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Números naturales, enteros y potencias
1.
Sistemas de numeración a través de la historia: de Roma
a nuestros días
2.
Números naturales. Suma y resta de números naturales
3.
Multiplicación y división de números naturales.
Jerarquía de las operaciones
4.
Divisibilidad: múltiplos y divisores. Criterios de
divisibilidad
5.
Números primos y compuestos. Descomposición
factorial de un número
6.
Cálculo del M.C.D. y del m.c.m. de varios números.
Aplicaciones
7.
Números enteros. Operaciones elementales.
Aplicaciones
8.
Potencias y raíces. Operaciones con potencias
Índice del libro
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Números naturales, enteros y potencias
1. Sistemas de numeración a través de la historia: de Roma a nuestros días
1.1. Sistemas de numeración
LA CAPACIDAD DE CONTAR DEL SER HUMANO
Hay evidencias arqueológicas que demuestran que el
ser humano aprendió a contar antes que a escribir:
se conservan huesos con más de 30 000 años
marcados con muescas hechas a modo de conteo, lo
que demuestra que la capacidad del ser humano de
contar es anterior a la escritura.
SISTEMA DE NUMERACIÓN
Un sistema de numeración es un conjunto de reglas y símbolos que sirven para
representar números. Se clasifican en sistemas de numeración posicionales y
sistemas de numeración no posicionales.
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Números naturales, enteros y potencias
1. Sistemas de numeración a través de la historia: de Roma a nuestros días
1.1. Sistemas de numeración
CLASES DE SISTEMAS DE NUMERACIÓN
CLASES
CARACTERÍSTICA
EJEMPLO
ELEMENTOS
POSICIONALES
El valor de una cifra
dentro de un número
depende de su
posición
Sistema
decimal
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
NO
POSICIONALES
El valor de una cifra
dentro de un número
no depende de su
posición.
Números
romanos
{ I, V, X, L, C, D, M }
Ejemplo
No
Posicional
Posicional
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1. Sistemas de numeración a través de la historia: de Roma a nuestros días
1.1. Sistemas de numeración
NÚMEROS ROMANOS
LETRA
I
V
X
L
C
D
M
VALOR
1
5
10
50
100
500
1 000
Agrupación de la misma letra seguida varias veces
1º
I, X, C, M
V, L, D
Se pueden repetir seguidas hasta 3 veces
Se suman
No se pueden repetir seguidas nunca
2º
Una letra de menos valor a la izquierda de otra de mayor valor se resta
3º
Una letra de menos valor a la derecha de otra de mayor valor se suma
4º Valores previamente agrupados y ordenados de mayor a menor se suman
Ejemplo:ΜΜΧΙV
 ΜΜ Χ
Ι
V
10001000
10
1
5
5114
100010001012014
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Números naturales, enteros y potencias
1. Sistemas de numeración a través de la historia: de Roma a nuestros días
1.2. El sistema de numeración decimal
ORIGEN Y EXTENSIÓN DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
El sistema de numeración decimal surgió en la India en el siglo VI y terminó de
desarrollarse en el siglo IX adoptando las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. En
Europa fue introducido por los comerciantes árabes a finales de la Edad Media
CARACTERÍSTICAS DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
 Tiene base diez formada por los dígitos { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }.
Esto significa que se utilizan estos diez dígitos para escribir cualquier
número, por muy grande o muy pequeño que sea.
 El 1 se corresponde con la unidad y cada diez unidades se corresponden con
una unidad de orden superior. Cada tres órdenes de unidad forman una
clase.
 Es posicional: el valor de un dígito o cifra depende del lugar que ocupa en el
número. El lugar que ocupa cada dígito se llama orden de unidad: la cifra de
las unidades, decenas, centenas, unidades de millar, etc.
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Números naturales, enteros y potencias
1. Sistemas de numeración a través de la historia: de Roma a nuestros días
1.2. El sistema de numeración decimal
ÓRDENES DE UNIDAD Y CLASES EN EL SISTEMA DECIMAL
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Números naturales, enteros y potencias
1. Sistemas de numeración a través de la historia: de Roma a nuestros días
1.2. El sistema de numeración decimal
¿CÓMO SE LEEN LOS NÚMEROS?
Para poder leer un número escrito en el sistema decimal debemos separar
las cifras en grupos de tres empezando por la derecha y a continuación leer
empezando por el primer grupo de números de la izquierda.
Ejemplo
El número 46 870 502
se lee «cuarenta y seis millones ochocientos setenta mil quinientos dos»
EXPRESIÓN EN FORMA POLINÓMICA DE UN NÚMERO
Si expresamos un número como la suma de los valores de sus cifras,
se dice que el número está escrito en forma polinómica.
Ejemplo
El número 76 479 en forma polinómica se escribe así:
76479  7  10000  6  1000  4  100  7  10  9  1
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Números naturales, enteros y potencias
2. Números naturales. Suma y resta
2.1. Los números naturales: un conjunto ordenado
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES
REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES
Los números naturales se pueden representar en una semirrecta, comenzando
con el número cero a la izquierda y avanzando hacia la derecha a medida que
vamos representando los números más grandes.
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2. Números naturales. Suma y resta
2.1. Los números naturales: un conjunto ordenado
ORDENACIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES
Los números naturales están ordenados.
Para ordenar los números se utiliza el símbolo > para indicar «mayor que»
y el símbolo < para indicar «menor que». A veces también se utilizan el
símbolo ≥ que significa «mayor o igual que» y el símbolo ≤ que significa
«menor o igual que»
Ejemplo
¿Qué números naturales son mayores o iguales que 4 y menores que 9?
Pues 4, 5, 6, 7 y 8.
Si los ordenamos utilizando los símbolos tendríamos 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9.
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2. Números naturales. Suma y resta
2.2. Suma y resta de números naturales
SUMA DE NÚMEROS NATURALES
Sumar consiste en reunir varias cantidades en una sola; significa reunir,
agrupar, juntar. También se llama adición.
Los números que se suman se llaman sumandos y al resultado de la operación
se le denomina suma.
RESTA DE NÚMEROS NATURALES
Restar consiste en hallar la diferencia entre dos cantidades; significa descontar,
disminuir, quitar. También se denomina sustracción.
Los números que se restan se llaman minuendo el primero y sustraendo el
segundo, y el resultado de la operación se denomina resta o diferencia.
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Números naturales, enteros y potencias
2. Números naturales. Suma y resta
2.2. Suma y resta de números naturales
PROPIEDADES DE LA SUMA DE NÚMEROS NATURALES
 Conmutativa: cambiar el orden de los sumandos no altera la suma.
Ejemplo: como 4 + 6 = 10 y 6 + 4 = 10, tenemos que 4 + 6 = 6 + 4.
 Asociativa: la suma de varios números naturales no depende de cómo se
agrupen.
Ejemplo:
 Elemento neutro: sumar el número 0 a otro no lo altera.
Ejemplo: 7 + 0 = 0.
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3. Multiplicación y división de números naturales. Jerarquía de las
operaciones
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES
Multiplicar consiste en sumar varias veces el mismo número. Los números que
se multiplican se llaman factores y al resultado de la operación se le denomina
producto.
DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES
Dividir consiste en repartir en partes iguales. Los términos que intervienen
en una división reciben estos nombres:
Si el resto de la división es cero, se dice que la división es exacta.
Entre estos números se cumple la prueba de la división:
Dividendo = divisor ⋅ cociente + resto siendo el resto < divisor.
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3. Multiplicación y división de números naturales. Jerarquía de las
operaciones
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES
 Conmutativa: cambiar el orden de los factores no altera el producto.
Ejemplo: como 4 ⋅ 6 = 24 y 6 ⋅ 4 = 24, tenemos que 4 ⋅ 6 = 6 ⋅ 4.
 Asociativa: el producto de varios factores no depende de cómo se agrupen
los factores.
Ejemplo:
 Distributiva: el producto de un número por una suma (o resta) es igual a la
suma (o resta) de los productos de dicho número por cada sumando (o
término de la resta).
Ejemplo:
 Elemento neutro: si se multiplica un número cualquiera por 1 se obtiene el
mismo número.
Ejemplo: 7 ⋅ 1 = 7
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3. Multiplicación y división de números naturales. Jerarquía de las
operaciones
JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES: OPERACIONES COMBINADAS
Jerarquía de las operaciones
(pasos a seguir)
Ejemplo
(38 - 5) ⋅ 2 - 16 : 4 + 15
1.º Se efectúan las operaciones de los
paréntesis y corchetes
33 ⋅ 2 - 16 : 4 + 15
2.º Se hacen las
multiplicaciones y divisiones
66 - 4 + 15
3.º Se hacen las sumas y restas
y se obtiene el resultado final
66 - 4 + 15 = 77
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Números naturales, enteros y potencias
4. Divisibilidad: múltiplos y divisores
4.1. Divisibilidad: múltiplos y divisores
NÚMEROS MÚLTIPLO Y DIVISOR
Un número a es divisible por otro b cuando la división es exacta.
a bbes divisor dea
0caes múltiplo deb
Si la división de dos números es exacta, entonces:
 El número mayor es múltiplo del número menor.
 El número menor es divisor del número mayor.
Ejemplo
10 es divisible por 2 porque:
10 2
05
Por un lado, 10 es múltiplo de 2 porque 10 = 2 ⋅ 5,
y por otro, 2 es divisor de 10 porque la división 10 : 2 es exacta.
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Números naturales, enteros y potencias
4. Divisibilidad: múltiplos y divisores
4.1. Divisibilidad: múltiplos y divisores
CÁLCULO DE LOS MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO
Para calcular los múltiplos de un número a multiplicamos ese número
por los diferentes números naturales empezando por el 1. El conjunto
de los múltiplos de un número a se designa por M(a) o también å.
CÁLCULO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO
Para calcular los divisores de un número a empezamos con el 2 (puesto que el
número 1 es divisor de todos los números naturales), y después continuamos
dividiendo por 3, 4, 5, 6… hasta que el cociente sea menor o igual que el
divisor. El último divisor que obtendremos será el propio número a porque
todo número natural es divisible por sí mismo.
El conjunto de los divisores de un número a se designa por D(a).
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Números naturales, enteros y potencias
4. Divisibilidad: múltiplos y divisores
4.1. Divisibilidad: múltiplos y divisores
Ejemplo
Calcula los divisores del número 12.
Ya sabemos que el 1 y el 12 son divisores de 12. Vamos probando con el 2, 3, 4,
5, 6… hasta llegar al 11 sabiendo que debemos parar cuando obtengamos un
cociente menor o igual que el divisor en una división exacta:
Por tanto D(12) = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }
Ejemplo
Calcula los múltiplos de 4:
4  M( 4 )  {1  4 ,2  4 ,3  4 ,4  4 ,5  4 ,6  4 , }  {4 ,8 ,12 ,16 ,20 ,24 , }
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Números naturales, enteros y potencias
4. Divisibilidad: múltiplos y divisores
4.1. Divisibilidad: múltiplos y divisores
Ejemplo
En un estanque los nenúfares crecen tan deprisa que cada día duplican el área
que cubrían el día anterior. Después de 15 días todo el estanque está cubierto
de estas plantas.
a) ¿Después de cuantos días, el estanque se encontraba cubierto solo hasta la
mitad?
b) Calcula los múltiplos y divisores del 15.
a) Después de 14 días. El día 14 el estanque estaba cubierto hasta la mitad y,
como duplica su extensión cada día, el día 15 estará completamente cubierto.
b) Los múltiplos de 15 son
M( 15)  {1  15 ,2  15 ,3  15 ,4  15 ,5  15 ,6  15 , }  {15 ,30 ,45 ,60 ,75 ,90 , }
Los divisores de 15 son
D( 15)  {1 ,3 ,5 ,15}
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Números naturales, enteros y potencias
4. Divisibilidad: múltiplos y divisores
4.2. Divisibilidad: múltiplos y divisores
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Los criterios de divisibilidad son reglas que nos permiten saber si un número
es divisible por otro sin tener que dividir.
Un número es
divisible por
si
Ejemplos
2
termina en 0 o en par
26, 3 266, 12, 3 456 788
3
la suma de sus cifras
es múltiplo de 3
126 es múltiplo de 3 porque
1+2+6=9
5
termina en 0 o en 5
10, 555, 1 245, 23 450
9
la suma de sus cifras
es múltiplo de 9
2 538 es múltiplo de 9 porque
2 + 5 + 3 + 8 = 18
10
termina en 0
30, 100, 40, 5 000
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Números naturales, enteros y potencias
5. Números primos y compuestos. Descomposición factorial de un número
5.1. Números primos y compuestos
NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS
Un número es primo si solo es divisible por sí mismo y por 1.
Un número es compuesto si tiene más de dos divisores, o dicho de otra
manera, si no es primo.
El número 1 no se considera ni primo ni compuesto.
¿CÓMO SE SABE SI UN NÚMERO ES PRIMO?
Para saber si un número dado es primo tenemos que ir dividiéndolo entre los
números primos menores que él: 2, 3, 5, 7… hasta llegar a una división que sea
exacta o una división en la que el cociente sea menor o igual que el divisor, y
entonces:
 Si alguna división es exacta, el número es compuesto (no es primo).
 Si ninguna división es exacta, entonces el número es primo.
No se conoce un método que nos asegure que, dado un número cualquiera
podamos asegurar si es primo o no lo es.
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Números naturales, enteros y potencias
5. Números primos y compuestos. Descomposición factorial de un número
5.1. Números primos y compuestos
MÉTODO PARA HALLAR NÚMEROS PRIMOS: CRIBA DE ERATÓSTENES
Para determinar los números primos existe un método llamado Criba de
Eratóstenes que consiste en escribir los números naturales en orden y en ir
tachando primero los múltiplos de 2, después los múltiplos de 3, luego los
múltiplos de 5, después los múltiplos de 7 y así sucesivamente… Los números
que van quedando en la lista son los números primos:
Hemos obtenido de esta forma una lista de los números primos menores que
50 (señalados de color amarillo):
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 y 47.
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Números naturales, enteros y potencias
5. Números primos y compuestos. Descomposición factorial de un número
5.1. Números primos y compuestos
Ejemplo
Averigua si el número 63 es primo.
Por tanto 63 es divisible por 3, luego 63 tiene más de dos divisores →
→ D(63) = { 1, 3, 63… } → por tanto es compuesto
Saber más
Conjetura de Goldbach (matemático alemán, 1690–1764)
«Todo número entero par mayor que dos puede expresarse como la suma de
dos números primos».
El tío Petros y la conjetura de Goldbach es el título de un libro. Una editorial
inglesa ofreció un premio de 1 000 000 de dólares a quien demostrase esta
conjetura, pero todavía nadie lo ha conseguido. Este tipo de problemas (que
aún no están resueltos) se denominan problemas abiertos.
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Números naturales, enteros y potencias
5. Números primos y compuestos. Descomposición factorial de un número
5.2. Descomposición factorial de un número en factores primos
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN NÚMERO
La descomposición factorial de un número consiste en expresarlo como
producto de números primos.
Se sabe que «todo número natural mayor que uno puede descomponerse en
producto de factores primos». Este resultado es tan importante que se conoce
con el nombre de Teorema Fundamental de la Aritmética.
Saber más
Los números primos y la seguridad en Internet
Los números primos se usan en los protocolos de seguridad en Internet.
Es fácil multiplicar dos números primos, sean por ejemplo los primos
a = 11 927 y b = 20 903, de manera que al multiplicarlos obtenemos
a · b = c = 249 310 081.
En el ejemplo, el número c viene a ser la codificación, mientras a y b son la
clave de descodificación. Esta estrategia es la base de un sistema de
encriptación de clave pública llamado RSA, muy utilizado en Internet.
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Números naturales, enteros y potencias
5. Números primos y compuestos. Descomposición factorial de un número
5.2. Descomposición factorial de un número en factores primos
Ejemplo
Descompón en producto de factores primos los siguientes números:
a) 70
b) 24
a) Divisiones sucesivas
En columna
Descomposición factorial
b) Divisiones sucesivas
En columna
Descomposición factorial
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Números naturales, enteros y potencias
6. Cálculo del M.C.D. y del m.c.m. de varios números. Aplicaciones
6.1. Cálculo del máximo común divisor
MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE VARIOS NÚMEROS Y SU CÁLCULO.
El máximo común divisor (M.C.D.) de varios números es el mayor divisor
común a todos ellos.
Para calcular el máximo común divisor se utiliza la descomposición factorial.
El cálculo del máximo común divisor de varios números requiere dos pasos:
1. Se hace la descomposición factorial de los números.
2. Se eligen todos los factores primos comunes con el menor exponente con
el que aparecen, y se multiplican.
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Números naturales, enteros y potencias
6. Cálculo del M.C.D. y del m.c.m. de varios números. Aplicaciones
6.1. Cálculo del máximo común divisor
Ejemplo
Calcula el máximo común divisor de los números 30 y 45.
30 2
45 3
15 3
15 3
30  2  3  5
5
5
45 32  5
1
5
5
1
Los factores primos comunes son los que se repiten en las dos listas:
el 3 y el 5.
Se toman con el MENOR exponente con el que aparecen y se multiplican:
M.C.D. (30,45) = 3 · 5 = 15
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Números naturales, enteros y potencias
6. Cálculo del M.C.D. y del m.c.m. de varios números. Aplicaciones
6.2. Cálculo del mínimo común múltiplo
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE VARIOS NÚMEROS Y SU CÁLCULO.
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números es el menor múltiplo
común a todos ellos.
Para calcular el mínimo común múltiplo se utiliza la descomposición factorial.
El cálculo del mínimo común múltiplo también se realiza en dos pasos:
1. Se hace la descomposición factorial de los números.
2. Se eligen todos los factores primos comunes y no comunes con el mayor
exponente con el que aparecen, y se multiplican.
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Números naturales, enteros y potencias
6. Cálculo del M.C.D. y del m.c.m. de varios números. Aplicaciones
6.2. Cálculo del mínimo común múltiplo
Ejemplo
Calcula el mínimo común múltiplo de los números 36 y 60.
36 2
60 2
18 2
30 2
9
3
15 3
3
3
5
1
5
36  22  32
60 22  3  5
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Los factores primos comunes son los que están en las dos listas (2 y 3) y los no
comunes los que solo están en alguna (5).
Se eligen los que tengan el MAYOR exponente y se multiplican:
m.c.m. (36,60) = 2² · 3² · 5 = 180
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Números naturales, enteros y potencias
6. Cálculo del M.C.D. y del m.c.m. de varios números. Aplicaciones
6.3. Aplicaciones
¿PARA QUÉ SIRVEN EL MÁXIMOCOMÚN DIVISOR
Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO?
 Para poder trabajar con fracciones: cuando hagamos sumas y restas de
fracciones será necesario saber calcular el máximo común divisor y el
mínimo común múltiplo de varios números.
 Para resolver cierto tipo de problemas, como se ve en el ejemplo de abajo.
Ejemplo
Si una campana toca cada 30 minutos y otra cada 45 y empiezan a tocar a las
12 de la mañana, ¿a qué hora volverán a tocar a la vez?
La respuesta debe ser un número mayor que 30 y que 45 y múltiplo de ambos.
El m.c.m.(30,45) = 90, luego al cabo de 90 minutos volverán a tocar juntas;
a las 13.30 horas.
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Números naturales, enteros y potencias
7. Números enteros. Operaciones elementales. Aplicaciones
7.1. El conjunto de los números enteros
NECESIDAD DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Una buena forma de entender la necesidad de los números enteros surge
cuando pensamos en la altitud de un punto de la superficie terrestre respecto
al nivel del mar.
En Holanda hay
zonas situadas
-7 m
por debajo del
nivel del mar.
El pico K2 tiene una
altura de
+8 611 m
sobre el nivel del mar.
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
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Números naturales, enteros y potencias
7. Números enteros. Operaciones elementales. Aplicaciones
7.2. Representación gráfica de los números enteros
REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Los números enteros se representan en la recta numérica: se marca el cero, y a
su derecha se sitúan los números positivos y a su izquierda los negativos:
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Números naturales, enteros y potencias
7. Números enteros. Operaciones elementales. Aplicaciones
7.2. Representación gráfica de los números enteros
ORDENACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Para comparar números enteros se utiliza su representación en la recta
numérica: un número es mayor que otro si al representarlo en la recta el
primero se encuentra a la derecha del segundo.
Ejemplo
Representa en la recta numérica los números -6, 1, -2, 0, -4, 5 y 3 y después
ordénalos de mayor a menor utilizando el símbolo >.
Ordenados utilizando el símbolo > quedarían así:
5 > 3 > 1 > 0 > -2 > -4 > -6
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Números naturales, enteros y potencias
7. Números enteros. Operaciones elementales. Aplicaciones
7.2. Representación gráfica de los números enteros
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO
El valor absoluto de un número entero es la distancia de ese número al cero y
se indica poniendo el número entre dos barras.
Ejemplo
El valor absoluto del +5 se expresa como |+5| = 5.
El valor absoluto del -3 se escribe |−3| = 3.
Podemos dibujar este ejemplo:
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Números naturales, enteros y potencias
7. Números enteros. Operaciones elementales. Aplicaciones
7.3. Operaciones elementales con números enteros. Aplicaciones
SUMA DE NÚMEROS ENTEROS
Con el mismo signo: para sumar números enteros del mismo signo, se suman
los valores absolutos de dichos números y se pone el mismo signo que tengan
los números.
Con distinto signo: para sumar números enteros con distinto signo, se
suman por un lado los positivos, por otro los negativos y después se
halla la diferencia entre los valores absolutos de los resultados anteriores
y se pone el signo del número que tenga mayor valor absoluto.
Ejemplos de suma de números con el mismo signo.
 Calcula (-6) + (-7) + (-2) + (-4).
Como todos los sumandos son negativos, sumamos sus valores absolutos:
6 + 7 + 2 + 4 = 19
y ahora ponemos el signo menos: -19.
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Números naturales, enteros y potencias
7. Números enteros. Operaciones elementales. Aplicaciones
7.3. Operaciones elementales con números enteros. Aplicaciones
Ejemplos de suma de números con distinto signo.
Calcula la suma:
(-3) + (-4) + (+6) + (-9) + (-10) + (+8)
Se suman los enteros positivos:
(+6) + (+8) = 6 + 8 = 14
Se suman los enteros negativos:
(-3) + (-4) + (-9) + (-10) = -26
Hallamos la diferencia de los valores |-26| = 26; |14| = 14
absolutos y ponemos el signo del
26 - 14 = 12
número de mayor valor absoluto:
La solución es por tanto -12
 Pedro va a pagar a la óptica 24 € que debe. Para ello saca del cajero
automático 40 €, pero al volver a casa pierde un billete de 10 € . ¿Cuánto
dinero le queda?
La operación que debemos hacer es:
(+40) + (-24) + (-10) = (+40) + (-34) = +6
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Números naturales, enteros y potencias
7. Números enteros. Operaciones elementales. Aplicaciones
7.3. Operaciones elementales con números enteros. Aplicaciones
RESTA DE NÚMEROS ENTEROS
Restar dos números enteros es sumar el primero con el opuesto del segundo.
Ejemplo
Calcula (-12) - (+13)
Sumamos al primero el opuesto del segundo: (-12) + (-13) = -25
DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Al dividir dos números enteros
Dividendo divisor
restocociente
siempre se cumple entre ellos la relación: D = d Чc + r conr < d
 Si el resto r es cero, la división es exacta.
 Si el resto r no es cero, la división es entera.
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Números naturales, enteros y potencias
7. Números enteros. Operaciones elementales. Aplicaciones
7.3. Operaciones elementales con números enteros. Aplicaciones
REGLA DE SIGNOS PARA LA MULTIPLICACIÓN Y LA DIVISIÓN
Para multiplicar o dividir dos números enteros, primero se averigua el signo del
resultado y después se multiplican o dividen los números como si fuesen
naturales.
Regla de los signos para la Regla de los signos para la
MULTIPLICACIÓN
DIVISIÓN
(+) ⋅ (+) = (+)
(+) : (+) = (+)
(−) ⋅ (−) = (+)
(−) : (−) = (+)
(−) ⋅ (+) = (−)
(−) : (+) = (−)
(+) ⋅ (−) = (−)
(+) : (−) = (−)
Recuerda
Suma y resta de números enteros
Cuando en la suma y resta de números enteros aparecen dos signos seguidos,
se utiliza la regla de los signos de la multiplicación.
1
Números naturales, enteros y potencias
7. Números enteros. Operaciones elementales. Aplicaciones
7.3. Operaciones elementales con números enteros. Aplicaciones
Ejemplo
Un avión despega del aeropuerto de Madrid-Barajas con dirección al
aeropuerto de Málaga-Costa del Sol. La temperatura al salir de Madrid es de
−3 °C y al llegar a Málaga hay 12 °C.
¿Qué diferencia de temperatura
hay entre las dos ciudades?
Observa el dibujo y responde a
las preguntas:
a) ¿A qué altitud se encuentra el
avión en Madrid?, ¿y en Málaga?
b) ¿Cuántos metros asciende el
avión hasta alcanzar su máxima
altura?
c) ¿A qué profundidad está el
submarino?
1
Números naturales, enteros y potencias
8. Potencias y raíces
8.1. Potencias
POTENCIAS
Una potencia de números es una multiplicación de factores iguales. El factor
que se repite es la base y el número de veces que se repite es el exponente. La
operación se llama potenciación.
Para hallar la potencia de un número, se multiplica la base por sí misma tantas
veces como indique el exponente.
Por ejemplo: 2⁴ = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16.
Si el exponente es cero, la potencia siempre vale 1.
Ejemplo: (234)⁰ = 1.
Ejemplo
En un edificio hay 4 pisos, en cada piso hay 4 habitaciones y cada habitación
tiene 4 ventanas. ¿Cuántas ventanas hay en total?
Multiplicamos 4 ⋅ 4 ⋅ 4, que en forma de potencia se escribe 4³ (la base es 4 y el
exponente es 3), calculando 4³ = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 64 ventanas.
1
Números naturales, enteros y potencias
8. Potencias y raíces
8.1. Potencias
POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS
Se calculan igual que las de números naturales pero conviene tener en cuenta
que:
 Si la base es negativa y el exponente es par, la potencia es positiva.
Ejemplo:
(-3)² = (-3) ⋅ (-3) = +9
 Si la base es negativa y el exponente es impar, la potencia es negativa.
Ejemplo:
(-3)³ = (-3) ⋅ (-3) ⋅ (-3) = -27
1
Números naturales, enteros y potencias
8. Potencias y raíces
8.2. Operaciones con potencias
OPERACIONES CON POTENCIAS
Suma y resta de potencias:
Para sumar o restar potencias, tengan
o no la misma base, se calcula por
separado el valor de cada potencia y
luego se suman o restan los
resultados.
Potencia de un producto:
La potencia de un producto es igual al
producto de las potencias de los
factores.
1 DE 3
32  33  23  9  27  8  28
a)( 2  5)4  24  54  16  625  10000
b)( 2  4 )2  ( 2 )2  42  4  16  64
1
Números naturales, enteros y potencias
8. Potencias y raíces
8.2. Operaciones con potencias
OPERACIONES CON POTENCIAS
2 DE 3
a)
2
 6   6  6  6  36
5
2
  5 5  5 25
2
Potencia de un cociente:
La potencia de un cociente es igual al
cociente de las potencias de los
factores.
Potencia de una potencia:
La potencia de una potencia es igual a
la base elevada al producto de los
exponentes.
b)
 2    2   ( 2 )  ( 2 )  ( 2 )  8
 3 
333
27
33


3
3
a) 52   523  56  15625
3
b) 23    2 
2
32
  2   64
6
1
Números naturales, enteros y potencias
8. Potencias y raíces
8.2. Operaciones con potencias
OPERACIONES CON POTENCIAS
Producto de potencias de la misma
base:
El producto de dos potencias de la
misma base es otra potencia de la
misma base que tiene por exponente
la suma de los exponentes.
Cociente de potencias de la misma
base:
El cociente de potencias de la misma
base es otra potencia de la misma
base cuyo exponente es la resta de los
exponentes.
3 DE 3
42  43  423  45  1024
34
 34 2  32  9
2
3
1
Números naturales, enteros y potencias
8. Potencias y raíces
8.2. Operaciones con potencias
PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS
Potencia de exponente cero:
Potencia de un producto:
 a  b n  a n  bn
a0  1
Potencia de un cociente:
n
a  an

a : b     n
b b
n
Producto de potencias de la misma
base:
am  an  am n
Potencia de una potencia:
 am 
n
 amn
Cociente de potencias de la misma
base:
am
m
n
a : a  n  a mn
a
1
Números naturales, enteros y potencias
8. Potencias y raíces
8.3. Potencias de exponente negativo
POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO
Una potencia de exponente negativo se puede transformar en una potencia
de exponente positivo.
1
an  n
a
Ejemplo
53

Según el cociente de potencias de la misma base 5  535  52 
1
5
2

5


2
5
53
555
1

Y por otro lado 5 


5 55555 55
1
Números naturales, enteros y potencias
8. Potencias y raíces
8.4. Raíces
RAÍCES CUADRADAS
La raíz cuadrada de un número, llamado radicando, es otro número que
elevado al cuadrado nos da como resultado el primero.
RAÍCES CÚBICAS
Las raíces cúbicas se comportan de forma análoga a las raíces cuadradas:
3
27  3porque3  3  3  27 3 125  5porque5  5  5  125
OTRAS RAÍCES
También se pueden calcular raíces de orden superior a 2 y a 3.
24  16tenemos que  4 16  435  243y portanto  5 243  3
En genaral, si a  bn entonces n a  b
1
Números naturales, enteros y potencias
8. Potencias y raíces
8.4. Raíces
JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
Cuando se tienen distintas operaciones combinadas con números enteros, hay
que seguir un orden para efectuarlas:
1.º Corchetes y paréntesis.
2.º Potencias y raíces.
3.º Multiplicaciones y divisiones.
4.º Sumas y restas.
5.º Si las operaciones están en el mismo nivel, se empieza por la izquierda.