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Propuesta de enseñanza de Ecuaciones Lineales,
haciendo énfasis en la solución de problemas.
CONTENIDO
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Estándares
Competencias
Objetivo.
Marco teórico.
Problema inicial.
Definición.
Formas elementales de ecuaciones lineales.
Forma General de una ecuación lineal.
Interpretación Gráfica.
Problemas propuestos.
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Conclusión.
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Estándares
• Utilizar métodos informales (ensayo –
error, complementación) en la solución de
ecuaciones.
Competencias
• Reconoce y aplica métodos para hallar el
término desconocido en una ecuación.
Objetivo.
• Informativo: El alumno recordará y ampliará los aspectos
fundamentales de los números reales, así como las operaciones
básicas, sus propiedades y su jerarquía, identificando a éstas como su
herramienta para poder resolver problemas a través de ecuaciones.
• Formativo: Se mostrará al alumno que mediante una correcta y
oportuna vinculación de sus conocimientos pre algebraicos con los del
álgebra, resolver problemas que involucren ecuaciones lineales puede
resultarle asequible.
DEFINICIÓN.
UNA ECUACIÓN ES UNA IGUALDAD
ENTRE DOS EXPRESIONES
- Si las expresiones son sólo numéricas, se dice que son aritméticas.
- Si las expresiones son algebraicas, se dice entonces que ahora son
ecuaciones de tipo algebraico.
- Serán trigonométricas, logarítmicas o exponenciales si incluyen
expresiones de este tipo.
2+3=5
sen x  1
ax+b=c
DEFINICIÓN.
ECUACIÓN IDENTICA O IDENTIDAD
La igualdad se satisface para cualquier valor de a
a + a + a = 3a
ECUACIÓN LINEAL.
Es una igualdad en la que interviene una sola variable
con exponente igual a uno y que sólo se satisface para
determinado valor, encontrar dicho valor significa
resolver la ecuación.
x-2=6
DEFINICIÓN.
ECUACIONES EQUIVALENTES
Dos o mas ecuaciones son equivalentes cuando
tienen la misma solución.
x+4=9
x=5
x–3=2
x=5
FORMAS ELEMENTALES DE ECUACIONES LINEALES.
x+a=b
ax=b
ax+b=c
ax + b = cx + d
ax  b
d
c
ECUACIONES
a(x + b) = c
a(x + b) = c(x + d)
ax2 + bx + c = ax2 + dx + f
ECUACIONES DE LA FORMA x + a = b
Solución:
x + 8 = 30
x = 30 – 8
x = 22
Comprobación:
22 + 8 = 30
30 = 30
ECUACIONES DE LA FORMA: a x = b
Solución:
4 x = 20
x = 20 / 4
x=5
Comprobación:
4(5) = 20
20 = 20
ECUACIONES DE LA FORMA a x + b = c
Solución:
3x–8=7
3x=7+8
3 x = 15
x = 15 / 3
x=5
Comprobación:
3 (5) – 8 = 7
15 – 8 = 7
7=7
ECUACIONES DE LA FORMA ax + b = cx + d
Solución
8y + 27 = 2y – 3
8y – 2y = - 3 – 27
6y = - 30
y = -5
Comprobación
8(-5) + 27 = 2(-5) – 3
- 40 + 27 = - 10 – 3
- 13 = - 13
ECUACIONES DE LA FORMA a(x + b) = c
Solución:
9(x + 2) = 9
9x + 18 = 9
9x = 9 – 18
9x = - 9
x=-1
Comprobación:
9(-1 +2) = 9
9(1) = 9
9=9
ECUACIONES DE LA FORMA a(x +b) = c(x + d)
Solución:
6(x – 2) = 3(x + 1)
6x – 12 = 3x + 3
6x – 3x = 3 + 12
3x = 15
x=5
Comprobación:
6(5 – 2) = 3(5 + 1)
6(3) = 3(6)
18 = 18
ax  b
 d
c
ECUACIONES DE LA FORMA
Comprobación:
Solución:
2x  6
 2
8
2 x  6  2(8)
2 x  6  16
2 x  16  6
2 x  10
x  5
2(5)  6
 2
8
 10  6
 2
8
 16
 2
8
 2  2
ECUACIONES DE LA FORMA
ax2 + bx + c = ax2 + dx + f
Solución:
x2 – 2x + 21 = x + x2 – 3
- 2x + 21 = x – 3
- 2x – x = - 3 – 21
- 3 x = - 24
x=8
Comprobación: (8)2 – 2(8) +21 = 8 + (8)2 – 3
64 – 16 + 21 = 8 + 64 – 3
69 = 69
FORMA GENERAL DE UNA ECUACIÓN LINEAL.
Nótese que al final de cuentas, después de
realizar adecuadamente las operaciones
correspondientes así como la aplicación
apropiada de sus propiedades , el resolver una
ecuación lineal con una incógnita del tipo que sea
nos lleva a:
ax + b = 0 , con a ≠ 0. Forma General.
Cuya solución es:
b
x= - a
INTERPRETACIÓN GRÁFICA.
x=5
En la grafica se
puede observar que
la solución a la
ecuación:
5–x=0
Es donde la recta
corta al eje x, es
decir:
x=5
PROBLEMA.
Un número es el quíntuple de otro.
La suma de ambos es 90. Determinar los dos números.
Solución:
Sea x un número.
5 x es su quíntuplo.
x  5 x  90
6 x  90
90
x
 15
6
Entonces, un número es 15 y su quíntuplo 75.
Así la suma de ambos números es 90.
PROBLEMA.
La diferencia de dos números es 4 y la diferencia de sus cuadrados es 5
unidades menos que 9 veces el menos de los números.
Obtener los dos números.
Sea x un número.
x  4 es el número mayor.
x  4
2

 x 2  5  9 x la diferencia de sus cuadrados es 5 unidades menos
que 9 veces el menor de los números.
x 2  8 x  16  x 2  5  9 x
 x  21
x  21
Entonces, el número menor es 21 y 25 el mayor.
Así, los cuadrados son 441 y 625.
La diferencia .de estos cuadrados es 184.
Y 184 es 5 unidades menos que 189 que es 9 veces 21, el número menor.
PROBLEMA.
Se ha cercado un terreno rectangular dando tres vueltas de alambre, si se conoce que el
largo de dicho terreno es el doble del ancho y que se ha invertido 1 530 m de alambre.
Hallar el ancho del terreno.
Solución:
Sea x el ancho del terreno medido en metros.
Una vuelta de alambre significa sumar dos largos y dos anchos, es decir:
Una vuelta = 2x + 2x + x + x (recuerde que el largo = 2x)
= 6x
De aquí, tres vueltas:
Tres vueltas = 3(6x)
= 18x
y esta longitud equivale al valor de 1 530 m dado en el problema
18x = 1 530
 1 
 1 
18     1 530  
 18 
 18 
1 530

18
  85 m
El ancho del terreno es de 85 m
PROBLEMAS PROPUESTOS.
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Un número es 40 unidades menor que otro. Determinar los números si
su suma es 280.
Solución: los números son 120 y 160.
La suma de tres números es 44. El segundo es el doble del primero y el
tercero es cuatro unidades menor que el primero. ¿Cuáles son los
números?
Solución: los números son 8, 12 y 24.
El dígito de las unidades de un número de dos cifras es 2 unidades
menor que el dígito de las decenas. Si el número es una unidad menor
que 8 veces la suma de sus dígitos ¿Cuál es el número?
Solución: el número es 31.
PROBLEMAS PROPUESTOS.
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La edad de un padre sumada con la de su hijo es 58 años. Dentro de 10
años la edad del padre será el doble de la del hijo. ¿Cuál es la edad del
hijo?
Solución: la edad del hijo es 16 años.
Se invierten $30 000, una parte a 6% y la otra a 9% de interés anual.
¿Cuánto debe invertir a 6% y cuánto a 9% si queremos que en total las
dos inversiones produzcan una ganancia de $2340?
Solución: $12,000 al 6% y $18,000 al 9%.
Usando una manguera, una alberca se llena en 8 horas. Con otra
manguera de mayor capacidad se llena en 5 horas. ¿En cuánto tiempo se
llenará la alberca si se usan las dos mangueras al mismo tiempo?
Solución: tardará 40/13 hr.
Conclusión.
• El tema de ecuaciones dentro del estudio de las matemáticas es
uno de los mas extensos y profundos. Aquí, sólo se han abordado
las más sencillas de ellas, las lineales. Sin embargo, en la
actividad que desarrollamos como profesores de matemáticas es
innegable que el principal obstáculo al resolver ecuaciones de
mayor complejidad es que en éstas básicas no se tuvo el dominio
suficiente y sobretodo no se capta el concepto de ecuación, de tal
manera que el alumno piensa que resolver un tipo u otro de
ecuaciones implica un nuevo procedimiento y un nuevo tema,
por ejemplo cuando se enfrenta a las ecuaciones
trigonométricas.
• Así, no es infructuoso tener presentes las formas elementales de
ecuaciones lineales.