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Sesión 1: Sistemas Numéricos
Matemática y Lógica Computacional
Profesor
Miguel Angel Palomino Hawasly
E-mail: [email protected]
Los Números Naturales
• Axioma 1: 1Є N, esto significa que el conjunto N
es diferente del conjunto vacío, ya que contiene
al menos un elemento, el 1.
• Axioma 2: para cualquier elemento n Є N, existe
otro elemento en N, llamado “el siguiente de n”, y
se representa por sig(n), de tal forma que:
sig(1)= 2, sig(sig(1)) = sig(2) = 3, ..etc
• Axioma 3: para todo n Є N, sig(n) ≠ 1
1 es el primer elemento de N
Los Números Naturales
• Axioma 4: si n,m Є N, y sig(n) = sig(m), entonces n = m
El siguiente de un número n, es único
• Axioma 5: si K c N y cumple las siguientes condiciones
a) 1 Є K
b) si m Є K y sig(m) Є K, entonces K = N
El conjunto de los Números Naturales es único
Con base a los axiomas anteriores, se construye el
conjunto de los números naturales N, el cuál es:
N = {1,2,3,4……..}
Números Enteros
• Este conjunto Z, lo conforman números
naturales (enteros positivos), el cero y
números enteros negativos
Z = {….,-3,-2,-1,0,1,2,3,….}
Números Racionales
• se llama número racional a todo número que
puede representarse como el cociente de dos
números enteros es decir, una fracción común
a/b con numerador a y denominador b
distinto de cero. El término «racional» alude a
fracción o parte de un todo
Q = {x|x = n/m, n,m Є Z con m ≠ 0 }
Números Irracionales
• Un número irracional es un número que no
puede ser expresado como una fracción,
donde n y m son enteros, con m diferente de
cero y donde esta fracción es irreducible.
I = {x|x no se puede representar como n/m,
n,m Є Z, con m ≠ 0 }
Los números racionales e irracionales no tienen
elementos en común
Números Reales
• los números reales, se pueden expresar como
la unión de los conjuntos de los números
racionale s Q, y de los irracionales I. El
conjunto de los números reales se denota
como R, y se tendrá que :
R=QUI
El conjunto de los números reales se maneja
como un campo y por tanto satisfacen los
siguientes axiomas de campo
Axiomas de Campo
• Axioma 1: Leyes de cerradura (adición y multiplicación)
para cualquier a,b Є R, se tiene que a+b Є R, ab Є R
La adición y la multiplicación de los números reales, es
otro número real
• Axioma 2: Leyes Conmutativas (adición y multiplicación)
para cualquier a,b Є R, se tiene que a+b = b+a, ab = ba
EI orden de lo sumandos no altera la suma, Igualmente, el
orden de los factores no altera el producto en los números
reales
Axiomas de Campo
• Axioma 3: Leyes asociativas (adición y multiplicación)
para cualquier a,b,c Є R, se tiene que (a+b)+c = a+(b+c)
(ab)c = a(bc)
EI orden de aparición de los sumandos o de los factores,
no altera la suma o el producto respectivamente
• Axioma 4: Ley Distributiva
para cualquier a,b,c Є R, se tiene que (a+b)c = ac+bc
Axiomas de Campo
• Axioma 5: Existencia del elemento identidad (adición y
multiplicación)
para la adición: existe un elemento e Є R, llamado “elemento
de identidad para la suma”, tal que para cualquier a Є R,
a+e= e+a = a, esto es e = 0
para la multiplicación: existe un elemento eЄ R, llamado
“elemento de identidad para la multiplicación”, tal que para
cualquier a Є R, ae= ea = a, esto es e = 1
Axiomas de Campo
• Axioma 6: Existencia del elemento inverso (adición y
multiplicación)
para la adición: para cualquier a Є R, existe un elemento -a Є
R denominado inverso aditivo de a, tal que : a+(-a)= (-a)+a = 0
para la multiplicación: para cualquier a Є R, existe un elemento
1/a Є R denominado inverso multiplicativo de a, tal que :
a.(1/a)= (1/a).a = 1
Axiomas de Campo
• Algunas propiedades que se derivan de los axiomas anteriores
1. si a Є R, entonces -(-a)= a
2. si a Є R, entonces a.0=0.a=0
3. si a,b Є R, entonces (-a)b= -(ab)
4. si a,b Є R, y ab= 0, entonces a=0 o b=0
5. si a,b Є R, entonces (-a)(-b)=ab
6. si a,b,c Є R, y a+b= a+c, entonces b=c
7. si a,b,c Є R, y ab= ac, entonces b=c
División de los Enteros
La división entre dos enteros puede ser exacta o inexacta. Una
división entre dos enteros (en donde el divisor es diferente de
cero),se llama inexacta, si el residuo de dicha división es diferente
de cero, y se llama exacta cuando el residuo es cero.
Ejemplos
18 ÷ 4 tiene residuo 2, por tanto la división es inexacta
21 ÷ 3 tiene residuo 0, por tanto la división es exacta
Divisibilidad: sean a,b Є Z y b ≠ 0, b divide a a, si existe un c Є Z tal que a = bc
Propiedades de la Divisibilidad
Propiedad 1: si a,b Є Z y son divisibles por c Є Z , entonces se cumple que:
a) a + b es divisible por c
b) a – b es divisible por c
c) ab es divisible por c y por c²
d) si n Є N, entonces aᶯ es divisible por cᶯ
e) etc.
Propiedad 2: Si a Є Z y es divisible por b Є Z, y a la vez b es divisible por c Є Z ,
entonces a es divisible por c
Propiedades de la Divisibilidad
Ejemplos:
35 y 45 son divisibles por 5, entonces se tiene que:
35 + 45 también es divisible por 5
35 – 45 también es divisible por 5
35 X 45 también es divisible por 5 y por 25
35⁴ es divisible por 5, 25, 125 y 625
60 es divisible por 15, y 15 es divisible por 3, luego 60 es divisible por 3