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MINISTERIO DE EDUCACION
CURSO DE POSTGRADO
TERCER CICLO DE EDUCACION BASICA
ESPECIALIDAD EN MATEMATICA
CURSO 4
TRIGONOMETRIA Y TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS EN
EL PLANO
CARTA DIDÁCTICA
SABADO 3: 02/JULIO/2011
Objetivos específicos:
1. Encontrar los valores exactos de las funciones trigonométricas usando la circunferencia unitaria.
2. Determinar la variación del signo, el dominio, el rango y periodicidad de las funciones trigonométricas.
3. Dibujar las gráficas de las 6 funciones trigonométricas usando la circunferencia unitaria.
4. Aplicar las identidades fundamentales.
Metodología: Ver carta No. 1
Actividades:
1.1 (8:00-8:30) Definir las 6 funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria (Ver material de apoyo, pág. 6).
Observar que para cualquier número real t, se puede asociar o localizar un punto único 𝑃 = (𝑥, 𝑦) sobre la circunferencia unitaria. Para ello imagine un
cordón de longitud |𝑡| unidades de largo con el que se rodea la circunferencia de radio 1. Se comienza en el punto (1, 0). Si 𝑡 ≥ 0, se rodea el cordón en
sentido contrario a las agujas del reloj; si 𝑡 < 0, se rodea en sentido de las agujas del reloj. El punto 𝑃 = (𝑥, 𝑦) es el punto en el que el cordón termina.
Sea θ el ángulo en posición estándar, medido en radianes, cuyo lado terminal es el rayo que parte del origen y pasa por el punto 𝑃 = (𝑥, 𝑦).
Considerando la fórmula de la longitud de arco (en una circunferencia de radio r, la longitud de arco s se escribe como 𝑠 = 𝑟𝜃, donde θ es el ángulo
central que describe el arco s, medido en radianes) se obtiene que 𝑡 = 𝜃 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠. Por lo tanto, se definen las funciones trigonométricas o funciones
circulares de la siguiente manera:
𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑦,
𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑥,
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑦
,
𝑥
𝑐𝑠𝑐𝜃 =
1
,
𝑦
𝑠𝑒𝑐𝜃 =
1
,
𝑥
𝑐𝑜𝑡𝜃 =
𝑥
𝑦
1 √3
).
2 2
1.1.1 Ejercicio: Encuentre los valores de las 6 funciones trigonométricas si 𝑃 = (− ,
Observación: Dado que los valores de las funciones trigonométricas de un ángulo θ están determinados por las coordenadas del punto 𝑃 = (𝑥, 𝑦) en la
circunferencia unitaria que corresponde a θ, las unidades usadas para medir el ángulo θ son irrelevantes.
1.1.2 Trabajar parejas o grupos de 3 el siguiente ejercicio: Encuentre los valores de las 6 funciones trigonométricas si 𝜃 = 0 = 0°, 𝜃 =
𝜃 = 𝜋 = 180°, 𝜃 =
3𝜋
2
𝜋
2
= 90°,
= 270° y 𝜃 = 2𝜋 = 360°.
𝜋
1.1.3 Trabajar parejas o grupos de 3 el siguiente ejercicio: Encuentre los valores de las 6 funciones trigonométricas si 𝜃 = − = −90°, 𝜃 = −𝜋 =
−180°, 𝜃 = −
3𝜋
2
2
= −270° y 𝜃 = −2𝜋 = −360°.
1.2 (8:30-8:45) Dialogando con toda la clase, determinar la variación del signo de las funciones trigonométricas usando la circunferencia unitaria.
Completar la tabla siguiente
Cuadrante
senθ
cosθ
tanθ
cscθ
secθ
cotθ
I
II
III
IV
Señalar tanto en grados como en radianes los ángulos que se recorren en cada cuadrante.
1.3 (8:45-9:00) Dialogando con toda la clase, determinar el dominio y rango de cada una de las seis funciones trigonométricas usando la circunferencia
unitaria.
1.4 (9:00-9:15) Dialogando con toda la clase, establecer la periodicidad de las 6 funciones trigonométricas usando la circunferencia unitaria (Para las
funciones seno y coseno, ver material de apoyo, pág. 7). Para la tangente, observe que si 𝑃 = (𝑥, 𝑦) es el punto sobre la circunferencia unitaria que
corresponde a θ, entonces 𝑃 = (−𝑥, −𝑦) es el punto que corresponde a θ+π.
1.5 (9:15-9:50) Dialogando con toda la y usando la circunferencia unitaria, encuentre los valores de las 6 funciones trigonométricas si 𝜃 =
𝜃=
𝜋
4
= 45° , 𝜃 =
𝜋
3
= 30° (Ver material de apoyo, pág. 7-8). Complete la siguiente tabla:
senθ
Angulo
cosθ
tanθ
cscθ
secθ
𝜋
6
= 30°,
cotθ
𝜋
6
𝜋
4
𝜋
3
1.6 (9:50-10:20) RECESO
1.7 (10:20-10:35) Dialogando con toda la clase, establecer la paridad de las 6 funciones trigonométricas. Sea si 𝑃 = (𝑥, 𝑦) es el punto sobre la
circunferencia unitaria que corresponde a θ.
Entonces 𝑃 = (𝑥, −𝑦) es el punto que corresponde a -θ. Por lo tanto, usando la definición de las funciones trigonométricas, se obtiene:
𝑠𝑒𝑛(𝜃) = −𝑠𝑒𝑛𝜃,
𝑐𝑠𝑐(𝜃) = −𝑐𝑠𝑐𝜃,
cos(−𝜃) = 𝑐𝑜𝑠𝜃,
sec(−𝜃) = 𝑠𝑒𝑐𝜃,
tan(−𝜃) = −𝑡𝑎𝑛𝜃
cot(−𝜃) = −𝑐𝑜𝑡𝜃
1.8 (10:35-11:05) Trabajar parejas o grupos de 3 los siguientes ejercicios:

Encuentre el valor exacto de las expresiones siguientes:
17𝜋
𝜋
2𝜋
a) sen 135°, b) cos 600°, c) 𝑐𝑜𝑠 , 𝑑) tan( ) y 𝑒) 𝑐𝑜𝑠
6
𝜋
3
3

Dado cos𝜃 = −2/3 y

Dado 𝑡𝑎𝑛𝜃 = y 𝑠𝑒𝑛𝜃 < 0, encuentre el valor exacto de las funciones trigonométricas restantes.

Dado los siguientes puntos sobre la circunferencia unitaria, encuentre los valores de las 6 funciones trigonométricas:
3
2
< 𝜃 < 𝜋, encuentre el valor exacto de las funciones trigonométricas restantes.
4
(
√2 √2
√2 √2
√3 1
√3 1
, − ), (−
, − ), (−
, − ), ( , − )
2
2
2
2
2
2
2
2
1.9 (11:05-11:20) Dialogando con toda la clase, exponer las identidades básicas de la sección 1.3.1, páginas 8-9 del material de apoyo.
1.10 (11:20-12:00) Dialogando con toda la clase, visualizar las funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria (circunferencia goniométrica de
radio 1). Para ello, considere las siguientes construcciones y las razones trigonométricas correspondientes (las cuales dependen sólo del ángulo θ y nunca
del triángulo que se considere):
Los segmentos mostrados representan las 6 funciones trigonométricas.
Ahora, usando esta construcción, mentalmente mueva el punto P(x, y) y determine el signo y rango de las 6 funciones trigonométricas.
Asignar la Tarea ex-aula: Elaboración de 7 carteles mostrando la construcción de las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente,
secante, cosecante, cotangente) usando la circunferencia unitaria y trasladando segmentos con lana. Dado un punto P(x, y) sobre la
circunferencia, la abscisa será el arco de circunferencia desde el punto (1, 0): se coloca un pedazo de lana sobre la circunferencia desde el
punto (1, 0) al punto P(x, y), se estira este arco y se coloca sobre el eje de las abscisas a partir del origen. En el extremo final de este
segmento, se van colocando perpendicularmente los segmentos que representan las 6 funciones trigonométricas tal como se ha mostrado en
la actividad 1.10. Hay que tomar la mayor cantidad de puntos posible. Hay que hacer 7 carteles: uno para la circunferencia unitaria y un
cartel para cada una de las 6 funciones trigonométricas.
Tarea.
1. Completar las siguientes tablas con los valores exactos
Angulo θ
0
𝜋
6
𝜋
4
𝜋
3
𝜋
2
2𝜋
3
3𝜋
4
5𝜋
6
𝜋
7𝜋
6
5𝜋
4
4𝜋
3
3𝜋
2
5𝜋
3
7𝜋
4
11𝜋
6
2𝜋
senθ
cosθ
tanθ
cscθ
secθ
cotθ
Angulo θ
senθ
cosθ
tanθ
cscθ
secθ
cotθ
2. Usando las representaciones de las funciones trigonométricas de la actividad 1.10, determinar la variación de las funciones
trigonométricas (si es creciente o decreciente en el intervalo dado) y completar la siguiente tabla:
senθ
Variación
cosθ
tanθ
cscθ
𝜋
(0, )
2
𝜋
( , 𝜋)
2
( 𝜋,
(
3𝜋
2
3𝜋
2
)
, 2𝜋)
3. Encuentre el valor exacto de las funciones trigonométricas de θ que faltan:
12
a) 𝑠𝑒𝑛𝜃 = y 𝜃 en el segundo cuadrante.
13
3
b) 𝑐𝑜𝑠𝜃 = y 𝜃 en el cuarto cuadrante.
5
c) 𝑠𝑒𝑛𝜃 = −
5
13
4
y 𝜃 en el tercer cuadrante.
d) 𝑐𝑜𝑠𝜃 = − y 𝜃 en el tercer cuadrante.
5
e) 𝑐𝑠𝑐𝜃 = −2 y 𝑡𝑎𝑛𝜃 > 0.
f) 𝑡𝑎𝑛𝜃 = −1/3 y 𝑠𝑒𝑛𝜃 > 0.
4. Use el hecho de que las funciones trigonométricas son periódicas para encontrar el valor exacto de:
9𝜋
19𝜋
a) csc 450°, b) sec 540°, c) 𝑐𝑜𝑠 , 𝑑) tan( ) y 𝑒) 𝑠𝑒𝑛390°
4
6
5. En los siguientes ejercicios, transformar el primer miembro en el segundo:
 𝑐𝑠𝑐𝛼 − 𝑐𝑜𝑡𝛼 =
4
2
1
 𝑠𝑒𝑐 𝛼 − 𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 𝑡𝑎𝑛4 𝛼 + 𝑡𝑎𝑛2 𝛼
secθ
cotθ

1
+
1
= 2𝑠𝑒𝑐𝛼
 (2𝑎𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼)2 + 𝑎2 (𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 𝑠𝑒𝑛2 𝛼)2 = 𝑎2
Recursos.
 Material del curso
 Carta didáctica