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PRÁCTICA DE NUMEROS COMPLEJOS
FIDEL VERA OBESO
EJERCICIOS GRUPO 1
En cada uno de los ejercicio del 1 al 12 calcular los valores reales de x e y que cumplen con la relación
dada.
1. x + yi = 2 – 3i
7. x2 - 4y + ( 2y - x)i = 2 - i
2. 3x – 2yi = 6 + 4i.
8. x2 + y2 – 2 + ( x + 3y – 2 )i = 0
3. x + 3y + (2x – 3y - 9)i = 0
9. (2x + y) + (3x - 4y)i = (x - 2) + (2y - 5)i
4. 2x – y + (3y-2x)i = 2 – 2i
10. (1 - i)x + (1 + i)y = 1-3i
5. ( x + yi )2 = 3 - 4i
11. (2+3i)x2-(3-2i)y = 2x-3y+15i
6. (x - yi)2 = -8 - 6i
12. (4x2 + 3xy) + (2xy - 3x2)i = 4y2 - 1/2 x2 + (3xy - 2y2)i
En cada uno de los ejercicios del 13 al 49, efectuar las operaciones indicadas y expresar el resultado en la
forma canónica.
13. 1+i)+(3-2i)
14. (4-5i)+(2+7i)
34.
15. (2+  4 )-(3-  9 )
16. (3+2i)-(6-4i)
35.
 4   9   16
17.
2i
1  2i
i5  3
i3  1
2
18. 2  36   49  7
19. (4 - 3i)(3  4i)
1
1
 4a 2 
 9a 2
20.  a 2 
2
3
1
1
 16a 2 
 4a 4  3  27
21.
2
a
22. (1  i )(1  2i)(1  3i)
23.          
24. (3  2i)(3 - 2i) )
36. (1  i)
25. (  3   2   1)(  3   2   1)
36. (3  i 3 )3
26. (  1   2   3 )(  1   2   3 )
37. (1  i)3  (1  i)3
27.
37. (1  i)1  i 1
38. (1  i)2  i 2
1 i
1 i

33.
1  2i 1  2i
1  2i 2  i
)(
)
34. (
3  4i 2i
2  36i 7  26i

35.
6  8i
3  4i
(1  i)4
28. (
29. (
30.
38. (1  i)  (1  i)
3
39.
3 3

3i )3
2 2
3
(1  i) /(1  i)
6
40. (1  i) /(1  i) 4 n 1 n  Z 
2
2 6

i)
2
2
5
41. (
2
1 i 7
1 i 4
42. (
)
2
3
1
31.
1  2i
3
32.
2i
3i
33.
1 i
) 4
i
43. z  1 
i
1
1
i
1 i
44. Expresar las siguientes potencias en la forma canónica: a+bi
a) i 9
h) i1 9 0 1
15
b) i
i) (4i  3i 2  4i3  i7 )3
c) i 2 2
1
3 3
i)
j) ( 
d) i 4 8
2
2
157
2
2
4
e) i
k) (i  1)  (i  1)  i
f) i 4 n 1n  Z 
g) i 4 n  3n  Z 
45. Escriba en la forma canónica todos aquellos número complejos
sea igual a
a)
b)
c)
1
2
, y que:
la parte imaginaria de
z sea cero.
La parte imaginaria de 1 sea 1 .
z
2
La parte imaginaria de z sea 1 .
2
-1-
z
tales que la parte real de
1
z
PRÁCTICA DE NUMEROS COMPLEJOS
d)
La parte imaginaria
FIDEL VERA OBESO
1
sea
e)
z
La parte imaginaria de z
a)
( x  i) /(3  i)  ( y  1) /(3  i)  i
1.
sea 1 .
z-z
46. Si z  2  3i, hallar im(
).
3z  z 2
47. Hallar los valores reales de x e y para los cuales:
b) y 2  iy 2  6  i  2x  ix
c) (x-i)2-( 2 y  i)2  4( 3-1 )i- 2 y 2-x
48. Probar que:
a) x3  y 3  3xy  1, si x  (1  3i) / 2, y  (1  3i) / 2
1  x 2  ix
 i, x  R
x  i 1  x2
49. Hallar el valor de la expresión indicada para el valor dado.
b)
a)
2z 2  3z  2; z  (3 / 4)  ( 7 / 4)i
b)
2z 2  4z  3; z  (1   2 ) / 2
c)
z 2  8 z  2, z  4  5i
50. Demostrar que el número complejo 1  3i es una raíz de la ecuación:
2 x 4  7 x 3  12 x 2  8 x  8  0 .
51. Demostrar que el número complejo 1  3i también es una raíz de la ecuación
52. Demostrar que cada uno de los números complejos
1
3
1
3
 
i y  
i son raíces cúbicas
2
2
2
2
de la unidad.
53. Demostrar que cualquiera de las dos raíces cúbicas complejas de la unidad, mencionadas en el
ejercicio 52, es igual al cuadrado de la otra.
54. Por factorización, obtener las cuatro raíces de la ecuación: x 4  16  0 .
55. Demostrar que el número complejo
56.
a  bi es igual a cero si y sólo si a  0
57. Demostrar que la operación de restar un número complejo
operación de sumar
z1 de otro número z 2 es equivalente a la
z 2 al negativo de z1 .
k son enteros positivos tales que n  4k  m , en donde m  1, 2 ó 3 , demostrar que i n  i m .
Si tanto a como b son números positivos, demostrar que:
58. Si
59.
y b0.
Demostrar que la suma de cualquier número complejo con un negativo es igual a cero.
n
y
 a .  b   abi , ( a )( b )  abi,  a (  b )  ab.
60. Dados z, z1, z2, w  C, demostrar que
b)
z es imaginario puro si y solo si z  z
Si z 2  (z ) 2 entonces z es ó un número real ó un número imaginario puro.
c)
El producto z1 z 2 es imaginario puro si y solo si
d)
( z1 )  ( z2 )
e)
z1  z2  z1  z2
f)
1
1
( )
z1
( z1 )
a)
61. Hallar el conjunto de los números complejos
a)
b)
z1
es imaginario puro.
z2
zz
d)
z  z  3  2i
(
h)
Re( z w  z w)  z w  zw
i)
Im( z w  z w)  z w  zw
z que satisfacen:
zz 8
1
z
z
c)
z1
z
) 1
z2
z2
g)
e)
z
100
 ik
k 40
1
z
f)
z
g)
z   (i k )
2
100
k 1
62. Demostrar que:
a)
z1 z2  z1z2  2 Re( z1 z 2 ) , sug: z  z  2 Re( z )
b)
Re(
z1
z
)  Re( 2 )  1
z1  z2
z1  z2
c)
Im(
z1
z
)  Im( 2 )  0
z1  z2
z1  z2
d)
-2-
2
Re( z )  Re( z 2 ) 
2
1 2
( z  z )  x2  y 2
2
PRÁCTICA DE NUMEROS COMPLEJOS
FIDEL VERA OBESO
EJERCICIOS GRUPO 2
1.
Calcular el módulo del número complejo dado:
a) 1  i
b)
c)
2.
3.
g)
 2  2 3i
1 7i
h)
2 3  2 3i
 4  4 3i
i)
cos cos 
h)
i)
2 3  2i
5 - 3i
d)  3  i
j)
4i
e) 3  5i
f) -6
k)
Expresar los siguientes números complejos en su forma polar:
a) 2  2i
f)
4i
g)
12  5i
b)  5  5 3i
c)
d)
4  4 3i
8
e)
 5  5 3i
 i sen
Representar z1  1  i , z2  3  i , z3  1  3i , en su forma trigonométrica, y luego hallar el número
complejo z1 /( z2 z3 ) .
4.
5.
6.
7.
En cada uno de los ejercicios del 4 sl 12 calcular el módulo y el argumento y hallar la forma polar del
número complejo dado.
a.
1 i
b.
 2  2 3i
c.
3  3 3i
d.
 3 i
e.
f.
2  2i
-7
g.
2 2  2 2i
 4  4 3i
h.
i.
3i
Demostrar que un número complejo y su negativo tienen el mismo módulo.
Demostrar que un número complejo y su conjugado tienen el mismo módulo.
Realizar las siguientes expresiones y expresar el resultado en su forma cartesiana.
a.
2(cos 30º + i sen30º) (cos 60º + i sen60º)
b.
c.
d.
3(cos45º + i sen45º). 2 (cos 90º + i sen 90º)
6(cos180º + i sen180º) . ½ (cos 30º + i sen 30º)
2(cos 20º + i sen20º) .7(cos 100º + i sen100º)
e.
3 (cos 140º + i sen 140º) .6(cos 220º + i sen220º)
3(cos130º isen130º )
h.
2(cos 70º isen70º )
4(cos 70º isen 70º )
2(cos 50º isen50º )
g.
6(cos 220º isen 220º )
3(cos 40º isen 40º )
5(cos135º isen135º )
cos 45º isen 45º
j.
(cos 77º isen 77º )(cos 23º isen 23º )
(cos 55º isen55º )
f.
8.
Pasando a su forma polar, evaluar:
a)
9.
i.
(4  4i )( 3  3i )
b)
( 3  i)
(1  i )( 3  i )
(1  i )( 3  i )
Verifique si los siguientes números complejos están dados en su forma
trigonométrica?. Si no es así,
expréselos en su forma trigonométrica.
a) 4[cos(-90º) + i sen(-90º) ]
f) -7[cos 40º - i sen 40º]
b) 2 cos 120º-2 i sen 120º
g) -2(cos 15º + i sen 15º)
c) 5[cos 80º + i sen -80º]
h) - 3 (sen 25º - i cos 25º
d)
e)
2 (sen 30º + i cos30º)
-6[cos 40º + i sen40º]
10. Calcular y expresar el resultado en forma trigonométrica:
a) (1  i)12
a)
(1  i)8
b)
(1- 3 i)5
-2-
PRÁCTICA DE NUMEROS COMPLEJOS
c)
(-1+i)9
d)
(
e)
f)
FIDEL VERA OBESO
2
2 15

i)
2
2
1
1 25
(
i)

2
2
(
3 1 50
 i)
2
2
g) ( 3 -i) 8
11. Verificar las siguientes igualdades:
a)
(
1 i 3 6
1 i 3 6
) (
) 2
2
2
b)
(
1 i 3 5
1 i 3 5
) (
)  1
2
2
c)
(
3 i 6 i 3
) (
)  2
2
2
12. Utilizando la fórmula de Moivre, calcular:
a) [3(cos 45º + i sen 45º)]6
b) (cos /4 + i sen/4 )10
c) [2(cos 60º + i sen 60º) ]6
d) [2(cos 15º + i sen 15º)]4
(cos 150º + i sen 150º)
(cos30º + i sen 30º )8
(- cos /4 + i sen /4)8
e)
f)
g)
13. Probar que:
a)
b)
(cos 60º - i sen 60º)6=1
[2(cos 45º + i sen 45º)]4 = -16
c)
[ 3 (cos 45º + i sen 45º)]6= - 27i
d)
[ 2 (cos 56º15’ + i sen 56º 15’)]8 = 16i.
14. Expresar en forma cartesiana.
a)
b)
(
(1  i ) 2 ( 3  i )3
)
2  2i
(3  3i) 4 ( 3  i)
(3  3i)6
c)
(  2  6i ) 6
d)
( 3  3i )8 ( 15  5i )7
15. Efectuar los siguientes cálculos, y expresar en forma cartesiana:
1 i 8
a)
(
)
1 i
c)
1

i
b)
(
)6
1 i
( 2  3  i 2  3 )6
(1  i )n
(1  i )
n2
, nZ
16. Hallar los números complejos que sean conjugados:
a) con su cuadrado
b) con su cubo
17. Hallar los números complejos conjugados tales que su diferencia sea 6i y su cociente un número
imaginario puro.
18. Dos números complejos tienen igual módulo y uno de ellos es el conjugado del cuadrado del otro. Si la
suma de argumentos es 8 radianes, hallar dichos números.
GRUPO DE EJERCICIOS 3
En los ejercicios de este grupo las amplitudes o argumentos son ángulos notables cuyas funciones
trigonométricas pueden calcularse sin el uso de tablas. Los resultados finales pueden pasarse o dejarse en la
forma polar.
En cada uno de los ejercicios 1 – 12, calcular la potencia indicada usando el teorema de De Moivre.
1.
[2( cos 15º + i sen 15º)]3
2.
[ 2 ( cos 30º + i sen 30º)]4
3.
4.
[ 3 ( cos 15º + i sen 15º)]6
[2( cos 45º + i sen 45º)]4
5.
6.
7.
[ 5 ( cos 20º + i sen 20º)]4
[2 ¼ ( cos 150º + i sen 150º)]8
(1+i)8
8.
(-1+ 3 i)
9.
(1-i)-3
10. (-
3 1 7
 i)
2
2
11. (-
3 1 9
 i)
2
2
12. (
-6-
 2
2 12

)
2
2
PRÁCTICA DE NUMEROS COMPLEJOS
FIDEL VERA OBESO
En cada uno de los ejercicios 13 – 18, calcular la potencia indicada usando (a) el teorema del binomio; (b)
el teorema de De Moivre.
13. (1- 3 i)3
17. (
14. ( 3 -i)8
1
3 7

i)
2
2
18. (-1- 3 )6
15. (-1+ 3 i)5
16. (-1+i)4
En cada uno de los ejercicios 19 – 31, calcular las raíces que se indican y representarlas gráficamente.
19. Las raíces cúbicas de -27
20. Las tres raíces cúbicas de 8(cos 60º + i sen 60º)
21. Las raíces cúbicas de -2 +2i
22. Las cuatro raíces cuartas de -8 -8 3 i
23. Las cuatro raíces cuartas de -4
24. Las cuatro raíces cuartas de 4 - 4 3 i
25. Las cinco raíces quintas de 32
26. Las cinco raíces quintas de -16 - 16 3 i
27. Las seis raíces sextas de 27i
28. Las seis raíces sextas de 1 +
3i
29. Las ocho raíces octavas de -128 + 128 3 i
30. Las ocho raíces octavas de – ½ 31. Las nueve raíces novenas de –i
3 /2 i
En cada uno de los ejercicios 32 – 41 calcular todas las raíces de la ecuación dada usando el teorema de
De Moivre y también algebraicamente.
32.
33.
34.
35.
36.
x3+8=0
x4 – 16 = 0
ix3 + 1 = 0
x12 – 1= 0
x3 – 27 = 0
37.
38.
39.
40.
41.
42. Calcular:
a) [8(cos 60º + i sen 60º)]2/3
b) [4 (cos 300º + i sen 300º)]-1/ 2
-7-
x4
x6
x4
x4
x6
+ 16i = 0
– 64 = 0
= -1
–1=0
+1=0