Download Espacio vectorial

Álgebra. Cálculo Vectorial
Matemáticas para Computación
Dr. Felipe Orihuela-Espina
Contenidos
 Vectores y espacios vectoriales
No forma parte del
 Espacios/campos vectoriales
temario así que la
veremos MUY rápido.
 Topología y Manifolds
 Morfismos: homeomorfismos / difeomorfismos
/ etc-morfismos
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
2
Lecturas recomendadas
 Cálculo vectorial y topología
 Anton H (2001) “Introducción al Álgebra
lineal” John Wiley and Sons (Traducido al
español)
 Capítulos 3 al 5 principalmente, pero aquí también
puedes encontrar la SVD (Cap 7.)
 Lee, M. (2010) “Introduction to topological
manifolds” Springer
 …entrada amable, e incorpora una sección con el
enlace al álgebra.
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
3
VECTORES Y ESPACIOS
VECTORIALES
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
4
ESPACIOS Y CAMPOS
VECTORIALES
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
5
Espacios vectoriales
 Ya sabemos
Conjunto
(Colección)
Array
(En solidos
rectangulares)
Producto
Cartesiano
Subconjunto
Conjunto
Potencia
Operación
Relación
Función
Vector
(Array de rango 1)
Relación es-un
Definido sobre…
Conjuntos
Relaciones
Estructura
Mapeo
Morfismo
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
6
Espacios vectoriales
 Espacio: Un conjunto X con una estructura añadida.
 Espacio vectorial: Un conjunto X de arrays con las
operaciones cerradas de suma vectorial y
multiplicación escalar.
 A menudo los elementos son vectores, pero podrían ser


escalares, arrays, tensores, etc…a pesar del nombre
La estructura impuesta sobre el conjunto del espacio
vectorial corresponde a una estructura algebraica de tipo
Campo; cumple la conmutativa, la asociativa, etc…
Las operaciones suma vectorial y multiplicación escalar
para vectores son casos particulares de las análogas
para matrices.
* Las definiciones formales las podéis encontrar en libros, o en Wolfram World of Maths [http://mathworld.wolfram.com/]
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
7
Espacios vectoriales
Conjunto
(Colección)
Producto
Cartesiano
Subconjunto
Array
(En solidos
rectangulares)
Conjunto
Potencia
Vector
(Array de rango 1)
Operación
Estructura
Relación
Función
Mapeo
Espacio
Relación es-un
Definido sobre…
Conjuntos
Relaciones
Espacio
vectorial
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
Morfismo
8
Espacios vectoriales
 Dimensión del espacio vectorial:
 La dimensión del espacio vectorial es el
máximo número de vectores linealmente
independientes entre si.
 …o sea el rango de la matriz correspondiente a
“apilar” todos los vectores del conjunto
subyacente.
 La dimensión puede ser infinita.
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
9
Espacios vectoriales
 Orden del espacio vectorial:
 El orden del espacio vectorial es la longitud u
orden de los vectores.
  NOTA: A menudo se usa el término dimensionalidad
intrínseca para llamar a la dimensionalidad o rango, y
simplemente dimensionalidad para referirse al orden, lo
cual es ambiguo.
 A menudo la dimensionalidad (dimensionalidad intrínseca)

y el orden (dimensionalidad) coinciden.
Cuando este no es el caso, entonces se suele hacer
explícita la diferencia, precisamente usando el término de
dimensionalidad intrínseca.
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
10
Espacios vectoriales
 Subespacio vectorial:
 Sea V un espacio vectorial, y sea W un
subconjunto de V donde también se cumplen
las operaciones (la estructura) de V. Entonces
W es un subespacio vectorial y se denota
W⊆V.
  NOTA: Observa que la notación es similar
a la de los conjuntos subyacentes al espacio,
y de alguna forma “ignora” las operaciones.
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
11
Espacios vectoriales
 Conjunto de bases:
 Sea V un espacio vectorial y G un conjunto de
vectores. Si cada uno de los vectores v∈V se
puede expresar como una combinación lineal de
los elementos de G, entonces se dice que G es
un conjunto generador. Se denota como V(G) o
span(G).
 Los elementos de G no tienen por que pertenecer
a V.
 …aunque si se me permite la osadía (y sin prueba
ninguna) eso es como poco infrecuente.
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
12
Espacios vectoriales
 Conjunto de bases:
 Si además los vectores de G son linealmente
independientes entre si, entonces de dice que
conforman una base de V.
 Teorema: La representación de un vector
dado en términos de una base es única.
 Demostración: [Gentle 2007, pg 14]
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
13
Espacios vectoriales
 Conjunto de bases:
 El número de vectores (cardinalidad) en un
conjunto generador es al menos tan grande
como la dimensión intrínseca del espacio
vectorial.
 dim(V(G))≤#G
 El número de vectores (cardinalidad) en una
base es igual a la dimensión intrínseca del
espacio vectorial.
 dim(V(B))=#B
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
14
Espacios vectoriales
 Producto punto:
 Informal: Si entendemos un vector como el
crecimiento en una determinada dirección, entonces
el producto punto es el crecimiento direccional que un
vector traslada a otro.
 El producto punto es mucho más que una simple
proyección geométrica
 http://betterexplained.com/articles/vector-calculusunderstanding-the-dot-product/
Figura de: [mathinsight.org]
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
15
Espacios vectoriales
 Producto punto, producto interno o producto
escalar:
 Formal: Sea el espacio vectorial V. El producto punto es
un producto de dos vectores u,v∈V está definido como:
 Donde xi e yi representan los diferentes elementos del
vector.
  NOTA: El anterior es realmente el producto punto, y es
un tipo especial de producto interno. No obstante, el
producto punto es el producto interno más común, y se le
suele llamar producto interno por extensión, pero no es el
único producto interno que puede definirse.
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
16
Espacios vectoriales
 Producto punto:
 Propiedades:
 u⋅0=0⋅u=0⋅0=0
 Conmutativa: u⋅v=v⋅u
 Multipicación por un escalar: a(u⋅v)=au⋅v=u⋅av
 Distributiva con respecto a la suma vectorial:
(u+v)⋅t=u⋅t+v⋅t
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
17
Espacios vectoriales
 Norma:
 Una norma, se denota como ||⋅||, es cualquier
función que mapea un vector con un escalar y
que satisfaga las siguientes condiciones:
1. No negatividad: x≠0 → ||x||≠0
2. Mapeo de la identidad: ||0||=0
3. Multiplicación por un escalar: ||ax||=a||x||
4. Inequidad del triángulo: ||x+y||≤ ||x||+||y||
 Si se relaja alguna condición se llama

pseudonorma.
Si se relajan las condiciones 1 y 2 se llama
seminorma.
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
18
Espacios vectoriales
  NOTA: Una norma no es una métrica como
tal; la norma está definida sobre un único
elemento, mientras que una métrica está
definida sobre dos elementos. Pero dicho eso,
ambas funciones están íntimamente
relacionadas.
 A menudo, una métrica obvia es la norma de la
diferencia. De hecho a esta se le llama la
métrica inducida por la norma.
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
19
Espacios vectoriales
 Normas de Minkowski o Lp:
 Sea p≥1, las normas de Minkowski o Lp se
definen como:
 donde |⋅| representa el módulo del elemento,
y xi son los distintos elementos del vector x.
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
20
Espacios vectoriales
 Normas de Minkowski o Lp:
 Algunos casos específicos de p son tan
comúnmente usados que tienen su “nombre”:
 Si p=1: ||x||1 es la norma Manhattan.
 Si p=2: ||x||2 es la norma Euclídea.
 Si p=∞: ||x||∞ es la norma Chebyshev.
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
No conozco una
interpretación
geométrica “clara”
21
Espacios vectoriales
 Normas de Minkowski o Lp:
 Las normas de Minkowski son una función no
creciente:
 ||x||∞ ≤||x||2 ≤||x||1
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
22
Espacios vectoriales
 Normas de Minkowski o Lp:
 Existe una versión pesada:
 donde wi≥0.
 …pero no entraremos en detalles.
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
23
Espacios vectoriales
 Normalización:
 Hay distintas formas de normalización (ej: a
un rango, a media=0 y var=1), pero un común
es dividir por la norma:
 …se dice entonces que el vector está
normalizado.
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
24
TOPOLOGÍA
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
25
Topología
 “Topology is the field of mathematics that
formalizes and generalizes the intuitive
notion of "continuous deformation" of
objects” [Wikipedia:Discrete_mathematics]
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
26
Espacio topológico
 Espacio Euclidiano:
 Un espacio euclidiano es un espacio donde se
satisfacen los axiomas o postulados de Euclides:
1. Dados dos puntos, e puede trazar una recta (1 sóla
2.
3.
4.
5.
dimensión y 1 sóla dirección) que los une.
 ¡Tiene que ser recta, no curva!
Cualquier segmento puede prolongarse de manera
continua en cualquier sentido
Se puede trazar una circunferencia con centro en
cualquier punto y de cualquier radio
Todos los ángulos rectos son congruentes.
Si una recta al cortar a otras dos, forman ángulos
internos menores a dos ángulos rectos, esas dos
rectas prolongadas indefinidamente se cortan del
lado en el lado en el que están los dos ángulos
menores a los rectos.
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
27
Espacio topológico
Figura de: [http://www.huffingtonpost.com/mauricio-garrido/lessons-from-non-euclidian-geometries-for-interfaith-dialogue_b_3403930.html]
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
28
Espacio topológico
 Espacio topológico:
 Un espacio topológico es un conjunto de puntos
X={xi|i=1…n} con un conjunto de subconjuntos
T={Sj={xi∈X}}⊆X que satisface los siguientes axiomas:
 El conjunto vacio está en T: ∅∈T
 El conjunto X está en T: X∈T
 La unión de una colección finita de conjuntos de T también está
en T:
 La intersección de una colección arbitraria de conjuntos de T
también está en T:
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
29
Espacio topológico
 Topología:
 El conjunto X se conoce como el substrato
del espacio topológico.
 El conjunto T es la topología de X.
 Básicamente, un espacio topológico es un
cuerpo geométrico, y la topología es la
estructura impuesta.
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
30
Manifold
 Variedad (Manifold):
 Informal: Una variedad es un cuerpo
geométrico.
 Semi-Formal: Una variedad (manifold) es una
espacio topológico que es localmente
Euclidiano.
 …o sea, que al menos visto de “cerca” o a
pequeña escala, en una vecindad, cumple con los
postulados Euclidianos.
 El tamaño de la vecindad puede ser diferencial.
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
31
Manifold
 Variedad (Manifold):
 Formal: Una variedad topológica es un
espacio topológico en que cada punto tiene
un entorno homeomorfo a un conjunto abierto
de Rn.
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
32
Manifold
 Variedad (Manifold):
 Ejemplo:
Figura de: [tvtropes.org]
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
33
Manifold
 Variedad (Manifold):
 Ejemplo:
Figura de: [http://mathworld.wolfram.com/Manifold.html y Wikipedia]
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
34
Manifold
 Variedad (Manifold):
 Ejemplo: Las variedades no tienen por que
ser continuas.
Figura de: [http://en.wikipedia.org/wiki/Manifold]
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
35
Manifold
 Variedad (Manifold):
 La definición es muy

general. De hecho a veces
lo dificil es definir que NO
es una variedad
¿Puedes darme algún
ejemplo de un objeto que
NO sea una variedad?
 La lemniscata (con la
topología heredada del
plano) no es una variedad,
pues en el entorno del punto
doble se parece a una cruz.
Figura y ejemplo de: [http://es.wikipedia.org/wiki/Variedad]
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
36
Manifold
 Variedad (Manifold):
 El concepto de variedad es la generalización del
espacio Euclidiano tradicional para adaptarlo a
topologías no Euclidianas.
 Ser “localmente Euclidiano” no significa que esté
restringido a la métrica Euclidiana de forma
global.
 Conceptualmente, una variedad es un objeto
colocado en un espacio ambiente n-dimensional.
 Por supuesto la variedad no tiene por que tener
dimensión n.
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
37
Manifold
 Variedad (Manifold):
 Si la variedad es infinitamente diferenciable
se dice que es una variedad diferenciable
(smooth manifold).
 Un variedad diferenciable con una métrica
impuesta para inducir la topología se llama
una variedad de Riemannian.
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
38
Manifold
 Subvariedad (Submanifold):
 Una subvariedad es un subconjunto de una
variedad, que a su vez es una variedad.
 Una variedad k-dimensional es una
subvariedad con k grados de libertad, en
otras palabras, puede ser descrito
únicamente con k-coordenadas.
 Ejemplo clásico: Una esfera es un objeto
bidimensional en un espacio tridimensional. La
esfera es una subvariedad 2-dimensional.
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
39
MORFISMOS
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
40
Morfismos
 Morfismos o homomorfismo:
 Un homomorfismo o simplemente morfismo es
una transformación entre espacios topológicos
que preserva las estructuras.
 …o sea, un mapeo entre espacios topológicos
 Recuerda, preservar las estructuras significa que las
operaciones que se cumplían en X se siguen
cumpliendo en Y.
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
41
Morfismos
 Isomorfismo:
 Un isomorfismo es un homomorfismo
biyectivo.
 El hecho de que sea biyectivo (o 1-a-1)
significa que existe su inversa (f-1:Y→X).
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
42
Morfismos
 Homeomorfismo*:
 Sean dos espacios topológicos X e Y. Un
homeomorfismo es una transformación entre
X e Y que es continua y biyectiva.
 El hecho de ser continua significa que dos
puntos cercanos en X, también son cercanos
en Y, y además, que los puntos lejanos en X
también son lejanos en Y.
*No confundir con homomorfismo.
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
43
Morfismos
 Difeomorfismo:
 Un homeomorfismo que es diferenciable se
llama un difeomorfismo.
 La inversa también debe ser diferenciable.
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
44
Morfismos
 Embedding: (Proyección??- No se el término en
español)
 Un embedding es un mapeo f:X→Y tal que f es un
difeomorfismo de X a Y, y f(Y) es una variedad
diferenciable de f(X).
 Un embedding es la representación de un objeto
topológico (ej: una variedad, un grafo, un latice, etc) en un
determinado (sub-)espacio de forma que se preserva la
topología.
 En particular, para variedades, preserva los conjuntos abiertos
en T.
 Si alguien quiere saber más:
 Orihuela-Espina F “A tiny review on Manifold Embedding
techniques” (PowerPoint)
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
45
GRACIAS, ¿PREGUNTAS?
© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina
46