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EDUCACIÓN SECUNDARIA PARA PERSONAS ADULTAS NIVEL II
ÁMBITO CIENTÍFICO TECNOLÓGICO
BLOQUE IX. TEMA 3: Salud y matemáticas
Tema 3: Salud y matemáticas
1.- Un burdo rumor
-Te voy a contar un secreto pero no se lo
digas a nadie. A mi me lo han contado con esa
condición. Yo no se lo cuento a nadie:
-Resulta que la hija de mi vecina es una … y
patatín patatán…
El chismoso no ha cumplido su palabra y está largando el
chisme que afecta a la hija de su vecina. Se lo ha contado a 3 personas. ¿Cuántas
personas conocen el secreto?
Lo saben el chismoso y los tres a los que ha informado:
𝟏 + 𝟑 = 𝟒 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔
Cada una de las 3 personas, se lo ha contado a otras 3 más cada una, entonces ya
lo conocen un total de:
𝟏 + 𝟑 + 𝟗 = 𝟏𝟑 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔
Cada una de las 9 personas, se lo cuenta a 3 personas cada una, entonces el
supuesto secreto es sabido por un total de:
𝟏 + 𝟑 + 𝟗 + 𝟐𝟕 = 𝟒𝟎 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔
Y si seguimos, al final lo sabe todo el pueblo.
Si nos fijamos, la suma anterior se puede poner de esta otra forma:
𝟑𝟎 + 𝟑𝟏 + 𝟑𝟐 + 𝟑𝟑
Recuerda que:
𝟑𝟎 = 𝟏
𝟑𝟏 = 𝟑
𝟑𝟐 = 𝟗
𝟑𝟑 = 𝟐𝟕
Es decir, el rumor se está extendiendo de forma exponencial.
¿Qué te parece si esto lo representamos en una gráfica?
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Gráfica
de
la
función:
𝒚 = 𝟑𝒙
32 = 9
30 = 1
31 = 3
Este tipo de gráfica se llama exponencial, y como puedes ver, crece muy rápidamente.
De hecho, la siguiente potencia de 3 se escapa del dibujo.
2.- ¿Cómo se propaga un virus?
La propagación de un virus sigue el mismo patrón que la del chisme.
Un ejemplo:
Una persona está rodeada de una media
de cuatro personas a las que infecta con
un virus, estas cuatro personas infectan
a otras cuatro, y estas cuatro a otras
cuatro más y así sucesivamente durante
los quince días de incubación del virus.
¿Qué ocurrió realmente?

En
un
principio
el
virus
se
encontraba en una única persona:
𝟒𝟎 = 𝟏

Seguidamente pasó a 4 personas más:
𝟒𝟎 + 𝟒𝟏 = 𝟏 + 𝟒 = 𝟓
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

Cada una de las 4 anteriores lo pasaría a otras 4 personas:
𝟒𝟎 + 𝟒𝟏 + 𝟒𝟐 = 𝟏 + 𝟒 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟏
Y …así sucesivamente.
Contesta…
1. En el ejemplo anterior, ¿cuál será el próximo número de personas infectadas?
2. Para recordar, calcula el valor de las siguientes potencias:
a) 25 =
b) 34 =
c) 159 =
d) 01234 =
e) 53 =
f) 36 =
g) 210 =
3. Calcula las siguientes sumas de potencias (recuerda que lo primero es calcular las
potencias):
a) 23 + 32 + 33 + 42 =
b) 62 + 70 + 53 + 25 =
c) 112 + 26 + 33 + 42 =
4. Resuelve los siguientes productos (lo primero es calcular las potencias):
a) 300 ∙ 23 =
b) 125 ∙ 34 =
c) 1000 ∙ 55 =
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Otro ejemplo:
Un virus se triplica cada hora y muere. Si comenzamos con una población de
2000 virus, ¿cuántos habrá al cabo de un día?
La solución la podemos encontrar en la siguiente tabla:
Hora
Nº virus
0
1
2
3
……….
h
2000
2000 ∙ 3
2000 ∙ 32
2000 ∙ 33
……….
2000 ∙ 3ℎ
Esta fórmula nos servirá para calcular la cantidad de virus que habrá cuando
hayan transcurrido un número cualquiera de horas, h.
Si queremos saber los virus al cabo de un día, solo tendremos que sustituir la ha
por 24, que son las horas de un día:
𝟐𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟑𝟐𝟒 = 𝟓𝟔𝟒. 𝟖𝟓𝟗. 𝟎𝟕𝟑. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝒗𝒊𝒓𝒖𝒔
¡Más de 564 billones de bichitos puñeteros!
Contesta…
5. En el ejemplo anterior, ¿cuántos virus habrá al cabo de 12 horas?
6. ¿Y al cabo de 6 horas?
Continuamos con nuestro ejemplo:
Ahora nos hacemos la siguiente pregunta: ¿cuántas horas deben transcurrir para que
el número de virus sea de 1 millón aproximadamente?
Ya hemos visto que el número de virus en función de las horas transcurridas se
calcula con la fórmula:
𝑽 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟑𝒉
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Como queremos que el número de virus sea 1000000, igualamos:
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟑𝒉
Se trata de despejar la incógnita h, para ello, pasamos 2000 dividiendo a la izquierda:
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
= 𝟑𝒉
𝟐𝟎𝟎𝟎
Efectuamos la división:
𝟓𝟎𝟎 = 𝟑𝒉
Y ahora viene la novedad: ¿cómo se despeja una incógnita que está en el exponente?.
Esto no lo hemos hecho nunca, pero alguna vez tenía que ser la primera.
𝒉 = 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝟓𝟎𝟎
Esto tan extraño se lee: “logaritmo de 500 en base 3”
Y significa: “número al que hay que elevar 3 para que el resultado sea 500”
¿Y cómo se calcula?
Pues esto es lo mejor: agarra tu calculadora, que será como esta:
Localiza esta tecla y efectúa
la siguiente operación:
𝒍𝒐𝒈 𝟓𝟎𝟎
𝒍𝒐𝒈 𝟑
El resultado de esta división
es la h buscada:
𝒉 = 𝟓, 𝟔𝟓 ….
Ponemos 6 horas y todos
contentos.
Por si te pica la curiosidad, la función que hemos utilizado es el logaritmo
decimal, o lo que es lo mismo, el logaritmo en base 10.
Ahora tendrás que calcular algunos logaritmos.
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Contesta…
7. Calcula los siguientes logaritmos:
a) 𝑙𝑜𝑔2 16 =
log 16
log 2
b) 𝑙𝑜𝑔5 250 =
c) 𝑙𝑜𝑔3 27 =
log 250
log 5
log 27
log 3
d) 𝑙𝑜𝑔4 256 =
=
=
=
log 256
log 4
=
8. Calcula los siguientes logaritmos (y ahora no te pongo la ayudita):
a) 𝑙𝑜𝑔4 67 =
b) 𝑙𝑜𝑔5 1234 =
c) 𝑙𝑜𝑔8 1427 =
d) 𝑙𝑜𝑔12 45 =
9. En un cultivo de bacterias se sabe que el número inicial de bacterias es de 120 y
que se duplica cada hora y mueren.
a) Completa la siguiente tabla:
Horas
Bacterias
0
120
1
120 ∙ 21 = 240
2
3
4
b) ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 6 horas?
c) ¿Sabrías escribir una fórmula para calcular el número de bacterias
pasadas h horas?
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10. Suponiendo que has completado bien el apartado c del ejercicio anterior,
contesta a la siguiente pregunta: ¿cuánto tiempo ha de transcurrir para que el
número de bacterias sea 240000?
El logaritmo también se puede dibujar
Puedes comprobar que los puntos gruesos corresponden a los siguientes valores:
1)
𝑙𝑜𝑔2 1
2)
𝑙𝑜𝑔2 2
3)
𝑙𝑜𝑔2 4
4)
𝑙𝑜𝑔2 8
Es decir, esta gráfica corresponde a la función logarítmica:
𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝒙
Si te das cuenta, el crecimiento logarítmico es mucho más suave que el crecimiento
exponencial.
Vamos a continuar haciendo cálculos, incluso con decimales, que también tienen
derecho.
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11. Calcula las siguientes operaciones con potencias:
a) 0,756 =
b) 150 ∙ 0,457 =
c) 235 ∙ 1,510 =
12. Calcula los siguientes logaritmos:
a) 𝑙𝑜𝑔0,5 27 =
b) 𝑙𝑜𝑔0,2 250 =
c) 𝑙𝑜𝑔0,4 243 =
3.- Las matemáticas miden los efectos de las drogas
Estudiemos un caso que, desgraciadamente, no es inventado.
El sábado por la noche, Perico se metió un par de “rayitas” de cocaína (150 mg).
Después del subidón, se le fueron pasando los efectos. Supongamos que cada
hora que pasa el organismo de Perico es capaz de eliminar la cuarta parte de la
cocaína que tiene en sangre.
a) ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que no se detecte en un análisis (menos
de 0,3 mg)
b) ¿Cuánto tardará su organismo en eliminar toda la cocaína que ha tomado?
Solución:
Hay que tener en cuenta que cada hora que pasa, la sangre de Perico tiene tres
cuartas partes de la cocaína que tenía la hora anterior. Este número, puesto en
forma decimal (que es más cómodo) es igual a 0,75.
Con esta información podemos construir una tabla:
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Horas
Cocaína (mg)
0
150
1
150 ∙ 0,751 = 112,5
2
150 ∙ 0,752 = 84,375
3
150 ∙ 0.753 = 63,28
Observa que cada hora que pasa le queda menos cocaína en la sangre, como era
de esperar (a no ser que se meta otra raya).
Es fácil comprobar que al cabo de h horas la cantidad de cocaína que queda en su
organismo es de
𝑪 = 𝟏𝟓𝟎 ∙ 𝟎, 𝟕𝟓𝒉
a) ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que no se detecte en un análisis?
Pues cuando la cantidad anterior sea igual a 0,3, es decir:
𝟎, 𝟑 = 𝟏𝟓𝟎 ∙ 𝟎, 𝟕𝟓𝒉
Empezamos a resolver la ecuación, despejando y dividiendo:
𝟎, 𝟑
= 𝟎, 𝟕𝟓𝒉
𝟏𝟓𝟎
→
𝟎, 𝟎𝟎𝟐 = 𝟎, 𝟕𝟓𝒉
Ahora despejamos la incógnita, con la operación que ya conocemos:
𝒉 = 𝒍𝒐𝒈𝟎,𝟕𝟓 𝟎, 𝟎𝟎𝟐
Aplicamos el cambio que hemos visto:
𝒉=
𝐥𝐨𝐠 𝟎, 𝟎𝟎𝟐
= 𝟐𝟏, 𝟔
𝐥𝐨𝐠 𝟎, 𝟕𝟓
Es decir, aproximadamente 21 horas y media.
b) ¿Cuánto tiempo tardará en desaparecer por completo la cocaína de su
sangre?
En este caso tendremos que igualar la fórmula a cero, es decir:
𝟎 = 𝟏𝟓𝟎 ∙ 𝟎, 𝟕𝟓𝒉
Despejamos y dividimos:
𝟎
= 𝟎, 𝟕𝟓𝒉 →
𝟏𝟓𝟎
𝟎 = 𝟎, 𝟕𝟓𝒉
Despejamos la incógnita:
𝒉 = 𝒍𝒐𝒈𝟎,𝟕𝟓𝟎
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Calculamos:
𝒉=
𝐥𝐨𝐠 𝟎
𝐥𝐨𝐠 𝟎, 𝟕𝟓
¡¡El logaritmo de 0 no se puede calcular, me da error!!
Las matemáticas le están diciendo a Perico que nunca se limpiará
completamente de la porquería que se ha metido.
Contesta…
13. De un determinado tóxico se sabe que la cantidad inicial en sangre es de 200 mg
y que se pierde una quinta parte cada hora que transcurre. ¿Qué cantidad de
tóxico habrá en sangre al cabo de 10 horas?
14. En el ejemplo anterior, ¿cuánto tiempo ha de transcurrir para que la cantidad de
tóxico en sangre sea de 100 mg?
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