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PPTCES001MT22-A17V1
MT-22
Clase
Generalidades de los triángulos
Síntesis de la clase
Recordemos la clase anterior…
-
¿En qué se diferencia el complemento de un ángulo con el suplemento
de este?
-
¿Cuánto suman los ángulos interiores de un polígono?¿y los ángulos
exteriores?
-
¿Qué características tienen los paralelogramos?
Aprendizajes esperados
•Identificar los elementos primarios de un triángulo y sus propiedades.
•Reconocer los elementos secundarios de un triángulo y sus
propiedades.
•Clasificar los triángulos según las medidas de sus lados y de sus
ángulos.
•Aplicar propiedades del triángulo rectángulo, en particular, aplicar el
teorema de Pitágoras.
•Aplicar propiedades de triángulos equiláteros e isósceles.
•Aplicar propiedades generales de triángulos.
Pregunta oficial PSU
56. Un niño eleva un volantín de modo que el hilo se extiende en línea recta
formando un ángulo de 60º con la horizontal, la longitud del hilo desde la mano
¿Qué
función
del niño al volantín es de 46 metros y la mano del niño está
a un
metro del
cumple
la
suelo, como se representa en la figura 17. ¿A qué altura (h)
del suelo
se
altura
en
un
encuentra el volantín?
triángulo
equilátero?
A) A 23 metros
B) A 24 metros
C) A 33,2 metros
D) A 23 3Simetros
se dibuja el reflejo del
respecto a la altura
E) A (23triángulo
3 + 1) metros
de este, ¿qué tipo de
triángulo se formaría con la
unión de estos triángulos?
¿Qué teorema(s)
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión
2014. respecto a los
conoces
triángulos rectángulos?
1. Definición
2. Propiedades y clasificación
3. Triángulo rectángulo
4. Triángulo equilátero
1. Definición
1.1 Elementos primarios
El triángulo es un polígono de tres lados, cuyos elementos primarios son:
C
• Lados
: segmentos que delimitan el triángulo.
a
b
• Vértices: intersección de dos lados.
A
c
B
Teorema: “La suma de dos lados debe ser siempre mayor que la medida
del tercer lado”.
¿Podría dibujarse un triángulo de lados: 9, 2 y 12 cm?
1. Definición
1.1 Elementos primarios
• Ángulos interiores: se forman por la intersección de dos lados, en
el interior de la figura.
• Ángulos exteriores: son los ángulos adyacentes a los ángulos
interiores.
C
Relaciones angulares:
a + b + g = 180°
a´ + b´ + g´ = 360°
A
B
g’ = a + b
b’ = a + g
a’ = b + g
1. Definición
1.2 Elementos secundarios
• Altura (h)
Segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto o a su
prolongación.
C
El ortocentro (H) es el punto de
intersección de las alturas.
hC
C
A
H
A
B
D
B
1. Definición
1.2 Elementos secundarios
• Transversal de gravedad (tc)
Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
El baricentro o centro de gravedad (G)
es el punto de intersección de las
transversales de gravedad.
tC
El centro de gravedad (G), divide a cada transversal en razón 2:1.
D, E y F: Puntos medios
AE = tA
BF = tB
CD = tC
G: Centro de gravedad
1. Definición
1.2 Elementos secundarios
• Simetral (S)
Recta perpendicular a un segmento, trazada en su punto medio.
C
El punto de intersección de las simetrales
se llama circuncentro y corresponde al
centro de la circunferencia circunscrita al
triángulo.
D, F y G:
Puntos medios.
E: Circuncentro
S
A
B
1. Definición
1.2 Elementos secundarios
• Bisectriz (bc)
Rayo que dimidia un ángulo, es decir, lo divide en 2 partes iguales.
C
El punto de intersección de las bisectrices
se llama incentro y corresponde al centro
de la circunferencia inscrita en el triángulo.
E: Incentro
bC
A
D
B
1. Definición
1.2 Elementos secundarios
• Mediana (Md)
Es el segmento que une los puntos medios de dos lados consecutivos. La
mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de él.
D, E y F: Puntos medios
DF, DE y EF: Medianas
Al trazar las tres medianas de un triángulo, se forman 4
triángulos iguales entre sí. El área de cada uno es la cuarta
parte del área total del triángulo original.
1. Definición
1.3 Ejemplo
Según el triángulo de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) c < a
II) a > b + c
III) α > 75º + 20º
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
ALTERNATIVA
CORRECTA
A
Más información en las páginas 71 y
72 de tu libro.
¡AHORA TÚ! (5 minutos)
Ejercicios 1 y 3 de tu guía.
2. Propiedades y clasificación
2.1 Área y perímetro
Para obtener el área y perímetro en un triángulo cualquiera se utilizan las
siguientes fórmulas:
C
C
b
b
a
a
hA hC hB
A
B
c
Área = base ∙ altura
2
A
c
B
Perímetro = a + b + c
2. Propiedades y clasificación
2.2 Clasificación
Según ángulos
Según lados
Acutángulo
Escaleno
Todos sus ángulos
interiores son agudos.
Todos sus lados y
ángulos son distintos.
Ejemplo:
Rectángulo
Tiene
recto.
un
Isósceles
ángulo
Tiene al menos 2
lados congruentes y
los ángulos basales
de igual medida.
(Base)
Obtusángulo
Tiene un
obtuso.
ángulo
Equilátero
Tiene todos sus lados y
ángulos congruentes.
2. Propiedades y clasificación
2.3 Ejemplo
En la figura, el segmento AD es transversal de gravedad y su medida
es 5 cm. Si el perímetro del triángulo ADC mide 16 cm, entonces el
perímetro del triángulo ABC mide
A)
B)
C)
D)
E)
5 cm
10 cm
18 cm
19 cm
24 cm
ALTERNATIVA
CORRECTA
E
Más información en la página 72 de tu
libro.
¡AHORA TÚ! (5 minutos)
Ejercicios 6 y 8 de tu guía.
3. Triángulo rectángulo
3.1 Teorema de Pitágoras
• Los catetos corresponden a los lados
del triángulo que forman el ángulo
recto.
• La hipotenusa corresponde al lado
del triángulo opuesto al ángulo recto.
En todo triángulo rectángulo se cumple que:
“el cuadrado de la hipotenusa es igual la suma de
los cuadrados de los catetos.”
2
2
AC + BC = AB
2
Cateto 1
Cateto 2
3. Triángulo rectángulo
3.2 Propiedades
• Triángulo rectángulo isósceles
C
A
B
• Triángulo rectángulo y transversal de gravedad
Si M es punto medio de AB, entonces
AM  MB  CM
tC : transversal
3. Triángulo rectángulo
3.3 Ejemplo
En el triángulo CDA de la figura, AB = 2 y BC = 3. El valor de x es
6 cm
A)
B) 10 cm
C) 3 2 cm
D)
5 cm
E) Ninguno de los valores anteriores
ALTERNATIVA
CORRECTA
B
Más información en la página 73 de tu
libro.
¡AHORA TÚ! (5 minutos)
Ejercicios 16 y 19 de tu guía.
4. Triángulo equilátero
4.1 Propiedades
Las alturas, transversales, bisectrices y simetrales
coinciden sobre la misma recta. Por lo tanto, el
ortocentro, centro de gravedad, incentro y circuncentro
coinciden.
AB  BC  CA
• Área (A) y altura (h) de un triángulo equilátero
h=a 3
2
a2 3
A=
4
con a: lado del triángulo
30º 30º
a
a
h
60º
a
2
60º
a
2
a 3
2
4. Triángulo equilátero
4.2 Relaciones en la circunferencia
Relación entre el triángulo equilátero
y la circunferencia circunscrita
h=r+
3r
r
 h=
2
2
Relación entre el triángulo equilátero y
la circunferencia inscrita
h = 3r
4. Triángulo equilátero
4.3 Ejemplo
En un triángulo equilátero MNR, se representa el centro de gravedad
mediante un punto F. Si MF = 6, entonces el perímetro del triángulo es
A)
27 3
B)
18 3
D)
18 3
2
18
E)
27
C)
ALTERNATIVA
CORRECTA
B
Más información en la página 73 de tu
libro.
¡AHORA TÚ! (5 minutos)
Ejercicios 11 y 13 de tu guía.
Pregunta oficial PSU
56. Un niño eleva un volantín de modo que el hilo se extiende en línea recta
formando un ángulo de 60º con la horizontal, la longitud del hilo desde la mano
del niño al volantín es de 46 metros y la mano del niño está a un metro del
suelo, como se representa en la figura 17. ¿A qué altura (h) del suelo se
encuentra el volantín?
A) A 23 metros
B) A 24 metros
C) A 33,2 metros
D) A 23 3 metros
E) A (23 3 + 1) metros
ALTERNATIVA
CORRECTA
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2014.
E
Síntesis de la clase
Recordemos…
-
¿Cuáles son los elementos secundarios de un triángulo?
-
¿Qué tipos de triángulos conoces?
-
¿En qué consiste el teorema de Pitágoras?
-
¿Cómo se determina la altura de un triángulo equilátero?
Tabla de corrección
Nº
Clave
Unidad temática
Habilidad
1
E
Ángulos y polígonos
Aplicación
2
D
Ángulos y polígonos
ASE
3
A
Ángulos y polígonos
Aplicación
4
C
Ángulos y polígonos
Aplicación
5
B
Ángulos y polígonos
ASE
6
D
Ángulos y polígonos
ASE
7
E
Ángulos y polígonos
Aplicación
8
A
Ángulos y polígonos
ASE
9
E
Ángulos y polígonos
ASE
10
D
Ángulos y polígonos
Aplicación
11
A
Ángulos y polígonos
ASE
12
B
Ángulos y polígonos
Aplicación
Tabla de corrección
Nº
Clave
Unidad temática
Habilidad
13
C
Ángulos y polígonos
ASE
14
E
Ángulos y polígonos
Comprensión
15
C
Ángulos y polígonos
Comprensión
16
A
Ángulos y polígonos
Aplicación
17
C
Ángulos y polígonos
ASE
18
A
Ángulos y polígonos
ASE
19
A
Ángulos y polígonos
Aplicación
20
B
Ángulos y polígonos
ASE
21
C
Ángulos y polígonos
ASE
22
D
Ángulos y polígonos
ASE
23
C
Ángulos y polígonos
ASE
24
D
Ángulos y polígonos
ASE
25
D
Ángulos y polígonos
ASE
Equipo Editorial
Matemática
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1. Definición
2. Propiedades y clasificación
3. Triángulo rectángulo
4. Triángulo equilátero
5. Pregunta oficial PSU