.
Por ejemplo, C, no está en el interior del ángulo ∠DCB.
[varios estudiantes afirman lo mismo que Tomás] Ahhh., Ahí C no está
en el interior del ángulo ∠DCB, pues está sobre los lados del ángulo.
Además de que estamos observando que D y C están en el interior de
los ángulos ∠ABC y del ángulo ∠DAB, respectivamente, ¿qué
propiedad o definición les podemos aplicar? ¿Qué nos justifica más la
afirmación que estamos haciendo?
El postulado de la construcción del ángulo: Sea AB un rayo de la
arista del semiplano H. . . . [el profesor le interrumpe]
No, dese cuenta que ahí no tiene nada que ver el postulado de la
construcción del ángulo.
Cuadro No.28
4a
4a
4a
4a
1d
1d
1d
En las interacciones que se transcribieron al cuadro No. 28, también se hacen
evidentes las dificultades, 1 d y 4 a, que tienen los estudiantes, pues siendo D un
vértice del cuadrilátero,
se puede aseverar que está en el interior del ángulo
92
opuesto a dicho vértice. Adicionalmente, parece que no entendieron la definición
de punto en el interior de un ángulo. El profesor pasa al tablero para continuar con
el proceso de demostración.
5.6 CLASE DEL 13 DE JUNIO DEL 2006
Las cinco demostraciones que se transcriben y analizan a
continuación,
corresponden a las construidas y sustentadas individualmente por los estudiantes
ante sus compañeros y presentadas en medio magnético, como resultado del
examen final del curso de geometría. No se Incluyen las observaciones realizadas
por el grupo de estudiantes y el profesor.
En el cuadro No. 29 se registró la construcción que elaboró David para demostrar
“Si el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo, entonces D está en el interior del
ángulo ∠ABC”.
1.
2.
AFIRMACIONES
ABCD es un cuadrilátero
∠A y ∠C, ∠B y ∠D son dos pares de
93
RAZONES
Hipótesis
Por hipótesis gráfica y
definición
3.
ángulos opuestos.
∠A ≅∠C y ∠B ≅∠D
___
4.
DB es una diagonal del paralelogramo
5.
el ∠CDB y el ∠ABD, lo mismo que el
∠ADB y el ∠CBD, son ángulos
alternos
internos
m ∠CDB + m ∠C + m ∠DBC = 180
6.
m ∠ADB + m ∠A + m ∠ ABD =180
m ∠C+ m ∠CDB+ m ∠CBD= m ∠A+ m
∠ADB + m ∠ABD
9.
m ∠CDB+ m ∠DBC = m ∠ADB + m
∠ABD
10. m ∠ABC= m ∠ CBD+ m ∠ABD
7.
8.
11.
David
D está en el interior del ∠ABC
de ángulos opuestos.
Por definición de paralelogramo.
Hipótesis gráfica y definición de
diagonal.
Por definición de ángulos alternos
internos. Hipótesis gráfica.
En todo triángulo, la suma de las
medidas de los ángulos es igual a
180º. Teorema. 9.13
Por el mismo teorema 9.13
Igualación de la 6 con la 7
1d
1b
1b
1b
Propiedad cancelativa en la 8.
Postulado de adición de ángulos
Punto interior de un ángulo y
afirmación 10.
Cuadro No. 29
1a
2a
Como tercera [premisa]. Como en un paralelogramo sabemos que sus lados
opuestos son congruentes, entonces coloqué que el ∠A es congruente con el ∠C
y que el ∠B es congruente con el ∠D por definición de paralelogramo. La cuarta,
___
ahí miren, la diagonal DB, entonces DB es una diagonal del paralelogramo, por
hipótesis gráfica y por definición de diagonal [de un cuadrilátero] (1 d).
Cuadro No.30
En la afirmación 3 del cuadro No.29 y en la trascripción al cuadro No. 30, David
no provee la justificación correcta para deducir la congruencia de los respectivos
ángulos, pues la definición de paralelogramo no establece esa congruencia. Por
tanto, el respaldo teórico no es apropiado, evidenciándose una dificultad 1 d.
Antes de enunciar la afirmación 5, el estudiante debió garantizar la existencia de
las rectas AB , CD , AD y BC . Así mismo, debió incluir como afirmación, que los
pares de segmentos AB, CD y AD, BC son paralelos para poder expresar que las
rectas correspondientes son paralelas y proceder a justificar la congruencia de los
94
ángulos alternos internos en la quinta afirmación. Haber excluido todo lo anterior
muestra que tiene la dificultad (1 b). Al enunciar las premisas seis y siete, el error
que presenta David es no haber declarado previamente la existencia de los
triángulos DBC y ADB, con lo cual nuevamente se evidencia la dificultad (1 b).
David, en la afirmación 10, muestra dificultad de tipo (1 a) pues no ha declarado
que D sea un punto en el interior del ∠ABC, condición exigida en la hipótesis del
Postulado de adición de ángulos. Además, en el paso 11 se identifica la dificultad
2 a pues parece que está usando la recíproca del Postulado de Adición de ángulos
como si fuera equivalente al postulado mismo. El error consiste en deducir de la
tesis del postulado la hipótesis.
A continuación se hace el análisis de los errores que cometió Pablo al demostrar
la siguiente afirmación: “En la figura, la distancia MK es igual a la distancia MQ, y
el ∠K es congruente con el ∠Q, el PM es perpendicular al
perpendicular al MQ , Demostrar que ∠L ≅ ∠P”.
95
MK
y el LM es
La demostración construida y escrita por Pablo, en el tablero se transcribe en el
cuadro No. 31.
AFIRMACIÓN
1. MK = MQ
___
___
2. MK ≅ MQ
3. ∠ K ≅ ∠ Q
4. m∠ K = m∠ Q
5.
___
___
___
___
PM ⊥ MK y LM ⊥ MQ
6. m∠KMP = 90º
7. m∠LMQ = 90º
8. m∠KMP = m∠LMQ
9. ∠KMP ≅ ∠LMQ
10. P está entre ∠KML lo mismo
que L está entre ∠KMQ
11. m∠KML= m∠KMP + m∠PML
12. m∠PMQ = m∠PML + m ∠LMQ
13. m∠KML - m∠KMP = m∠PML
14. m∠PMQ - m∠LMQ = m∠PML
15. m∠KML - m∠KMP = m∠PMQ m∠LMQ
RAZÓN
Hipótesis
Congruencia de segmentos: dos segmentos
son congruentes, si tienen la misma longitud.
Hipótesis
Congruencia de ángulos: dos ángulos son
congruentes
si tienen la misma medida.
Aplicada en afirmación 3.
Hipótesis
DEF. ángulo recto: un ángulo recto es un
ángulo cuya medida es de 90º
DEF. Angulo recto: un ángulo recto es un
ángulo cuya medida es de 90º
Propiedad transitiva de la igualdad
Definición de congruencia de ángulos
Postulado de adicción de ángulos: (Ver Anexo
A2)
Postulado de adicción de ángulos
Postulado de adicción de ángulos
Post. Adicción de ángulos aplicado en afirma.
11.
Post. Adicción de ángulos aplicado en afirma.
12
Igualando afirmación 13 y 14.
96
1b
1d
16. m∠KML - m∠KMP = m∠PMQ m∠KMP
17. m∠KML = m∠PMQ
18. ∠KML ≅ ∠PMQ
19. ΔKML ≅ ΔQMP
20. ∠P ≅ ∠L
Reemplazando afirmación 8 en 15
Propiedad del inverso aditivo aplicada en 16
Congruencia de ángulos
Postulado A – L – A
Partes
correspondientes
de
triángulos
congruentes son congruentes
Cuadro No. 31
En la sexta premisa, se evidencia la primera dificultad que tiene Pablo, pues no
puede usar la definición de ángulo recto para establecer que la medida del ∠KMP
es 90º, pues no ha mencionado que ese ángulo es recto. Esta dificultad
corresponde a la categoría 1b. Para poder llegar a lo que ahí establece, tenía que
haber usado la afirmación 5 para concluir que el ∠KMP es recto, por definición de
perpendicularidad.
En la afirmación diez, se muestra que, el alumno tiene dificultad para dar
“Respaldo teórico, explícito y apropiado, de las proposiciones que conforman la
justificación”, (1 d), pues la afirmación 10 sólo se puede justificar como hipótesis
gráfica, ya que la figura hace parte del enunciado del problema y no hay más
información que permita deducirla.
A continuación se hace el análisis de los errores que cometió Mary al demostrar la
siguiente afirmación: “Se dan un paralelogramo y una de sus diagonales.
Demostrar
que
si
se
trazan
segmentos
desde
los
vértices
opuestos,
perpendiculares a la diagonal, entonces dichos segmentos son paralelos y
congruentes”.
97
La demostración construida y escrita por Mary quedó registrada en el cuadro No.
32, así:
1.
AFIRMACIONES
□ABCD es un paralelogramo
Hipótesis
2.
AC es una diagonal
definición de diagonal
1d
___
___
___
___
DA ≅ BC , AB ≅ DC
Definición de paralelogramo
1d
3.
Definición de ángulos opuestos en
un
paralelogramo y definición de ángulos alternos
internos.
están en una misma recta definición de puntos
colineales
Definición de estar entre
Teorema 5.1: todo segmento es congruente
consigo mismo.
Afirmación 5, 6 y 7
Definición de congruencia en 8
1a
1f
4. ∠CAB ≅ ∠ACD
5.
A-G-H-C
6. AG+GH+HC = AC
___
___
___
___
7. AC ≅ AC
8. AH = GC
9.
AH ≅ GC
1b
Partes correspondiente de triángulos congruentes
son congruentes.
Hipótesis gráfica
___
11. DG ≅ BH
___ ___
12. DG ∧ BH
1d
Postulado L-A-L en afirmaciones 3, 4 y 9
10. ∆AHB ≅ ∆CGD
___
RAZONES
son cortados por
___
AC
Afirmación 12 y definición de ángulos alternos
internos.
1f
14. ∠BHA ≅ ∠CGD
De afirmación 13
1a
1f
15. DG || HB
Teorema 9.5 se dan dos rectas cortadas por una
secante, si dos ángulos alternos internos son
congruentes entonces las rectas son paralelas.
afirmaciones 12, 13 y 14
Cuadro No. 32
13. ∠ BHA ∧∠CGD
alternos internos
son
98
En el cuadro No. 32, se observa que la estudiante al escribir la justificación de la
segunda, tercera y quinta proposición tuvo la dificultad (1 d). Se sabe que el
segmento AC es una diagonal, por hipótesis, es decir, se trata de un dato valioso
para comenzar la construcción de la demostración. En la afirmación tres, la razón
es el teorema que expresa “En un paralelogramo dos lados opuestos cualesquiera
son congruentes”. En la premisa cinco, los citados puntos son colineales, no por
aplicación de la definición, sino porque está dado por el dibujo (hipótesis gráfica).
Se puede observar que antes de escribir la cuarta afirmación, Mary tenía que
determinar la existencia y el paralelismo de las rectas AB y CD , establecer la
secante AC y luego garantizar la existencia y congruencia de los ángulos alternos
internos determinados por rectas paralelas intersecadas por una secante. Estas
dificultades corresponden a las categorías 1 a y 1 f.
En la octava proposición, la estudiante expresa: “AH es igual a GC por la afirmación 5,
6 y 7” Esa situación se presentó porque Mary tuvo dificultad 1 b. En este caso
particular tenía que lograr la citada igualdad mediante procesos deductivos
formales.
La interinstancia de los puntos – afirmación seis – no garantiza la
igualdad entre las mencionadas distancias.
Los dos errores que cometió
anteriormente le permitieron escribir la afirmación nueve, que evidentemente
carece de validez. Lo que sucedió, es que Mary no sabía de dónde obtener la
99
información para lograr la congruencia de los triángulos. No supo cómo usar que
ABCD es paralelogramo y no parece conocer la teoría relacionada.
En la afirmación 13, Mary, de nuevo presenta la dificultad 1 f porque no establece
las condiciones exigidas por la definición para declarar los ángulos alternos
internos. En la afirmación 14, de nuevo se evidencia la dificultad (1 a y 1 f), ya que
Mary supone que el sólo hecho de ser ángulos alternos internos los hace
congruentes, desconociendo que el teorema correspondiente, exige el paralelismo
de los segmentos.
Para establecer la congruencia del triángulo AHB con el triángulo CGD, emplea las
afirmaciones: tres, cuatro y nueve, siendo esta última imposible de establecer
como verdadera con los datos dados.
En la demostración, Mary no usó la perpendicularidad, elemento proporcionado
como parte de la hipótesis, este hecho se clasifica como dificultad (4 a) pues no
reconoce que lo que se quiere demostrar exige el cumplimiento de esa condición.
A continuación se hace un análisis de las dificultades que presentó Tomás al
demostrar la siguiente afirmación: “Demostrar que si en el ΔGHK, GK = HK y G –
M – H, tal que el ∠GKM es congruente con el ∠HKM, entonces M es el punto
medio del GH ”.
100
La demostración construida y escrita por Tomás quedó registrada en el cuadro No.
33.
AFIRMACIÓN
1. GK = HK
2. G – M – H
3. ∠GKM ≅ ∠HKM
___
___
4. KM ≅ KM
5. Δ KMG ≅ Δ KMH
___
6. GM ≅ HM
RAZON
Hipótesis
Hipótesis
Hipótesis
Identidad. teorema 5.1
___
7. M es el punto medio del GH
Postulado L – A – L premisas 1, 3, 4
Partes
correspondientes
de
triángulos
congruentes son congruentes.
Afirmaciones 2 y 6. Por definición de punto medio.
1b
1a
Cuadro No. 33
Dada la primera afirmación de la demostración, Tomás debió aprovechar la
igualdad de las longitudes para definir de una vez la congruencia entre los
segmentos. Era necesario establecer dicha congruencia para que posteriormente
aplicara el postulado Lado – Ángulo – Lado en la congruencia de los triángulos -
ΔGKM ≅ ΔHKM -. La dificultad 1 b se hizo evidente en el paso 5, por no haber
establecido previamente la citada congruencia entre segmentos.
101
El estudiante debió haber escrito, antes de la séptima afirmación, la igualdad entre
___
___
las longitudes de los segmentos GM y HM , porque es la segunda condición que
exige la definición de punto medio de un segmento.
En consecuencia, se
identifica una dificultad 1 a.
A continuación se presenta el análisis a la producción escrita por Luís al
demostrar la afirmación: “En la siguiente figura, si la distancia DF es igual a la
distancia EF y el ángulo x es congruente con el ángulo y, demostrar que el
triángulo AFB es isósceles”.
La demostración construida y escrita por Luís, se ilustra en el cuadro No. 34, así:
AFIRMACIONES
1. A – D – C y B – E – C
___
___
___
___
2.
AD y CD , BE y CE
Determina dos pares de
rayos opuestos
3. A – F – E y B – F – D
4.
___
___
___
___
AF y EF , BF y DE
Determina dos pares de
rayos opuestos,
RAZONES
Hipótesis
De la afirmación 1, definición de rayos opuestos.
___
___
AE Se interseca con BE en F, Hipótesis gráfica.
De afirmación 3, definición de rayos opuestos.
102
___
___
5. DE ≅ DE
6.
∠x ≅ ∠y
7. m∠x = m∠y
8. E está en el interior del
∠CDF
9. m∠CDF = m∠x+ m∠EDF
10. m∠CDF - m∠EDF
=
m∠x
11. D está en el interior del
∠CEF
12. m∠CEF=m∠DEF+ m∠y
13. m∠CEF - m∠DEF =m∠y
14. m∠CDF - m∠EDF
=
m∠CEF - m∠DEF
15. m∠CDF = m∠CEF
16. m∠EDF = m∠DEF
17. ∠CDF ≅ ∠CEF
18. ∠CDF y ∠ADF
19. ∠EDF ≅ ∠DEF
20. ∠ADF ≅ ∠BEF
21. DF = EF
___
___
22. DF ≅ EF
23. ∠AFD y ∠BFD
24. ∠AFD ≅ ∠BFE
25. ΔAFD ≅ ΔBFE
___
___
26. AD ≅ BE
___
___
27. AF ≅ BF
28. AF = BF
29. AF + EF = BF + DF
30. AE = BD
___
___
___
___
31. AE ≅ BD
32. AB ≅ AB
33. ΔADB ≅ ΔBEA
Todo segmento es congruente consigo mismo.
Hipótesis
Definición de congruencia de ángulos en la
premisa 6.
De la gráfica y definición de punto en el interior de
un ángulo
Postulado de adición de ángulo en la afirmación
8.
Transposición de términos en la afirmación 9.
De la gráfica y definición de punto en el interior de
un ángulo.
Postulado de adición de ángulo en la afirmación
11.
Transposición de términos en la afirmación 12.
Igualación de las afirmaciones 10 y 13
Propiedad cancelativa de los números Reales, en
la afirmación 14.
Propiedad cancelativa de los números Reales, en
la afirmación 14, y multiplicar por (-1) y de la
gráfica.
Definición de congruencia de ángulos en la
afirmación 15.
Forman un par lineal, de la gráfica y definición de
par lineal.
Definición de congruencia de ángulos en la
afirmación 16.
De las afirmaciones 17, 18 y 19.
Hipótesis.
Definición de congruencia segmentos.
Son opuestos por el vértice
Los ángulos opuestos por el vértice son
congruentes.
Postulado A – L – A de las afirmaciones 20, 22 y
24.
Partes
correspondientes
de
triángulos
congruentes, son congruentes.
Partes
correspondientes
de
triángulos
congruentes, son congruentes.
Definición de congruencia de segmentos aplicada
en la afirmación 27.
Adición de 21 con la 28.
De la afirmación 3 y definición de estar entre, en
la afirmación 29.
Definición de congruencia de segmentos aplicada
en la afirmación 30.
Todo segmento es congruente consigo mismo.
Postulado L – L – L de las afirmaciones 26, 31,
103
3b
3a
3a
1f, 1a
1c
1 a,1f
1a
34. ∠ABD ≅ ∠BAE
35. ΔAFB es isósceles:
32.
Partes
correspondientes
de
triángulos
congruentes son congruentes, afirmación 33.
Un triángulo con dos lados congruentes se llama
isósceles. De la afirmación 27, además los
___
___
son
ángulos puestos a los dados AF y BF
congruentes, por la afirmación 34.
Cuadro No. 34
Con el propósito de llegar a demostrar que el ∠ADF es congruente con el ∠BEF y
a partir de ésta demostrar la congruencia del ΔADF con el ΔBFE, Luís escribió las
premisas 14, 15 y 16 y para arribar con éxito a la afirmación quince del Cuadro 33,
el estudiante debió usar que las condiciones implican que el ΔDEF es isósceles y
así deducir que ∠DEF es congruente con ∠EDF. Esto, junto con el hecho de que
∠x ≅ ∠y, y usando el postulado de la adición de ángulos, le permitiría llegar a
mostrar que ∠CDF ≅ ∠CEF. Establecer la ecuación del paso 14, con la razón
teórica expuesta, muestra que no recuerda qué le permite combinar la información
que tiene en los pasos 7, 10 y 13, para lograrlo. Es decir, no identifica la propiedad
transitiva de la igualdad, evidenciando así la dificultad 3 b. Luego, para obtener los
pasos 15 y 16, cancela cantidades que no ha establecido como iguales mostrando
que desconoce las condiciones que permiten el uso de la propiedad cancelativa
de los números reales. Esto ilustra que tiene dificultad con las propiedades de los
números reales 3 a.
En la afirmación 18 muestra la dificultad 1 a y 1 f, porque no establece las
condiciones para declarar y usar el hecho de que los ángulos forman par lineal. La
afirmación 20, permite evidenciar que el estudiante tiene dificultad 1 c, porque
104
justificó la existencia de un par lineal: el ∠CDF y el ∠ADF, y le faltó definir el otro
par: el ∠CEF y el ∠FBE
y mencionar en las justificaciones siguientes, los
teoremas correspondientes: Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son
suplementarios y los suplementos de ángulos congruentes son congruentes.
En la proposición 23, al escribir “el ∠AFD y el ∠BFE,
son opuestos por el vértice
por definición de ángulos opuestos por el vértice”, se detecta la dificultad 1 a y 1 f,
ya que la justificación es por hipótesis gráfica o está dada por el dibujo.
En la afirmación 27, se identifica la dificultad 1 b, pues si él tuviera claro el
significado y la definición de triángulo isósceles, ya tendría lo que necesita para
demostrar lo que se le pidió.
105
6. CONCLUSIONES
Los estudiantes del curso Geometría Euclídea de la Licenciatura en Matemáticas y
Física, en la Universidad de la Amazonia, durante el primer semestre del año 2006
presentaron
el mismo tipo de dificultades, al enfrentar la tarea de demostrar
resultados geométricos, que las definidas por Perry, et al., (2006: 255 - 277). En
aquellos casos donde se expresó que no se evidenció alguna de las dificultades
no significa que ésta no lo sea para los estudiantes, sino que en el tipo de
problema que se estaba resolviendo o teorema que se estaba demostrando no
permitieron evidenciarla.
Se pudo identificar y explicitar una nueva categoría de dificultad de los estudiantes
en el proceso de construcción de demostraciones deductivas formales en
geometría euclidiana que se denominó “Relacionada con el manejo de la sintaxis
y/o lenguaje icónico propio de la geometría”. Se trata de una dificultad que se
evidencia con cierta frecuencia pero que no afecta el proceso que sigue el
estudiante para construir una demostración porque no está relacionado con la
determinación de aquellos elementos teóricos que se involucran en el proceso
deductivo.
Como se considera que es un asunto que deben identificar los
profesores y propender por corregir, se decidió incluirlo como una quinta categoría
de dificultad.
106
Con base en los análisis de registros, se pudo construir la tabla que se muestra a
continuación.
1 Frecuen. 2 Frecuen. 3 Frecuen. 4
Frecuen 5
A
4
A
2
A
2
A
11
B
10
B
0
B
2
B
2
C
4
C
0
C
0
D
38
D
0
D
0
E
0
E
1
F
0
Frecuen.
3
Tabla 6: Frecuencia de presentación de las dificultades de los estudiantes
El numeral corresponde a la categoría y los literales de cada columna son las subcategorías De ésta se puede concluir:
•
La dificultad que se presenta con mayor frecuencia (38) en la construcción de
la demostración deductiva formal es la (1 d) “Respaldo teórico explicito y
apropiado, de las proposiciones que conforman la justificación” y pertenece a
la categoría de aquellas “Relacionadas con el trabajo dentro de un sistema
axiomático”.
Como estrategias que pueden apoyar a los estudiantes para sobreponer la
citada dificultad es: analizar con ellos las definiciones, los postulados y cada
propiedad exigida en los enunciados teóricos; cuestionar la necesidad de cada
propiedad o característica enunciada, indagar acerca de aquello que se puede
107
deducir de una definición o teorema, ilustrar con representaciones y
construcciones en la CGA la información suministrada en definiciones,
postulados y teoremas para verificar cómo los resultados anunciados realmente
se dan; solicitar que 2 o 3 personas pasen al tablero a escribir los enunciados
para compararlos, analizarlos y determinar si existen dificultades que inducen
al error.
•
Pertenecientes a esa misma categoría de análisis, se presenta la subcategoría
de dificultad (1b) “Verificación del cumplimiento de las condiciones de la
hipótesis del hecho geométrico que se pretende usar”, con la tercer mayor
frecuencia (10).
Esta
dificultad se presenta porque el estudiante usa un
teorema o definición, sin tener en las afirmaciones anteriores las condiciones
exigidas en la hipótesis del teorema, o no logra inferir, a partir de la hipótesis,
otras premisas que se requieren explicitar para el desarrollo de la
demostración.
Como estrategia de solución se sugiere que antes de iniciar el proceso de
construcción de la demostración se le exija al estudiante la identificación de los
datos o hipótesis que establece el enunciado del teorema o situación
problémica planteada. Similarmente, cada vez que surja el uso de un teorema
para deducir una proposición, se solicite al estudiante que
identifique la
hipótesis de dicho teorema y compare las condiciones que ésta exige con los
pasos de la demostración que ya ha establecido.
108
El uso de la geometría
dinámica puede incidir en la comprensión de la necesidad de las condiciones
establecidas en la hipótesis de un teorema o de un problema para que la tesis
se cumpla. Siempre que se estudie un teorema o cuando se va a resolver un
problema, se debe realizar una construcción en la calculadora (o en el
programa de geometría dinámica), eliminando alguna de las condiciones
exigidas en la hipótesis, para evidenciar como el resultado no coincide con lo
establecido como tesis. Con el arrastre, se podrá observar como al obligar el
cumplimiento de la propiedad eliminada, la figura simultáneamente se convierte
en aquella que cumple las condiciones de la tesis.
•
Correspondiente a la misma categoría (1), se encuentra, con una frecuencia
igual a cuatro la dificultad (1 a) “Necesidad de formulación precisa de las
definiciones, postulados, teoremas”. Como estrategia que permita contribuir a
evitar la comisión de errores, se sugiere analizar con los estudiantes las
diferentes interpretaciones posibles debidas a la imprecisión en el lenguaje.
•
La subcategoría (1 c) “Uso exclusivo de hechos geométricos previamente
incorporados al sistema como respaldo de las afirmaciones que se hacen”
también alcanzó una frecuencia igual a la anterior (4). Es importante que el
estudiante comprenda que sólo aquellos hechos geométricos previamente
incorporados al sistema axiomático pueden ser usados en sus demostraciones.
Esta es una norma sociomatemática que debe establecerse en la clase.
109
•
La dificultad que se identificó con la segunda mayor frecuencia (11) es “El
establecimiento de las condiciones válidas en el enunciado, incluso las tácitas”,
correspondiente a la categoría (4) “Relacionadas con la comprensión y el
manejo del enunciado de un teorema”. Como se expresó anteriormente, el
enunciado de una situación problémica o de un teorema, suele contener
implícitamente información que debe ser explicitada por los estudiantes, pues
son propiedades que obligan al cumplimiento de la tesis. El no reconocimiento
de tal información puede ocasionar bloqueos en el proceso de demostración.
Se sugiere que antes de iniciar el proceso de demostración, el estudiante
identifique y de a conocer a los coequiperos y al profesor, los datos válidos que
se infieren de la hipótesis dada en el enunciado de la situación problémica o
teorema.
•
Correspondiente a la categoría mencionada anteriormente, se presenta la
dificultad (4 b) “Establecimiento del hecho que se debe demostrar”, con una
frecuencia relativamente baja (2), Así como el estudiante debe establecer las
condiciones válidas en el enunciado, incluso las tácitas, se debe lograr que él
tenga perfectamente claro, qué es lo que se debe demostrar, cuál es la tesis o
conclusión a la que se debe llegar.
•
Correspondiente a la categoría de las dificultades “Relacionados con el uso de
la lógica matemática como guía y sustento del razonamiento requerido para
110
producir una justificación”, se identificó con una incidencia muy baja (2), la
dificultad de los estudiantes con el “Conocimiento conceptual y procedimental
de las conectivas lógicas y de las tautologías asociadas”. No obstante,
consideramos que al iniciar el curso de geometría euclidiana se debe hacer un
repaso de lógica matemática acerca de: tipos de proposiciones compuestas,
conectivas lógicas, tablas de verdad y esquemas de razonamiento válidos.
•
Con respecto a la categoría de las dificultades “Relacionadas con
prerrequisitos de aritmética de los reales, álgebra o teoría de conjuntos” se
estableció que las subcategorías: (3 a) y (3 b) son dificultades que se han
identificado en los estudiantes, aunque con bajas frecuencias. Dado que en el
proceso de construcción de demostración deductiva formal en geometría
euclídea, se hace necesario usar propiedades de los números reales, las
cuales se supone fueron estudiadas en la educación básica y/o media y su
desconocimiento son causa de dificultad, se recomienda analizar éstas con los
estudiantes cada vez que se vayan a usar, para que identifiquen los errores en
los que pueden estar incurriendo.
•
Para la falta de “Conocimiento conceptual y procedimental de la igualdad como
relación de equivalencia y de la desigualdad como relación de orden”, se
sugiere hacer un repaso, de las propiedades de las relaciones para que el
111
estudiante reconozca que la igualdad es una relación de equivalencia y que
una desigualdad es una relación de orden.
•
La subcategoría (3 d) “Manejo de la sintaxis de la teoría de conjuntos en la
formulación de enunciados para hacerlos operativos” también se identificó
como dificultad. Para ello se recomienda hacer un repaso acerca de algunos
elementos fundamentales de la teoría de conjuntos: conjuntos, clases,
operaciones y su relación con la lógica matemática.
•
Las dificultades asociadas a la
categoría de análisis “Relacionadas con el
manejo de la sintaxis y/o lenguaje icónico propio de la geometría”, también
tuvieron alta incidencia. Se trata de una dificultad que no afecta el proceso que
sigue un estudiante para construir una demostración porque no es uno de los
elementos necesarios para efectuar un proceso deductivo. El uso incorrecto del
lenguaje propio de la geometría afecta la comunicación clara y concisa y
posiblemente la comprensión.
Como estrategia que ayudará a obviar este tipo de dificultad, se recomienda
que tanto el estudiante como el profesor que socializan por escrito en el
tablero la construcción de demostraciones, se esfuercen por utilizar y exigirse
mutuamente el uso de la sintaxis y el lenguaje icónico propio de la geometría.
112
PROSPECTIVAS DE ESTA INVESTIGACIÓN
El proceso realizado en esta investigación ha suscitado varias ideas para futuras
investigaciones:
1. El papel de la demostración en geometría euclídea como potenciadora de la
competencia pedagógica en el maestro en formación,
entendiendo por
competencia pedagógica al saber hacer que permite enseñar, de acuerdo con
Hernández (2006) La competencia pedagógica del maestro estaría asociada a
su capacidad de construir en el aula una cultura académica ligada a la lectura y
a la interpretación, a la discusión y la reflexión, a la capacidad de predecir y
configurar los resultados de los procesos desarrollados en el salón de clases,
necesarias para actuar con responsabilidad, y al deseo y la voluntad de saber.
También es importante la competencia pedagógica para promover las
situaciones de interacción que ayudan al desarrollo de la conciencia.
El 98% de los estudiantes que ingresaron al primer semestre de la Licenciatura
en Matemáticas y Física, en el semestre A del año 2006, no son egresados de
la Escuela Normal Superior. Su competencia pedagógica está limitada a la
competencia comunicativa de quien socializa un proceso de demostración o
desarrolla cualesquier tipo de exposición magistral ante sus compañeros de
curso; en consecuencia, se puede aprovechar ese momento de la
113
socialización, para de manera intradisciplinar entrar a fortalecer las
competencias pedagógicas y didácticas de los maestros en formación.
2. Determinar el papel de la geometría dinámica en el aprendizaje de la
demostración.
En el desarrollo de la investigación se utilizó la mediación instrumental de la
CGA, con ella, se verificó el cumplimiento de las condiciones dadas en el
enunciado de la situación problémica o teorema. No es evidente la conexión
entre la realización de la representación en la calculadora y la posibilidad de
desarrollar el proceso de construcción de la demostración. ¿Puede el uso de
la geometría dinámica proveer ideas para la demostración? ¿Debe modificarse
el uso de la geometría dinámica para potenciar la comprensión de conceptos y
relaciones necesaria para poder construir demostraciones?
114
7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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matemáticas, Universidad de Trieste, Italia. Conference of the European Society
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117
8
ANEXOS
118
Anexo A1. ENCUESTA DIAGNÓSTICA – TABULACIÓN E INTERPRETACIÓN
UNIVERSIDAD DE LA AMAZONIA
VICERRECTORÍA DE INVESTIGACIONES
FACULTAD CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
PROGRAMA DE LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA
COLECTIVO INVESTIGACIÓN TECNOLOGÍAS DE LA EDUCACIÓN
MATEMÁTICA
Apreciado estudiante:
Un equipo de 4 profesores de esta Universidad estamos desarrollando la Investigación titulada “El
Aprendizaje de la Demostración en Geometría Euclidiana con el Apoyo de un Programa de
Geometría Dinámica”, la información que le solicitamos en esta encuesta hace parte del trabajo
de campo de la investigación. en consecuencia, esperamos contar con su valiosa colaboración
para que nos la responda en la forma más completa posible.
Nombre: __________________________
Código __________________
1. En la siguiente tabla, marque con una X la casilla correspondiente a los
elementos de geometría que estudió durante su formación escolar. Seguidamente,
para cada una de las que señaló, explique de qué se trata e ilustre con un
ejemplo.
Fórmulas para hallar área o volumen
Definiciones de figuras geométricas
Construcciones con regla y compás
Postulados
Teoremas
Demostración
3. ¿Usó, en algún momento de su escolaridad, calculadora graficadora? Si la
respuesta es afirmativa, describa para qué la usó.
119
TABULACIÓN ENCUESTA
De los 28 estudiantes que respondieron la encuesta,
• 26 (92,9%) expresan que durante su formación escolar estudiaron fórmulas
para calcular áreas y/o volúmenes.
• 16 (57.1%) manifiestan que estudiaron definiciones de figuras geométricas; de
éstos, solo 12 dan ejemplos de definiciones.
• 15 (53,6%) construyeron figuras geométricas utilizando regla, compás y/o
transportador.
• Uno solo de los estudiantes recordó que es un postulado en geometría y lo
ejemplifica.
• 12 (42,9%) recuerdan haber estudiado y aplicado el Teorema de Pitágoras.,
• 3 (10,7%) reconocen haber desarrollado demostraciones en geometría.
Frecuencia
F. Relativa
1
2
3
4
5
6
26
12
15
1
12
3
92,9
42,9
53,6
3,6
42,9
10,7
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA ESTUDIADOS
30
25
20
15
10
FRECUENCIA
Ítem
5
0
1
ITEM
1
2
3
4
5
6
2
3
4
ITEM ESTUDIADOS
5
6
DESCRIPCIÓN (SIGNIFICADO)
Fórmulas para hallar área o volumen
Definiciones de figuras geométricas
Construcciones con regla y compás
Postulados
Teoremas
Demostración
Los elementos de geometría más trabajados por los estudiantes en su formación
escolar, en su orden, son fórmulas para hallar áreas y/o volúmenes y
construcciones con regla, transportador y compás, Catorce estudiantes (50%)
120
manifiestan haber estudiado estas dos opciones. Es de anotar que de los 14, 4
egresaron de instituciones educativas a las que el Ministerio de Educación
Nacional – MEN – dotó con Calculadoras Graficadoras Algebraicas – CGA – (
Normal Superior, 2; Juan B. la Salle, 1 y la Institución Educativa la Salle, 1).
Con la misma frecuencia, 12, se encuentran los estudiantes que informan haber
estudiado definiciones y teoremas de figuras geométricas. ; Catorce(50%) jóvenes,
afirman haber trabajado teoremas o demostraciones,; de éstos, solamente tres
manifiestan haber desarrollado simultáneamente las dos opciones aunque las
instituciones educativas correspondientes carecen de las CGA. .
En el segundo ítem de la encuesta se preguntó “¿Usó, en algún momento de su
escolaridad, calculadora graficadora? Si la respuesta es afirmativa, describa
para qué la usó”.
Respondieron afirmativamente siete estudiantes (25%), quienes manifiestan haber
utilizado la calculadora fundamentalmente en aspectos relacionados con el
Pensamiento Variacional (gráfica de la función afín y la lineal utilizando Cabri –
Geometry; resolver sistemas de ecuaciones lineales en dos y tres variables,
cálculo de limites y derivadas) y los Sistemas Geométricos: (construcción de
figuras geométricas, cálculo de perímetros, áreas; en óptica determinación de las
imágenes dadas por los espejos y las lentes cóncavas, convexas; movimiento
rectilíneo uniforme ,uniformemente acelerado, movimiento pendular) De estos, 4
son egresados de instituciones a las que el MEN donó CGA.
En términos generales, solamente un estudiante trabajó cinco de los seis ítems
durante su formación escolar, pero no egresó de una institución educativa del
Departamento y seis estudiaron 4 de los aspectos descritos anteriormente (1, 2, 3
y 5) Uno sólo de los encuestados no estudió Geometría durante su escolaridad.
De los 28 estudiantes matriculados para cursar la asignatura Geometría Euclídea
en el Grupo A, 27 eligieron la carrera de Licenciatura en Matemáticas y Física
como primera opción y el otro como segunda opción.
SAMUEL MORALES PARRA
JUAN CARLOS PADILLA
121
Anexo A2.
CONTENIDOS TEÓRICOS4
Postulado 1. Postulado de la distancia.
A cada par de puntos diferentes corresponde un número positivo único.
Postulado 2. Postulado de la regla.
Podemos establecer una correspondencia entre los puntos de una recta y los números reales de
manera que
(1) A cada punto de la recta corresponde exactamente un número real;
(2) A cada número real corresponde exactamente un punto de la recta; y
(3) La distancia entre dos puntos cualesquiera es el valor absoluto de la diferencia de los números
correspondientes.
Postulado 4. Postulado de la recta
Dados dos puntos distintos cualesquiera, hay exactamente una recta que los contiene
Definición de Estar Entre (Interistancia)
B está entre A y C, si (1) A, B y C son puntos distintos de una misma recta, y (2) AB + BC = AC
Segmento de Recta.
Para dos puntos cualesquiera A y B, el segmento AB es el conjunto de los puntos A y B, y de
todos los puntos que están entre A y B. Los puntos A y B se llaman los extremos del segmento
AB .
Definición:
El número AB se llama la longitud del segmento AB .
Rayo o Semirrecta.
Sean A y B dos puntos de una recta L. El rayo AB es el conjunto de puntos que es la reunión de
(1) el segmento AB y (2) el conjunto de todos los puntos C para los cuales es cierto que B está
entre A y C. El punto A se llama el extremo de AB .
Rayos Opuestos:
Si A está entre B y C en la recta L, entonces AB y AC se llaman rayos opuestos.
Punto Medio.
Un punto B se llama punto medio de un segmento AC , si B está entre A y C y AB = BC.
Definición: Decimos que el punto medio de un segmento biseca al segmento.
4
Fuente: Moise, E. y Downs, F. Geometría Moderna. Massachussets Estados Unidos. Addison –
Wesley Iberoamericana. c1986. 578 p.
122
Teorema 2 – 2.
Todo segmento tiene exactamente un punto medio.
Definición:
El conjunto de todos los puntos se llama espacio.
Definición:
Los puntos de un conjunto están alineados o son colineales, si hay una recta que los contiene a
todos.
Definición:
Los puntos de un conjunto son coplanarios, si hay un plano que los contiene a todos.
Postulado 5
(a) Todo plano contiene al menos tres puntos que no están alineados.
(b) El espacio contiene al menos cuatro puntos que no están en un plano.
Teorema 3 – 1.
Si dos rectas diferentes se intersecan, su intersección contiene un punto solamente.
Postulado 6:
Si dos puntos de una recta están en un plano, entonces la recta está en el mismo plano.
Teorema 3 – 2.
Si una recta interseca a un plano que no la contiene entonces la intersección contiene un solo
punto.
Postulado 7. El postulado del Plano
Tres puntos cualesquiera están al menos en un plano, y tres puntos cualesquiera no alineados
están exactamente en un plano.
Más brevemente, tres puntos cualesquiera son coplanarios, y tres puntos cualesquiera no
alineados determinan un plano.
Teorema 3 – 3.
Dada una recta y un punto fuera de ella, hay exactamente un plano que contiene a ambos.
Definición:
Un conjunto A se llama convexo, si para cada dos puntos P y Q del conjunto, todo el segmento
PQ está en A.
123
Definición: ángulo
Si dos rayos tienen el mismo origen o extremo, pero no están en la misma recta, entonces su
reunión es un ángulo. Los dos rayos se llaman los lados del ángulo y el extremo común se llama el
vértice. Si los rayos son AB y AC , entonces el ángulo se indica con ∠ BAC o con ∠ CAB.
Definición:
Si A, B, C son tres puntos cualesquiera no alineados, entonces la reunión de los segmentos
AB , AC , BC , se llama un triángulo, y se indica con ∆ABC. Los puntos A, B, C se llaman vértices,
y los segmentos AB , AC , BC se llaman los lados. Todo triángulo ∆ABC determina tres ángulos:
∠ BAC, ∠ ABC, y ∠ ACB. A estos los llamamos los ángulos del ∆ABC. Si está claro a qué
triángulo nos referimos frecuentemente podemos designarlos por ∠ A, ∠ B, y ∠ C.
Definición: Punto en el interior de un ángulo:
Sea el ∠ BAC un ángulo en el plano E. Un punto P está en el interior del ∠ BAC, si (1) P y B
están del mismo lado de la recta AC , y (2) P y C están del mismo lado de la recta AB . El exterior
del ángulo ∠ BAC es el conjunto de todos los puntos de E que no están en el ángulo y que
tampoco están en su interior.
Definición: Punto en el interior de un triángulo:
Un punto está en el interior de un triángulo, si está en el interior de cada uno de los ángulos del
triángulo. Un punto está en el exterior de un triángulo, si está en el plano del triángulo, pero no
está en el triángulo o en su interior.
Postulado 11. El postulado de la medida de ángulos
A cada ángulo ∠ BAC le corresponde un número real entre 0 y 180.
Definiciones
El número dado por el postulado de la medida de ángulos se llama la medida del ∠ BAC, y se
escribe m ∠ BAC.
Postulado 12. El postulado de la construcción del ángulo
Sea AB un rayo de la arista del semiplano H. Para cada número r entre 0 y 180, hay exactamente
un rayo AP , con P en H, tal que m ∠ PAB = r.
Postulado 13. El postulado de la adición de ángulos
Si D está en el interior del ∠ BAC, entonces: m ∠ BAC = m ∠ BAD + m ∠ DAC.
De ahí obtenemos: m ∠ CAD = m ∠ CAB - m ∠ DAB.
124
Definición: Par Lineal
Si AB y AD son rayos opuestos, y AC es otro rayo cualquiera, entonces ∠ BAC y ∠ CAD
forman un par lineal.
Definición: Ángulos Suplementarios
Si la suma de las medidas de dos ángulos es 180, entonces decimos que los ángulos son
suplementarios, y que cada uno es el suplemento del otro.
Postulado 14. El postulado del suplemento
Si dos ángulos forman un par lineal entonces son suplementarios.
Definición: Ángulo Recto.
Si los ángulos de un par lineal tienen la misma medida, entonces cada uno de ellos se llama un
ángulo recto.
Un ángulo recto es un ángulo cuya medida es 90.
Definición: Ángulos Complementarios
Si la suma de las medidas de dos ángulos es 90, entonces los ángulos se llaman complementarios
y cada uno de ellos se llama el complemento del otro.
Un ángulo con medida menor que 90 se llama agudo. Un ángulo con medida mayor que 90 se
llama obtuso.
Definición: Ángulos Congruentes.
Dos ángulos con la misma medida se llaman ángulos congruentes. Así, ∠ ABC y ∠ DEF son
congruentes, si m ∠ ABC = m ∠ DEF y, en este caso escribimos ∠ ABC ≅ ∠ DEF.
Teorema 4 – 2.
Todo ángulo es congruente consigo mismo (Siempre tenemos que m ∠ A = m ∠ A)
Definición: Ángulos Opuestos por el vértice
Dos ángulos son opuestos por el vértice, si sus lados forman dos pares de rayos opuestos.
Teorema 4 – 7. Teorema de los ángulos opuestos por el vértice
Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes
Definición: Congruencia de ángulos.
Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida. Dos segmentos son congruentes si
tienen la misma longitud.
Teorema 5 – 1.
Todo segmento es congruente consigo mismo.
125
Definición: Congruencia de triángulos.
Sea ABC ↔ DEF, una correspondencia entre los vértices de dos triángulos. Si los pares de lados
correspondientes son congruentes, y los pares de ángulos correspondientes son congruentes,
entonces la correspondencia ABC ↔ DEF se llama una congruencia entre los dos triángulos.
Definición: Correspondencia LAL
ABC ↔ DEF se llama una correspondencia LAL; con esto, queremos decir que dos lados y el
ángulo comprendido del primer triángulo son congruentes con las partes correspondientes del
segundo triángulo (“LAL” representa “Lado-ángulo-Lado”.)
Definición: Correspondencia ALA
ABC ↔ DEF se llama una correspondencia ALA; con esto, queremos decir que dos ángulos y el
lado comprendido del primer triángulo son congruentes con las partes correspondientes del
segundo triángulo (“ALA” representa, Ángulo – Lado – Ángulo”.)
Definición: Correspondencia L – L – L.
ABC ↔ DEF, se llama una correspondencia LLL; con esto queremos decir que los tres lados del
primer triángulo son congruentes con los lados correspondientes del segundo triángulo. (“LLL”
representa “lado-lado-lado”.)
Postulado 15. El postulado LAL.
Toda correspondencia LAL es una congruencia.
Postulado 16. El postulado ALA.
Toda correspondencia ALA es una congruencia.
Postulado 17. El postulado LLL.
Toda correspondencia LLL es una congruencia
Definición: Bisectriz de un ángulo
Si D está en el interior del ∠ BAC, y ∠ BAD ≅ ∠ DAC, entonces AD biseca al ∠ BAC, y AD se
llama la bisectriz del ∠ BAC.
Definición: Triángulo Isósceles.
Un triángulo con dos lados congruentes se llama isósceles. El otro lado es la base. Los dos
ángulos asociados con la base son ángulos en la base. El ángulo opuesto a la base es el ángulo
en el vértice.
Definición: Triángulo Equilátero.
Un triángulo con sus tres lados congruentes se llama equilátero.
Un triángulo para el cual dos lados cualesquiera no son congruentes se llama escaleno.
Un triángulo es equiángulo, si sus tres ángulos son congruentes.
126
Definición: Mediana.
Una mediana de un triángulo es un segmento cuyos extremos son un vértice del triángulo y el
punto medio del lado opuesto. Todo triángulo tiene tres medianas, una para cada vértice.
Definición: Bisectriz.
Un segmento es una bisectriz de un ángulo de un triángulo, si (1) está en el rayo que biseca al
ángulo del triángulo y (2) sus extremos son el vértice de ese ángulo y un punto del lado opuesto.
Definición: Altura de un triángulo.
Una altura de un triángulo es un segmento perpendicular desde un vértice del triángulo a la recta
que contiene al lado opuesto.
Definición. Rectas Paralelas.
Dos rectas son paralelas, si (1) están en un mismo plano y (2) no se intersecan.
Definición: Recta Secante.
Una secante a dos rectas coplanarias es una recta que las interseca en dos puntos diferentes.
Definición: Ángulos Alternos Internos.
Se dan dos rectas L1 y L2 cortadas por una secante T en los puntos P y Q. Sea A un punto de L1 y
B un punto de L2, tal que A y B están en lados opuestos de T. Entonces el ∠ APQ y el ∠ PQB son
ángulos alternos internos.
Teorema 9 – 5. El teorema AIP.
Se dan dos rectas cortadas por una secante. Si dos ángulos alternos internos son congruentes,
entonces las rectas son paralelas.
Teorema 9 – 8. El teorema PAI.
Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante, entonces los ángulos alternos internos son
congruentes.
Teorema 9 – 13.
Para todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos es 180.
Cuadriláteros en un Plano.
Definición: Cuadriláteros
Un cuadrilátero es una figura plana de cuatro lados.
Sean A, B, C, D cuatro puntos coplanarios. Si tres cualesquiera de ellos no están alineados y los
segmentos AB , BC , CD , AD , se intersecan solamente en sus extremos, entonces la reunión de
los cuatro segmentos se llama cuadrilátero. Los cuatro segmentos se llaman lados, y los puntos A,
B, C y D se llaman vértices. Los ángulos ∠ DAB, ∠ ABC, ∠ BCD, ∠ CDA se llaman ángulos del
cuadrilátero, y pueden identificarse brevemente por ∠ A, ∠ B, ∠ C, ∠ D.
127
Definición: Cuadrilátero Convexo.
Un cuadrilátero es convexo, si dos cualesquiera de sus vértices no están en lados opuestos de una
recta que contiene a un lado del cuadrilátero.
Definición: Elementos de los cuadriláteros.
Dos lados de un cuadrilátero son opuestos, si no se intersecan. Dos ángulos son opuestos, si no
tiene común un lado del cuadrilátero. Dos lados son consecutivos, si tienen un extremo común.
Dos ángulos son consecutivos si tienen común un lado del cuadrilátero. Una diagonal de un
cuadrilátero es un segmento determinado por dos vértices no consecutivos.
Si los cuatro ángulos del cuadrilátero son ángulos rectos, entonces el cuadrilátero se llama
rectángulo.
Si los cuatro ángulos son ángulos rectos y los cuatro lados son congruentes, entonces el
cuadrilátero es un cuadrado.
Definición: Trapecio.
Un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos. Se observará que la definición
permite la posibilidad de que ambos pares de lados opuestos sean paralelos. Si esto sucede,
tenemos un paralelogramo.
Definición: Paralelogramo.
Un paralelogramo es un cuadrilátero en el cual ambos pares de lados opuestos son paralelos.
Definición: Rombo, Rectángulo y Cuadrado.
Un rombo es un paralelogramo cuyos lados son todos congruentes entre sí.
Un rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos rectos.
Un Cuadrado es un rectángulo cuyos lados son todos congruentes entre sí.
Teorema 9 – 18.
Las diagonales de un paralelogramo se bisecan.
Teorema 9 – 19.
Si ambos pares de lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es
un paralelogramo.
Teorema 9 – 20.
Si dos lados de un cuadrilátero son paralelos y congruentes, entonces el cuadrilátero es un
paralelogramo.
Teorema 9 – 21.
Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.
128
Anexo A3. AUTOPROTOCOLOS o REGISTRO ESCRITO DE ESTUDIANTES
129
130
17
131
132
133
134
135
136
137
138
139
Anexo A4. TRANSCRIPCIÓN DE DEMOSTRACIONES
CLASE DEL 27 DE MARZO DEL 2006
Teorema 3-3: Dada una recta y un punto fuera de ella, hay exactamente un plano
que contiene a ambos.
Equipo C: Pablo, Arbey y Tomás
Trazamos una recta con dos puntos etiquetados como Q y R, etiquetamos la recta como (L).
Colocamos un punto (P) fuera de ella.
Como plano tomamos el marco de pantalla de la calculadora.
AFIRMACIÓN
RAZÓN
1) L es una recta y P un punto
Hipótesis
2)
P ⊄L
3)
QyRЄL
4)
5)
6)
7)
Hipótesis
3 e,
4c
2a
Dados dos puntos diferentes
cualesquiera, hay exactamente
una recta que los contiene
(Postulado 4) [De la recta]
P, Q y R son puntos no colineales
Afirmaciones 2 y 3
P, Q y R están exactamente en un plano
Tres puntos cualesquiera están al
menos en un plano y tres puntos
cualesquiera no alineados están
exactamente
en
un
plano
(Postulado 7) [Del plano]
L y P están en el mismo plano
Si dos puntos de una recta están
en un plano, entonces la recta está
en el mismo plano (postulado 6) y
afirmación 5.
Luego: Dada una recta y un punto fuera de ella hay exactamente un plano que contiene
a ambos
Cuadro No. 1 – A
140
Equipo F: Abel, Tito, Zamir.
Describen el proceso para trazar la recta y ubicar y etiquetar dos punto sobre la recta y un
punto fuera de ella utilizando Cabri Geometry
AFIRMACIÓN
RAZÓN
1) L es una recta y P un punto
Hipótesis
2)
L⊉P
Hipótesis
3)
QyRЄL
4)
5)
R, Q, P son puntos no colineales
P, Q y R están exactamente en un plano
6)
Postulado 4: Dados dos puntos
cualesquiera, hay exactamente
una recta que los contiene
Afirmaciones 2 y 3
Postulado
7:
Tres
puntos
cualesquiera están al menos en un
plano y tres puntos cualesquiera
no alineados están exactamente
en un plano
(Postulado 6) y afirmación 5.
L y P están exactamente en el mismo
plano
Luego: Dada una recta y un punto fuera de ella hay exactamente un plano que contiene
a ambos
Cuadro No. 1 – B
7)
3 e,
4c
2ª
Equipo B: Luz, Sofía, Mary.
Describen el proceso para trazar la recta y ubicar y etiquetar dos punto sobre la misma y un
punto fuera de ella, utilizando Cabri Geometry
AFIRMACIÓN
RAZÓN
1) L es una recta y P un punto
Hipótesis
2)
L⊉P
Hipótesis
3)
T y S son dos puntos diferentes
4)
5)
T, S y P son puntos no colineales
T, S y P están exactamente en un plano
6)
L y P están exactamente en el mismo
plano
Dados dos puntos diferentes, hay
exactamente una recta que los
contiene
Afirmaciones 2 y 3
Tres puntos cualesquiera están al
menos en un plano y tres puntos
cualesquiera no alineados están
exactamente en un plano
Si dos puntos de una recta están
en un plano, entonces la recta está
en el mismo plano.
7)
Faltó la conclusión
Cuadro No. 1 – C
141
3 e,
4c
1 a,
2a
Equipo A: Lucio, Juán, Alex.
Describen el proceso para trazar la recta, ubicar y etiquetar dos punto sobre la misma y un
punto fuera de ella, utilizando Cabri Geometry
AFIRMACIÓN
RAZÓN
1) L ∧ P Є E
Hipótesis
2)
L⊉P
Hipótesis
3)
P ∧ Q Є L son dos puntos diferentes
4)
5)
Q, R ∧ P son tres puntos no colineales
Q, R ∧ P están exactamente en un plano
6)
Postulado 4:
[Corresponde al
Postulado de la recta, pero no lo
enuncian]
Afirmaciones 2 y 3
Postulado 7 [Corresponde al
Postulado del plano, pero no lo
enuncian]
Postulado 6 y afirmación 5 [No
enunciaron el postulado]
Conclusión
L ∧ P están exactamente en el mismo
plano
Luego: Dada una recta y un punto fuera
de ella hay exactamente un plano que los
contiene a ambos
Cuadro No. 1 – D
7)
3 e,
4c
es Q
yR
2a
Equipo E: Alba, Tulio, Pedro
Describen el proceso para trazar la recta y ubicar y etiquetar dos punto sobre la misma y un
punto fuera de ella, utilizando Cabri Geometry
AFIRMACIÓN
RAZÓN
1) L es una recta y P es un punto
Hipótesis
2)
L ⊉ P ≡P ⊄L
3)
Q ∧ P son dos puntos Є L
4)
5)
6)
7)
Hipótesis
3 e,
4c
es Q
yR
2a
Dados
dos
puntos
distintos
cualesquiera, hay exactamente una
recta que los contiene.
Afirmaciones 2 y 3
Q, R ∧ P son tres puntos no colineales
P, Q, ∧ R están exactamente en un plano Postulado 7: Tres puntos cualesquiera
están al menos en un plano, y tres
puntos cualesquiera no alineados
están exactamente en un plano.
Postulado 6: Si dos puntos de una
L ∧ P están en el mismo plano
recta están en un plano entonces la
recta está en el mismo plano, y
afirmación 5
Luego: Dada una recta y un punto fuera de ella, hay exactamente un plano que los contiene
a ambos
Cuadro No. 1 – E
142
Equipo D: Luís, Rosa, Lucía.
Hacen el dibujo correspondiente a la construcción desarrollada en la CGA
AFIRMACIÓN
RAZÓN
1) L1 es una recta y P un punto
Hipótesis
2)
5)
P ⊄ L1 ≡ L1 ⊉ P
Hipótesis
QyR
Postulado 4: Dados dos puntos cualesquiera,
hay exactamente una recta que los contiene
Afirmaciones 2 y 3
Postulado 7: Tres puntos cualesquiera están
al menos en un plano y tres puntos
cualesquiera no alineados están exactamente
en un plano
P, Q y R son puntos no colineales
3 e,
4c
1a
NO HICIERON MÁS
Cuadro No. 1 – F
En las demostraciones que presentan los seis grupos anteriores, se observa que
todas presentan las mismas dificultades relacionadas con las afirmaciones dos y
tres, descritas en la socialización que hizo Walter, del equipo A.
En la afirmación cuatro de los equipos B y C, les faltó precisar que son “tres
puntos diferentes” no colineales; en la proposición tres del cuadro 1–C y 1–F a los
estudiantes les faltó precisar que los puntos pertenecen o están sobre la recta L;
estas dificultades hacen parte de la subcategoría (1 a) “Necesidad de formulación
precisa de definiciones, teoremas postulados, ampliando esa primera categoría”.
En la afirmación 3 de los cuadros 1– D y 1–E, los estudiantes contradicen lo
establecido en la afirmación dos. Al parecer se trata de un error de escritura,
colocan P en vez de R, porque en la afirmación cuatro, expresan “Q, R y P son
143
tres puntos no colineales”.
Siendo así esta afirmación, estarían nuevamente
negando la proposición dos.
En el cuadro 1 – F, además de la dificultad citada anteriormente, se nota que
tienen desorden no solo en la construcción de los procesos de la demostración,
sino que adicionalmente se les dificulta encadenar lógicamente las proposiciones
y sus correspondientes justificaciones, razones por las cuales no lograron concluir
con éxito el proceso.
17 de abril del 2006
Demuestre: Teorema 4.7. Teorema de los ángulos opuestos por el vértice “Los
ángulos opuestos por el vértice son congruentes”
La figura construida por el estudiante fue la siguiente.
144
Equipo B: Mary y Sofía.
El profesor suministró para el curso, (en papel) el dibujo que ilustra el enunciado del teorema
AFIRMACIÓN
RAZÓN
1) ∠1 es opuesto por el vértice con el ∠2
Hipótesis
2)
Definición de ángulos opuestos por el
PA opuesto a PB y PC opuesto a
vértice
PD
3) ∠3 ∧ ∠1 forman un par lineal
Afirmación 2
4) ∠2 ∧ ∠3 forman un par lineal
Afirmación 2
5) m ∠3 + m∠1 = 180
Si dos ángulos forman un par lineal
entonces son suplementarios.
6) m ∠3 + m∠2 = 180
Si dos ángulos forman un par lineal
entonces son suplementarios.
7) ∠3 ≅ ∠3
Todo ángulo es congruente consigo
mismo.
8) ∠1 ≅ ∠4 OJO: ángulo2
Los
suplementos
de
ángulos
congruentes son congruentes
9) Luego: Los ángulos opuestos por el [En la afirmación 8 se presenta un error
vértice son congruentes.
de escritura, se trata del ∠2]
CUADRO No. 4 – A
Equipo C: Pablo, Arbey, Tomás.
1)
AFIRMACIÓN
∠1 es opuesto por el vértice con el
∠2
Hipótesis
2)
El PA es opuesto al PB y el PC es
Definición de ángulos opuestos por el
vértice
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
opuesto al PD
∠1 ∧ ∠3 forman un par lineal
∠2 ∧ ∠3 también forman un par lineal
RAZÓN
Afirmación 2 y definición de par lineal.
Afirmación 2 y definición de par lineal:
Son dos ángulos que tienen un lado
común y sus otros dos lados son rayos
opuestos.
Postulado del suplemento: Si dos ángulos
m ∠3 + m∠1 = 180
forman un par lineal entonces son
suplementarios.
Postulado del suplemento: Si dos ángulos
m ∠2 + m∠3 = 180
forman un par lineal entonces son
suplementarios.
Teorema 4.2: Todo ángulo es congruente
∠3 ≅ ∠3
consigo mismo.
Teorema 4.5: Los suplementos de
∠1 ≅ ∠2
ángulos congruentes son congruentes,
aplicado en 5,6 y 7
Luego: Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
CUADRO No. 4 – B
145
Equipo A: Walter, David, Mery.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
AFIRMACIÓN
∠1 es opuesto por el vértice con el
∠2
PA
opuesto a PB
∧ PC opuesto
RAZÓN
Hipótesis
Definición de ángulos opuestos por el
vértice.
PD
∠3 ∧ ∠1 forman un par lineal
∠2 ∧ ∠3 forman un par lineal
La medida del ∠3 + m∠1 = 180º
Afirmación 2
Afirmación 2 y definición de par lineal
Postulado del suplemento: “Si dos
ángulos forman un par lineal entonces
son suplementarios”.
Postulado del suplemento
m ∠3 + m∠2 = 180
Teorema 4.2: Todo ángulo es congruente
∠3 ≅ ∠3
consigo mismo.
Teorema 4.5: Los suplementos de
∠1 ≅ ∠2
ángulos congruentes son congruentes.
Luego: Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
CUADRO No. 4 – C
Equipo G: Juán, Alex, Jaime.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
AFIRMACIÓN
∠1 es opuesto por el vértice con el
∠2
Hipótesis
PA es opuesto al PB
Definición de ángulos opuestos por el
vértice
y PC es
RAZÓN
opuesto al PD
Afirmación 2 y definición de par lineal.
∠3 ∧ ∠1 forman un par lineal
Afirmación 2 y definición de par lineal
∠2 ∧ ∠3 forman un par lineal
Postulado del suplemento
m ∠3 + m∠1 = 180º
Sobra la unidad de medida
Postulado del suplemento
m ∠3 + m∠2 = 180º
Teorema 4.2:
∠3 ≅ ∠3
Teorema 4.5
∠1 ≅ ∠2
Luego: Los ángulos opuestos por el de 5,6 y 7
vértice son congruentes.
CUADRO No. 4 – D
146
Equipo E: Alba, Tulio, Pedro
1)
2)
3)
4)
AFIRMACIÓN
∠1 es opuesto por el vértice con el
∠2
PA
opuesto a PB
∧ PC opuesto
PD
∠3 ∧ ∠1 forman un par lineal
∠2 ∧ ∠3 forman un par lineal
RAZÓN
Hipótesis
Dos ángulos son opuestos por el
vértice si sus lados forman dos pares
de rayos opuestos.
Afirmación 2
Afirmación 2 y definición de par lineal:
Si AB
5)
6)
7)
8)
9)
∧ AD son rayos opuestos, y
AC es otro rayo cualquiera, entonces
el ∠BAC y ∠CAD forman un par lineal
Postulado del suplemento: “Si dos
m ∠3 + m∠1 = 180º
ángulos forman un par lineal,
Sobra unidad de medida
entonces son suplementarios”.
Postulado del suplemento: “Si dos
m ∠3 + m∠2 = 180º
ángulos forman un par lineal,
Sobra unidad de medida
entonces son suplementarios”.
Teorema 4.2: Todo ángulo es
∠3 ≅ ∠3
congruente consigo mismo.
Teorema 4.5: Los suplementos de
∠1 ≅ ∠2
ángulos
congruentes
son
congruentes. (aplicado en 5, 6 y 7)
Luego: Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
CUADRO No. 4 – E
En las demostraciones que se ilustran en los cuadros 4 – D y 4 – E, se hizo
innecesario escribir la unidad de medida angular, puesto que en la expresión m ∠1
+ m∠3 = 180, la letra eme (m) se encarga de ello (Moise & Downs: 1986, 81). Por
lo demás, se puede afirmar que los cuadros 4 – A a 4 – E permiten confirmar que
las demostraciones hechas por los estudiantes son acertadas y que una razón
probable es el haber proporcionado el dibujo que ilustra el enunciado del teorema.
147
Equipo F: Abel, Hugo, Tito.
AFIRMACIÓN
1)
2)
3)
4)
5)
6)
PB ∧ PC PA ∧ PD son dos pares
de rayos opuestos
∠1 ∧ ∠3; ∠2 ∧ ∠3 Cada par forman
un par lineal.
RAZÓN
Hipótesis
4a
1b
De 1 y definición de par lineal: Si AB
∧ AD son rayos opuestos, y AC es otro
rayo cualquiera, entonces el ∠BAC y
∠CAD forman un par lineal
∠1 ∧ ∠3; ∠2 ∧ ∠3 Cada par de De la [Afirmación] 2 y postulado del
suplemento, Si dos ángulos forman un par
ángulos son suplementarios.
lineal, entonces son suplementarios.
Teorema 4.2: Todo ángulo es congruente
∠3 ≅ ∠3
consigo mismo.
∠1 ≅ ∠2
Afirmación 3 ∧ 4. Teorema 4.5: Los
suplementos de ángulos congruentes son
congruentes.
Luego: Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
CUADRO No. 4 – F
El equipo de Abel tuvo dificultad (4 a) , es decir, como primera proposición
debieron escribir que ∠1 y el ∠2 son opuestos por el vértice, el error está en
identificar como hipótesis algo que no está en el enunciado, ya que el dibujo fue
suministrado por el profesor en la guía de trabajo, al escribir la citada premisa,
podían justificarla con “hipótesis gráfica”.
A partir de la primera afirmación escrita por este equipo se puede inferir que ellos
tienen dificultad (1b) con la “Verificación del cumplimiento de las condiciones de la
hipótesis del hecho geométrico que se pretende usar”, ya que las citadas parejas
no corresponden a rayos opuestos, obsérvese el dibujo del cuadro No.3.
148
24 de abril del 2006
Datos: En la figura,
m ∠ CAB =
m ∠ CBA
y
m ∠ DAB = m ∠ DBA. Demostrar que
m ∠ CAD = m ∠ CBD
Equipo F: Tito, Abel, Huber
El profesor suministró para el curso, el dibujo (en papel) que ilustra el enunciado del teorema
AFIRMACIÓN
RAZÓN
1)
Hipótesis
m∠CAB = m∠CBA
2)
Hipótesis
m∠DAB = m∠DBA.
3)
D está en el interior del ∠CAB y en el Hipótesis gráfica
interior del ∠CBA
4)
Hipótesis gráfica
**
AD es un segmento al igual que BD
5)
Postulado de adición de ángulos: Si
m∠CAD + m∠DAB = m∠CAB
D está en el interior del ángulo ABC,
entonces: m∠ABC = m∠ABD+
m∠CBD
6)
Postulado de adición de ángulos: Si
m∠CAD = m∠CAB - m∠DAB
D está en el interior del ángulo ABC,
entonces: m∠ABC = m∠ABD+
m∠CBD y de ésta obtenemos :
m∠ABC - m∠ABD= m∠CBD
7)
Postulado de adición de ángulos [y la
m∠CBD +m∠DBA= m∠CBA
4]
8)
Postulado de adición de ángulos
m∠CBD = m∠CAB - m∠DAB
**
9)
m∠CBD = m∠CAB - m∠DBA OJO; Reemplazando la ?
repitieron
10) m∠CBD = m∠CAB - m∠DAB
Reemplazando la?
3b
11) m∠CAD = m∠CBD
Por igualación de la 6 y la 10
Cuadro No. 7 – A
En las afirmaciones cuatro y nueve del cuadro anterior, encontramos que los
estudiantes introducen premisas innecesarias. En la proposiciones ocho y diez
encontramos errores en el nombre de las figuras geométricas, debieron escribir
149
m∠CBD = m∠CBA - m∠DBA, como la razón dada es correcta, no se puede inferir
que sustituyeron la afirmación uno en la siete.
En la afirmación diez del cuadro No. 7 – A, los estudiantes debieron aplicar la
propiedad transitiva de la igualdad como relación de equivalencia, entre las
proposiciones seis y ocho de tal manera que a partir de ese proceso pudieran
aplicar la propiedad cancelativa de la igualdad con respecto a la suma o diferencia
de números reales y eliminar m∠CAB con la m∠CBA para obtener la conclusión
que escribieron en la afirmación once.
Equipo G: Alex, Juan y Jaime
1)
2)
3)
AFIRMACIÓN
m∠CAB = m∠CBA
m∠DAB = m∠DBA.
D está en el interior del ∠ABC
RAZÓN
Hipótesis
Hipótesis
Postulado
de
la
construcción
del
1d
ángulo: Sea AB un rayo de la arista
del semiplano H para cada número r
entre 0 y 180 hay exactamente un rayo
AP con P en el semiplano H, tal que r
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
= m PB ∠PAB
Postulado de adición de ángulos: Si D
está en el interior del ángulo ABC,
entonces m∠ABD+ m∠DBC = m∠ABC
Postulado de adición de ángulos: Si
m∠CBD= m∠CBA- m∠DBA
m∠ABD+ m∠DBC = m∠ABC entonces
m∠DBC = m∠ABC - m∠ABD
Postulado 12: de la construcción del
D está en el interior del ∠CAB
ángulo, utilizado en 3
Postulado de adición de ángulos
m∠CAD + m∠DAB= m∠CAB
utilizado en 5.
Postulado
13 utilizado en 5.
m∠CAD = m∠CAB - m∠DAB
Reemplazando la 7 y la 4 en 1
m∠CAD+ m∠DAB= m∠CBD+ m∠DBA
Reemplazando la 2 en la 9
m∠CAD+ m∠DAB= m∠CBD+ m∠DAB
Propiedad cancelativa en la 10
m∠CAD = m∠CBD
Cuadro No. 7 - B
m∠CBD+ m∠DBA=m∠CBA
150
1d
3b
En las afirmaciones tres y seis del cuadro No. 7 – B, Alex y su equipo tuvieron
dificultad (1 d) , pues la afirmación se justifica por la hipótesis gráfica y si querían
dar una justificación más fuerte podían complementarla aplicando la definición de
punto en el interior de un ángulo (Anexo A3. CONTENIDOS TEÓRICOS). En la
proposición nueve, ellos escribieron reemplazando la 7 y la 4 en la 1, en realidad
aplicaron la propiedad transitiva de la igualdad como relación de equivalencia,
entre las proposiciones siete y la cuatro, teniendo como razón la hipótesis 1:
Vale la pena hacer notar que en los cuadros No. 7 – A y No. 7 – B, se registraron
menos dificultades que los que se identificaron en el proceso de socialización
desarrollados por Luz, del equipo B.
Tomás
[Dibujando un romboide, comúnmente llamado paralelogramo.] Bueno,
nosotros
empezamos a sacar primero las hipótesis. Como es un cuadrilátero, el segmento AB y
CD, lo mismo que BC y AD son los lados opuestos en el cuadrilátero. Como base,
entonces, yo digo por hipótesis. ¿Si, o qué? Ya. La segunda. Digo que el segmento
AB…
AFIRMACIÖN
1. Sea ABCD el cuadrilátero
2.
___
___
___
___
Son lados
AB , CD , lo mismo que AD y BC
opuestos.
3. ∠A y el ∠C
lo mismo que
∠B y el ∠D
Son los ángulos opuestos
4. ∠A ≅ ∠C y ∠B ≅ ∠D
5. m∠A = m∠C y m∠B = m∠D
RAZÓN
Hipótesis.
De la construcción y definición de lados
opuestos en un cuadrilátero.
De la construcción y definición de
ángulos opuestos en un cuadrilátero.
Hipótesis
Def. Congruencia de ángulos en la
151
afirmación 4.
Postulado de la recta.
6. Existen las rectas AB , CD , BD y AC
___
___
7. AC , BD son las diagonales del ABCD.
8. ∠ABD Λ ∠CDB lo mismo que ∠ADB Λ ∠DBC
son ángulos alternos internos.
9. ∠CAB Λ ∠ACD lo mismo que ∠DAC Λ ∠ACB
son ángulos alternos internos
10. D está en el interior del ángulo ∠ABC
11. B está en el interior del ángulo ∠ADC
12. m∠ABC = m∠ABD + m∠DBC
13. m∠ADC = m∠ADB + m∠BDC
14. m∠ABD + m∠DBC = m∠ADB + m∠BDC
15. ΔDAB: m∠A + m∠ABD + m∠ADB =180
16. ΔBCD: m∠C + m∠BDC + m∠CBD =180
17. m∠A + m∠ABD + m∠ADB = m∠C + m∠BDC +
m∠CBD
18. m∠ABD + m∠ADB = m∠BDC + m∠CBD
m∠ABD + m∠DBC = m∠ADB + m∠BDC
- m∠ABD - m∠ADB = -m∠BDC - m∠CBD
19. m∠DBC - m∠ADB = m∠ADB - m∠CBD
20. m∠DBC + m∠CBD = m∠ADB + m∠ADB
21. 2 m∠DBC = 2 m∠ADB
22. ∠DBC ≅ ∠ADB
23. ∠ABD ≅ ∠BDC
24. AB ⎜⎟ CD
25. ΔABC: m∠B + m∠CAB + m∠BCA=180
26. ΔADC: m∠D + m∠DAC + m∠DCA=180
27. m∠B + m∠CAB + m∠BCA= m∠D + m∠DAC
+ m∠DCA
28. m∠CAB + m∠BCA = m∠DAC + m∠DCA
152
Def. de diagonal y la gráfica
Dado por la construcción y definición
de ángulos alternos.
Dado por la construcción y definición
de ángulos alternos.
Dado por la construcción y Def. de
punto en el interior de un ángulo
Dado por la construcción y Def. de
punto en el interior de un ángulo
Postulado Adición Ángulos y afirmación
10.
Postulado Adición Ángulos y afirmación
11.
De 4 y sustitución de la afirmación 12
en la 13.
Teorema 9.13
Teorema 9.13
Igualación o sustitución de la
afirmación 15 con la 16.
De la 4, Propiedad cancelativa
Restar de la afirmación 14 la 18.
Transposición de términos en la
afirmación 19.
Suma de números Reales iguales en la
afirmación 20.
Propiedad cancelativa y def. de
congruencia de ángulos.
De afirmación 6.Teorema 9.4, si dos
rectas intersecadas por una secante
determina
dos
ángulos
alternos
internos congruentes, entonces los
otros dos ángulos alternos internos
también son congruentes.
Teorema
9.5.
Si
dos
rectas
intersecadas
por
una
secante
determinan ángulos alternos internos
congruentes, entonces las rectas son
paralelas.
Teorema 9.13.
Teorema 9.13
Sustitución de la afirmación 25 en la
26.
Propiedad cancelativa en la afirmación
27.
29.
m∠DAC + m∠CAB = m∠DCA + m∠ACB
- m∠CAB - m∠BCA = - m∠DAC - m∠DCA
m∠DAC - m∠BCA = m∠ACB - m∠DAC
Restando la afirmación 28
Transposición de términos
Suma de números Reales Iguales
Propiedad cancelativa o del recíproco
Definición de congruencia de ángulos
en la afirmación 32.
Teorema.
9.4,
si
dos
rectas
34. ∠BAC ≅ ∠ACD
intersecadas
por
una
secante
determina
dos
ángulos
alternos
internos congruentes, entonces los
otros dos ángulos Alternos Internos
también son congruentes.
Afirmaciones: 6, 9, 34 y Teorema. 9.5.
35. BC ⎜⎟ AD
Si dos rectas intersecadas por una
secante determinan ángulos alternos
internos congruentes, entonces las
rectas son paralelas.
36. Luego: Si en un cuadrilátero ambos pares de ángulos opuestos son congruentes, entonces el
cuadrilátero es un paralelogramo. De 24 y 35.
CUADRO No. 8 – A
30.
31.
32.
33.
m∠DAC + m∠DAC = m∠ACB + m∠ACB
2 m∠DAC = 2 m∠ACB
m∠DAC = m∠ACB
∠DAC ≅∠ACB
08 de mayo del 2006
__
__
“Demuestre que si los segmentos AE y DF se bisecan en P, entonces el ∆PDA ≅
∆PFE (construya la figura)”
Construcción hecha por Tomás en
la CGA
153
Equipo D: Luís, Rosa y Lucía
2)
3)
4)
AFIRMACIÓN
AE está bisecado en P
DF está bisecado en P
AP = EP
DP = FP
AP ≅ EP
5)
DP ≅ FP
6)
7)
8)
AP ∧ EP
DP ∧ FP
∠DPA ≅ ∠EPF
9)
∆PDA ≅ ∆PFE
1)
RAZON
Hipótesis
Definición de bisecar e hipótesis 1
Definición de bisecar e hipótesis 1
Definición de congruencia de segmentos
aplicada en la 2.
Definición de congruencia de segmentos
aplicada en la 4.
Definen un par de rayos opuestos
Definen un par de rayos opuestos
Definición de ángulos opuestos por el
vértice.
Postulado L-A-L: afirma 2, 8 y 3
Cuadro No. 11 - B
1d- f
1d-f
En las afirmaciones 6 y 7 del cuadro No. 11 – B el equipo de Luís tiene la dificultad
1 d , la existencia de los segmentos es una condición necesaria, pero no suficiente
para aplicar la definición de rayo, debían crear las recta AE y DF por aplicación del
correspondiente postulado y como en la afirmación uno establecieron que P es el
punto medio de los correspondientes segmentos les hubiese resultado la
justificación adecuada. El no haber construido las dos afirmaciones anteriores
también está relacionado con la dificultad (1f); situación similar se puede observar
en la afirmación 5; en la 2 y la 3, en la 5 y en la dos de los cuadros: 11 – C, 11 –
D, 11 – E y 11 – G, respectivamente. [Ver cuadro No. 11 – H]
154
Equipo B: Luz, Sofía, Mary
1)
2)
3)
4)
AFIRMACIÓN
AE y DF Se bisecan en P
AP = EP
DP = FP
∠EPF es opuesto al ∠DPA
5)
m∠EPF = m ∠DPA
6)
7)
∆PDA = ∆PFE
Por lo tanto: ∆PDA ≅ ∆PFE
RAZON
Hipótesis
Definición de bisecar
Definición de bisecar
Definición de ángulos opuestos por el
vértice
Teorema de los ángulos opuestos por el
vértice
Definición de congruencia.
5
5
1 d, f,
5
5
Cuadro No. 11 - C
En las afirmaciones 2, 3, 5 y 6 del cuadro No. 11 – C, nuevamente encontramos
la dificultad correspondiente a la nueva categoría (5) ) “Manejo de la sintaxis y/o
lenguaje icónico propio de la geometría euclidiana, y adicionalmente la
introducción de premisas innecesarias”, pues la igualdad es entre los números
reales, que corresponden a la distancia o a la medida angular, entre otros, y la
congruencia se da entre figuras geométricas, como lo debieron escribir en la
quinta y sexta proposición.
Equipo F: Abel, Tito, Huber.
1)
2)
3)
AFIRMACIÓN
AE y DF Se bisecan en P
AP ∧ PE; DP ∧ PF forman dos
pares de rayos opuestos.
AP ∧ DE ; DP ∧ PF forman dos
ángulos opuestos por el vértice
4)
∠EPF ≅ ∠DPA
5)
P es el punto medio del AE y DF
6)
AP = PE
7)
DP = PF
RAZON
Hipótesis
De 1
Definición de ángulos opuestos por el
vértice (Anexo A3.
CONTENIDOS
TEÓRICOS).
Los rayos [ángulos] opuestos por el
vértice son congruentes
De 1 y definición de bisecar: Decimos
que el punto medio de un segmento
biseca al segmento.
DEF: Punto Medio: Un punto B se llama
punto medio de un segmento AC , si B
está entre A ∧ C y AB = BC.
DEF: Punto Medio: Un punto B se llama
155
1-d
1-d
8)
∆PDA ≅ ∆PFE
punto medio de un segmento AC , si B
está entre A ∧ C y AB = BC.
Postulado L-A-L: afirma 6, 4 y 7: Esto
quiere decir que dos lados y el ángulo
comprendido del primer triángulo son
congruentes
con
las
partes
correspondientes del segundo triángulo.
Cuadro No. 11 - D
Equipo G: Jaime, Alex y Juán
1)
2)
3)
AFIRMACIÓN
AE y DF son segmentos
AE y DF Se bisecan en P
AP ≅ EP
4)
DP ≅ FP
5)
∠APD ≅ ∠EPF
6)
7)
∆APD ≅ ∆EPF
DA ≅ EF
8)
∆PDA ≅ ∆PFE
RAZON
Hipótesis
Hipótesis
Definición de congruencia de segmentos
y 2.
Definición de congruencia de segmentos
y2
Teorema 4.7: Teorema de los ángulos
opuestos por el vértice
Postulado L-A-L: en 3, 5 y 4
Partes correspondientes de ángulos
[triángulos]
congruentes
son
congruentes
Postulado L –L- L en 3, 4 y 7
Cuadro No. 11 - E
1d, f
RAZON
Hipótesis
Definición de bisecar: Afirmación 1
Definición de bisecar: Afirmación 1
Si dos segmentos se bisecan, entonces
los segmentos que unen los extremos de
los segmentos dados son congruentes.
Postulado L – L - L en la 2, 3, 4
Cuadro No. 11 - F
1c
Equipo A: David, Mery y Walter
1)
2)
3)
4)
AFIRMACIÓN
AE y DF Se bisecan en P
AP ≅ EP
PD ≅ PF
AD≅EF
5)
∆APD ≅ ∆EPF
Para la construcción de la demostración que se ilustra en el cuadro No. 11 – F
Walter y su equipo, en la afirmación 4 no tuvieron la dificultad 1 c, la razón dada
por los estudiantes corresponde al desarrollo de uno de los ejercicios resueltos en
el libro de geometría, pero que en ese entonces no había sido validado por la
156
clase. Esto tiene como consecuencia que la demostración no sea válida (Perry,
et., al. 2006, 261)
Equipo E: Alba, Pedro, Tulio.
1)
AFIRMACIÓN
AE y DF Se bisecan en P
2)
∠DPE ≅ ∠APF
3)
4)
5)
AP = PE
PF = PD
∠APD ≅ ∠FPE
6)
∆DPA ≅ ∆EPF
RAZON
Hipótesis
1d, f,
5
Definición: Los ángulos opuestos por el
vértice son congruentes.
Definición de bisecar.
Definición de bisecar.
DEF: Los ángulos opuestos por el
vértice son congruentes. es Teorema
Postulado L-A-L, toda correspondencia
Lado ángulo Lado es una congruencia.
Cuadro No. 11 - G
En el cuadro No. 11 – H se ilustra los cuadros y las proposiciones en que los
equipos de estudiantes tuvieron las dificultades.
Cuadro
No. 11 A
B
C
D
E
F
G
1
4a
2
1d
5
1 d, f
No. de Afirmación o Razón
3
4
5
5
1 d, f
5
1d, f, 5
1d, 1f
1c
1 d, f, 5
1d, 1f
Cuadro No. 11 - H
“En la siguiente figura si AB
=CB, ∠ MAE ≅ ∠ NCD y AE =
CD, demostrar que ∆ABE ≅
∆CBD” * Moise & Downs.
(1986: 131)
157
6
7
1d, f, 5
1d,
f
5
1d, f
Equipo C: Arbey, Pablo y Tomás.
AFIRMACIONES
RAZONES
1) AB = CB
2) AB ≅ CB
3)
4)
5)
6)
Hipótesis
Definición de congruencia de segmentos.
Dos segmentos son congruentes si tienen
igual medida.
Hipótesis
Definición de congruencia de segmentos.
AE = CD
AE ≅ CD
∠MAE ≅ ∠NCD
A está entre M y B
Hipótesis
Definición de estar entre.
7) AH y AB son rayos opuestos
8) C está entre B y N
9) CB y CN son rayos opuestos
10) ∠NCD Y ∠BCD Forman par lineal
11)
∠NCD Y ∠BCD Son
suplementarios
12) ∠ABE Y ∠MAE Forman par lineal
13)
∠ABE Y ∠MAE Son
suplementarios
14) ∠BCD ≅ BAE
15) ∆ABE ≅ ∆CBD
AB y AD son rayos opuestos y AC es otro
rayo cualquiera, entonces ∠BAC y ∠CAD
forman un par lineal
Definición de estar entre
Definición de rayos opuestos
Definición de Par Lineal
Postulado del suplemento en la afirmación 10
Definición de Par lineal
Postulado del suplemento
Error
Error
Teorema 4.5: Los suplementos de ángulos
congruentes son congruentes. 5, 10 y 13.
Postulado L – A – L , premisas 2, 3 y 14
Cuadro No. 14 – A
En la demostración construida por Arbey y su equipo, registrada en el cuadro
anterior, cometieron error en las afirmaciones doce y trece al escribir ∠ABE en
lugar de registrar ∠EAB, que es el que realmente corresponde. Pero esto no se
considera como dificultad ya que, como lo muestra la demostración, sabían cómo
hacerla y el error parece ser de escritura.
Equipo D: Rosa, Luís y Lucía.
AFIRMACIONES
1)
2)
3)
4)
AB = CB
AB ≅ CB
AE = CD
AE ≅ CD
RAZONES
Hipótesis
Definición de congruencia y afirmación 1
Hipótesis
Definición de congruencia y afirmación 3
158
5) ∠MAE ≅ ∠NCD
6) m∠MAE = m∠NCD
7) MA , AB y BC , CN
8) ∠EAB y ∠MAE
9) ∠NCD y ∠DCB
10) ∠EAB ≅ ∠DCB
11) ∆ABE ≅ ∆CBD
Hipótesis
Definición de congruencia de ángulos
afirmación 5.
Definen dos pares de rayos opuestos
Definen un par lineal
Definen un par lineal
Postulado de los ángulos suplementarios
Postulado L – A – L, afirmaciones 1, 10 y 3
Cuadro No. 14 – C
y
1 d,
1d
En el cuadro anterior, se registra la demostración construida por el equipo de
Luís. En ella encontramos que las justificaciones de las afirmaciones 7, 8 y 9 son
en realidad parte de la afirmación y que, por tanto, no están dando justificación
para ellas.
Esto muestra una dificultad
(1 d), aceptaron como verdadera la
información visual suministrada por la figura; en este caso la razón es la hipótesis
gráfica que podían complementar con la definición de rayos opuestos. (Anexo A3.
CONTENIDOS TEÓRICOS) Adicionalmente, en la misma afirmación se
equivocaron al nombrar los rayos opuestos a AB y CN , siendo AM
y CB
respectivamente.
En la afirmación 10, los estudiantes tienen dificultad (1 d), ya que debían escribir
como razón el teorema que expresa: “los suplementos de ángulos congruentes
son congruentes”. para lo cual les hacen falta dos pasos: 8 a) ∠EAB y ∠MAE son
suplementarios y 9 a) ∠NCD y ∠DCB son suplementarios. Situación similar
ocurre con la premisa ocho del cuadro 14 G; les faltó hacer previamente las
afirmaciones necesarias para poder deducir esa afirmación.
159
Equipo B: Luz, Sofía y Mary.
AFIRMACIONES
1) AB = CB
2) ∠MAE ≅ ∠NCD
3) AE = CD
4) ∠A ≅ ∠C
5) ∠E ≅ ∠D
6) ∠B ≅ ∠B
7) ∆ABE ≅ ∆CBD
RAZONES
Hipótesis
Hipótesis gráfica
Hipótesis
Las partes correspondientes de triángulos
congruentes son congruentes.
Las partes correspondientes de triángulos
congruentes son congruentes.
Congruencia identidad: Todo ángulo es
congruente consigo mismo
Postulado L – A – L, afirmaciones: 1, 6 y 3.
Cuadro No. 14 – D
4 a, 5
4b
4b
Se puede establecer que las afirmaciones cuatro y cinco del cuadro 14 – D, que
corresponde a la demostración elaborado por Luz y su equipo, son incorrectas ya
que la congruencia que ellas expresan como razón no la han demostrado, es
decir, han ingresado en un círculo vicioso, que consiste en “suponer ser cierto
precisamente aquello que tratan de demostrar”, Moise & Downs (1986: 129).
Realmente las dificultades de este grupo se presentan porque ellos ni siquiera
entienden el problema, no tienen idea alguna de cómo conectar lo dado con lo que
se busca, qué significa demostrar congruencia de triángulos.
Equipo F: Abel, Tito y Huber.
AFIRMACIONES
1) AB = CB
2) ∠MAE ≅ ∠NCD
3) m∠MAE = m∠NCD
4) AE = CD
5) ∠MAE y ∠EAB son suplementarios
6) m∠MAE + m∠EAB =180
7) m∠EAB =180 - m∠MAE
RAZONES
Hipótesis
Hipótesis
Definición congruencia de ángulos: dos
ángulos con la misma medida se llaman
ángulos congruentes.
Hipótesis
1d
Definición de ángulos suplementarios: Si la
suma de la medida de dos ángulos es 180
entonces decimos que los ángulos son
suplementarios.
Postulado de la adición de ángulos: Si D
está en el interior del ángulo BAC,
160
1d
8) ∠NCD y ∠DCB son suplementarios
9) m∠NCD + m∠DCB = 180
10) m∠DCB = 180 - m∠NCD
11) m∠DCB = 180 - m∠MAE
12) m∠DCB = m∠EAB
13) ∆ABE ≅ ∆CBD
entonces, la m∠BAC = m∠BAD + m∠DAC
1d
Definición de ángulos suplementarios
Postulado de adición de ángulos y
afirmación 9.
Reemplazando la afirmación 3 en la 10
Igualación de la afirmación 7 con la 11.
Postulado L – A – L; afirmaciones 1, 12 y 4.
Cuadro No. 14 – E
1d
La única dificultad (1d) que presenta el grupo de Abel se debe a que no tienen el
conocimiento de la teoría para poder usar los diferentes elementos del sistema
axiomático para hacer la demostración. A partir de la falta de la razón de las
afirmaciones cinco y ocho del cuadro anterior, se afirma que en este caso los
estudiantes no dieron el respaldo teórico necesario a la afirmación.
Equipo G: Jaime, Juán y Alex.
AFIRMACIONES
RAZONES
1) AB = CB
2) ∠MAE ≅ ∠NCD
3) AE = CD
4) AB ≅ CB
Hipótesis
Hipótesis
Hipótesis
Definición de congruencia de segmentos en
la afirmación 1.
Definición de congruencia de segmentos en
5) AE ≅ CD
la afirmación 3.
Definición de par lineal
6) ∠MAE y ∠EAB forman par lineal
Definición de par lineal
7) ∠NCD y ∠DCB forman par lineal
8) ∠MAE y ∠EAB son suplementarios Afirmación 6 y postulado del suplemento
9) ∠NCD y ∠DCB son suplementarios Afirmación 7 y postulado del suplemento
Los suplementos de ángulos congruentes son
10) ∠EAB ≅ ∠DCB
congruentes.
Postulado L – A – L, afirmaciones 5,10 y 4.
11) ∆EAB ≅ ∆DCB
Cuadro No. 14 – F
1d
En la séptima afirmación del cuadro anterior se identifica una dificultad (1 d) pues
les hace falta incluir las afirmaciones anteriores que les permita deducir las que
aquí establecen, es decir, el respaldo desde el sistema axiomático para deducir las
afirmaciones de los pasos 6 y 7.
161

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