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Clase 143 Repaso sobre el grupo de Teoremas de Pitágoras. Revisión del estudio individual. C E 1.En la figura: ED BC; = 500; F 0 = 30 y ; CA y ED se cortan en B D A F. Halla y . C F D A E por ser ED BC, entonces BDE es rectángulo en E. + = 900 por ángulos complementarios de un triángulo B rectángulo + 500 = 900 = 900 – 500 = 400 DFA = por ángulos opuestos por el vértice. 0 DFA = 30 C E F D A B = + DFA por ángulo exterior = 400 + 300 al DFA. = 700 C En todo triángulo a b h rectángulo q p se cumple: A c Teorema de Teorema de Razones Pitágoras: la altura: trigonométricas c2 = a 2 + b 2 h2 = p·q B Grupo de teoremas 0: Teorema del ángulo de 30 de Pitágoras0 Teorema de; los c = 2a si catetos: = 30 ac2==q·c p·c 2b ; b si2= = 300 Ejercicio 1 En un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3,0 u y 4,0 u respectivamente, halla la longitud de la altura relativa a la hipotenusa. C a b hc p q A c por el Teorema de los catetos tenemos: a2= q · c a = 4,0u ; b = 3,0u por el Teorema de Pitágoras tenemos: B c2 = a2 + b2 c2 = (4u)2 + (3u)2 c2 = 16u2 + 9u2 c2 = 25u2 c = 5u 2 16u2 a q= c = = 3,2u 5u por diferencia de segmentos tenemos: a b hc p = c – q p q A B p = 5u – 3,2u c p = 1,8u por el Teorema de la altura tenemos: 2 h =p·q h2 = 1,8u · 3,2u h2 = 5,76u2 h = 2,4u C Ejercicio 2 El perímetro de un triángulo isósceles es de 36 cm. Si los lados iguales miden 13 cm. Calcula: a) la longitud de la altura relativa a la base, b) la distancia del pie de dicha altura a cualquiera de los lados iguales. R M MNR: isósceles de base MN, RQ = hMN p = 36cm; MR = NR =13cm N Q por ser el p = 2MR + MN MNR 36cm = 2·13cm + MN isósceles 36cm = 26cm + MN de base MN. MN = 10cm R M Q N como en el triángulo isósceles la altura relativa a la base coincide con la mediana y mediatriz relativa a ese lado, entonces: MN 10cm NQ = = = 5cm 2 2 NQR rectángulo en Q por ser RQ = hMN R por el Teorema de Pitágoras M Q RN2 = RQ2 + NQ2 2 2 2 N RQ = RN – NQ 2 2 2 RQ = (13cm) – (5cm) RQ2 = 169cm2 – 25cm2 RQ2 = 144cm2 RQ = 12cm b) M R En el triángulo rectángulo RQN tenemos: QS = hRN por el Teorema de los catetos S 2 = SN · RN QN N Q 2 2 QN 5 = SN = 13 RN 25 1,92 cm = 13 En el QSN R rectángulo en S La distancia tenemos por el del centro de Teorema de la base a los Pitágoras que: lados iguales QN2 = SN2+ QS2 S es de 4,62cm . 2 2 2 M N QS = QN – SN Q 2 2 2 QS = 5 – 1,92 2 QS 21,31 QS = 25 – 3,6864 2 QS = 21,3136 QS 4,62 cm QS2 21,31 Para el estudio individual C h En el ABC b rectángulo en h A2 a C, a = 36,0cm y b = 15,0cm. A q B Calcula el área A 1 b de cada uno de p los rectángulos sombreados en 2; Resp: A = 498 cm 1 la figura. 2 A2= 192 cm por el Teorema de = + Pitágoras. c2 = (36)2 + (15)2 por el teorema de c2 = 1 296 + 225 los catetos tenemos: c2 a2 b2 c2 = 1 521 c = 1 521 c = 39 cm a2 = pc a2 362 p= c = 39 1 296 33,23 = 39 A1 = pb = 33,23 15 = 498,45 cm2 498 cm2