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Transcript
Resuelve problemas de semejanza
de triángulos y Teorema de
Pitágoras.
Noción de semejanza
MAESTRA: Diana Olivia Flores Martínez.
UNIDAD GÓMEZ PALACIO.
De modo general, diremos que dos
triángulos son semejantes cuando los ángulos
de uno de ellos sean respectivamente
congruentes con los ángulos del otro y, además,
tengan proporcionales sus lados homólogos
(correspondientes).
Para avanzar en la comprensión del concepto de
semejanza es preciso definir y entender qué
son lados homólogos(correspondientes) y qué
es proporcionalidad.
Tenemos la figura siguiente:
Veamos:
Los lados homólogos (correspondientes) son,
respectivamente:
a y a' (de color rojo, lado pequeño y lado pequeño)
b y b' (de color verde, lado grande y lado grande)
c y c' (de color azul, lado mediano y lado mediano)
Si hacemos la división entre los lados homólogos
(correspondientes) el resultado es 2 (10 dividido5, 8
dividido 4 y 6 dividido 3); este valor recibe el nombre
de razón y cuando la razón es igual en todos y cada
uno de los lados homólogos (correspondientes), se
dice que los lados son proporcionales.
Para comprobar si dos triángulos son semejantes
existen teoremas o criterios de semejanza, los
cuales ayudan a determinar la semejanza o no de dos
triángulos.
Importante
Cuando se dice que el triángulo ABC es semejante
con el triángulo DEF, se escribe:
Δ ABC ~ Δ DEF
Es muy importante el orden en que se escriban los
vértices de cada triángulo, ya que esto establece los
lados y los ángulos homólogos.
En el ejemplo anterior, se tiene que:
El vértice A es homólogo con el vértice D
El vértice B es homólogo con el vértice E
El vértice C es homólogo con el vértice F
El lado AB es homólogo con el lado DE
El lado BC es homólogo con el lado EF
El lado AC es homólogo con el lado DF
Ahora podemos postular el que se considera como Teorema
Fundamental de la Semejanza de Triángulos:
Toda paralela a cualquier lado de un triángulo forma con los
otros dos lados un triángulo semejante al primero, y para
que dos triángulos sean semejantes basta con que cada uno
posea dos ángulos congruentes.
Si trasladamos el concepto hacia la imagen de la derecha,
tendremos:
Hipótesis:
Si DC // AB, entonces
Tesis: Δ ABE ~ Δ DCE
En este momento tenemos que hacer un alcance conceptual:
Cuando estudiamos la Congruencia analizamos los llamados
“cuatro teoremas o criterios de congruencia de triángulos”;
pues bien, es del caso que de modo paralelo a cada uno de
ellos existe un teorema o criterio de semejanza de triángulos.
Teoremas o criterios de semejanza de triángulos
Criterio de semejanza A-A-A
Si dos triángulos tienen tres ángulos cada uno
respectivamente congruente con los ángulos del otro,
entonces los triángulos son semejantes
Hipótesis:
Si
entonces
Tesis: Δ ABC ~ Δ A’B’
Criterio de semejanza L-L-L
Si dos triángulos tienen sus tres lados proporcionales,
entonces son semejantes
Hipótesis:
si ,
entonces
Tesis: Δ ABC ~ Δ A’B’C’
Criterio de semejanza L-A-L
Si dos triángulos tienen cada uno dos lados
correspondientes proporcionales y el respectivo ángulo
que forman es congruente, entonces los triángulos son
semejantes.
Hipótesis:
Si
y, además,
, entonces
Tesis: Δ ABC ~ Δ A’B’C’
Este criterio se puede simplificar diciendo
que: Para que dos triángulos sean semejantes,
basta que tengan un ángulo congruente
comprendido entre lados proporcionales.
También podríamos deir que “Dos triángulos son
semejantes cuando tienen un ángulo igual
(congruente) y son proporcionales los dos
lados que lo forman”.
Criterio de semejanza L-L-A
Para que dos triángulos sean semejantes, basta que
tengan dos de sus lados respectivamente
proporcionales, y que cada ángulo opuesto al mayor
de esos lados sea congruente con su homólogo.
Hipótesis:
Si
, y además
Tesis: Δ ABC ~ Δ A’B’C
, entonces
Este criterio o teorema tambièn se puede expresar
así: “Dos triángulos son semejantes cuando tienen
dos lados respectivamente proporcionales e igual el
ángulo opuesto a los lados mayores de éstos”.
Corolarios de la semejanza en triángulos
Si dos triángulos son semejantes entonces sus
transversales de gravedad, sus alturas, sus
perímetros, etcétera se encuentran en la misma razón
que sus lados.
Si dos triángulos son semejantes entonces la razón
entre sus éreas es igual al cuadrado de la razón entre
sus lados.
Para tener en cuenta:
Estos cuatro teoremas de semejanza sirven a su
vez para demostrar la proporcionalidad de trazos y
la igualdad de ángulos.
De ellos, el primero es el que más se usa en las
demostraciones; es decir, que basta encontrar dos
ángulos iguales para que los triángulos que se
comparan sean semejantes.