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Gravitación
4ª ESO
Chema Martín, 2013
INDICE
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Modelos del sistema solar. Leyes de kepler
Estudio del Movimiento circular
Ley de la Gravitación universal de Newton
Uso de la ley de gravitación:
– Explicación de las leyes de Kepler. Satélites
– Campo gravitatorio. Valor de g.
Teorias sobre el sistema solar
• Modelo Geocéntrico:
– Propuesto en la antigüedad por los griegos y
sistematizado por Ptolomeo, astrónomo griego
que vivió en Alejandría en el s. II
– Asume que la Tierra está inmovil en el centro del
sistema solar y todos los planetas y el sol giran
alrededor de ella.
– Ptolomeo lo perfecciona con la idea del epiciclo y
la deferente, para explicar la retrogradación de
algunos planetas como marte.
Modelo geocéntrico de Ptolomeo
Resultado de los dos movimientos: la epicicloide
Teorias sobre el sistema solar
• Modelo Heliocéntrico:
– Se debe a Copérnico (1473-1543). Su libro, De revolutionibus
orbium coelestium (Sobre las revoluciones de las esferas
celestes), publicada póstumamente en 1543, que suele estar
considerado como el punto inicial o fundador de la astronomía
moderna.
• Las ideas principales de su teoría eran:
– Los movimientos celestes son uniformes, eternos, y circulares o
compuestos de diversos ciclos (epiciclos).
– El centro del universo se encuentra cerca del Sol.
– Orbitando alrededor del Sol, en orden, se
encuentran Mercurio, Venus, la Tierra y
la Luna, Marte, Júpiter, Saturno. (Aún no se
conocían Urano yNeptuno.)
• Otros cientificos que profundizan en el
modelo Heliocétrico son:
– Tycho Brahe (1546-1601) fue un astrónomo danés,
considerado el más grande observador del cielo en el
período anterior a la invención del telescopio. Tras la
muerte de Brahe las medidas sobre la posición de los
planetas pasaron a posesión de Kepler.
– Galileo: Inventor del telescopio y gran astrónomo,
confirmo lo propuesto por Copérnico.
– Kepler: Elaboró, con los datos de Brahe, las famosas 3
leyes que rigen el movimiento planetario.
Leyes de Kepler
• Johannes Kepler (1571- 1630), figura clave en la revolución
científica, astrónomo y matemático alemán;
fundamentalmente conocido por sus leyes sobre el
movimiento de los planetas en su órbita alrededor del Sol.
Fue colaborador de Tycho Brahe, a quien sustituyó como
matemático imperial de Rodolfo II.
• Durante su estancia con Tycho le fue imposible acceder a
los datos de los movimientos aparentes de los planetas ya
que Tycho se negaba a dar esa información. Ya en el lecho
de muerte de Tycho y después a través de su familia, Kepler
accedió a los datos de las órbitas de los planetas que
durante años se habían ido recolectando. Gracias a esos
datos, los más precisos y abundantes de la época, Kepler
pudo ir deduciendo las órbitas reales planetarias.
• Afortunadamente, Tycho se centró en Marte, con una elíptica muy
acusada, de otra manera le hubiera sido imposible a Kepler darse
cuenta de que las órbitas de los planetas eran elípticas. Inicialmente
Kepler intentó el círculo, por ser la más perfecta de las trayectorias,
pero los datos observados impedían un correcto ajuste, lo que
entristeció a Kepler ya que no podía saltarse un pertinaz error de
ocho minutos de arco. Kepler comprendió que debía abandonar el
círculo, lo que implicaba abandonar la idea de un "mundo
perfecto". De profundas creencias religiosas, le costó llegar a la
conclusión de que la tierra era un planeta imperfecto, asolado por
las guerras, en esa misma misiva incluyó la cita clave: "Si los
planetas son lugares imperfectos, ¿por qué no deben de serlo las
órbitas de las mismas?". Finalmente utilizó la fórmula de la elipse,
una rara figura descrita por Apolonio de Pérgamo una de las obras
salvadas de la destrucción de la biblioteca de Alejandría. Descubrió
que encajaba perfectamente en las mediciones de Tycho.
1ª: Ley de las órbitas
• Elipse:
Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de
distancias a 2 puntos fijos denominados focos (F y F’) es
constante. Es como un circulo con 2 centros.
Se puede trazar con una cuerda sujeta a 2 puntos, los focos, y
un boligrafo que desliza por el interior de la cuerda.
La primera ley de kepler afirma que:
“Los planetas giran en órbitas elípticas alrededor
del sol, estando éste situado en uno de los focos
de la elipse”.
2ª: Ley de las áreas
• “El radiovector que une el sol con un planeta
recorre áreas iguales en tiempos iguales”. Se
puede formular también diciendo que la
velocidad areolar (m2/s) de cada planeta es
constante.
En la animación de la derecha se
representa el área que recorre la
línea que une el Sol con la Tierra
cada 2 meses. Todas las áreas son
iguales.
Una consecuencia de la 2ª ley
• Como el movimiento no es circular, los planetas
no están siempre a la misma distancia del sol.
• De todas las posiciones hay 2 especialmente
interesantes:
– Afelio: cuando el planeta está más alejado del sol, en
el caso de la tierra en el solsticio de verano, cerca del
día de San Juan.
– Perihelio: cuando el planetas está más cerca del sol,
en el caso de la tierra en el solsticio de invierno, cerca
del día de Navidad (curioso que haga tanto frio
estando cerca del Sol y tanto calor cuando estamos
lejos, ¿eh?).
Una consecuencia de la 2ª ley
Como el área barrida debe ser el mismo, el planeta debe ir mas deprisa en el perihelio
que en el afelio. No sólo vamos a toda pastilla sino que también a tirones.
3ª: Ley de los períodos
• Kepler no sólo fue exacto en la 2º ley, sino que llegó a
predecir el tiempo que tarda cada planeta en dar la
vuelta alrededor del sol, su período, T (que en el caso
de la Tierra es 1 año).
• Parece evidente que cuanto mayor sea el radio mas
larga será la órbita y mayor será el período, pero la
relación no es tan sencilla como la proporcionalidad
directa entre T y r
• El radio de comparación es el denominado radio
medio, r, que se calcula haciendo la media entre la
distancia del planeta al sol en el afelio y en el perihelio.
3ª: Ley de los períodos
• “El cuadrado de los períodos de rotación de los
planetas alrededor del sol son proporcionales a
los cubos de sus respectivos radios medios”.
• Es decir, que la relación es:
2
3
T =kr
• Se cumple que si los planetas lejanos tardan
mas en girar alrededor del Sol, pero la
relación no es la simple proporcionalidad.
Gráfica de la 3ª Ley
Distancias en AU=Unidades astronómicas=distancia Tierra-Sol (observar donde está la
tierra en la gráfica).Períodos en años.
Observar que se representa T2 frente a r3→T2=Kr3
Movimiento circular
• Aunque acabamos de ver que las órbitas de
los planetas son elípticas, su excentricidad, su
achatamiento, es muy pequeño y podemos
suponer, a efectos de cálculo práctico, que sus
órbitas serán circulares.
• Vamos a estudiar brevemente el movimiento
circular, para aplicarlo, junto con la ley de
gravitación universal de Newton, al estudio de
las órbitas de planetas y satélites.
El movimiento circular
• Se denomina movimiento circular a aquel cuya trayectoria es una
circunferencia. Recordar que la circunferencia es el lugar geométrico
de los puntos del plano tales que equidistan de otro llamado centro.
Esa distancia igual para todos es el radio r
• Para describir el movimiento circular es necesario conocer las
magnitudes que lo definen y lo primero será conocer cómo medir los
ángulos
• En física la medida básica de ángulos se suele hace en una unidad
denominada radian (rad) que habrás visto en matemáticas.
• Es una unidad de medida de ángulos, como el grado. Cuando usamos
los grados dividimos el ángulo central de la circunferencia en 360
partes y cada una es un grado.
• El radián (abreviatura rad)es el valor del ángulo
central que comprende un arco cuya longitud es
igual que el radio con el que se traza el ángulo.
Relaciones entre medidas
Relaciones entre medidas
Velocidad angular (ω)
Relación ω-v
Movimiento circular uniforme
• Es aquel que tiene una trayectoria circular y
cuya “velocidad” es constante. Por ejemplo,
una noria, un tiovivo, …
• Se abrevia MCU.
• Como v=cte → ω=v·r=cte; Δϕ=ωΔt
ϕ=ϕ0+ω(t-t0)
Ecuación igual que la del MRU, s=s0+v(t-t0),
cambiando las magnitudes lineales s y vpor sus
correspondientes angulares ϕ y ω;
Una gran diferencia entre MRU y MCU
• Además de la trayectoria y del cambio en las
magnitudes lineales por ángulares hay otra diferencia
muy sútil pero muy importante entre el MRU y el MCU.
• En el MRU no hay aceleración, ya que el vector
velocidad no cambia ni de módulo, ni de dirección.
• Si embargo, en el MCU, la velocidad es constante en
módulo (siempre va a los mismos metros por segundo)
pero como v es tangente a la trayectoria cambia
continuamente de dirección, por lo que tiene un tipo
de aceleración conocida como aceleración normal o
centrípeta.
Cuando el movimiento es circular uniforme
(siempre con módulo, 5 m/s, por ejemplo) la
velocidad, tangente a la trayectoria, debe
cambiar de dirección continuamente y por tanto
debe tener una aceleración. Esa aceleración
queda justificada con la 2ª ley de Newton. Para
que un objeto gire es necesario que hagamos
una fuerza hacia el centro, como se ve en la
figura de debajo. Si la fuerza va hacia el centro,
la aceleración también. Por eso se llama
centrípeta o normal.
La aceleración normal
Período y Frecuencia del MCU
Ley de gravitación de Newton
• Propuesta por Newton en su libro Philosophiae
Naturalis Principia Mathematica, publicado en 1687.
• La propone como intento de explicación del
movimiento planetario (las leyes de Kepler) y el
movimiento de los cuerpo en caída libre.
• Enunciado: “La fuerza con que se atraen dos cuerpos
es directamente proporcional al producto de las
masas e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia que las separa”
Ley de gravitación de Newton
Justificación de la 3ª Ley de kepler
demostración
Campo gravitatorio. g
El peso
Variación de g con la altura
FIN
ELIMINADAS
aceleración
• En el tema 1 definíamos aceleración como el cambio en la
velocidad. También decíamos que la velocidad era un
vector tangente a la trayectoria.
• En el estudio de un movimiento en general, el vector
velocidad puede cambiar con el tiempo en sus 2
magnitudes:
– Puede cambiar su módulo, es decir, unas veces ir más deprisa y
otras más despacio. Esto es la única que hemos tenido en
cuenta en el movimiento rectilíneo. La aceleración que mide
cambios de módulo se llama tangencial
– Puede cambiar de dirección. En el movimiento rectilíneo no
ocurre nunca, pero en el circular ocurrirá siempre. V cambiará
siempre de dirección. A la aceleración que mide este cambio se
la denomina normal o centrípeta
4º ESO | UNIDAD 01 | FÍSICA Y QUÍMICA
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado MRUA.
Se producen cambios en el modulo. El coche tiene aceleración
tangencial. Es la aceleración que hemos estudiado hasta ahora,
En un movimiento
real, con rectas y
curvas, hay de los dos
tipos de aceleración,
unas veces separados
y otras juntas.
En las rectas
aceleración
tangencial y en las
curvas de los 2 tipos,
pues habrá una
aceleración normal
que les “meta” en la
curva (en este
esquema se mide en
“g”s) y tangencial
(frenan a la entrada
de la curva y aceleran
para salir)
Telemetría real de una prueba de F1