Download Clase 143: Repaso sobre El Teorema de Pitágoras

Clase 143
Repaso sobre el
grupo de Teoremas
de Pitágoras.
Revisión del estudio individual.
C
E
1.En la figura:

ED  BC;  = 500;
F
0
 = 30 y ; CA y



ED se cortan en
B
D A
F. Halla  y .
C

F

D A

E
por ser ED  BC, entonces
BDE es rectángulo en E.
 +  = 900
por ángulos
complementarios de

un triángulo
B rectángulo
 + 500 = 900
 = 900 – 500
 = 400
DFA =  por ángulos opuestos por
el vértice.
0
DFA = 30
C

E
F

D A


B
 =  + DFA por ángulo exterior
 = 400 + 300 al  DFA.
 = 700
C
En todo
triángulo
a
b h
rectángulo
q
p
se cumple: A
c
Teorema
de
Teorema de
Razones
Pitágoras:
la altura:
trigonométricas
c2 = a 2 + b 2
h2 = p·q
B
Grupo de teoremas
0:
Teorema
del
ángulo
de
30
de Pitágoras0
Teorema
de; los
c = 2a
si catetos:
= 30
ac2==q·c
p·c
2b ; b
si2=
=
300
Ejercicio 1
En un triángulo rectángulo
cuyos catetos miden 3,0 u y
4,0 u respectivamente,
halla la longitud de la
altura relativa a la
hipotenusa.
C
a
b hc
p
q
A
c
por el Teorema
de los catetos
tenemos:
a2= q · c
a = 4,0u ; b = 3,0u
por el Teorema de
Pitágoras tenemos:
B c2 = a2 + b2
c2 = (4u)2 + (3u)2
c2 = 16u2 + 9u2
c2 = 25u2
c = 5u
2 16u2
a
q= c =
= 3,2u
5u
por diferencia de
segmentos
tenemos:
a
b hc
p
=
c
–
q
p
q
A
B
p = 5u – 3,2u
c
p = 1,8u
por el Teorema de la altura
tenemos: 2
h =p·q
h2 = 1,8u · 3,2u
h2 = 5,76u2
h = 2,4u
C
Ejercicio 2
El perímetro de un triángulo
isósceles es de 36 cm. Si los
lados iguales miden 13 cm.
Calcula:
a) la longitud de la altura
relativa a la base,
b) la distancia del pie de dicha
altura a cualquiera de los
lados iguales.
R
M
MNR: isósceles
de base MN, RQ = hMN
p = 36cm; MR = NR =13cm
N
Q
por ser el
p = 2MR + MN
MNR
36cm = 2·13cm + MN isósceles
36cm = 26cm + MN
de base MN.
MN = 10cm
R
M
Q
N
como en el triángulo
isósceles la altura
relativa a la base
coincide con la
mediana y mediatriz
relativa a ese lado,
entonces:
MN 10cm
NQ =
=
= 5cm
2
2
NQR rectángulo en Q
por ser
RQ = hMN
R
por el Teorema de
Pitágoras
M
Q
RN2 = RQ2 + NQ2
2
2
2
N RQ = RN – NQ
2
2
2
RQ = (13cm) – (5cm)
RQ2 = 169cm2 – 25cm2
RQ2 = 144cm2
RQ = 12cm
b)
M
R
En el triángulo rectángulo
RQN tenemos: QS = hRN
por el Teorema
de los catetos
S
2 = SN · RN
QN
N
Q
2
2
QN
5
=
SN =
13
RN
25  1,92 cm
=
13
En el QSN
R
rectángulo en S
La distancia
tenemos por el
del centro de
Teorema de
la base a los
Pitágoras que:
lados iguales QN2 = SN2+ QS2
S
es
de
4,62cm
.
2
2
2
M
N
QS
=
QN
–
SN
Q
2
2
2
QS = 5 – 1,92
2
QS   21,31
QS = 25 – 3,6864
2
QS
= 21,3136
QS  4,62 cm
QS2  21,31
Para el estudio individual
C
h
En el ABC
b
rectángulo en
h A2 a
C, a = 36,0cm y
b = 15,0cm.
A q
B
Calcula el área
A
1
b
de cada uno de
p
los rectángulos
sombreados en
2;
Resp:
A
=
498
cm
1
la figura.
2
A2= 192 cm
por el Teorema de
= +
Pitágoras.
c2 = (36)2 + (15)2 por el teorema de
c2 = 1 296 + 225 los catetos tenemos:
c2
a2
b2
c2 = 1 521
c = 1 521
c = 39 cm
a2 = pc
a2 362
p= c =
39
1 296  33,23
=
39
A1 = pb
= 33,23  15 = 498,45 cm2
 498 cm2