Download La estructura fina del átomo de hidrógeno

Quantum Mechanics, Concepts and Applications
N. Zettili; Wiley 2001
Quantum mechanics. Second edition
V.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000
Quantum Physics
F. Scheck. Springer, 2007
Essential Quantum Mechanics
Gary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922
Introduction to Quantum Mechanics
D. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051
Principles of quantum mechanics. Second edition
R. Shankar 0306447908
Quantum physics
S. Gasiorowicz
Correcciones al espectro del átomo de hidrógeno dado por la
ecuación de Schrödinger:
1. Corrección del movimiento del núcleo
Usando la masa reducida
2. Estructura fina
a) Correcciones relativistas
b) Correcciones por el acoplamiento spín-orbita
3. Corrimiento Lamb
Debido a la cuantización del campo coulombiano
4. Estructura hiperfina
Debida a la interacción magnética entre los momentos
dipolares del electrón y el protón
Jerarquía de las energías en el átomo de hidrógeno
Energía de Bohr
 mc
Estructura fina
 mc
Corrimiento Lamb
 5mc 2
Estructura hiperfina
2
4
2
2
m 4 2
 mc
mp
El campo magnético en el centro de
una espira de radio r y con una
corriente I está dado como
2 I
B
c r
I
r
Desde el sistema de referencia en reposo en el
electrón se ve girar al núcleo, y eso constituye
una corriente eléctrica dada como
Zev
I  Zef 
2 r
Por lo tanto, el electrón está en un campo
magnético de magnitud
Zev
B 2
cr
Como la magnitud del momento angular es
L  mr r  v
y el campo magnético está en la dirección Z ,

L 
podemos poner  v 

mr r 

Zev
Ze
B 2 
L
3
cr
mr cr
De las transformaciones relativistas de los campos
electromagnéticos, tenemos
E
B  v 
c
Ahora es claro que
V
E
rˆ
r
y por tanto
1
r V
1 V
B v

L
c
r r
mr cr r
1 V
B
L
mr cr r
En este caso el potencial escalar es
Ze
V r  
r
y sustituido da
1
r V
1 Ze
Ze
B v

L
L
2
3
c
r r mr cr r
mr cr
 Las partículas elementales tienen un momento
angular intrínseco
 El momento angular intrínseco implica también
un momento magnético intrínseco
 El momento angular está cuantizado y tiene un
valor igual a 1/ 2
 Los números cuánticos asociados con el espín son
S  s  s  1
2
2
3

4
2
1
s
2
S z  ms
1
ms  
2
3
S  ms 
4
2
2
 ms
 1  

2
S z  ms  ms  ms
 1  

2
3 2
S  ms 
 ms
4
2
S z  ms  ms  ms
nlm m  r, ,   Rnl  r Ylm  ,  m
l
s
l
Degeneración:
n
2

2n
2
s
El momento magnético intrínseco del electrón,
asociado al espín, es
 e 
 s   gS 
S
 2mc 
donde g S es la razón giromagnética dada por
gS  2.002319304386
La energía de interacción entre el campo magnético B,
producido por el núcleo, y el espín del electrón es
Ze
 e 
 s  B  g S 
L
S 
3
 2mc  mR cr
 e 
siendo  s   gS 
 S el momento magnético intrínseco
 2mc 
Ze
del electrón y B 
L el campo magnético
3
mR cr
producido por el núcleo en su movimiento orbital.
No sea ha tomado en cuenta que el sistema de
referencia del electrón no es inercial. Si se hace
"correctamente" aparece un efecto relativista,
llamado precesión de Thomas, que hace que la
energía de interacción sea
2
1
Ze
 s  B  g S
S L
3
2
4mR cr
Tenemos ahora un hamiltoniano perturbado
 0
ˆ
ˆ
H  H  Hˆ SO
donde el potencial perturbador es
Hˆ SO
 Ze2 
  s  B  g S  2 2 3  S  L
 4mr c r 
H 
(0)
H =  H
(0)
k
E 
(1)
Ek  E
E
 
(0)
k
  H    E
(0)
(0)
k
(1)
k
(0)
k
(0)
k
 E
(1)
k
H
(1)

(0)
k
El átomo de hidrógeno es altamente degenerado,
y sin embargo usamos la teoría de perturbaciones
independientes del tiempo para sistemas
no-degenerados.
Esto se puede hacer porque la perturbación
1  pˆ 
H1  
8 m 3c 2
tiene simetría esférica, y por tanto,
2 2
 Hˆ 1 , L2   0
 Hˆ 1, LZ   0
y




Las funciones propias de estos operadores tienen valores propios
diferentes para los n 2 estados que tienen la misma energía En .
Por tanto las  nlm pueden ser utilizadas.
Ver sección 6.2 Degenerate perturbation theory. Página 227
Introduction to quantum mechanics. David J. Griffiths. Prentice Hall
Sea Aˆ un operador hermitiano que conmuta con Hˆ ´.
0
0
Si  y  son funciones propias de Aˆ con valores
a
b
0
ˆ
propios diferentes, entonces  H ´ b  0
0
a
Ver sección 6.2 Degenerate perturbation theory. Página 227
Introduction to quantum mechanics. David J. Griffiths. Prentice Hall
 0
ˆ
ˆ
H  H  Hˆ SO
2


Ze
; Hˆ SO  s  B  gS  2 2 3  S  L
 4mr c r 
1)  Hˆ , L   0 y  Hˆ , S   0
Por lo tanto L y S no se conservan
separadamente
d Aˆ
dt
 i
ˆ

A
Hˆ , Aˆ  


t
 0
ˆ
ˆ
H  H  Hˆ SO
;
Hˆ SO
 Ze2 
 s  B  gS 
SL
2 2 3 
 4mr c r 
 Hˆ , L   0


 Hˆ , L    Hˆ  0  Hˆ SO , L    Hˆ  0 , L    Hˆ SO , L    Hˆ SO , L 

 
 

 
 
Por tanto debemos calcular el conmutador  L  S , L 
L  S, L  0


3
3

 L  S , Lx     L j S j , Lx    L j  S j , Lx    L j , Lx  S j


 


 j 1 
j 1
3
3
j 1
j 1

  L j  S j , Lx     L j , Lx  S j
 S j , Lx   0 para toda j  1, 2,3
 Lˆx , Lˆ y   i Lˆz
 Lˆ y , Lˆz   i Lˆx




3
 Lˆz , Lˆx   i Lˆ y


 L  S , Lx     L j , Lx  S j   Lx , Lx  S x   Ly , Lx  S y   Lz , Lx  S z 




 j 1 
 i S y  i S z  i
S
z
 Sy   0
Hˆ  Hˆ
 0
 Hˆ SO
;
2)  Hˆ , L2   0
Hˆ SO
 Ze2 
 s  B  gS 
SL
2 2 3 
 4mr c r 
 Hˆ , S 2   0


 Hˆ , J   0


donde J  L  S es el momento angular total
(1)
k
E
ESO
 
(0)
k
H
(1)

(0)
k
Ze L  S
 nlml ms
nlml ms
2 2 3
2mR c r
2
donde hemos tomado gS  2
(1)
k
E
ESO
 
(0)
k
H
(1)

(0)
k
Ze L  S
 nlml ms 
nlml ms
2 2 3
2mR c r
2
2
Ze
1

lml ms L  S lml ms n 3 n
2 2
2mR c
r
(1)
k
E
ESO
 
(0)
k
H
(1)

(0)
k
Ze L  S
 nlml ms 
nlml ms
2 2 3
2mR c r
2
2
Ze
1

lml ms L  S lml ms n 3 n
2 2
2mR c
r
Ze2
Eeo  
lml ms L  S lml ms
2 2
2mR c


1
n 3 n
r

J 2  L  S  L  S  L2  S 2  2 L  S
1 2
L  S   J  L2  S 2 
2
Por tanto,


1 2
L  S nlml ms   J  L2  S 2  nlml ms
2

2
 j  j  1  l  l  1  s  s  1  nlml ms
2
 L  S  nlm m
l
s

2
 j  j  1  l  l  1  s  s  1 nlml ms
2
Por tanto,


nlml ms L  S nlml ms 
 nlml ms


2
 j  j  1  l  l  1  s  s  1  nlml ms
2
2
 j  j  1  l  l  1  s  s  1  nlml ms nlml ms 
2
2
 j  j  1  l  l  1  s  s  1 
2
Ze2
Eeo  
lml ms L  S lml ms
2 2
2mR c
1
n 3 n
r
Ya demostramos que
1
1
n 3 n 
3 3
r
l  l  1/ 2  l  1 n a
Ze2
1
Eeo  
lml ms L  S lml ms n 3 n
2 2
2mR c
r
Ze2 L  S
Eeo  nlml ms  2 2 3 nlml ms
2mR c r
Ze2
1
  2 2 lml ms L  S lml ms n 3 n 
2mR c
r


Ze2 2
1
  2 2  j  j  1  l  l  1  s  s  1  
3 3
2mR c
 l  l  1/ 2  l  1 n a 
Ze 2 L  S
Eeo  nlml ms 
nlml ms
2 2 3
2mR c r
 j  j  1  l  l  1  s  s  1 
Ze
Eeo   2 2 

3 3
2mR c  l  l  1/ 2  l  1 n a

2 2
E  n  j  j  1  l  l  1  s  s  1  
Eeo  

2 
mR c 
l  l  1/ 2  l  1

2
n
Ze L  S
Eeo  nlml ms 
nlml ms
2 2 3
2mR c r
2
E  n  j  j  1  l  l  1  3/ 4  
Eeo  

2 
mR c 
l  l  1/ 2  l  1

2
n
La estructura fina del átomo de hidrógeno
(pequeño desdoblamiento de las líneas
espectrales) se debe a la interacción entre el
espín S del electrón y el momento angular
orbital L
n  3, l  0, m  0
n  2, l  1, s  1 / 2
n  2, l  1, s  1 / 2
Observar dos efectos,
el efecto de la masa del núcleo
y el acoplamiento espín-orbita
Erel

E  4n

 3
2 
2mR c   l  1/ 2 

2
n
2
n
E
Eeo  
2
mR c
2
n
E
Efs 
2
2mR c

 n  j  j  1  l  l  1  3/ 4  



l
l

1/
2
l

1








4n 
3  j  1/ 2 


En2
Efs 
2mR c 2

4n 
3 

j

1/
2


Persiste la degeneración:
1
Con j  l  con el número cuántico ms
2
Ejemplo:
2S1/2 (n  2, l  0, j  1/ 2)
tiene la misma energía que
2P1/ 2 (n  2, l  1, j  1/ 2)
La energía de los niveles del átomo
de hidrógeno es
2

E1Z
  n
3 
Enj   2 1  2 
 
n  n  j  1/ 2 4  
donde
J  L  S ; es decir,
j  l  1/ 2
 mR e  Z
En   
2  2
 2 n
4
2
n  1, 2,3...
me M
La masa reducidad mR 
me  M
La constante de estructura fina
  e / c  1 / 137
2
Jerarquía de las energías en el átomo de hidrógeno
Energía de Bohr
 mc
Estructura fina
 4 mc 2
Corrimiento Lamb
 mc
2
5
2
2
m 4 2
 mc
mp
Estructura hiperfina
1

137
Correcciones al espectro del átomo de hidrógeno dado por la
ecuación de Schrödinger:
1. Corrección del movimiento del núcleo
Usando la masa reducida
2. Estructura fina
a) Correcciones relativistas
b) Correcciones por el acoplamiento espín-orbita
3. Corrimiento Lamb
Debido a la cuantización del campo coulombiano
4. Estructura hiperfina
Debida a la interacción magnética entre los momentos
dipolares del electrón y el protón