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Solución de problemas que
involucran campos aleatorios de
conductividad hidráulica
Capitulo 7.7.5
Solución a la ecuacion de
flujo y transporte

involucra la expansion

en series de parametros



desconocidos y la variable



de estado.

limite en la magnitud de


análisis de primer orden la varianza de los parámetros

 respecto de sus medias, y este



limite es mas pequeño

que los valores de la varianza



encontrados en situaciones



de campo.

 La ventaja de este es

que no esta sujeto a



las limitaciones de la



 metodos Monte carlo  perturbación de series,
sin embargo, su solucion



 requiere de grandes

 recursos computacionales.



Capitulo 7.7.5
 El método de Monte Carlo es un método
no deterministico ó estadístico numérico
usado para aproximar expresiones
matemáticas complejas y costosas de
evaluar con exactitud.
Capitulo 7.7.5
Las características
estadísticas del
campo de
conductividad
hidráulica son
conocidas.
 Por conveniencia
asumimos que el
campo es
homogéneo,
estacionario e
isótropo.
Bajo esta suposición se requiere que la media y la
desviación estándar sean constantes en el
espacio y que la covarianza en dos lugares
dependa solamente de ellas
Capitulo 7.7.5
 En la aproximación Monte Carlo, una
muestra de valores de conductividad
hidráulica, una para cada nodo de la malla
numérica, se dibuja de un conjunto de
valores consistentes con la estadística del
campo. A tal conjunto de valores se le
llama una valoración
Capitulo 7.7.5
simulacion  modelo numerico  valoracion
 El valor calculado de la variable de estado
constituye una valoración de la variable de
estado del campo aleatorio.
Capitulo 7.7.5
 El procedimiento se repite para
valoraciones adicionales de la estadística
de los parámetros del campo y de los
registros de las simulaciones de la
variable de estado. Obteniendo suficientes
valoraciones, la estadística resultante de
la variable de estado, debe ser
consistente con la descripción estadística
del campo del parámetro.
Capitulo 7.7.5
 La pregunta que surge
es, como se puede
generar una serie de
valoraciones del campo
de parámetros, en
nuestro caso valores de
la conductividad
hidráulica, que sean
consistentes con la
estadística del parámetro
conocido.
 simulación secuencial
gausiana.
 método turning bands
 latin hypercube sampling
 descomposición LU
Definiciones
 The popular turning bands method (TBM)
generates realizations of two- or threedimensional Gaussian random fields from
appropriately summed line processes.
 The statistical method of Latin hypercube
sampling (LHS) was developed to generate a
distribution of plausible collections of parameter
values from a multidimensional distribution. The
sampling method is often applied in uncertainty
analysis.
Capitulo 7.7.5
 Una carga constante de 500m se ubica en el
centro del cuadrado. En cada esquina del
cuadrado se define una carga de 0m. los lados
del cuadrado representan fronteras de no-flujo y
no- difusión. La malla consiste de 27 bloques de
lado donde cada bloque es de 100m X 100m. en
el centro del cuadrado se localiza una fuente
constante de concentración 10. el campo de
flujo es tal que el agua con una concentración
de 10 entra a través del pozo de inyección en el
centro del cuadrado y sale por las esquinas.
Capitulo 7.7.5
Capitulo 7.7.5
 La conductividad hidráulica se distribuye
logaritmicamente normalizada con una media
del ln K de 5 y la varianza de 1. la relación para
la covarianza es.

cov K x, x  r   cov K ( x, x) exp 

 rx

 K x


   

 

2
 ry

 K
y

Donde cov es la covarianza de dos puntos separados por una
distancia r, rx y ry,es la distancia entre los puntos a lo largo del eje
x y del eje y, respectivamente, (100m entre puntos vecinos para
este ejemplo),  son las correlacionasen las direcciones x y y
respectivamente (224m en cada dirección).




2
Capitulo 7.7.5
 El primer paso para resolver este
problema es hacer una valoración del
campo aleatorio de la conductividad
hidráulica. Para esto, se examina la
distribución normal de los valores de ln K.
Capitulo 7.7.5
Capitulo 7.7.5
 la fuente de tales distribuciones en cada
ubicación nodal podría ser obtenida con el
algoritmo de kriging. En la aproximación
LHS la función de densidad de
probabilidad en cada localización nodal,
es dividida en áreas iguales. Por tanto la
probabilidad de seleccionar un valor de ln
K es la misma en cada intervalo.
Capitulo 7.7.5
 ln Ki
 Distribución
lognormal
 5
 1
2
Capitulo 7.7.5
 Supóngase que se harán 10 simulaciones
monte carlo, de forma tal que se
necesitaran 10 valoraciones del campo
aleatorio, cada una conteniendo cuatro
valores de la conductividad hidráulica (
una para cada uno de los cuatro
elementos).
Capitulo 7.7.5
LHS
obtener un valor
10 realizaciones 
tabla 7.4 tabla 7.5  tabla 7.4  ec. 7.128

de 7.23
cov  xk , xl   


 x
 
k
 k  xl  l  f k  xk , xl  dxk dxl
 E  X k  k  X l  l  
Capitulo 7.7.5
Posteriormente hágase una
descomposición cholesky tanto
para R como para R*; esto es,
obtener los factores Q y Q’ tal
que QQ’=R y P P’ tal que
PP’=R*. Ahora calcúlese una
nueva matriz K’=K(PQ-1)’
es, en cierto sentido, una estimación de
los valores necesarios para las
valoraciones. Su matriz de correlación
se muestra en la tabla 7.7. una
comparación entre esta matriz de
correlación y la matriz de correlación R*
prueba que K’ tiene la misma matriz de
correlación que la target
Capitulo 7.7.5
Hay dos aspectos a considerar:
 Esta serie de valores tiene la estructura de
correlación completa.
 No así para los valores originalmente mostrados
para las cuatro distribuciones de probabilidad de
los ln K.
 Para darle la vuelta a este problema reacomodamos los valores correctos (matriz K ) y
la fabricada (matriz K’) en la forma mostrada en
las tablas 7.8 y en 7.9.
Capitulo 7.7.5
 Los valores en la
columna etiquetada rank
en esta tabla indica la
magnitud relativa en los
números en la columna
de la izquierda.
Por ejemplo en la columna uno el valor
mas pequeño es 3.355 y su
correspondiente en la columna rango
es 1. el valor mas grande en la
columna izquierda tiene un valor de
6.935 y su correspondiente en la
columna rango es 10.
Capitulo 7.7.5
Finalmente, re-arreglamos las valoraciones
en la matriz K usando los rangos en la matriz
K’. en otras palabras, los valores en K se rearreglan de forma tal que el orden de su
rango sea el mismo que el de K’. la nueva
matriz D es formada como se muestra en la
tabla 7.10.
Capitulo 7.7.5
Cada fila de la matriz D forma un
conjunto de valoraciones del LHS.
La matriz de correlación de D
formada por el re-acomodo de los
valores se muestra en la tabla 7.11.
Es muy parecida a la matriz de
correlación target . Ahora se
tiene un conjunto de muestras
que tienen los valores
correctos de la distribución y
casi la correlación correcta.
Capitulo 7.7.5
Para efectuar la simulación montecarlo,
resolveríamos los 4 elementos del problema
de flujo de agua subterránea diez veces,
usando una fila de la matriz D para cada
simulación. Registraríamos los valores
asociados con cada una de las corridas y de
cada una de estas calcular la estadística de
la variable de estado.
Capitulo 7.7.5
Regresando al
problema definido en
la figura 7.22, se
muestra en la figura
7.24 una valoración
del campo aleatorio
para este problema
generado usando la
técnica LHS.
Capitulo 7.7.5
La solución para los valores de la media de la
carga hidráulica se muestran en la figura.
Capitulo 7.7.5
La varianza de los
valores de la carga se
muestran en la figura.
Capitulo 7.7.5
Para cada valoración de el ln K se calcula
un valor de la carga del campo. De la
ecuación de Darcy, se calcula una velocidad
del campo.
Capitulo 7.7.5
La media de la concentración del campo para el
problema de los cinco puntos se muestra en la
figura
Capitulo 7.7.5
La varianza respectiva se muestra en la figura
Capitulo 7.7.5
 Que tan bien funciona el método monte carlo con los distintos
esquemas usados para generar valoraciones? En otras
palabras, si se usan los cuatro métodos principales para
valoraciones, cual es la razón de convergencia relativa de la
solución de monte carlo a la solución correcta conforme el
numero de valoraciones se incrementa.
 A causa de la manera en que el LHS se calculo, no hay
errores en el calculo de la media de las valoraciones. Sin
embargo, el calculo de la covarianza es mas difícil de obtener
de acuerdo a lo visto previamente.
 Debido a esto, hay que considerar una comparación de la
covariaza calculada tanto con LHS como con simulación
gausiana.
Capitulo 7.7.5
En la figura se muestra una estimación del error entre los valores
calculados y los exactos de la correlación para los dos métodos usando
la raíz media cuadrática del error.
Se observa que ambos métodos convergen al valor correcto de la solución
conforme el numero de valoraciones se incrementa. Sin embargo, en este ultimo
ejemplo, el LHS converge mas rápidamente, llegando al valor mas preciso
haciendo 800 valoraciones.
Capitulo 7.7.5
Ahora examinemos que tan rápido se aproximan al valor correcto el
calculo de la covarianza de la concentración obtenido haciendo uso de
la aproximación a la ecuación de flujo y transporte.
En este caso no hay solución conocida de forma tal que se hará uso de una
solución inexacta como referencia. Se ha elegido como solución después
de 900 valoraciones.