Download Funciones inversas.

INSTITUTO TECNOLÓGICO
SUPERIOR DE TACÁMBARO.
INGENIERÍA EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS.
UNIDAD II “FUNCIONES”
PROFESOR: MARIO ALBERTO SÁNCHEZ
CAMARENA.
ALUMNOS: GOMEZ TORRES JOSÉ ENRIQUE.
MEDINA NAVA CYNTHIA DANIELA.
OROZCO VICTORIA CLAUDIA LETICIA.
RAMIREZ MARTINEZ LAURA.
*Se
llama función
inversa o reciproca
de f a otra función f1(b) = a
• Recordemos que una
función f es una regla de
correspondencia, que
asigna a cada valor x en su
dominio x un valor único, y,
en su contradominio.
Por ejemplo, para f(x)= x2 + 1,
el valor y = 5 se presenta con
x = -2, o bien con x = 2.
Por otra parte, para la función
g(x) = x3, el valor y = 64, solo
se presenta cuando x = 4.
• En realidad, para cada
valor de y en el
contradominio de g(x) =
x3, solo corresponde un
valor de x en el dominio.
*FUNCIÓN UNO A UNO
Se dice que una función f es uno-auno, si cada numero en el
contradominio de f esta asociado con
exactamente un numero en su
dominio x.
* PRUEBA DE LA RECTA HORIZONTAL.
La interpretación geométrica de lo
anterior es que una recta horizontal
(y = constante) puede cruzar la
grafica de una función uno a uno a lo
mucho en un punto.
• Una función no es
uno a uno, si alguna
recta horizontal,
cruza a su grafica,
mas de una vez.
Para una función f que no es uno a uno, se podrá
restringir su dominio de tal manera que la nueva
función, que consista en f definida en este
dominio restringido, sea uno a uno, y entonces
tenga una inversa.
Las inversas de las funciones exponenciales se llaman
funciones logarítmicas.
Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe
logb (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la
notación logb(x) como el “logaritmo de x con base b”, y
llamamos a la expresión logb(x) un logaritmo.
El logaritmo de un número y es el
exponente al cual hay que elevar la base b
para obtener a y.
♥La función logarítmica se denota de la
siguiente manera:
Y = log 𝑏 𝑎, con a>0 y distinto de 1.
♥ La notación 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒚 = x
se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.


• Logaritmo del producto:
log 𝒂 𝒃. 𝒄 = log 𝒂 𝒃 + log 𝒂 𝒄
• Logaritmo del cociente:
𝒃
log 𝒂
𝒄
log 𝒂 𝒃 − log 𝒂 𝒄

• Logaritmo de una potencia:
log 𝒂 (𝒃𝒎 ) = 𝒎 ∙ log 𝒂 𝒃

• En cualquier base: log 𝒂 𝟏 =
=

log 𝒂 𝒃 =
𝒍𝒐𝒈 𝒃
𝒍𝒐𝒈 𝒂
𝟒𝟎
♥ 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟒𝟎 = 𝒍𝒐𝒈
= 𝟐. 𝟐𝟗
𝒍𝒐𝒈 𝟓
♥ 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟐𝟑. 𝟕𝟐 = 𝒍𝒐𝒈𝟐𝟑.𝟕𝟐
= 𝟒. 𝟓𝟔
𝒍𝒐𝒈𝟐
♥ log5 25 =
𝒍𝒐𝒈 𝟐𝟓
𝒍𝒐𝒈 𝟓
=2
Equivalente a 52 = 25.
“El logaritmo de 25 en la base 5 es 2”
(Observa que un logaritmo es un exponente al cual hay que elevar la base
para obtener el numero que se pida.)
♥𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟏𝟐𝟓 = 𝒙
♥
3
𝟏
𝟗
𝐥𝐨𝐠 𝟑 ( ) = 𝒙
𝟓𝟑 =125
♥𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟖𝟏 = 𝒙
𝒙 = −𝟐
𝒙=
𝟑−𝟐 =
𝟏
𝟗
𝒙=𝟒
𝟑𝟒 =
81
♥log𝟒 𝟐 = 𝒙
𝟐
𝒙=
𝟏
𝟐
𝟒𝟏/𝟐 =


y = log 2 𝑥
con a>0 y distinto de 1.
x
F(x)=log 𝟐 𝒙
0.125
-3
0.25
-2
0.5
-1
1
0
2
1
4
2
8
3
A)
f(x)=2·𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝒙
Dominio=(0,+∞)
 Recorrido= IR
 Asíntota: x=0


b) f(x)=log 3 𝑥 + 1
Dominio=(0,+∞)
 Recorrido= IR
 Asíntota: x=0

Funciones trigonométricas
inversas
Sea t cualquier número real y que determina el
punto P (x,y). Entonces:
•
sen t = y
y
cos t = x
Propiedades del seno y coseno
Dado que t puede ser cualquier número real. el
dominio de las funciones seno y coseno es
(-∞,∞).
 -Los puntos P1 y P2 que corresponden a t y –t,
son simétricos con respecto al eje x. En
consecuencia:
sen (-t) = -sen y
cos (-t) = cos t
 Una identidad importante que relaciona las
funciones seno y coseno es:
Sen2 t + cos2 t = 1


1) El seno del ángulo es la relación entre el
cateto opuesto y la hipotenusa.

2) El coseno del ángulo es la relación entre el
cateto adyacente y la hipotenusa.

3) La tangente del ángulo es la relación entre
el cateto opuesto y el cateto adyacente.

4) La cosecante del ángulo es la relación
entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

5) La secante del ángulo es la relación entre
la hipotenusa y el cateto adyacente.

6) La cotangente del ángulo es la relación
entre el cateto adyacente y el opuesto.
Funciones trigonométricas inversas
Las tres funciones trigonométricas inversas
usadas de manera común son:
 1) Arcoseno: es la función inversa del seno del
ángulo.
 2) Arcocoseno: es la función inversa del
coseno del ángulo.
 3) Arcotangente: es la funcion inversa de la
tangente del ángulo.

Arcoseno
Arcocoseno
Arcotangente