Download 3. 1. Arte y Arqueología…

Ciencia y Técnica: Retos
y Desafíos en la Era del
Conocimiento
Sixto Romero Sánchez
Huelva_06_11_2012
Aula de la Experiencia
1. Prólogo
2. Impacto de las ciencias sobre
el mundo del pensamiento
3. Aspectos de la influencia de las
ciencias-matemáticas en la cultura
4. Algunos desencuentros. Asedios y límites a
la racionalidad
“Cuando era joven, puse mis esperanzas
en llegar a ver el final de mis
investigaciones. Ahora que me ha alcanzado
la vejez, reconozco que ya nunca podré
explicar algo completamente.
confío que, al menos, cuanto yo he aportado
pueda servir y atraer la atención de futuros investigadores”
Averroes (1126-1198)
El mito de Ariadna y Teseo
Ariadna es la hija
del rey Minos y
Pasifae de Creta.
Su padre tenía en
un laberinto al
minotauro, a quien
había que
alimentar con
gente ateniense
cada nueve años.
La tercera vez que
los atenienses
debían pagar su
tributo, Teseo, -hijo
de Egeo, el rey de
Atenas- se ofrece a
ir y matar al
minotauro. El
problema era que el
minotauro vivía en
un laberinto del que
no se podía escapar.
Ariadna vio a
Teseo y se
enamoró de él, por
lo que decidió
ayudarlo con la
condición de que
se casara con ella
y se la llevara lejos
de su temible
padre.
Teseo aceptó, y así
fue como Ariadna
le regaló un ovillo
para que una vez
en el laberinto, lo
hiciera
desenrrollar y
pudiera servirle de
guía al regreso e
indicarle el camino
de regreso
Cuando Minos supo
que Teseo había
matado al minotauro
montó en cólera por
lo que Teseo tuvo que
apresurarse en la
huída en la que lo
acompañó Ariadna.
Pero ella nunca llegó
a ver la tierra de
Teseo, Atenas, pues
en una escala que él
hizo en la isla de
Naxos, la abandonó
dormida en la orilla.
Pero, Ariadna no
se amilanó mucho
y olvidó sus penas
de amor con el
dios Dionisio,
quien se había
enamorado
profundamente de
ella. Se casó con
ella y la llevó al
Olimpo.
Borges solía decir -reivindicando el
símbolo
del laberinto sobre cuestiones más
generalesque si había un laberinto, entonces
el hombre
estaba salvado pues el laberinto era
garantía de
arquitectura, en franca
oposición al caos..
¿Y qué hay del hilo, también
injustamente relegado?
Algunos escépticos podrán
objetar que un ovillo de hilo no
justificaría estas líneas y a
ellos se les podría responder
desde ciertas teorías sobre el
relato y hablarles del valor de
los objetos en la dinámica de
las acciones, los personajes y
las transfiguraciones.
Se sabe que los relatos son la historia de una
transformación: ni Minos, ni Dédalo, ni
Ariadna, ni Teseo, ni el Minotauro, ni el
laberinto, ni el ovillo de hilo son, al finalizar
el relato, lo que eran en el comienzo. La
valentía de Teseo y el recurso del hilo
hicieron la diferencia. Pero la valentía de
Teseo sin el hilo, acaso equivaliese a un
nuevo sacrifico de atenienses ante el
Minotauro.
* Historia y Mito: Ariana y Teseo en el
laberinto humanístico
* La fábula explica como las Ciencias y las
Humanidades se aúnan
*Preguntas sin aparente solución
para el humanista
* Reflexiones a través del análisis
del avance de la cultura, entre otras,
gracias a las matemáticas
“No existen diversas ciencias con fuentes de
conocimiento distinto sino que existe la Ciencia.
Todos los conocimientos hallan en ella su sitio,
y todas son de la misma naturaleza, su diversidad
aparente no es sino el efecto de la diversidad de
lenguajes empleados por las diferentes ramas del saber”
R. Carnap
*Todo el mundo tiene una idea formada de
las ciencias:
a) Escuela Primaria
b) Escuela Secundaria
c) Universidad
“Una rama del conocimiento se llama Matemáticas por el
hecho de que el nombre parece apropiado, por razones
emocionales o tradicionales, a un número suficiente de
personas competentes”
O. Veblen
* De una manera genérica:
Interacción entre Ciencias y Humanidades
* De una manera concreta:
Señalando aspectos de las Humanidades
como objetos Matemáticos
2.1. Filosofía mirada hacia las Matemáticas
* Pensamiento Pitagórico
* Las Matemáticas como modelo de Pensamiento
(Descartes, Pascal, Leibniz)
* Las Matemáticas para el desarrollo de otras
ciencias
(Inmanuel Kant)
2.2.Matemáticas mirada hacia la Filosofía
* Explicación de la realidad
* Infinito Matemático
* Estructura lógica de las Matemáticas
3.1. Matemáticas, Arte y Arqueología
y su relación con las ciencias y
técnicas
TESELACIONES
Una regularidad o patrón de figuras
que cubre o pavimenta
completamente una superficie plana
que cumple con dos requisitos los
cuales son que no queden huecos y no
se superpongan o traslapen las
figuras. Las teselaciones se crean
usando transformaciones isométricas
sobre una figura inicial.
Maurits Cornelis Escher (1898-1972).es uno de
los más grandes artistas gráficos del siglo XX.
Sus más populares obras, figuras imposibles,
fondos reticulados con diversos patrones y
mundos imaginarios han sido reproducidas
hasta la saciedad en portadas de libros, revistas,
campañas publicitarias y en todo tipo de
formatos. Escher es, en cierto modo, uno de los
artistas más referenciados en la «cultura
popular» del siglo XX.
Teselaciones de
Escher
Teselaciones de
Escher
Teselaciones de
Escher
Teselaciones de
Escher
Teselaciones de
Escher
Polígonos
Nazaríes
Polígono
Nazari
(Hueso)
Polihueso del
Palacio de
Comares
Polígono
Nazari
(Pajarita)
Polipajarita de
la Alcoba del
Patio de la
Alberca
Polígono Nazari
(Pétalo)
Polipétalo de
los Baños del
Palacio de
Comares
Zócalo de la Sala de Dos
Hermanas
Esquema para la construcción de las Salas de
Dos Hermanas y de Abencerrajes
Salón del Trono
(Composición octogonal)
Descuibrimientos e inventos en
la Ciencia y Técnica
Geofísica aplicada a la
Arqueología
Yacimiento de Méndez Núñez
Huelva (España)
Prospección de 1998
MAGNETÓMETRO DE PROTONES
RESISTIVÍMETRO
PROSPECCIÓN ELÉCTRICA
EN LA PEÑA DE NUESTRA
SEÑORA DE LOS ANGELES
ALAJAR
* CONVENIO: DIPUTACIÓN, AYUNTAMIENTO
DE ALAJAR Y EL GRUPO DE ARQUEOFÍSICA
DE LA RÁBIDA
PROSPECCIÓN EN ALAJAR
ZONA EXPLORADA. Campaña de 1996
Una hectárea, situada en el aparcamiento situado
frente a la ermita (Huerto de la casa de Arias
Montano)
PROSPECCIÓN EN ALAJAR
Sondeo Eléctrico Vertical
Capa 1 a –2 m.
Capa 2 a – 4m.
Capa 9 a – 18m
Tratamiento
Adecuado de
Imágenes
SEV
PROSPECCIÓN EN ALAJAR
Plano de la Excavación en
función de los resultados
geofísicos
1998
Superposición Imagen de la
Prospección y Plano de la
Excavación
1998
SAN PEDRO DE ALCÁNTARA
PENICHE (PORTUGAL)
3.2.1. “Ciencias Metafísicas”:
Numerología
La numerología es un conjunto de
creencias o tradiciones que
establecen una relación mística
entre los números y los seres vivos
junto con las fuerzas físicas. Fue
popular entre los primeros
matemáticos, pero no se la
considera ya disciplina
matemática.
3.2.1. “Ciencias Metafísicas”:
Numerología
Es una de las ciencias ocultas que
la humanidad ha cultivado desde
el más lejano pasado. En el año
530 a.C. Pitágoras, el filosofo
griego, desarrollo en forma
metódica la relación entre los
planetas y su vibración numérica.
La llamó música de las esferas".
3.2. 1.“Ciencias Metafísicas”:
Numerología
También afirmó, PITÁGORAS; que
las palabras tienen un sonido que
vibra en consonancia con la
frecuencia de los números. Sería
una faceta más de la armonía del
universo y la sincronicidad de las
leyes de la naturaleza. Siempre se
creyó que los números tienen en
si mismos un principio activo.
3.2.1. “Ciencias Metafísicas”:
Numerología
En su aspecto humano, el número es el
símbolo que expresa la relación de
nuestra vida y nuestra mente con la
naturaleza, nuestra existencia y
nuestras posibilidades y facultades
dependen en cierto modo de ellos. Las
vibraciones numéricas establecen así
una relación existente entre los seres y
el Universo.
3.2.1. “Ciencias Metafísicas”:
Numerología
La numerología sostiene, y
prueba, que nuestras cualidades,
nuestros defectos, nuestros
sentimientos, nuestras inquietudes
y nuestras vivencias, vienen
determinadas por los muchos
números que aparecen al hacer
nuestro cuadro numerológico
completo.
3.2.1. “Ciencias Metafísicas”: Numerología
La mayoría de los científicos actualmente
concuerdan en afirmar que la
numerología es una pseudociencia , al
igual que la astrología con respecto a la
astronomía aunque la alquimia más bien
fue una protociencia con respecto a la
química
3.2.1. “Ciencias Metafísicas”: Numerología
Numerología: el significado de los
números
De las “ciencias” metafísicas –tarot,
astrología, quiromancia...- la numerología
es la menos conocida o entendida.
3.2. Ejemplos: Numerología
Para averiguar nuestro número debemos sumar los
números de nuestra fecha de nacimiento y si obtenemos
un número superior al 9, simplificar nuevamente hasta
obtener un número de un dígito entre el 1 y el 9.
Ejemplo 1: ¿Cuál es el número de una persona que haya
nacido el 4-3-1953?
SOLUCIÓN: Tendríamos que sumar:
4+ 3 + 1 + 9 + 5 + 3 = 25
simplificando nuevamente:
2+5=7
El número de la persona nacida es el SIETE
3.2.1. Ejemplos: EL SECRETO DE TU
NOMBRE.
¡Dime como te llamas y te diré
como eres!
3.2.1. Ejemplos: EL SECRETO DE TU NOMBRE.
Para averiguar el secreto de su nombre,
debemos usar el nombre que utiliza de
forma cotidiana -puede ser un
sobrenombre o un apodo- y el primer
apellido; así tendremos un valor numérico
que define los rasgos de la personalidad
de esa persona.
3.2.1. Ejemplos: EL SECRETO DE TU
NOMBRE.
Escribimos el nombre y su apellido y a
cada letra se le asignara un número,
luego se procede a sumar y se reduce la
suma total hasta obtener una sola cifra.
3.2.1. Ejemplos: EL
SECRETO DE TU NOMBRE.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
3.2.1. Ejemplos:
NUMEROLOGÍA SEGÚN TU
NOMBRE.
S
I
X
T
O R
O M E
R
O
1
9
6
2
6
6
9
6
9
4
5
TOTAL:1+9+6+2+6+9+6+4+5+9+6=63
SUMA: 6+3=9
3.2.1. Ejemplos:
NUMEROLOGÍA INFLUENCIA
AÑOACTUAL
Nombre: Sixto Romero
Mes y día Nacimiento: 04-Marzo
4+3=7
Año en curso: 2008
2+0+0+8=10
Total:7+10=17___7+1=8
3.2.1. Numerología
EL NÚMERO 0
Lo que representa
La imagen
Representa lo que no es
pero puede ser, o lo que
ya ha sido. Puesto a la
izquierda de cualquier
número lo reduce, puesto
a la derecha lo aumenta.
Por lo tanto puede ser todo
o nada.
Está representado por
él circulo, figura auto
contenida e infinita al
carecer de principio y
de fin.
3.2.1. Numerología
EL NÚMERO 1
Lo que representa
El 1 es la determinación, la
voluntad, lo que insta a
que existan las cosas. Es el
número del líder, del
precursor , el pionero con
ideas originales, de la
invención. Es fuerte,
dominador. Está en
proceso de descubrir sus
potencialidades
La imagen
Se representa por el punto,
que no admite partes y es
centro de irradiación.
ASPECTOS +; -
+: Activo, creativo,
precursor, original.
-: Falto de voluntad,
egoísta. Tirano, abusa de
su autoridad
3.2.1. Numerología
EL NÚMERO 2
Lo que representa
El principio de la dualidad, de
la diversidad. Al ser opuesto al
uno, masculino, nos habla del
principio femenino de la
receptividad, por lo tanto, las
características del 2 son las
que tradicionalmente se
asocian a la feminidad,
suavidad, dulzura, equilibrio.
Pero también dualidad, ese
lado tenebroso y fundamental
del Ser.
La imagen
Se representa
por la línea.
ASPECTOS +; -
+: Suave, servicial,
colaborador,
sensible.
-: Tímido,
hipersensible.
Embaucador,
engañoso,
cobarde, celoso.
3.2.1. Numerología
EL NÚMERO 3
Lo que representa
La imagen
Se representa por
el triángulo.
Es el número de la
creación, ya que es el
Aspecto +; resultado de la suma del
+: Optimista, hábil
2+1, es decir, del
para la relación.
principio receptivo
Entusiasmo,
femenino del 2 sumado intercambio. Alegría.
-: Pesimista,
con el principio
pretencioso,
masculino del 1.
hablador. Depresivo,
cotilla, embaucador.
3.2.1.Resumen: Numerología
Uno- Lo bello y lo bueno
Cuatro- Engendra la
década
Dos- Dualidad entre el
Cinco- Matrimonio
bien y el mal
Tres- Principio, medio y fin
Seis- Días para la
Creación
Siete- El más importante: Salud,
sueño...
3.2.1.Resumen: Numerología
Números Perfectos: 6=1+2+3*** 28=1+2+4+7+14
Números Amigos: 220 y 284 *** 17.296 y 18.416
Números Gemelos: 3 y 5*** 5 y 7*** 11 y 13
3.3.Matemáticas y Magia
Quienquiera que pretenda conocer con algo
de profundidad un tema, se pregunta por los
orígenes y la evolución histórica del mismo.
Al dedicarse a esta tarea, la mayoría de las
veces se encuentra con un origen poco claro
y una historia plagada de incertidumbres.
El caso de la magia matemática no es una
excepción.
3.3.Matemáticas y Magia
Parece que uno de los primeros libros en los
que aparecen juegos de matemática
recreativa que pueden considerarse como
magia matemática es el titulado Triparty en
la science de nombres, escrito en 1484 por el
matemático francés Nicolas Chuquet,
considerado como el mejor matemático
francés del siglo XV.
3.3.1 Tarjetas Binarias
1
3
5
7
9
11 13 15
17 19 21 23 25 27 29 31
33
35 37 39 41 43 45 47 49
2
3
6
7
10 11 14 15
18 19 22 23 26 27 30 31
34
35 38 39 42 43 46 47 50
3.3.1 Tarjetas Binarias
4
5
6
7
12 13 14 15
20 21 22 23 28 29 30 31
36 37 38 39 44 45 46 47
8
9
10 11 12 13 14 15
24 25 26 27 28 29 30 31
40 41 42 43 44 45 46 47
3.3.1 Tarjetas Binarias
16 17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30 31
48 49 50
32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47
48 49 50
3.3.1.Tarjetas Binarias
La prueba de la validez de este método es mucho
más interesante para alguien interesado en las
matemáticas
a) Basta sumar los números de la esquina
superior izquierda de las tarjetas que
contienen el número pensado.
3.3.1.Tarjetas Binarias
b) Observar con detalle las tarjetas: si
escribimos la representación binaria de los
números involucrados, en la tarjeta 1 están
todos los números cuya última cifra es un
uno, en la tarjeta 2, aquellos cuya penúltima
cifra es un uno, y así sucesivamente. El primer
número de cada tarjeta indica el valor
decimal de cada una de las cifras del
número. Así que su suma nos dará el número
pensado.
3.3.1.Tarjetas Binarias
Supongamos que elegimos el 23
23=1+ 1.2+ 1.22+ 0.23 + 1.24
232= 10111
23=1+2+4+16
3.3.3.Números Cíclicos
a) Escribe el número 246913578, el cual contiene las
nueve cifras significativas, ninguna de ellas repetida.
b) Multiplica dicho número por cualquiera de los
siguientes: 2 - 4 - 5 - 7 - 8 - 10 - 11 - 13 - 16 - 20 - 22 - 25
- 26 - 31 - 35 - 40 - 55 - 65 - 125 - 175 - 875.
c) Ordena las cifras del resultado y elimina el cero,
caso de que aparezca.
¡ SORPRESA ! Están todas las cifras significativas y
ninguna se repite.
d) Divide el número dado por cualquiera de los
siguientes:
2-4-5-8
¡Nuevamente aparecen todas las cifras sin repetirse
ninguna de ellas!
3.3.3.Números Cíclicos
a) Escribe el número 142857. Debajo de él escribe
todas sus permutaciones circulares, es decir
142857
428571
285714
857142
571428
714285
3.3.3.Números Cíclicos
a) ¿Qué se puede deducir?
a.1. Cada uno de ellos es el resultado de multiplicar
el primero por los números del uno al seis.
a.2. Es un cuadrado mágico
1
4
2
8 5 7
4
2 8
5
7 1
2
8
5
7
1 4
8
5
7
1 4 2
5 7
1
4
2 8
7 1
4 2 8 5
Con sumas de filas y columnas igual a 27
3.3.3.Números Cíclicos
El precioso número 1428578
a.1. Escribe en una tira de papel las cifras 142857 y
pega los extremos para formar una cinta.
a.2. Pedir a un alumno/a que nombre un número del
uno al seis y que lo multiplique por el número
mágico 142857.
a.3. Mientras realiza la operación, con unas tijeras
corta la cinta por el lugar adecuado y muestra
que el número allí escrito coincide con el
resultado de la operación.
3.3.4.Maravilloso Número 6174
Consideremos el número 6174, reordenemos sus
dígitos para construir con ellos el mayor número
posible; es decir, coloquémoslo en orden
decreciente.
Reordenémoslo
también
para
construimos el menor número posible y restemos.
Obtenemos así:
7641-1467=6174 que es el número con el que
empezamos.
¿Qué sucede con 4959?¿ ¿Cuál es el número
máximo de restas necesarias para obtener el número
6174?
3.4.Dimensión Fractal
a) El pintor Paul Cezanne: "Todo en la
Naturaleza puede verse en términos de
conos, cilindros y esferas". Se trata de una
sentencia programática en referencia a su
estilo pictórico y nos viene al pelo como
descripción de una visión euclidiana de la
Naturaleza.
3.4.Dimensión Fractal
La réplica la pondría Mandelbrot al contestar:
"Las nubes no son esferas, las montañas no
son conos, las costas no son círculos, las
cortezas de los árboles no son suaves y
nada, excepto la luz, viaja en línea recta".
Si el mensaje de Mandelbrot es que la
Naturaleza responde mejor a otro tipo de
descripción , sería conveniente que
pudiésemos comprobarlo más allá de la
simple intuición.
3.4.Dimensión Fractal
1. Vayamos a la nevera y comprobemos si tenemos
a mano un broccoli o una coliflor. Su estructura
ramificada es un fractal y utilizamos esta
observación para sintetizar sus morfologías.
3.4.Dimensión Fractal
2. Observemos en el cielo una nube
3.4.Dimensión Fractal
2. Observemos el perfil de una costa
3.4.Dimensión Fractal
3. Ríos en Noruega
4. Árboles en la nieve
3.4.Dimensión Fractal
3.4.1. Midiendo longitudes y volúmenes
Una forma de medir la longitud de una curva
es aproximarla a la longitud de una serie
de pequeñas rectas que la recubren. A ese
procedimiento los matemáticos lo llaman
rectificación. Cuanto más pequeñas sean
las rectas escogidas para el recubrimiento,
más exacta será nuestra medida.
3.4.Dimensión Fractal
3.4.1. Pero... ¿qué ocurre si intentamos medir la
"longitud total" de un cuadrado? No su perímetro,
sino la longitud del cuadrado por este método de
rectificación. ¿Tiene, siquiera, sentido tal
pregunta?
3.4.Dimensión Fractal
3.4.1. Cuando hayamos repetido esta tediosa, pero
expeditiva operación infinitas veces, podremos
decir que hemos recubierto el cuadrado con
líneas. No existirá ni un solo punto por el que no
pase una línea, ni por ninguno de ellos pasará a la
vez más de una. Para hallar matemáticamente el
valor de la longitud de la línea que recubre al
cuadrado empleamos el límite:
3.4.Dimensión Fractal
3.4.2. Pero... ¿qué ocurre si intentamos medir el
volumen de un objeto geométrico?
3.4.Dimensión Fractal
3.4.2. Pero... ¿qué ocurre si intentamos medir el
volumen de un objeto geométrico?
a) Nuestra primera aproximación será de nuevo un
recubrimiento burdo: una sola caja cúbica que contiene
al cuadrado como sección transversal. Así, V1 = 1·1·1 = 1.
b) Dividamos el cuadrado en cuatro pedazos idénticos y
sobre cada uno repitamos el proceso anterior:
recubrámoslos con cubos de arista correspondiente.
Ahora tenemos 4 cubos de volumen 1/2·1/2·1/2 = 1/8. La
nueva aproximación será V2 = 4·(1/2)3 = 1/2.
c) Si volvemos a dividir: V3 = 16·(1/4)3 = 1/4.
V4 = 64·(1/8)3 = 1/8.
3.4.Dimensión Fractal
3.4.2. Pero... ¿qué ocurre si intentamos medir el
volumen de un objeto geométrico?
¡
¡De modo que la longitud de un cuadrado
es infinita y el volumen es cero!
En realidad, este resultado obtenido es general:
para cualquier objeto geométrico, medidas que
usen dimensiones más bajas que su propia
dimensión resultan infinitas y más altas, cero
3.4.Dimensión Fractal
3.4.3. Pero... ¿qué ocurre si intentamos medir el perímetro
de un triángulo? TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
3.4.Dimensión Fractal
3.4.3. Pero... ¿qué ocurre si intentamos medir el área
de un triángulo por aproximación?
3.4.Dimensión Fractal
3.4.3. ¿Sorpresa ?
El triángulo de Sierpinski es un objeto
geométrico de infinita longitud, aunque se
encuentra en una región finita del plano,
cosa que implica dimensión mayor
que uno. Pero a la vez tiene área nula, que
indica dimensión menor que 2.
¿Pero entonces, qué dimensión tiene?
3.4.Dimensión Fractal
El triángulo de Sierpinski
3.4.Dimensión Fractal
3.4.3. ¿Sorpresa ?
El triángulo de Sierpinski es un objeto
geométrico de infinita longitud, aunque se
encuentra en una región finita del plano,
cosa que implica dimensión mayor
que uno. Pero a la vez tiene área nula, que
indica dimensión menor que 2.
¿Pero entonces, qué dimensión tiene?
3.4.Dimensión Fractal
3.4.3. Definición de autosimilaridad
Sea un segmento de longitud L=1. Podemos
recubrirlo, por ejemplo, con:
2 segmentos de tamaño 1/2: N=2, R=1/2; (1/2)-1=2
4 segmentos de tamaño 1/4: N=4, R=1/4; (1/4)-1=4
8 segmentos de tamaño 1/8: N=8, R=1/8; (1/8)-1=8
Observa que el exponente -1 cambiado de signo
coincide con la dimensión 1 de una recta.
3.4.Dimensión Fractal
3.4.3. Definición de autosimilaridad
4 cuadrados de tamaño 1/2:N=4, R=1/2; (1/2)-2 =4
16 cuadrados de tamaño 1/4:N=16, R=1/4; (1/4)-2 =16
64 cuadrados de tamaño 1/8:N=64, R=1/8; (1/8)-2 =64
Observa que el exponente -2 cambiado de signo
coincide con la dimensión 2 de un plano.
3.4.Dimensión Fractal
3.4.3. Definición de autosimilaridad
La relación
N= R-D
nos determina la dimensión D del objeto
geométrico.
3.4.Dimensión Fractal
3.4.3. ¿Qué exponente D encontramos al aplicar
este método al triángulo de Sierpinski?
3 triángulos de lado 1/2:N=3, R=1/2; (1/2) -D = 3
9 triángulos de lado 1/4:N=9, R=1/4; (1/4)-D = 9
27 triángulos de lado 1/8:N=27, R=1/8; (1/8)–D =27
……………………………………………….
3n triángulos de lado 1/2n:N=3n , R=1/2n; (1/2n)-D = 3n
3.4.Dimensión Fractal
3.4.3. ¿Qué exponente D encontramos al aplicar
este método al triángulo de Sierpinski?
(1/2n)-D = 3n
Despejando n:
D ln
2 n=
ln
3n
ln 3
D
 1,58496
ln 2
3.4.Dimensión Fractal
3.4.3. Definición de autosimilaridad
Así la dimensión de autosimilaridad D de
un objeto, hecho de N copias exactas a él
mismo y reducidas en un factor R, es:
3.4.Dimensión Fractal
a) Para la línea:
b) Para el cuadrado:
c) Para el cubo:
d) Para el Triángulo de Sierpinski:
3.4. Método de
Obtención de
fractales
Observa el monigote inicial
Llamémoslo semilla inicial. Sobre él vamos a
ejercer una serie de transformaciones.
Creamos tres copias reducidas a 1/3 y las
situamos como se observa en la segunda
celda. Repetimos el procedimiento con
cada nuevo monigote y ... Observa las
sucesivas aproximaciones a ...
a ...
3.4.1 Obtención de Fractales
a ...
3.4.2. Pentágono de Sierpinski
a ...
3.4.2.Exágono de Sierpinski
a ...
3.4.3. Dragon
3.4.Dimensión Fractal
3.4.Dimensión Fractal
3.4. Ejemplos de Fractales
3.4. Armonía en la Naturaleza: El
Número Aúreo
¿QUE ES LA MULTIMEDIA?
El término MULTIMEDIA define las posibilidades de medios y
técnicas para la representación de la información
* Apareció en los años 60 y 70
* Raíces de multimedia: “ In earliest know multimedia
presentation, Moses bestows the Ten Commandments,
combining written words with stone tablets, human voice
celestial voice, ram´s horn, thunder an lightning”
PROBLEMA DE LA DEFINICIÓN
* El concepto alcanza hoy una nueva dimensión
* Todo lo que se sale del procesamiento de texto y
número es Multimedia
* Es una palabra de moda
* Su uso se generaliza y se extiende en todos los
ámbitos
INTEGRACIÓN E INTERACCIÓN
MULTIMEDIA
TEXTOS
GRÁFICOS
SONIDO
ANIMACIÓN
VIDEO
APLICACIONES DIARIA
Multimedia como ayuda a la planificación curricular
La simulación de modelos matemáticos
Terminales de información
Multimedia de red
Bases de datos en Investigación y Educación
Matemáticas
Programas de aprendizaje en Matemáticas
Juegos y Resolución de Problemas
HACIA UNA NUEVA ORALIDAD
MODELO DE RIPLEY
* ¿ Aparición de técnicas multimedia implica
desaparición del papel, por tanto del libro?
¡SI GUTENBERG LEVANTARA LA CABEZA!
* ¡Basta con sustituir las tradicionales estanterías
destinadas al papel, por cajas de diskettes¡
¡ NUEVA ORALIDAD COMPATIBLE
CON LA TRADICIONALIDAD !
* Procesamiento lineal o secuencial de la
información
* Procesamiento en paralelo o globaL
MODELO DE RIPLEY?
3.6. Matemáticas y Filatelia
a) Punto de vista histórico
b) Punto de vista de contenidos
c) Punto de vista interdisciplinar
CONCEPTOS MATEMÁTICOS
A TRAVÉS DE SU HISTORIA
(FILATELIA)
PIRÁMIDES DE EGIPTO
La construcción de las pirámides no es
sólo un producto empírico para cubrir
una necesidad. Es también el
resultado de una civilización rica en
conocimientos geométricos. Los
egipcios disponían de reglas para el
cálculo del área del triángulo,
rectángulo y trapecio. Sabían calcular
el volumen de prismas y pirámides.
MATEMÁTICAS
EN LA
ANTIGUEDAD
THALES
Comerciante, filósofo, matemático,
astrónomo, ingeniero. Es considerado
como el primero de los siete sabios de
grecia
PITÁGORAS
Se le atribuye el famoso teorema de
Pitágoras sobre un triángulo rectángulo
GEOMETRÍA Y ANÁLISIS
1.- BANDA DE MÖBIUS
2.- TRIÁNGULOS SEMEJANTES
3.- LEONHARD EULER
4.- SÍMBOLO “PI”
CÁLCULO CON MÁQUINAS
1.- CALCULADORA
La máquina más antigua que se
conoce. El sello se reproduce, en
1973 para conmemorar los 350
años de su aparición.
2.- JOHANN VON NEUMANN
Matemático húngaro. Creó la
teoría de juegos. Contribuyó a la
lógica y al desarrollo de los
ordenadores.
3.8. Matemáticas y Poesía
1. Elaborada por poetas
a) A la divina proporción
b) Al árbol
c) A la cantidad
2. Elaborada por Matemáticos
3.9. Matemáticas
y Literatura
Borges amaba la mística y la poesía. Y la
geometría y el rigor matemático. En La
Biblioteca de Babel, Borges concibe un
universo-biblioteca configurado por salas
hexagonales, figuras geométricas que se
proyectan a lo infinito. En torno a esta
proyección de lo hexagonal, palpitan una red
de relaciones entre el relato borgeano y el
pensar matemático.
http://www.temakel.com/artborgesbabel.htm
3.10. Matemáticas y Música
a) Escalas mediante números racionales
e irracionales
b) Sonidos como vectores
c) Distancia entre sonidos
“Música es el arte de combinar el
tiempo y los sonidos”
3.11. Matemáticas y Cuerpo
Humano
Medidas del cuerpo humano
Simetrías y asimetrías
Medidas “insignificantes”
Ojos y cerebro
3.12. Matemáticas y Mujer
Las mujeres aparecen en la historia de las
matemáticas ya en la antigüedad, y desarrollan
hoy una actividad matemática mayor que nunca.
¿Por qué, entonces, no se citan mujeres
matemáticas anteriores al siglo XX?
La razón es un conjunto de barreras social y
culturalmente impuestas.
3.12. Matemáticas y Mujer
Actitudes negativas no sólo acerca de su talento científico
(por poner algunos ejemplos de personajes
intelectualmente influyentes, valga citar que el filósofo
Kant llegaba a decir que era tan posible que una mujer
tuviera barba como que sintiera preocupación por la
geometría, y el matemático De Morgan consideraba a las
mujeres débiles y sin preparación física para actividades
científicas), sino también acerca de la utilidad de las
matemáticas para ellas (llegaron a aparecer incluso datos
médicos que señalaban que una mujer que pensara
demasiado podía sufrir desviaciones de la sangre desde
el aparato reproductor hacia el cerebro.
3.12. Matemáticas y Mujer
Dificultades para conseguir una educación
matemática (en el pasado, quizá por el papel
social que le vino siempre impuesto, fue siempre
raro que una mujer pensara siquiera en iniciar el
arduo y difícil camino de llegar a tomar contacto
con matemáticas superiores; hasta después de la
1ª guerra mundial, era normal que la mujer no
pudiera acceder a puestos universitarios)
3.12. Matemáticas y Mujer
Falta de apoyo y comprensión para relevar a la
mujer de las tareas cotidianas (el investigador
matemático siempre ha necesitado grandes dosis
de tiempo; piénsese, entonces, en el rol histórico
de las mujeres, llevado a su máximo en el
pasado: criar hijos, cocinar, coser, etc.)
3.12. Matemáticas y Mujer
Hypatia de Alejandría nació en el año 370 d.C. Su padre,
Teón de Alejandría, dedicado completamente a la
recomposición de las más celebradas obras científicas, la
inició muy pronto en el mundo de las matemáticas y la
convirtió en profesora de la Escuela de Alejandría, donde
además de matemáticas explicaba doctrinas filosóficas y
llegó incluso a ser directora
3.12. Matemáticas y Mujer
Casada a los 19 años con el marqués de Chatelet, 11 años mayor que
ella y militar de profesión, se puede decir que Emilie du Chatelet,
aparte de sus continuos y frecuentes escarceos amorosos (con
Voltaire, Maupertuis, el poeta Saint Lambert, de quien tuvo un hijo a
sus 43 años, etc.) dedicó su vida al estudio y fomento de las
actividades científicas. Unida sentimental e intelectualmente a
Voltaire durante varios años, a quien libró de ser encarcelado en la
Bastilla escondiéndolo en la residencia que el marqués tenía en Cirey,
y gran estudiosa de Newton y Leibniz, mantuvo constantes contactos
con los más prestigiosos matemáticos de su época (Bernouilli,
Maupertuis, Clairaut, Euler,...) a quienes solía reunir de vez en cuando
en Carey.
3.12. Matemáticas y Mujer
Hermana mayor en una familia de 20 hijos, María Agnesi
nació en Milán en 1718. Destacó pronto como niña
prodigio: Además de italiano, a los 5 años recitaba versos
en francés, a los 9 dominaba el latín, y poco después, el
griego, el alemán y el hebreo. Alentada por su padre,
aprendió desde joven ciencia y filosofía, y a los 20 años,
ya le publicaron su primer libro, Proposiciones filosóficas,
donde explicaba los problemas de filosofía natural temas
de las tertulias científico-filosóficas habituales de la
época, tales como los de la naturaleza del calor, del
viento, de la dureza de los cuerpos, etc.
3.12. Matemáticas y Mujer
3.12. Matemáticas y Mujer
Sophie Germain ( 1776)
Mary Somerville (1780)
Ada Lovelace (1815-1852)
Florence Nightingale (1820-1910)
Sonya Kovalesky (1850)
Emy Noether (1882-1935)
a ...
Desde hace algún tiempo se ha recurrido al cine
como medio motivador de la divulgación de casi
cualquier disciplina o asunto.
La presencia de las Matemáticas en el cine se
produce a muy diferentes niveles:
a) En ocasiones se trata sólo de una
escena centrada en un aspecto matemático (así
sucede, por ejemplo, en El crimen desorganizado,
Jungla de cristal 3, 1492 La conquista del Paraíso,
El día de la Bestia, Amanece que no es poco o El
enigma de Kaspar Hauser) o incluso varias escenas
(El Código Da Vinci).
140
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a ...
b) Otras veces el protagonista es matemático de
profesión o alguien dotado de gran talento
matemático.
c) Las Matemáticas están en el núcleo de una historia
de gente corriente, que además es real y con fuerte
contenido social.
d) Hay títulos de divulgación cuya puesta en escena o
su fin de entretenimiento hacen que sobrepasen el
género documental y pasen a lo cinematográfico
……….
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a ...
Pretendemos poner de manifiesto que se pueden
promover actividades para llevar al aula, interactivas,
para trabajar con lápiz y papel, calculadoras, etc.,
tomando como base algunas escenas de una película,
intentando fomentar el gusto por las Matemáticas a
través del cine.
¡Puede parecer extraño! Hemos elegido el film La
jungla de cristal III!
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a ...
Escena: Tomamos la escena que se sitúa entre los minutos
55:30 y 59:50 del film
Nivel: Cualquier curso de ESO.
Tópico: Álgebra.
¿Qué hacer en el aula? :Este conocido problema aparece en
casi todas las colecciones de textos de ESO, sin que
corresponda a uno u otro curso. Por eso, tras resolverlo en
clase, resulta muy curioso y divertido para el/la estudiante ver
los apuros que se pasa frente al problema de un héroe
cinematográfico.
http://www.catedu.es/matematicas_mundo/CINE/cine_Jungla.htm
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a ...
Argumento y contextualización
La película La Jungla de Cristal III pone de manifiesto
que la matemática puede resolver situaciones
perversas: neutralizar una bomba a través de la
resolución de un enigma.
Simon
Zeus-Mclane
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Argumento y contextualización
Una de esas pruebas consiste en desactivar
una bomba que está en una fuente de un
parque y explotará en 5 minutos a menos que
McCLane consiga depositar sobre ella
exactamente 4 galones de agua. Para ello
dispone de dos garrafas sin graduar: una de 3
galones y otra de 5.
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Solución
Paso 1: Se llena el bidón A de 3 litros y se vierte el
contenido en el bidón B de 5 litros:
A
B
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Solución
Paso 2: Se llena de nuevo el bidón A, y se vierte el
contenido en el bidón B hasta el momento en que se
llene. ¿Cuál es la situación ahora? En el bidón A hay
1 litro, y el bidón B está lleno.
A
B
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Solución
Paso 3: Se vacía el bidón B y se vierte el contenido
de 1 litro que hay en el bidón A al bidón B
A
B
A
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B
a ...
Solución
Paso 4: Se rellena de nuevo el bidón de 3 litros y se
vierte en el bidón de 5 litros. Obtenemos entonces los
4 litros solicitados.
A
A
B
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B
a ...
Profundizando en el problema
Con el bidón A, de 3 litros, se pueden obtener 3,6,9,…, 3a litros
Con el bidón B, de 5 litros, se obtienen 5,10,15, …, 5b litros
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Profundizando en el problema
Si se quiere obtener 4 litros, es, es necesario utilizar los dos
bidones y cómo
4  3a  5b
es necesario verter el agua de un bidón a otro. Esto demuestra
la necesidad de utilizar números enteros negativos en la
resolución del problema.
Por eso la solución adoptada en la película por B. Willis y S.L.
Jackson, se puede escribir como:
Es decir a=3 ; b=-1
4  3 * 3  (1) * 5
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a ...
RP, MATEMATICAS Y CINE
Profundizando en el problema
¿Se puede obtener cualquier número de litros de agua?
El hecho de obtener un litro manipulando los dos bidones de la
forma
1  2 * 3  (1) * 5
es un resultado interesante, porque permite, reiterando el
proceso, obtener un número cualquiera de litros L:
L  2 L * 3  (  L) * 5
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Profundizando en el problema
Notas:
a) Está claro que no es la solución más económica,
por lo que si se solicita menos manipulaciones es
necesario un recipiente suplementario que permita
almacenar los litros de agua que se vayan
midiendo.
b) Es evidente que existe infinidad de otras maneras
de obtener 4 litros
¡Este es el momento para proponer en clase que se
intente obtener otras soluciones!
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a ...
Profundizando en el problema
A partir de este resultado podemos profundizar en el
modelo matemático, a través de la teoría de números,
que aparece en el problema de los bidones:
•Teorema de Bézout
•Algoritmo de Euclides
•Máximo común divisoR
•Teorema de Lamé
•Ecuaciones diofánticas
•Fracciones continuas
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Profundizando en las Matemáticas y su relación
con el Cine:
¡VER EL CINE CON OJOS MATEMÁTICOS!
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4.1. Aspectos Negativos
a) ¿Todo se puede matematizar?
b) Presencia abusiva del ordenador
c) Creencia de que el matemático es la
panacea de resolución de todos los
problemas
d) ¿Búsqueda más noble de la mente
humana o escoba de bruja?
e) ¿Quiromancia, tarot, etc... Debido al
gran efecto científico y tecnológico?
f) Reglas de Oro de Sokal
4.2. Siete buenas acciones para la
humanización de las Ciencias
a) Trabajo Multidisciplinar
b) Uso racional de las Ciencias y la Técnica
c) Desarrollo en armonía
d) Erradicación del Anaritmetismo
e) Mayor humanización
f) Evitar las modas
g) Creación de un tejido social
Reflexión final
“Lo que falta es, Sabiduría
no sólo ciencia y tecnología;
Sabiduría para vivir en armonía con la Naturaleza,
Sabiduríapara controlar los crecimientos destructivos
y
Sabiduríapara avanzar en nuestra evolución creativa”