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PPTCES001MT22-A17V1 MT-22 Clase Generalidades de los triángulos Síntesis de la clase Recordemos la clase anterior… - ¿En qué se diferencia el complemento de un ángulo con el suplemento de este? - ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un polígono?¿y los ángulos exteriores? - ¿Qué características tienen los paralelogramos? Aprendizajes esperados •Identificar los elementos primarios de un triángulo y sus propiedades. •Reconocer los elementos secundarios de un triángulo y sus propiedades. •Clasificar los triángulos según las medidas de sus lados y de sus ángulos. •Aplicar propiedades del triángulo rectángulo, en particular, aplicar el teorema de Pitágoras. •Aplicar propiedades de triángulos equiláteros e isósceles. •Aplicar propiedades generales de triángulos. Pregunta oficial PSU 56. Un niño eleva un volantín de modo que el hilo se extiende en línea recta formando un ángulo de 60º con la horizontal, la longitud del hilo desde la mano ¿Qué función del niño al volantín es de 46 metros y la mano del niño está a un metro del cumple la suelo, como se representa en la figura 17. ¿A qué altura (h) del suelo se altura en un encuentra el volantín? triángulo equilátero? A) A 23 metros B) A 24 metros C) A 33,2 metros D) A 23 3Simetros se dibuja el reflejo del respecto a la altura E) A (23triángulo 3 + 1) metros de este, ¿qué tipo de triángulo se formaría con la unión de estos triángulos? ¿Qué teorema(s) Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2014. respecto a los conoces triángulos rectángulos? 1. Definición 2. Propiedades y clasificación 3. Triángulo rectángulo 4. Triángulo equilátero 1. Definición 1.1 Elementos primarios El triángulo es un polígono de tres lados, cuyos elementos primarios son: C • Lados : segmentos que delimitan el triángulo. a b • Vértices: intersección de dos lados. A c B Teorema: “La suma de dos lados debe ser siempre mayor que la medida del tercer lado”. ¿Podría dibujarse un triángulo de lados: 9, 2 y 12 cm? 1. Definición 1.1 Elementos primarios • Ángulos interiores: se forman por la intersección de dos lados, en el interior de la figura. • Ángulos exteriores: son los ángulos adyacentes a los ángulos interiores. C Relaciones angulares: a + b + g = 180° a´ + b´ + g´ = 360° A B g’ = a + b b’ = a + g a’ = b + g 1. Definición 1.2 Elementos secundarios • Altura (h) Segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. C El ortocentro (H) es el punto de intersección de las alturas. hC C A H A B D B 1. Definición 1.2 Elementos secundarios • Transversal de gravedad (tc) Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. El baricentro o centro de gravedad (G) es el punto de intersección de las transversales de gravedad. tC El centro de gravedad (G), divide a cada transversal en razón 2:1. D, E y F: Puntos medios AE = tA BF = tB CD = tC G: Centro de gravedad 1. Definición 1.2 Elementos secundarios • Simetral (S) Recta perpendicular a un segmento, trazada en su punto medio. C El punto de intersección de las simetrales se llama circuncentro y corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. D, F y G: Puntos medios. E: Circuncentro S A B 1. Definición 1.2 Elementos secundarios • Bisectriz (bc) Rayo que dimidia un ángulo, es decir, lo divide en 2 partes iguales. C El punto de intersección de las bisectrices se llama incentro y corresponde al centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. E: Incentro bC A D B 1. Definición 1.2 Elementos secundarios • Mediana (Md) Es el segmento que une los puntos medios de dos lados consecutivos. La mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de él. D, E y F: Puntos medios DF, DE y EF: Medianas Al trazar las tres medianas de un triángulo, se forman 4 triángulos iguales entre sí. El área de cada uno es la cuarta parte del área total del triángulo original. 1. Definición 1.3 Ejemplo Según el triángulo de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) c < a II) a > b + c III) α > 75º + 20º A) B) C) D) E) Solo I Solo II Solo III Solo I y II Solo I y III ALTERNATIVA CORRECTA A Más información en las páginas 71 y 72 de tu libro. ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 1 y 3 de tu guía. 2. Propiedades y clasificación 2.1 Área y perímetro Para obtener el área y perímetro en un triángulo cualquiera se utilizan las siguientes fórmulas: C C b b a a hA hC hB A B c Área = base ∙ altura 2 A c B Perímetro = a + b + c 2. Propiedades y clasificación 2.2 Clasificación Según ángulos Según lados Acutángulo Escaleno Todos sus ángulos interiores son agudos. Todos sus lados y ángulos son distintos. Ejemplo: Rectángulo Tiene recto. un Isósceles ángulo Tiene al menos 2 lados congruentes y los ángulos basales de igual medida. (Base) Obtusángulo Tiene un obtuso. ángulo Equilátero Tiene todos sus lados y ángulos congruentes. 2. Propiedades y clasificación 2.3 Ejemplo En la figura, el segmento AD es transversal de gravedad y su medida es 5 cm. Si el perímetro del triángulo ADC mide 16 cm, entonces el perímetro del triángulo ABC mide A) B) C) D) E) 5 cm 10 cm 18 cm 19 cm 24 cm ALTERNATIVA CORRECTA E Más información en la página 72 de tu libro. ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 6 y 8 de tu guía. 3. Triángulo rectángulo 3.1 Teorema de Pitágoras • Los catetos corresponden a los lados del triángulo que forman el ángulo recto. • La hipotenusa corresponde al lado del triángulo opuesto al ángulo recto. En todo triángulo rectángulo se cumple que: “el cuadrado de la hipotenusa es igual la suma de los cuadrados de los catetos.” 2 2 AC + BC = AB 2 Cateto 1 Cateto 2 3. Triángulo rectángulo 3.2 Propiedades • Triángulo rectángulo isósceles C A B • Triángulo rectángulo y transversal de gravedad Si M es punto medio de AB, entonces AM MB CM tC : transversal 3. Triángulo rectángulo 3.3 Ejemplo En el triángulo CDA de la figura, AB = 2 y BC = 3. El valor de x es 6 cm A) B) 10 cm C) 3 2 cm D) 5 cm E) Ninguno de los valores anteriores ALTERNATIVA CORRECTA B Más información en la página 73 de tu libro. ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 16 y 19 de tu guía. 4. Triángulo equilátero 4.1 Propiedades Las alturas, transversales, bisectrices y simetrales coinciden sobre la misma recta. Por lo tanto, el ortocentro, centro de gravedad, incentro y circuncentro coinciden. AB BC CA • Área (A) y altura (h) de un triángulo equilátero h=a 3 2 a2 3 A= 4 con a: lado del triángulo 30º 30º a a h 60º a 2 60º a 2 a 3 2 4. Triángulo equilátero 4.2 Relaciones en la circunferencia Relación entre el triángulo equilátero y la circunferencia circunscrita h=r+ 3r r h= 2 2 Relación entre el triángulo equilátero y la circunferencia inscrita h = 3r 4. Triángulo equilátero 4.3 Ejemplo En un triángulo equilátero MNR, se representa el centro de gravedad mediante un punto F. Si MF = 6, entonces el perímetro del triángulo es A) 27 3 B) 18 3 D) 18 3 2 18 E) 27 C) ALTERNATIVA CORRECTA B Más información en la página 73 de tu libro. ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 11 y 13 de tu guía. Pregunta oficial PSU 56. Un niño eleva un volantín de modo que el hilo se extiende en línea recta formando un ángulo de 60º con la horizontal, la longitud del hilo desde la mano del niño al volantín es de 46 metros y la mano del niño está a un metro del suelo, como se representa en la figura 17. ¿A qué altura (h) del suelo se encuentra el volantín? A) A 23 metros B) A 24 metros C) A 33,2 metros D) A 23 3 metros E) A (23 3 + 1) metros ALTERNATIVA CORRECTA Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2014. E Síntesis de la clase Recordemos… - ¿Cuáles son los elementos secundarios de un triángulo? - ¿Qué tipos de triángulos conoces? - ¿En qué consiste el teorema de Pitágoras? - ¿Cómo se determina la altura de un triángulo equilátero? Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 1 E Ángulos y polígonos Aplicación 2 D Ángulos y polígonos ASE 3 A Ángulos y polígonos Aplicación 4 C Ángulos y polígonos Aplicación 5 B Ángulos y polígonos ASE 6 D Ángulos y polígonos ASE 7 E Ángulos y polígonos Aplicación 8 A Ángulos y polígonos ASE 9 E Ángulos y polígonos ASE 10 D Ángulos y polígonos Aplicación 11 A Ángulos y polígonos ASE 12 B Ángulos y polígonos Aplicación Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 13 C Ángulos y polígonos ASE 14 E Ángulos y polígonos Comprensión 15 C Ángulos y polígonos Comprensión 16 A Ángulos y polígonos Aplicación 17 C Ángulos y polígonos ASE 18 A Ángulos y polígonos ASE 19 A Ángulos y polígonos Aplicación 20 B Ángulos y polígonos ASE 21 C Ángulos y polígonos ASE 22 D Ángulos y polígonos ASE 23 C Ángulos y polígonos ASE 24 D Ángulos y polígonos ASE 25 D Ángulos y polígonos ASE Equipo Editorial Matemática ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL. Propiedad Intelectual Cpech RDA: 186414 Cuenta regresiva Volver a: 1. Definición 2. Propiedades y clasificación 3. Triángulo rectángulo 4. Triángulo equilátero 5. Pregunta oficial PSU