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Tema:
3
Multiplicación de números enteros
1
Matemáticas 1.º
Multiplicación de números enteros de distinto signo
Ejemplo:
Beatriz gasta 6 euros cada vez que va al cine. ¿Cuánto dinero ha
gastado después de haber ido tres veces?
–6
+3
– 18
Cada vez que va al cine gasta 6 euros
Va tres veces
Gasta: 3 · 6 euros = 18 euros
Gráficamente:
–6
–24
–18
–6
–12
(– 6) · (+ 3) = – 18
–6
–6
0
+6
+12
El producto de dos números enteros de distinto signo es un número
entero negativo, cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos
de los factores.
Otros ejemplos:
(a) (–7) ·(+ 9) = – 63 (b) (+12) · (–12) = –144
(c) (– 13) · (+4)= –52
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Multiplicación de números enteros
2
Matemáticas 1.º
Multiplicación de números enteros
Para multiplicar números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven.
Hay cuatro posibilidades:
Observa:
Regla de los signos:
(+7) · (+ 9) = +(7·9) = +63
+ · + = +
(+7) · (– 9) = –(7·9) = –63
+ · – = –
(–7) · (+ 9) = –(7·9) = –63
– · + = –
(–7) · (– 9) = +(7·9) = +63
– · – = +
1º. Se halla el producto de sus valores absolutos.
2º. El resultado es positivo(+) si los factores son del mismo signo.
El resultado es negativo (–) si tienen distinto signo.
Otros ejemplos:
(a) (+5) · (– 1) = –55
(b) (–5) ·(+7) = –35
(c) (–3) · (–9) = 27
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Multiplicación de números enteros
3
Matemáticas 1.º
División exacta de números enteros
Para dividir números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven.
Pueden darse cuatro casos:
Regla de los signos:
(+21) : (+ 7) = +(21 : 7) = 3
+ : + = +
(+32) : (– 4) = –(32 : 4) = –8
+ : – = –
(–63) : (+ 9) = –(63 : 9) = –7
– : + = –
(–48) : (– 8) = +(48 : 8) = 6
– : – = +
Es la misma
que para la
multiplicación
Otros ejemplos:
(a) 15 : (– 5) = – (15 : 5) = –3
(c) –35 : 7 = –5
(b) (–54) : (+6) = –(54 : 6) = –9
(d) – 72 : (–9) = 8
Observación: El paréntesis es necesario cuando se divide por un
número negativo. En cualquier otro caso es optativo.
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Multiplicación de números enteros
4
Matemáticas 1.º
Propiedad conmutativa
De la suma Observa:
7 +(– 12) = – 5
7 +(– 12) = (–12) + 7
(– 12) + 7 = – 5
La suma de dos números enteros no varía cuando se cambia el orden de los sumandos.
Del producto Observa:
4 ·(– 5) = – 20
4 · (– 5) = (– 5) · 4
(– 5) · 4 = – 20
El producto de dos números enteros no varía cuando se cambia el orden de los factores.
Otros ejemplos:
Suma
Producto
(–5) + 7 = 7 +(–5) = 2
2 + (–13) = (–13) + 2 = –11
(– 3) · (–9) = (– 9) · (–3) = 27
(+6) · (–8) = (–8) · (+6) = –48
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Multiplicación de números enteros
5
Matemáticas 1.º
Propiedad asociativa de la suma
La suma 10 + (–5) + (–2)
puede hacerse de dos maneras:
1º. Sumando los dos primeros números al tercero:
[10 + (–5)] + (–2) = 5 + (–2) = 3
2º. Sumando el primer número a los otros dos:
10 + [(–5) + (–2)] = 10 + (–7) = 3
Luego: [10 + (– 5)] + (– 2) = 10 + [(– 5) + (– 2)]
Propiedad
asociativa
de la suma
La suma de tres números enteros no varía cuando
se asocian los términos de modos distintos
Otro ejemplo:
[(–5) + 17] + (–8) =
= 12
+ (–8) = 4
(–5) + [17 + (–8)] = =
–5 +
9
=4
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Multiplicación de números enteros
6
Matemáticas 1.º
Propiedad asociativa del producto
El producto (–12) · 8 · (–5)
puede hacerse agrupando los factores de dos
formas distintas:
1º. (los dos primeros) · (el tercero):
[(–12) · 8] · (–5) = (–96) · (–5) = 480
2º. (el primero) · (el producto de los otros dos):
(–12) · [8 · (–5)] = (–12) · (–40) = 480
Propiedad
asociativa
del producto
Luego: [(–12) · 8] · (–5) = (–12) · [8 · (–5)]
El producto de tres números enteros no varía cuando
se asocian los términos de modos distintos
Otro ejemplo:
[(–5) · 7] · (–3) =
= –35 · (–3) = 105
(–5) · [7 · (–3)] =
= –5 · (–21) = 105
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Multiplicación de números enteros
7
Matemáticas 1.º
Propiedad distributiva
El valor de la expresión –5 · (–3 + 7)
puede calcularse de dos formas distintas:
Una forma:
Otra forma:
Hacemos primero la suma y a
continuación la multiplicación.
–5 · (–3 + 7) = –5 · 4 = –20
Multiplicamos el factor por cada
sumando y después sumamos.
–5 · (–3 + 7) = –5 · (–3) +(–5) · 7
= +15 + (–35) = –20
El resultado es el mismo
Luego: –5 · (–3 + 7) = –5 · (–3) + (–5) · 7
Esta es la propiedad
distributiva de la multiplicación
respecto a la suma
El producto de un número entero por una suma es igual a la suma
de los productos del número entero por cada uno de los sumandos.
Otro ejemplo:
15 · [–10 +8 + (–17)]
Sumando antes:
15 · [–10 +8 + (–17)] = 15 · (–19) = –285
Multiplicando por cada sumando:
15 · [–10 +8 + (–17)] = 15 · (–10) + 15 · 8 + 15 · (–17) = –150 + 120 + (–255) = –285
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Multiplicación de números enteros
8
Matemáticas 1.º
Factor común
En la suma
–3 · 7 + (–3) · (–2)
los sumandos son productos.
En ambos se repite el factor –3.
Hemos sacado
factor común.
Decimos que –3 es factor común.
Aplicando la propiedad distributiva, leyéndola de derecha a izquierda.
Podemos escribir:
–3 · 7 + (–3) · (–2) = –3 · [7 + (–2)]
Otros ejemplos:
(a) 5 · (–10) + 5 · (–17)
(b) –6 · (–12) + (–6) · 17 + (–6) · (–9)
5 · [–10 + (–17)] = 5 · (–27) = –135
El factor común es –6.
–6 · [(–12) +17 + (–9)] = –6 · (–4) = –24
Aparentemente no hay factor común. Pero
(c) –9 · 7 + (–9) · (–15) + 27 · 12
como 27 = –9 · (–3), se tiene:
–9 · 7 + (–9) · (–15) + (–9 )· (–3) · 12 = –9 · [ 7 + (–15) + (–3 )· 12] = –9 · (–44) = 396
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Multiplicación de números enteros
9
Matemáticas 1.º
Operaciones combinadas. Sin paréntesis
Ejemplos:
(a) La operación
–5 · 6 + (–4) · 8 +30
–30 +
(b) Para hallar
(–32) + 30 = –32
–30 : 6 + (–3) · 4 + 14
–5 +
debe realizarse en el siguiente orden:
Primero hemos hecho los
productos y después las sumas
hay que seguir el siguiente orden:
(–12) + 14 = –3
Primero divisiones y productos,
después las sumas
El orden de las operaciones es: 1º Multiplicaciones y divisiones.
2º Sumas y restas
Otros ejemplos:
1º –6 · (–4) + (–12) · 4 + (–5) · (–9) = 24 – 48 + 45 = 21
Operando en
2º. 8 ·(– 6) – 3 · (12 –17)
–48 – 3 ·(–5) = –48 + 15 = –33
el paréntesis
Aplicando la propiedad distributiva 8 ·(– 6) – 3 ·12 –3 · (–17) = –48 – 36 + 51 = –33
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Matemáticas 1.º
Operaciones combinadas. Sin paréntesis
Ejemplos:
(a) La operación
–5 · 6 + (–4) · 8 +30
–30 +
(b) Para hallar
(–32) + 30 = –32
–30 : 6 + (–3) · 4 + 14
–5 +
debe realizarse en el siguiente orden:
Primero hemos hecho los
productos y después las sumas
hay que seguir el siguiente orden:
(–12) + 14 = –3
Primero divisiones y productos,
después las sumas
El orden de las operaciones es: 1º Multiplicaciones y divisiones.
2º Sumas y restas
Otros ejemplos:
1º –6 · (–4) + (–12) · 4 + (–5) · (–9) = 24 – 48 + 45 = 21
Operando en
2º. 8 ·(– 6) – 3 · (12 –17)
–48 – 3 ·(–5) = –48 + 15 = –33
el paréntesis
Aplicando la propiedad distributiva 8 ·(– 6) – 3 ·12 –3 · (–17) = –48 – 36 + 51 = –33
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Multiplicación de números enteros
11
Matemáticas 1.º
Operaciones combinadas. Resumen
Resumimos con los siguientes casos:
Caso 1:
–12 + (–3) · (+4) + (–9)
= –12 + (–12) + (–9) = –33
Caso 2:
[–12 + (–3)] · (+4) + (–9)
= (–15) · (+4) + (–9) = –60 + (–9) = –69
Caso 3:
–12 + (–3) · [(+4) + (–9)]
= –12 + (–3) · (–5) = –12 + 15 = 3
Caso 4:
[–12 + (–3)] · [(+4) + (–9)] = –15 · (–5) = 75
Observa que en todos los casos
hay los mismos números y operaciones.
Cambia la situación de los paréntesis
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12
Matemáticas 1.º
Resolución de problemas
Problema 1: La suma de dos números enteros es igual a –19 y su producto
es igual a 60. ¿Cuáles son esos números?
Primero:
Tantear para comprender mejor
Si los números suman – 19, uno podría ser –29 y el otro 10.
Entonces, su producto sería: –29 · 10 = –290.
No puede ser, pues su producto debe ser 60.
¿Has advertido que
para que el producto sea
60, los dos números deben
ser negativos?
¿Por qué no valdrían dos números positivos?
Segundo:
Hacer una tabla
Negativos que sumen 19 1, 18 2, 17 3, 16 4, 15 5, 14 6, 13
Negativos de producto 60 1, 60 2, 30 3, 20 4, 15 5, 12
Luego, los números buscados son –4 y –15.
Tercero:
Comprobación.
La suma es: –4 + (–15) = –19. Su producto vale: (–4) · (–15) = 60
Que son las condiciones requeridas.
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13
Matemáticas 1.º
Resolución de problemas
Problema 2: En un depósito hay 800 litros de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el
depósito 25 litros por minuto, y por la parte inferior, por otro tubo, salen 30 litros por minuto.
¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento?
Primero:
Leer el enunciado y resumirlo.
Hay 800 l, entran 25 y salen 30. ¿En 15 min.?
+25 durante 15 min.
Segundo:
Hacer un dibujo explicativo.
Hay 800 l
Tercero:
Hacer los cálculos.
-30
800 + 25 · 15 – (30 · 15) = 800 + 375 – 450 = 725
Cuarto:
Comprobación.
Por cada minuto que pasa, el depósito pierde 5 litros: (25 – 30 = –5)
En 15 minutos: 15 · (– 5) = –75.
Quedan entonces: 800 – 75 = 725.
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