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Tema 11. Dinámica del movimiento plano
Tema 11. Dinámica del movimiento plano
• Ecuaciones fundamentales de la dinámica
• Problema directo e inverso de la dinámica
• Principio de D’ Alembert. Efectos de inercia
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Ecuaciones fundamentales de la dinámica
Tema 11. Dinámica del movimiento plano
Cuando un mecanismo está en movimiento todo lo que se necesita para resolver
cualquier sistema de fuerzas dinámicas es la segunda ley de Newton, aplicada tanto a
sistemas en traslación como en rotación:


 F  mAG


M

I

 G G
Donde:

F
m
AG

 MG
IG


Resultante de todas las fuerzas reales actuantes sobre el cuerpo.
Masa del cuerpo.
Aceleración del centro de gravedad (CDG) del cuerpo.
Momento resultante de todos los pares reales aplicados y de todas las fuerzas reales
aplicadas sobre el cuerpo, alrededor de un eje perpendicular al plano del movimiento, que
pasa por G.
Momento de inercia del cuerpo alrededor de un eje perpendicular al plano del movimiento,
que pasa por G.
Aceleración angular del cuerpo.
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Ecuaciones fundamentales de la dinámica
Tema 11. Dinámica del movimiento plano
Cuando un sistema de fuerzas actúa sobre un cuerpo rígido:


 F  mAG


M

I

 G G
•
Su CDG experimenta una traslación con una
aceleración lineal, AG, en la misma dirección que la
fuerza resultante, ΣF.
•
El cuerpo experimenta una rotación con una
aceleración angular,α, en la misma dirección que el
momento resultante respecto de G, ΣMG.
   
 F  F1  F2  F3

 
 M G   (ri  Fi )
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Tema 11. Dinámica del movimiento plano
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• Ecuaciones fundamentales de la dinámica
• Problema directo e inverso de la dinámica
• Principio de D’ Alembert. Efectos de inercia
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Problema directo e inverso de la dinámica
Tema 11. Dinámica del movimiento plano
Dependiendo de qué cantidades se conocen y cuáles deben
encontrarse, los problemas de dinámica se dividen en:
Problema directo
de la dinámica


 F  mAG


M

I

 G G
Problema inverso
de la dinámica
Se conocen las cargas externas (fuerzas y/o pares de
torsión) que se ejercen sobre el sistema, y también m e IG.
Se desean conocer las aceleraciones, velocidades y
desplazamientos resultantes.
Se conocen las aceleraciones, velocidades y
desplazamientos (deseados) del sistema, y también m e IG.
Se espera determinar las fuerzas y pares de torsión
necesarios para producir el movimiento.
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Tema 11. Dinámica del movimiento plano
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• Ecuaciones fundamentales de la dinámica
• Problema directo e inverso de la dinámica
• Principio de D’ Alembert. Efectos de inercia
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Principio de D’ Alembert
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


 F  (mAG )  0

 
 MG  (-I G )  0
Principio de D´Alembert:
D’ Alembert reordenó las ecuaciones dinámicas de Newton
para obtener una situación estática a partir de una dinámica
La adición de los efectos de inercia al sistema real de
esfuerzos hace que un sistema dinámico se asemeje y
estudie como uno estático
“En un cuerpo, el conjunto de los esfuerzos reales aplicados y de los efectos de
inercia, forman un sistema equilibrado”
Fuerza de inercia (ficticia)
• Misma línea de acción que AG, pero sentido contrario.
• Equilibra la acción de la resultante de las fuerzas reales aplicadas ΣF.
• Representa una resistencia a la aceleración lineal del eslabón, no
existiendo cuando éste no se acelera.
Par de inercia (ficticio)
• Misma línea de acción que α, pero sentido contrario.
• Equilibra la acción de la resultante de los pares reales aplicados ΣMG.
• Representa una resistencia a la aceleración angular del eslabón, no
existiendo cuando éste no se acelera.

(-mAG )

(-I G )
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Determinación práctica de fuerzas y pares de inercia
Tema 11. Dinámica del movimiento plano
1. Determinar el CDG, los momentos de inercia y las masas de cada eslabón
2. Hallar las aceleraciones AGi y ai de cada eslabón i mediante un análisis cinemático
(problema inverso) o a partir de las fuerzas actuantes (problema directo).
3. Calcular las fuerzas y pares de inercia de cada eslabón:


Foi  mi AGi


M oi  I Gii
F43
F43
Moi= -IG
Foi= -mAG
h
F43 + F23
α
AG
h
-m·AG
-m·AG
-I·α3
-m·AG
+m·AG
F23
En algunos casos, sobre todo si se va a utilizar un método gráfico de
resolución, es más sencillo operar con una única fuerza que con una
fuerza y un par. Para ello se desplaza la línea de acción de la fuerza de
inercia una distancia h paralela a sí misma de forma que produzca un par
idéntico a IG, con igual sentido que éste (opuesto a ).
F23
Foih  M oi  I Gi i
h
I Gi i
I 
 Gi i
Foi
m i AGi
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Cálculo de efectos de inercia: Ejemplo 1
Tema 11. Dinámica del movimiento plano
Del mecanismo biela-manivela siguiente se conoce el
polígono de aceleraciones así como la masa y el
momento de inercia que actúa sobre cada uno de los
eslabones. Determinar la fuerza de inercia que actúa
sobre cada uno de los eslabones.
Fi2
Fi3
α3
ω3
Ag3
Solución


Fi2  m2 AG2


Fi3  m3 AG3


Fi4  m4 AG4

2  cte.   2  0


I 
h3  G3 3  0
m3 AG3

4  0
No hay par de inercia.
Mov. rectilíneo.
No hay par de inercia
g4=b
ABAt
ABAn
t

A
 3  BA Fi4
AB
AB
g3
O
g2
a AA
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Cálculo de efectos de inercia: Ejemplo 2
Tema 11. Dinámica del movimiento plano
Determinar los efectos de inercia que actúan sobre el eslabón 6. Se supone conocido el polígono de
aceleraciones, la masa m6, el momento de inercia IG6 y el centro de gravedad G6 de dicho eslabón.
e
ACBt
AE
c A n
CB
AECt
AC
AECn
AA
Solución



F06  m6 AG6  0

 
T06  I G66  0


AG 6  0
b
O
ABn ABAt
ABAn
O6 es un punto fijo.
t


A
 6   4  EC
EC
En este caso no es posible reducir la acción de la inercia a una única fuerza resultante Fi
situada a una determinada distancia h del centro de gravedad, debido a que Fi6 es nula.
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Cálculo de efectos de inercia: Ejemplo 3
Tema 11. Dinámica del movimiento plano
Resolver el ejemplo anterior en el caso de que el
centro de gravedad G6 esté situado según la figura
siguiente.
AG6
h6
Solución



F06  m6 AG6  0
h6 
I G66
m6 AG6
α6


AG 6  0

n
t
AG 6  AG6  AG6
4 se determina a partir del
polígono de aceleraciones.
α4
Fi6
t

AG6   6  O6 G6
n
G6
A
VG26

 62  O6 G6  42  O6 G6
O6 G6
2
VEC
42 EC


 42  EC
EC
EC
2
n
AEC
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Equilibrio dinámico
 Una vez calculadas las fuerzas y pares de inercia
que actúan sobre los distintos eslabones de un
mecanismo, se considera la fuerza de inercia
resultante que actúa sobre cada eslabón como
una fuerza estática más (aplicación del principio
de D´Alembert).
 Una vez concluido los diagramas de cuerpo
libre correspondientes se pueden calcular las
fuerzas presentes en los pares cinemáticos
(importante para el diseño de los mismos), y la
fuerza o par (mecanismos de 1 GDL) necesarios
para producir la velocidad y aceleración con
que se mueve el mecanismo.
 Una vez calculadas las fuerzas se puede
determinar la acción del mecanismo sobre los
apoyos (trepidación) y así calcular la bancada.
La trepidación puede además llegar a producir
vibraciones importantes en las máquinas.
Fuerza de sacudimiento
o trepidación:
Tipos de esfuerzos
Tema 11. Dinámica del movimiento plano
Interiores
Acciones mutuas en
pares cinemáticos
Peso de los miembros
Esfuerzos motrices
Esfuerzos resistentes
Exteriores
Útiles
Pasivos
De inercia
ANÁLISIS DINÁMICO
ANÁLISIS ESTÁTICO
B
3
A
4
2
F14
F12
02
1





F5  F21  F41  ( F12  F14 )
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Tema 11. Dinámica del movimiento plano
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Bibliografía
1.
John J. Uicker Jr, et.al. Theory of machines and mechanisms. Third
edition, New York, 2003. pp. 425-445, 478-480.
2.
Roque Calero, et.al. Fundamentos de mecanismos y máquinas para
ingenieros. McGraw-Hill, España, 1999. pp. 89-90, 96-115.
3.
A. Simón, A. Bataller, otros. Fundamentos de teoría de máquinas.
Bellisco Ediciones Técnicas y Científicas. 2da. edición. Madrid, 2000.
pp. 124-142.
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