Download Teoría de Conjuntos

ÁLGEBRA BÁSICA
PRIMER SEMESTRE
UNIDAD I
TEORÍA DE CONJUNTOS
LE. SARA INÉS DE LA LLATA
1.1 Notación y Representación de
Conjuntos
Cuando el hombre primitivo se agrupa en
sociedades, necesita distinguir entre lo que le
pertenece y lo que no es suyo y surge
entonces un elemento matemático :
COLECCIÓN O CONJUNTO DE OBJETOS
HISTORIA
La Teoría de Conjuntos fue
estudiada
por
el
Matemático
Alemán
George
Ferdinand
Cantor (1845 – 1918)
Otro matemático que
contribuyó a la Teoría
fue el Inglés John Venn
(1834 – 1923) a quien
se deben los diagramas
que llevan su nombre.
HISTORIA
La representación de los
conjuntos de forma
geométrica
fue
ampliada por Augustus
de Morgan.
En tanto que George
Boole, introduce las
operaciones de Unión,
Intersección
y
Complemento
de
Conjuntos.
1.1.1 DEFINICIÓN
• Conjunto:
• Colección de objetos bien definida que se
entiende se presentan juntos. Estos objetos
se llaman miembros o elementos.
• Colección de objetos, que tienen al menos
una propiedad común, por la cual se dice que
pertenecen a dicho conjunto específico.
Ejemplos
• A) El conjunto de los 12 meses del año; B)
Números pares menores que 10; C) Números de
tres dígitos, no repetidos, que se pueden formar
con los números 2, 6 y 7; D) Las letras del
abecedario, E) Los alumnos del primer semestre
de Bachillerato de UPAEP, F) Las partes del auto
que forman un Bora.
• Nótese que en algunos casos el conjunto
consiste en objetos físicos reales, en otros los
elementos son abstractos, es decir existen sólo
como ideas.
1.1.2 NOTACIÓN: Expresión y
Representación de Conjuntos
Representación
Expresión
• Usaremos letras mayúsculas
A, C, X, Z.
• Incluiremos sus elementos
dentro de llaves { }
separados por comas.
• El símbolo  significa “es
elemento de”.
• El símbolo  significa “no es
elemento de”
• A = {2,4,6,8} o A = {2,8,6,4}
“Forma extensiva o
enumerativa”
• A = {x  x es un número par
menor que 10}
“Forma comprensiva”
• A
2
6
4
8
• “Diagrama de Venn ”
¿CÓMO SE LEE LA FORMA COMPRENSIVA QUE
DESCRIBE LA ENUMERATIVA, TAMBIÉN LLAMADA
TABULAR?
A = {xx es un número par menor que 10}
“A es el conjunto formado por elementos x, tal
que x es un número par menor que 10”
B = {xx son números de tres dígitos diferentes,
que pueden formarse con 2, 6 y 7}
“B es el conjunto formado por elementos x, tal
que x, son números de tres dígitos diferentes
que pueden formarse con los números 2, 6 y 7”
PERMUTACIONES
El Conjunto B esta formado por Permutaciones
del número 267, es decir por aquellos números
que usan los tres dígitos en diferente posición,
por tanto también puede escribirse:
B = {xx son permutaciones del número 267}
“B es el conjunto formado por elementos x, tal
que x, son todas las permutaciones del número
267”
EJERCICIO DE COMPRENSIÓN
a) K = {xx son permutaciones del número 1357}
Escribirlo de forma enumerativa y cómo se lee.
Calculamos el número de elementos mediante el
factorial de los dígitos, es decir 4 y se escribe
como: 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
K = {1357, 1375, 1537, 1573, 1735, 1753, 3157, 3175,
3517, 3571, 3715, 3751, 5137, 5173, 5317, 5371,
5713, 5731, 7135, 7153, 7315, 7351, 7513, 7531}
Pertenencia
• Cuando un elemento
forma parte de un
conjunto, éste se
identifica mediante el
símbolo .
Ejemplo:
A = {2,4,6,8}
Por lo tanto 4  A
Se lee 4 es elemento de
A
• Si un elemento no
pertenece a un
conjunto, éste se
identifica mediante
el símbolo .
Ejemplo:
A = {2,4,6,8}
Por lo tanto 1  A
1 no es elemento de A
USANDO LA PERTENENCIA TAMBIÉN PODEMOS
LEER CONJUNTOS DE DIFERENTE MANERA
Existen conjuntos de números que son múltiplos de
otro, por ejemplo el conjunto de números múltiplos
de 2 o pares, se denota de la siguiente manera:

2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …}
Sabiendo esto podemos reescribir el conjunto:
A = {x  x es un número par menor que 10} como:

A = {x  2  x < 10}
“A es el conjunto de elementos x que pertenecen a los
múltiplos de 2, tal que x es menor que 10”
EJERCICIO DE COMPRENSIÓN
a) M = {xx son permutaciones de la palabra amor}
Escribirlo de forma enumerativa y cómo se lee.

b) 3 = {
}

c) 5 = {
} Dibujar el
Diagrama de Venn.
d) “R es el conjunto de elementos x que pertenecen a
los múltiplos de 3, tal que x es menor que 360”
Escribirlo de forma enumerativa y comprensiva.