Download 1 Los números naturales y los números enteros 7. Números

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Los números naturales y los números enteros
1. Sistemas de numeración a través de la historia: de
Roma a nuestros días
2. Números naturales. Suma y resta de números
naturales
3. Multiplicación y división de números naturales.
Jerarquía de las operaciones
4. Divisibilidad: múltiplos y divisores. Criterios de
divisibilidad
5. Números primos y compuestos. Descomposición
factorial de un número
6. Cálculo del M.C.D. y del m.c.m. de varios números.
Aplicaciones
7. Números enteros. Operaciones elementales
8. Potencias y raíces. Operaciones con potencias
Índice del libro
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Los números naturales y los números enteros
1. Sistemas de numeración a través de la historia: de Roma a nuestros días
1.1. Sistemas de numeración
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Conjuntos de reglas y símbolos que sirven para
representar números
POSICIONALES
NO POSICIONALES
El valor de una cifra dentro de
un número depende de su
posición
El valor de una cifra dentro de
un número no depende de su
posición
Ejemplo:
Ejemplo:
Sistema decimal
Números romanos
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Los números naturales y los números enteros
1. Sistemas de numeración a través de la historia: de Roma a nuestros días
1.1. Sistemas de numeración
NÚMEROS ROMANOS
LETRA
I
V
X
L
C
D
M
VALOR
1
5
10
50
100
500
1 000
Agrupación de la misma letra seguida varias veces
1º
I, X, C, M
V, L, D
Se pueden repetir seguidas hasta 3 veces
Se suman
No se pueden repetir seguidas nunca
2º
Una letra de menos valor a la izquierda de otra de mayor valor se resta
3º
Una letra de menos valor a la derecha de otra de mayor valor se suma
4º Valores previamente agrupados y ordenados de mayor a menor se suman
Ejemplo:ΜΜΧΙV
 ΜΜ Χ
Ι
V
10001000
10
1
5
5114
100010001012014
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Los números naturales y los números enteros
1. Sistemas de numeración a través de la historia: de Roma a nuestros días
1.2. El sistema de numeración decimal
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
Sistema decimal de numeración
El valor de cada cifra dentro de un número es igual al producto de la cifra multiplicada
por la unidad seguida de tantos ceros como marca su posición.
Forma polinómica de un número
Expresión de un número como suma de los valores de todas sus cifras.
Ejemplo:
46609652  46  1000000  6  100000  0  10000  9  1000  6  100  5  10  2  1
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Los números naturales y los números enteros
2. Números naturales. Suma y resta de números naturales
2.1. Los números naturales: un conjunto ordenado
NÚMEROS NATURALES
Son los números que nos sirven para contar
{0,1,
 2,3,4,5,6,7,8, }

que"
 "mayor
 "mayor

oigualque"

Losnúmerosnatulesestánordenados

que"
 "menor
 "menor

oigualque"
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Los números naturales y los números enteros
2. Números naturales. Suma y resta de números naturales
2.2. Suma y resta de números naturales
SUMA (ADICIÓN)
Reunir (agrupar, juntar) dos números en uno.
Conmutativa: a  b  b  a
ab c
a ,b sumandos
c suma
Elementoneutro: a  0  a
Asociativa: a  b  c  (a  b)  c  a  (b  c)
RESTA (SUSTRACCIÓN)
Hallar la diferencia entre dos números.
a  b  cquiere decir a  c  b
No es conmutativa:  a  b  b  a
aminuendo, bsustraendo
c diferencia
Noesasociativa: a  (b  c)  a  b  c
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Los números naturales y los números enteros
3. Multiplicación y división de números naturales. Jerarquía de las
operaciones
MULTIPLICACIÓN (PRODUCTO)
Sumar varias veces el mismo número
Conmutativa: a  b  b  a
abc
aba  a  a  c
" b "veces
a ,bfactores
cproducto
Elemento neutro: a  1  a
Asociativa: a  b  c  (a  b)  c  a  (b  c)
Distributiva respecto suma: a  (b  c)  a  b  a  c
Distributiva respecto resta: a  (b  c)  a  b  a  c
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3. Multiplicación y división de números naturales. Jerarquía de las
operaciones
DIVISIÓN
Repartir en partes iguales un número entre otro, quedando un resto
м
DDividendo
п
п
D d п
п
ddivisor
п
н
п
rc
ccociente
п
п
п
п
о r resto
м
D = d Чc + r 
п
п
н
п
п
оr< d
Notación:
D
D : có 
c
JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES
1º
Corchetes y paréntesis
[()]
2º
Multiplicación y división
·,:
3º
Suma y resta
4º
Dentro de la misma jerarquía, operar de izquierda a derecha
+,͢
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Los números naturales y los números enteros
4. Divisibilidad: múltiplos y divisores. Criterios de divisibilidad
4.1. Divisibilidad: múltiplos y divisores
DIVISIBILIDAD DE UN NÚMERO ENTRE OTRO
Un número es divisible entre otro cuando la división del primero
entre el segundo es exacta. Llamamos división exacta a la que tiene
resto cero
División
División exacta r  0
D ba b
rcr  0c
bes divisordea
D  d  c  r a  b  c  0  b  c
aes múltiplodeb
CONJUNTO DE MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO M(a)
Conjunto formado por todos los múltiplos de un número
M(a)  a  {a  1,a  2,a  3,a  4,a  5, }
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Los números naturales y los números enteros
4. Divisibilidad: múltiplos y divisores. Criterios de divisibilidad
4.2. Criterios de divisibilidad
CONJUNTO DE DIVISORES DE UN NÚMERO D(a)
Conjunto formado por todos los divisores de un número.
D(a) = númerosbpara los que existe otro número c que cumplea = b Чc
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Condiciones que nos permiten saber si un número es divisible por
otro sin tener que hacer la división.
Divisible por
Criterio de divisibilidad
2
Termina en 0 o en cifra par
3
La suma de sus cifras es múltiplo de 3
5
Termina en 0 o en 5
9
La suma de sus cifras es múltiplo de 9
10
Termina en 0
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5. Números primos y compuestos. Descomposición factorial de un número
5.1. Números primos y compuestos
NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS
Número primo: solo es divisible por sí mismo y por la unidad.
Número compuesto: No es primo.
Números primos menores de 50. Criba de Eratóstenes.
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28
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38
39
40
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42
43
44
45
46
47
48
49
50
2

3

5

7
 NÚMEROPRIMO

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5. Números primos y compuestos. Descomposición factorial de un número
5.2. Descomposición factorial de un número en factores primos
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN NÚMERO
Es la expresión de dicho número como producto de factores que sean
números primos.
Si a es primo, su única descomposición en factores es  a = a Ч1
Si a no es primo, tiene divisores distintos de él mismo y de la unidad.
ase puede escribir como el producto de una serie de factores primos.
 a = p1 Чp2 Чp3 ЧK Чpn
El número de factores que hay en el proucto variará de unos números a otros.
n = 2,3,4,K
Hay números que tienen muchos factores primos.
Hay números que solo tienen 2 factores primos.
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6. Cálculo del M.C.D. y del m.c.m. de varios números. Aplicaciones
MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE VARIOS NÚMEROS, M.C.D.
Es el mayor de los divisores común a todos los números.
Método para hallar el M.C.D.
1º Se descomponen todos los números en factores primos.
2º Se multiplican todos los factores comunes elevados al menor
exponente.
Ejemplo:
Hallar el M.C.D. de 28 y 60.
60 2
28 2
30 2
14 2
15 3
7
5
1
1
5
7
60  2  2  3  5  22  3  5
28  2  2  722  7
M.C .D.{28,60}  22  2  2  4
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6. Cálculo del M.C.D. y del m.c.m. de varios números. Aplicaciones
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE VARIOS NÚMEROS, m.c.m.
Es el menor de los múltiplos común a todos los números.
Método para hallar el m.c.m.
1º Se descomponen todos los números en factores primos.
2º Se multiplican todos los factores comunes y no comunes
elevados al mayor exponente.
Ejemplo:
Hallar el m.c.m. de 15 y 84.
84 2
15 3
42 2
5
21 3
1
7
1
7
5
84  2  2  3  7  22  3  7
153  5
m.c.m.{15,84}  3  22  7  5  420
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7. Números enteros. Operaciones elementales. Aplicaciones
7.1. El conjunto de los números enteros
 {, 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,}
Números negativos: simétricos de los positivos respecto al origen.
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7. Números enteros. Operaciones elementales. Aplicaciones
7.2. Representación gráfica de los números enteros
Los números enteros se representan en una recta.
Los números positivos se representan a la derecha del cero, y los
negativos a la izquierda.
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7. Números enteros. Operaciones elementales. Aplicaciones
SUMA DE NÚMEROS ENTEROS
Mismas propiedades que la suma de números naturales.
Conmutativa: a  b  b  a
ab c
a ,b sumandos
Elementoneutro: a  0  a
c suma
Asociativa: a  b  c  (a  b)  c  a  (b  c)
RESTA DE NÚMEROS ENTEROS
Mismas propiedades que la resta de números naturales.
a  b  c
No es conmutativa:  a  b  b  a
aminuendo, bsustraendo
c diferencia
Noesasociativa: a  (b  c)  a  b  c
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7. Números enteros. Operaciones elementales. Aplicaciones
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Mismas propiedades que la multiplicación de números naturales, con
regla de signos.
abc
a,bfactores
cproducto
Conmutativa: a  b  b  a
Elemento neutro: a  1  a
REGLA DE SIGNOS DE LA
MULTIPLICACIÓN
(+) · (+) = (+)
(-) · (-) = (+)
Asociativa: a  b  c  (a  b)  c  a  (b  c)
Distributiva respecto suma: a  (b  c)  a  b  a  c
Distributiva respecto resta: a  (b  c)  a  b  a  c
(-) · (+) = (-)
(+) · (-) = (-)
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7. Números enteros. Operaciones elementales. Aplicaciones
DIVISIÓN
Mismas propiedades que los números naturales, con regla de signos.
D d
rc
м
DDividendo
п
п
п
п
ddivisor
п
н
п
ccociente
п
п
п
п
о r resto
м
D = d Чc + r 
п
п
н
п
п
оr< d
(+) : (+) = (+)
(-) : (-) = (+)
(-) : (+) = (-)
Notación:
D:c ó
REGLA DE SIGNOS DE LA
DIVISIÓN
D
c
(+) : (-) = (-)
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7. Números enteros. Operaciones elementales. Aplicaciones
Aplicaciones de los números enteros:
•Describen bien muchas situaciones de la vida real.
•Ayudan a solucionar problemas.
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8. Potencias y raíces. Operaciones con potencias
POTENCIA DE UN NÚMERO
Es una multiplicación de ese numero por sí mismo varias veces.
abase
nexp onente
a n potecncia n de a
a n  a  a  a  a
nveces
Potenciación: realizar una potencia
POTENCIA DE EXPONENTE NULO
Por convenio, se toma el valor unidad.
Por convenioa 0  a  a  a  a1
0veces
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8. Potencias y raíces. Operaciones con potencias
RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO
Número que elevado al cuadrado es igual al primero.
a n  a  a  a  a
a  raíz
b  radicando
nveces
a  bsignificaa  b  b  b2
 radical
JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES
1º Corchetes y paréntesis
[()]
2º Potencias y raíces
3º Multiplicación
a0 ydivisión
a  a  a  a  1,por convenio
0veces
4º Suma y resta
5º Dentro de la misma jerarquía operar de izquierda a derecha
·,:
+,͢
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8. Potencias y raíces. Operaciones con potencias
OPERACIONES CON POTENCIAS
Suma y resta de potencias:
Primero se hallan las potencias, sean o
no de la misma base, y luego se suman
o se restan.
Potencia de un producto:
Es igual al producto de las potencias.
(3  6)3  33  63  27  216  5832
42  23  33  16  8  27  3
Potencia de un cociente:
Es igual al cociente de las potencias.
Potencia de una potencia:
Es igual a la base elevada al producto de los
exponentes.
2
2
 7   7  49
3
2
9
  3
Producto de potencias de la misma
base:
Es igual a la misma base elevada a la
suma los exponentes.
32  33  323  35  243
 32 
3
  9   729
3
Cociente de potencias de la misma base:
Es igual a la base elevada a la diferencia de
exponentes.
45
 4 53  42  16
3
4