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Números complejos
Álgebra Superior
Definición
Los números complejos aparecen como solución de algunas
ecuaciones cuadráticas. En general, cualquier ecuación de
grado mayor que 1 puede tener como solución un número
complejo.
Los números complejos están relacionados con la extracción de
raíces pares de números negativos.
Definiremos un número complejo como un par ordenado de
números reales
(a; b)
Ejemplos: (3; 5) (-1.922; 0.003) (17.28892; -5.8276)
Igualdad
Dos números complejos (a; b) y (c; d) son iguales si y solo si a
= c y b = d.
De acuerdo con esto:
(2; √12) = ( ½ √7 + 4√3) + ½ √7 – 4√3 ); 2 √ 3)
Ya que
2 = ½ √7 + 4√3 + ½ √7 – 4√3
√12 = 2 √ 3
Por el contrario
(–1; 1)  (1; –1)
?
Suma y producto
Definimos la suma de complejos como:
(a; b) + (c; d) = (a + c; b + d)
Ejemplos:
(2; –4) + (5; 6) = (7; 2)
(–3; 8) + (–1; –4) = (–4; 4)
Definimos la multiplicación de complejos como:
(a; b) · (c; d) = (ac – bd; ad + bc)
Ejemplos: (2; – 4) · (5; 6) = (2·5–(–4)·6; 2·6+5(–4)) = (10+24;
12–20) = (34; –8))
(–3; 8) · (–1; –4) = ((–3)(–1) – 8(–4); (–3)(–4)+8(–1)) =
(3+32;12–8 ) = (35; 4)
Propiedades de la suma y la
multiplicación
Las propiedades fundamentales de los reales se extienden
fácilmente a los números complejos.
1. Conmutatividad para la suma:
(a; b) + (c; d) = (c; d) +(a; b)
2. Asociatividad para la suma:
((a; b) + (c; d)) + (e; f) = (a; b) + ((c; d) + (e; f))
3. Conmutatividad para la multiplicación:
(a; b) · (c; d) = (c; d) · (a; b)
Propiedades de la suma y la
multiplicación (cont.)
4. Asociatividad para la multiplicación:
((a; b) · (c; d)) · (e; f) = (a; b) · ((c; d) · (e; f))
5. Distributividad:
(a; b) · ((c; d)+ (e; f) )= (a; b) · (c; d) + (a; b) · (e; f)
Sustracción
La resta de un complejo (c; d) de otro (a; b) es un complejo (x; y)
tal que
(c; d) + (x; y) = (a; b)
Esto implica que
c+x=a
y
d+y=b
y
y=b–d
De aquí que
x=a–c
Por lo tanto
(a; b) – (c; d) = (a – c; b – d)
Propiedades de la sustracción
Se cumple lo siguiente:
(a; b) – (a; b) = (0; 0)
(a; b) + (0; 0) = (a; b)
Ejemplos:
(3; –5) – (8; 3) = (– 5; – 8)
(10; 14) – (7; 10) = (3; 4)
División
La división de un complejo (a; b) entre otro (c; d) es un complejo
(x; y) tal que
(c; d) · (x; y) = (a; b)
Esto implica que
c x – dy = a
(1)
y
dx + cy = b
(2)
De (1), x = (a + dy)/c, sustituyendo en (2)
d(a+ dy)/c +cy = b.
d2y + c2y = bc – ad .
Por lo tanto y = (bc – ad )/(d2 + c2) y x = (a + d (bc – ad )/(d2 +
c2))/c = (ad2+ac2+dbc-ad2)/((d2 + c2)c) = (ac+db)/(d2 + c2)
(a; b) / (c; d) = ((ac+db)/(d2 + c2); (bc – ad )/(d2 + c2))
Ejemplos
(4; 6)/(7; 8) = ((4·7+6·8)/(72+82); (6·7–4·8)/(72+82))
= ((28+48)/(49+64); (42–32)/(49+64))
= (76/113; 10/113) = (0.6725; 0.0885)
(1; –2)/(3; –1)
= ((1·3+(–2)·(–1))/(32+(–1)2); ((–2)·3–1·(–1))/(32+(-1)2))
= ((3+2)/(9+1); ((–6+1)/(9+1))
= (5/10; –5/10) = (0.5; – 0.5)
Forma binómica
Todo número complejo se puede escribir en la forma
(a; b) = a + bi
Donde i representa (0; 1) y a y b son números complejos (a; 0) y
(0; b).
Aplicando la regla de la multiplicación
(0; 1)2 = (–1; 0)
Así que
i2 = –1
Ejemplos
(1 + i)3 = (1 + i)(1 + 2i + i2) = (1 + i)(1 + 2i –1)
= (1 + i)2i = 2i + 2i2= –2+2i
(3 – 6i)(6 – i) = 18 – 3i – 36i + 6i2 = 18 – 39i – 6 = 12 – 39i
En el caso de la división multiplicamos numerador y denominador
por el denominador con el factor de i cambiado de signo.
(4 + 5i) / (2 – 3i) = ((4 + 5i) (2 + 3i) ) /((2 – 3i) (2 + 3i) )
= (8 + 12i + 10i + 15i2)/(4 – 9i2)
= (– 7 +22i)/(13) = – 7/13 + 22i/13
Parte real e imaginaria
Un número complejo a + bi se compone de dos partes, la parte
real a y la imaginaria b. Ambas partes son números reales.
Se denota la parte real por:
a = R(a + bi)
Y la imaginaria por
b = I(a + bi)
Dos números complejos a + bi y a – bi se llaman complejos
conjugados.
El complejo conjugado de un número se designa por A0 o A.
El producto
AA0 = (a + bi) (a – bi) = a2 + b2
Es un número real y se le conoce como norma de A.
La raíz cuadrada de la norma de A es el valor absoluto o
módulo de A y se designa por | A | o mod(A).
| a + bi | = √(a2 + b2)
O
mod(a + bi) = √(a2 + b2)
Propiedades del conjugado
Se cumplen las siguientes proposiciones:
Si C = A + B, entonces C0 = A0 + B0
Si C = AB, entonces C0 = A0B0
Si C = A – B, entonces C0 = A0 – B0
Si C = A/B, entonces C0 = A0/B0
Propiedades del módulo
Teorema. El módulo de un producto es igual al producto de los
módulos de sus factores.
| ABC…L | = | A||B||C|…|L |
Demostración. Sea X = AB,
XX0 = (AB) (AB)0 = (AB) (A0B0) = (AA0) (BB0)
Sacando raíz cuadrada
√(XX0) = | X | = √(AA0) √(BB0) = |A||B|
Es fácil generalizar para n factores.
Ejercicios
Encontrar el módulo
4  3i 1  i 
7i
5  3i 
2  i 3
2
2  6i 1  i 
7  i   5  3i 
Desigualdad del módulo de la suma
Teorema. El módulo de una suma es menor o igual a la suma de
los módulos de sus sumandos.
| A+B+C+…+L |  | A|+|B|+|C|+…+|L |
Siendo iguales cuando todos los cocientes
B/A, C/A, …, L/A
Sean reales no negativos
ejemplo.
| (5 – 3i) + (8 – 7i) + (2 + i)| = | 15 – 9i | = √(152 + 92) = 17.49
| (5 – 3i)|+|(8 – 7i)| +|(2 + i)| = √(52+32)+√(82+72)+√(22+12) =
= √34+ √113+√5 = 5.83+10.63+2.24= 18.7
|(3 – i)+(15 – 5i)+(1.5–0.5i)| = |19.5 – 6.5i| = √(19.52+6.52) =
= √422.5 = 20.55
|(3 – i)|+|(15–5i)|+|(1.5–0.5i)| = √(32+12)+√(152+52)+√(1.52+0.52)
= √10+√250+√2.5 = 3.16+15.81+1.58 = 20.55
Raíz cuadrada de un complejo
Sea X2 = A con X = x + iy, A = a + bi. Entonces
(x + iy)2 = a + bi
x2 + 2ixy – y2 = a + bi
O
x2 – y2 = a,
pero
(x2 + y2)2 = (x2 – y2)2 + 4x2y2
(1)
{
{
Junto con (1) nos da
2xy = b
b2
a2
√(x2 + y2)2 = x2 + y2 = √( a2 +b2)
De (1)
y2 = x2 – a
x2 + x2 – a = √(a2 +b2)
o
x2 = (√(a2 +b2) + a)/2 y y2 = (√(a2 +b2) – a)/2
Raíz cuadrada de un complejo (cont.)
Hay que tomar en cuenta 2xy = b, es decir x y y deben tener el
mismo signo cuando b>0 y de signo distinto cuando b<0.
Para b>0 la solución es

X  


a2  b2  a
i
2
a 2  b 2  a 

2


X  


a2  b2  a
i
2
a 2  b 2  a 

2

Y para b<0 es
Ejemplo

2  3i  



 






2 2  32  2
i
2
49 2
i
2
13  2
i
2
2 2  32  2 

2

4  9  2 


2

 3.61  2
13  2 
3.61  2 

 
i

2
2
2



 5.61
1.61 
   2.805  i .805
 
i
2 
 2
 1.675  i.897 


Extraer raíces cuadradas
i
3 + 4i
9 + 40i
–8 – 6i
16 – 30i
–2 – 1.5i

X  


a2  b2  a
i
2
a 2  b 2  a 

2

Resolver la siguiente cuadrática
x2 – (2 + 3i)x – 1 + 3i = 0
Resolver
x4 = 119 – 120i
Representación gráfica
Los números complejos son pares ordenados de números reales,
por lo tanto podemos representarlos como puntos en el plano xy.
Eje imaginario
El vector desde O
hasta z determina
al número
complejo z.
La longitud del
vector es la
magnitud del
complejo z
z = a + bi = (a; b)
b
O a
Eje real
Ejemplos
4 + 7i
–1 + 6i
–5 + 4i
7 + 2i
i
1
Eje real
O
7 – 2i
–7 – 4i
Eje imaginario
Forma trigonométrica
z = a + bi = r(cos  + isen )
b = r sen 
r  a2  b2
O
a = r cos 
Si a>0 y b>0, 0    p/2
Si a<0 y b>0, p/2    p
Si a<0 y b<0, p    3p/2
Si a>0 y b<0, 3p/2    2p
b
a
b
  tan 1  
a
tan  
Convertir a representación trigonométrica
3 + 2i
–√6 + 4i
–4 – √3i
4 – 3i
Convertir a representación rectangular
8(cos 34º + i sen 34º)
5(cos 142º + i sen 142º)
3.5(cos 245º + i sen 245º)
6(cos 310º + i sen 310º)
Operaciones en forma trigonométrica
Sean los complejos
A = r1(cos 1 + isen 1) y B = r2(cos 2 + isen 2)
El producto A · B es:
A·B = r1r2 (cos 1 + isen 1)(cos 2 + isen 2)
= r1r2 (cos1cos2+isen1cos2+icos1sen2–sen2sen1 )
= r1r2 (cos1cos2–sen2sen1+i(sen1cos2+cos1sen2 ))
De cosa cosb–sena senb=cos(a+b) y sena cosb+cosa senb =
sen(a+b) obtenemos
A·B = r1r2 (cos(1+2) +i(sen(1+2))
El módulo del producto es igual al producto de los módulos y el
argumento del producto es la suma de los argumentos.
Fórmula de De Moivre
Si tenemos n factores de la forma (cos1 + isen1), (cos2 +
isen2), …,(cosn + isen n) el producto es
(cos1+isen1)(cos2+isen2)…(cosn+isen n) =
cos(1+2+…+n) + isen (1+2+…+n)
Si   1  2  ... n, entonces
(cos  + isen )n = (cos n + isen n)
Esta identidad es conocida como fórmula de De Moivre.
Esta fórmula vale también para exponentes negativos
(cos  + isen )–n = (cos (–n)+ isen (–n))
División en forma trigonométrica
Sean los complejos
A = r1(cos 1 + isen 1) y B = r2(cos 2 + isen 2)
El cociente A/B es:
A/B = r1/r2 (cos 1 + isen 1)(cos 2 + isen 2)–1
= r1/r2 (cos 1 + isen 1)(cos (–2)+ isen (–2))
Por la regla de la multiplicación
A/B = r1/r2 (cos(1–2) +i(sen(1–2))
El módulo del cociente es igual al cociente de los módulos y el
argumento del cociente es la resta de los argumentos del
dividendo y el divisor.
Ejercicios
Efectuar las operaciones indicadas
3(cos 30º +isen 30º) · 5(cos 70º +isen 70º)
2(cos 57º +isen 57º) · (–8)(cos 63º +isen 63º)
6(cos 34º +isen 34º) / (–2.5(cos 45º +isen 45º))
9(cos 17º +isen 17º) / 7(cos 123º +isen 123º)
Soluciones trigonométricas
Sean A y X dos complejos
A = r(cos 1 + isen 1)
X = R(cos 2 + isen 2)
La ecuación Xn = A se puede resolver con la fórmula de De
Moivre.
Xn = Rn(cos n2 + isen n2) = A = r(cos 1 + isen 1)
Entonces
Rn = r
R = n√r
Los argumentos de dos complejos son iguales si difieren en un
múltiplo 2p.
n2 = 1 + 2kp
  2kp
  2kp 

X  n R  cos 1
 isen 1

n
n


Ejemplo
Resolver
x4 = –4 = 4(cos p + i sen p)
x = 41/4(cos((p + 2kp)/4)+ i sen((p + 2kp)/4))
Con k = 0, 1, 2, 3
√2·(cos(p/4)+ i sen(p/4)) = √2(√2/2+i√2/2) = 1+i
√2·(cos(3p/4)+ i sen(3p/4)) = √2(–√2/2+i√2/2) = –1+i
√2·(cos(5p/4)+ i sen(5p/4)) = √2(–√2/2–i√2/2) = –1– i
√2·(cos(7p/4)+ i sen(7p/4)) = √2(√2/2–i√2/2) = 1– i
Ejemplo
Resolver
x3 = –8i = 4(cos (–p/2) + i sen (–p/2))
x = 41/3(cos((4k – 1) p/6)+ i sen((4k – 1) p/6)
Con k = 0, 1, 2, 3
2(cos(p/6)+ i sen(p/6)) = √3 – i
2(cos(p/2)+ i sen(p/2)) = 2i
2(cos(7p/6)+ i sen(7p/6)) = – √3 – i √2
Significado geométrico de la
operaciones
La suma de dos complejos genera un paralelogramo en el plano
complejo.
La resta es similar a la suma pero el sustraendo sustituido por el
negativo.
Significado geométrico de la
operaciones (cont.)
La multiplicación puede
interpretarse como la construcción
de dos triángulos semejantes uno
formado por el origen, el extremo
del primer factor y el punto (1, 0) y
el otro formado por el origen,
extremo del segundo factor y
extremo del producto.
La división tiene una interpretación
similar a la multiplicación con dos
tríangulos semejantes uno formado por
el origen, el extremo del divisor y el
punto (1, 0) y el otro formado por el
origen, extremo del dividendo y
extremo del cociente.
Fórmula de Euler
Se puede demostrar que
ei  = (cos  + isen )
Todo número complejo a + bi puede escribirse como
a + bi = ex + i  = ex(cos  + isen ) = |a + bi| ei 
Esta fórmula es conocida como fórmula de Euler. Donde
x  ln
Y
a
2
 b2
b
a
  tan 1  
