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Conceptos Básicos
Geometría
Definición.
 Geometría
( del griego geo,
'tierra'; metrein, 'medir'), rama
de las matemáticas que se ocupa
de las propiedades del espacio. Se
le considera como la ciencia de
la posición, la forma y la
magnitud , y que tiene por objeto
el estudio de la extensión
considerada bajo sus tres
dimensiones línea, superficie
y cuerpo.
Historia- antecedentes
EUCLIDES
GEOMETRÍA
APLICACIONES
PRÁCTICAS
MÉTODO DEDUCTIVO
DEFINICIONES
AXIOMAS Y
POSTULADOS
TEOREMAS
GRIEGOS, EGIPCIOS,
CHINOS, BABILONIOS
Y ROMANOS
LEMASCOROLARIOS
Geometría de Euclídes
Euclídes construye su argumentación basándose en un conjunto de axiomas
(principios o propiedades que se admiten como ciertas por ser evidentes y a
partir de los cuales se deduce todo lo demás) que Euclídes llamó
postulados. Los famosos cinco postulados de Euclídes, que ofrecemos a
continuación, son :
I.- Dados dos puntos se pueden trazar una recta que los une.
II.- Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta
ilimitada en la misma dirección.
III.-Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio
cualquiera .
IV.-Todos los ángulos rectos son iguales
V.-Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela.
Este ultimo, al parecer no satisfacía al propio Euclídes, ha sido el más
controvertido y dio pie en los siglos XVIII y XIX al nacimiento de las
Geometrías no euclideanas.
EJEMPLOS: atención al M. Deductivo.
Ejemplo1: Si dos rectas diferentes se intesectan entonces la intersección es
un punto
Hipótesis
Dos rectas se intersectan
Tesis
La intersección de dos rectas diferentes es
un punto
El Método deductivo va de lo general a lo
Particular
Ejemplo2:
Si el triángulo es rectángulo entonces tiene dos ángulos agudos
Hipótesis
El triángulo es rectángulo
Tesis
El triángulo tiene dos ángulos agudos
Ejemplo3: El cuadrilátero es rectángulo si tiene cuatro ángulos iguales
Hipótesis
El cuadrilátero tiene cuatro
ángulos iguales
Tesis
El Cuadrilátero es rectángulo
Aplicaciones que puede tener la Geometría en la
actualidad.
Podemos mencionar algunas entre las muchas aplicaciones que puede
tener la geometría en el mundo moderno:
1 .Geometría Plana
4 .Dibujo
2 .Geometría del espacio
5 . Fractales
3 .Geometría No Euclideana
6 .Geometría de Variedades
8 .Geometría Computacional
7 .Modelado
9 .Juegos Geométricos:
tangram-origami
Formas geométricas en la naturaleza
Formas geométricas en nuestro mundo
Conceptos Básicos de la Geometría
Elementos no definidos: Punto,
Recta y Plano.
Definición de: Espacio, Puntos
colineales y coplanares.
Rayo, segmento y punto medio de
un segmento.
Ejemplos.
Punto, Recta y Plano
(CONCEPTOS NO DEFINIDOS)
 El punto es el ente más
pequeño en geometría.
No tiene medida y lo
representamos a través
de una marca o “equis”
pequeña. Y puede
denotarse con una letra
mayúscula de imprenta.
P
x
.Q
•
La recta es un conjunto
de puntos continuos (sin
huecos). Esto es
continua y que se
extiende en dos
direcciones.
P
.
Q
.
NOTACION: PQ
o l
l
•
Plano se entiende
como una superficie
“fina” que se extiende
indefinidamente en
todas direcciones
Espacio
 Definición. Es el conjunto de todos los puntos.
¿Te imaginas un semí -plano?
. (X, Y,Z)
…… ¿Y un semí-espacio?
Intenta hacer una
“buena definición” de
ambos términos
Puntos colineales y coplanares
 Puntos colineales son aquellos
que están en una misma recta.
 Puntos no colineales son aquellos
que no están en la misma recta.
•
Puntos coplanares son aquellos
puntos que están en un mismo plano
•
Puntos no coplanares son aquellos
que no están en un mismo plano.
3
2
1
1
¿En cuales de las
dos mesas las
moscas son
coplanares?
4
5
¿Los autos 1-2 y 3 son
colineales?
¿Y los autos 1-2 y 5?
2
Los puntos colineales son
puntos que están en la
misma recta.
Los puntos coplanares
son puntos que se
encuentran en el mismo
plano.
Las rectas
intersecantes son dos
rectas con un punto
común.
Las rectas paralelas
son rectas que están
en el mismo plano y
no se intersecan.
Las rectas concurrentes
son tres o más rectas
coplanares que tienen un
punto en común.
Algunas figuras geométricas básicas
Un segmento, 𝐴𝐵, es el
conjunto de los puntos
A y B y de todos los
puntos qué están entre
A y B. Los puntos A y B
se llaman extremos.
Un rayo, 𝐴𝐵 , es un
subconjunto de una
recta que contiene un
punto A dado y todos los
puntos que están en el
mismo lado de A, como
B. El punto A se llama
extremo.
Un ángulo,  ABC, es la
unión de dos rayos no
colineales que tienen el
mismo extremo.
Un triángulo, ∆ABC, es
la unión de tres
segmentos
determinados por tres
puntos no colineales.
Un cuadrilátero, es la
unión de cuatro
segmentos
determinados por
cuatro puntos, entre
los cuales no hay tres
que sean colineales.
Los segmentos se
intersecan sólo en los
extremos.
Un círculo es el
conjunto de todos los
puntos de un plano que
están a una distancia
fija de un punto del
plano.
Segmento y Punto Medio de un segmento
Dados dos puntos A y B Definimos:
 Un Segmento AB como el conjunto de puntos A y B , y de todos los
puntos que están entre A y B. Los puntos de A y B se llaman extremos de
AB
 El número AB se llama la longitud de AB.
A
B
SEGMENTO AB
Decimos que M es el punto medio de AB, si M esta entre A y B y AM=MB
A
M
B
Punto Medio de
un SEGMENTO
AB
Rayo
Dados dos puntos A y B Definimos:
 Un rayo AB es el conjunto de puntos que es la reunión de:
1) el segmento AB y
2) el conjunto de puntos C, tal que B esta entre A y C (A-B-C)
A
.
B
C
RAYO AB
Si A esta entre B y C , entonces AB y AC se llaman rayos opuestos
B
A
C
Ejemplo
D, E y F son tres puntos de una recta. ¿Cuántos rayos
determinan? ¿Y cuántos segmentos ?
Respuesta: Consideremos los tres
puntos D, E y F y ubiquemos los
rayos posibles
D
E
Mostremos los rayos que
resultan:
DE
EF
FD
ED
F
DE es el
mismo
rayo DF
* Como ejercicio visualiza y escribe los posibles segmentos
Ejercicios Propuestos
¿Tendrán que ser cuatro puntos coplanares?. De ejemplo.
¿Si tres puntos son colineales entonces son coplanares?
Muestre a través de un ejemplo.
Si RS es opuesto a RT ¿Cuál de los puntos R, S y T esta entre
los otros dos?
Si P, Q y R son puntos no colineales ¿Cuántos segmentos
determinan? Y ¿Cuántos rayos determinan?