Download Trigonometría con circulo unitario

Yailyn Renteria
Brisa López
Aneliz Alondra
Andrea Anaya
• Algunas definiciones.
• En el conjunto de todos los puntos de un
plano que esta a una distancia fija de un
centro.
• Es le borde del circulo con medida
• C=2r
• Algunas definiciones.
• Figura plana comprendidas por una sola línea,
llamada circunferencia.
• Es el conjunto de todos los puntos de la
circunferencia y de los interiores a la misma
Circunferencia
Radio
• CIRCURFERENCIA
• CENTRO
Centro
• RADIO (r);
Distancia desde el cetro hasta un punto en la
circunferencia
• DIAMETRO (d);
Distancia que empieza en un punto de la circunferencia
pasa por el centro y termina en el otro lado. Es el doble
del radio.
d = 2r
Partes del círculo
• TANGENTE:
Línea que solo toca la circunferencia.
CUERDA:
Una línea que va de un punto de la circunferencia a otro.
ARCO:
una parte de una circunferencia
• SECTOR:
• Espacios comprendido entre dos rayos
y el arco entre ellos. Tiene forma de
un pedazo de pizza.
• SEGMENTO:
• El espacio comprendido entre una
cuerda y el arco que comparte sus
puntos.
• Circulo de radio 1 con el centro en el
origen de un sistema de coordenadas
rectangulares (cartesianas).
• La unión de dos segmentos o rayos
llamados lados, con un punto de
interacción llamado vértice.
Angulo agudo:
 Son aquellos que tienen una medida mayor de 0°
pero menor de 90°
 Angulo recto:
Son aquellos que tienen la medida exactamente de
90°
• Anulo obtusos:
son aquellos que tienen una medida mayor de 90° y
menor de 180°
• Angulo llano o plano:
Son aquellos que tienen una medida exactamente de
180°
• Precisar la posición de objetos
• Describir:
• procesos dinámicos
rotaciones
patrones cíclicos entre otros
• trayectorias de objetos en movimiento
• orientación entre dos o mas rectas
Los triángulos y ángulos especiales que aparecen tanto en las
matemáticas se relacionan entres so y con las distintas
trigonométricas
• 1.-Conoce lo que es un circulo unitario. El círculo unitario es un
círculo, centrado al origen, con un radio de 1. Recuerda que en
las cónicas la ecuación es x 2+y2=1. Este círculo se puede
utilizar para encontrar ciertos radios “especiales”
trigonométricos, así como ayudar en la representación gráfica.
También hay una línea de número real envuelta alrededor del
círculo que sirve como valor de entrada en la evaluación de
funciones trigonométricas
• 2.-Conoce las 6 relaciones trigonométricas. Aprende lo
siguiente:senθ=opuesto/hipotenusa
• cosθ=adyacente/hipotenusa
• tanθ=opuesto/adyacente
• cscθ=1/sen
• secθ=1/cos
• cotθ=1/tan
• 3.-Conoce lo que es un radián. Un radián es otra forma de
medir un ángulo. Un radián es el ángulo que se necesita para
que la longitud del arco cerrado sea igual a la longitud del
radio. Ten en cuenta que no importa el tamaño ni la orientación
del círculo. También es necesario conocer el número de radianes
en un círculo completo (360 grados). Recuerda que la
circunferencia de un círculo se da por 2πr, así que hay 2π
medidas de radio en una circunferencia. Ya que un radián por
definición es el ángulo donde la longitud del radio es igual a la
del arco, hay 2π radianes en un círculo completo.
• 4.- Aprende a convertir de radianes a grados y
viceversa. Hay 2π radianes en un círculo completo o 360
grados. Así que:2π radianes = 360 grados
• radián=(360/2π) grados
• radián=(180/π) grados
• y
• 360 grados=2π radianes
• grado=(2π/360) radián
• grado=(π/180) radián
• 5.- Conoce los ángulos “especiales”. Los ángulos especiales
en los radianes son π/6, π/3, π/4, π/2, π y los múltiples de
todos (por ejemplo: 5π/6).
• Conoce y memorízate las identidades trigonométricas que
dan las 6 funciones trigonométricas de cualquier
ángulo. Para obtenerlos, debes mirar el círculo unitario.
Recuerda que hay una línea de número real envuelto alrededor
del círculo unitario. El punto de la línea de número se refiere al
número de radianes en el ángulo formado. Por ejemplo, el
punto en π/2 en la línea de número real corresponde al punto
del círculo en el cual el radio forma un ángulo de π/2 con el
radio horizontal positivo. tanθ=y/x
• csc =1/y
• sec =1/x
• cot =x/y
• 7.-Encuentra y memoriza las 6 funciones trigonométricas
para los ángulos en los ejes. Para ángulos que son múltiplos
de π/2 como 0, π/2, π, 3π/2, 2π, etc. Encontrar las funciones
trigonométricas es tan fácil como imaginar el ángulo de los
ejes. Si el lado terminal está a lo largo del eje-x, el seno será 0
y el coseno será 1 o -1 dependiendo de la dirección en que el
rayo apunta. De manera similar, si el lado terminal está a lo
largo del eje-y, el seno será 1 o -1 y el coseno será 0.
• 8.- Encuentra y memoriza las 6 funciones trigonométricas del
ángulo π/6. Empieza dibujando el ángulo π/6 en un círculo unitario.
Ya sabes cómo encontrar la longitud de los lados para los triángulos
(30-60-90 y 45-45-90) dando un lado y π/6=30 grados, este
triángulo es uno de esos casos especiales. Así que si te acuerdas, el
lado corto es 1/2 hipotenusa, así que la coordenada-y 1/2 y el lado
largo es √3 veces el lado o (√3)/2, así que la coordenada-x es
(√3)/2. Las coordenadas de ese punto ((√3)/2,1/2). Ahora usa esas
identidades en el paso previo para encontrar que:senπ/6=1/2
• cosπ/6=(√3)/2
• tanπ/6=1/(√3)
• csc π/6=2
• secπ/6=2/(√3)
• cotπ/6=√3
• 9.- Encuentra y memoriza las 6 funciones trigonométricas del
ángulo π/3. El ángulo π/3 tiene un punto en la circunferencia
donde la coordenada-x es igual a la coordenada-y en el π/6
y la coordenada-y es la misma que la coordenada-x. Así que,
el punto es (1/2, √3/2), por lo tanto, lo siguiente quedará
así:senπ/3=(√3)/2
• cos π/3=1/2
• tanπ/3=√3
• cscπ/3=2/(√3)
• sec π/3=2
• cotπ/3=1/(√3)
• 10.- Encuentra y memoriza las 6 funciones trigonométricas
del ángulo π/4. Los radios de un 45-45-90 son una hipotenusa
de √2 y lados de 1, así que en el círculo unitario, las
dimensiones y las funciones trigonométricas son:senπ/4=1/(√2)
• cosπ/4=1/(√2)
• tan π/4=1
• cscπ/4=√2
• secπ/4=√2
• cot π/4=1
• 11.- Conoce qué ángulo de referencia usar. A estas alturas,
ya conoces los valores trigonométricos de tres ángulos
especiales de referencias, todos estos del Cuadrante I. Si tienes
que encontrar una función de un ángulo especial mayor o
menor, primero averigua que ángulo de referencia está en la
misma “familia” de ángulos. Por ejemplo, la familia de π/3
consiste de 2π/3, 4π/3 y 5π/3. Una buena regla para
encontrarlo es reducir la fracción lo más que puedas y luego
ver al número.Si es 3, entonces está en la familia de π/3.
• Si es 6, entonces está en la familia de π/6.
• Si es 2, entonces está en la familia de π/2.
• Si está solo como π o 0, entonces está en la familia de π.
• Si es un 4, entonces está en la familia de π/4.
• 12.- Ahora aprende si el valor es positivo o negativo. Todos
los ángulos en la misma familia tienen los mismos números
trigonométricos que los ángulos de referencia, pero dos son
positivos y dos son negativos.Si el ángulo está en el Cuadrante
I, todos los valores trigonométricos son positivos.
• Si el ángulo está en el Cuadrante II, todos los valores
trigonométricos son negativos excepto sen y csc.
• Si el ángulo está en el Cuadrante III, todos los valores
trigonométricos son negativos excepto tan y cot.
• Si el ángulo está en el Cuadrante IV, todos los valores
trigonométricos son negativos excepto cos y sec.
• El truco para encontrar los valores trigonométricos de cualquier
ángulo es encontrar las coordinadas del punto. La hipotenusa siempre
es 1, ya que es el radio del círculo y como cualquier número dividido
entre 1 es el mismo y el lado adyacente siempre es igual a la
coordenada-x, se deduce que el valor del coseno es la coordenadax del punto. La tangente es un poco más difícil. La tangente de un
ángulo en un triángulo rectángulo es igual al lado opuesto dividido
por el lado adyacente. El problema es que no hay un denominador
constante como en los ejemplos previos, así que hay que ser un poco
más creativos. Recuerda que el lado opuesto es igual a la
coordenada-y y el lado adyacente es igual a la coordenada-x, así
que al sustituir, deberás procurar que la tangente sea igual a y/x.
Usando esto, podrás encontrar las funciones trigonométricas inversas,
tomando el recíproco de estas fórmulas. En resumen, las siguientes
son las identidades:senθ=y
• cosθ=x