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Tema:
4
Los números enteros
1
Matemáticas 1º
Los números enteros
+20
+7
–7
Los juegos olímpicos
empezaron en el año 776
antes de Cristo
– 250
+10
–8
Buena temperatura: + 20 ºC
Carlos tiene 10 euros
– 776
0
+8
El submarino navega a 250 m
bajo el nivel del mar
Laura debe 8 euros
Los números naturales se consideran enteros positivos:
Da lo mismo escribir 4 que +4.
Por cada entero positivo se añade el correspondiente
entero negativo: +12 … –12; 1545 ...–1545; ...
Los números enteros
están formados por:
enteros positivos,
enteros negativos
y el cero
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Los números enteros
2
Matemáticas 1º
Representación de los números enteros
Es útil representar los números enteros en la recta. Se siguen los pasos:
1º. Se traza una recta y se elige un punto para representar el 0.
2º. A la derecha del 0 se representa el +1.
3º. La distancia entre 0 y +1 será la que
exista entre cada dos enteros consecutivos.
Negativos
–5
–4
–3
–2
Positivos
–1
0
+1
+2
+3
+4
+5
4º. A la izquierda del 0 se
4º. A la derecha del 0 se
colocan los enteros negativos.
colocan los enteros positivos.
+6
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Los números enteros
3
Matemáticas 1º
Valor absoluto de un número entero
Los números +2 y –2 están a la misma distancia del cero:
–5
–4
–3
–2
–1
0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
Es evidente que +2 y –2 están asociados al número natural 2. Por eso:
El número natural 2 se llama valor absoluto de + 2 y –2.
Se indica así:
2  2  2
Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que sigue al signo.
Se indica escribiéndolo entre barras
Otro ejemplo:
4  4  4
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Los números enteros
4
Matemáticas 1º
Suma de números enteros del mismo signo
Enteros positivos
(+2) + (+3) = +(2 + 3) = +5
Observa:
+3
+2
–2
–1
0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
(+16) + (+14) = +30
(+5) + (+21) + (+7) = +33
(+28) + (+56) = +84
Enteros negativos
(–2) + (–3) = – (2 + 3) = –5
Observa:
–3
–6
–5
–4
–2
–3
–2
–1
0
+1
(–35) + (–72) = –107
(–15) + (–81) + (–93) = –189
+2
(–15) = (–8) + (–7)
Para sumar enteros del mismo signo:
1.º Se suman sus valores absolutos.
2.º Al resultado se añade el signo que tienen.
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Los números enteros
5
Matemáticas 1º
Suma de números enteros de distinto signo
Teresa y Miguel hacen cuentas ...
Nos han dado
12 euros
(+12) + (–9) = +3
Y hemos gastado
9 euros
Les quedan 3 euros
Carola y Pablo también hacen sus cuentas ...
Nos han dado
18 euros
Y hemos gastado
19 euros
(+18) + (–19) = –1
¿Les queda o deben dinero?
Deben 1 euro
(Observa que el resultado es negativo,
como el número de mayor valor absoluto).
Para sumar dos números enteros de distinto signo:
1.º Se restan sus valores absolutos, el menor del mayor.
2.º Al resultado se le pone el signo del sumando de mayor valor absoluto.
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Los números enteros
6
Matemáticas 1º
Suma de varios números enteros
Veamos un ejemplo:
(+100) + (–40) + (–70) + (+50) = (+100) + (+50) + (–40) + (–70) =
= (+150) + (–110) = +40
Para sumar varios números enteros:
1.º Se suman separadamente los positivos y los negativos.
2.º Se suman el número positivo y el negativo obtenido.
Otros ejemplos:
(+5) + (–4) + (+11) + (–7) = (+5) + (+11) + (–4) + (–7) = (+16) +(–11) = +5
(+15) + (–8) + (–31) + (+7) = (+15) + (+7) + (–8) + (–31) = (+22) +(–39) = –17
Observa que sumamos por separado los positivos y los negativos.
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Los números enteros
7
Matemáticas 1º
Opuesto de un número entero
4 y –4 son dos números enteros simétricos respecto de 0. Tiene el mismo valor
absoluto, pero distinto signo. Se llaman opuestos.
4 = op.(–4)
–4 = op. (+4)
Opuesto del opuesto:
–6
–5
–4
op.(–5) = 5
–3
–2
–1
0
+1
op.(5) = –5
+2
+3
+4
+5
+6
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número
a
8
b
–2
a+b
6
–7
–5
–12
op. (a)
–8
7
op. (b)
2
5
op. (a+b)
–6
op. (a) + op. (b)
–6
12
12
Observa que el opuesto de la suma es la suma de los opuestos.
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Los números enteros
8
Matemáticas 1º
Resta de números enteros
Fíjate:
(+9) – (+4) = 9 – 4 = 5
Que es lo mismo que:
9 – 4 = 9 + op.(4) = 9 + (– 4) = 5
Otros casos:
(+9) – (–4) = 9 + 4 = 13
(–9) – (+4) = –9 + (– 4) = –13
(–9) – (–4) = –9 + 4 = –5
Para restar dos números enteros se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.
Algunos ejemplos:
(+8) +(–8) = (–8) + (+8) = 0. (Observa que un número más su opuesto vale 0).
(–7) + (–8) – (–17) + (–10) = –7 – 8 + 17 – 10 = – 25 + 17 = –8
–7 – 12 + 32 – 19 + 49 = –7 – 12 – 19 + 32 + 49 = – 38 + 81 = 43
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Los números enteros
9
Matemáticas 1º
El uso de paréntesis
Vamos a calcular:
9 – (12 + 3)
1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis: 9 – (12 + 3) = 9 – 15 = –6
2º. También se puede hacer así:
9 – (12 + 3) = 9 + op. (12 + 3) = 9 + op. (12) + op. (3) = 9 – 12 – 3 = 9 – 15 = –6
Como ves, sale el mismo resultado.
Calculamos ahora:
12 – (10 – 6)
1º. Operando antes el paréntesis:
Son iguales
12 – (10 – 6) = 12 – 4 = 8
2º. También se puede hacer así:
12 – (10 – 6) = 12 + op. (10 – 6) = 12 + op. (10) + op. (–6) = 12 – 10 + 6 = 8
Cuando un paréntesis tiene delante el signo menos (–) se puede operar de dos maneras:
1º. Haciendo las operaciones del paréntesis.
2º. Suprimiendo el paréntesis cambiando el signo a los números que contiene.
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Los números enteros
10
Matemáticas 1º
Multiplicación de números enteros
Un entero positivo por un entero:
La multiplicación puede expresarse como una suma:
7 x 8 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 56
5 x (–7) = (–7) + (–7) + (–7) + (–7) + (–7) = –35
–8 x 4 = 4 x (–8) = (–8) + (–8) + (–8) + (–8) = –32
Dos enteros negativos:
Cada día gasta 8 euros
Deja de ir a la playa 5 días
Ahorra lo que hubiera gastado si
hubiera ido: 5 · 8 = 40 euros
Luís gasta 8 euros cada vez que va a la playa.
Si no va en cinco días, ¿cuánto dinero ahorra?
–8
–5
40
(–8) · (–5) = 40
El producto de dos números enteros es un número entero:
Positivo cuando los factores tienen el mismo signo.
Negativo, si los dos factores son de signo distinto.
Su valor absoluto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.
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Los números enteros
11
Matemáticas 1º
Regla de los signos
Para multiplicar números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven.
Hay cuatro posibilidades:
Regla de los signos:
(6)  (9)   (6  9)   54
  
(6)  (9)   (6  9)   54
  
(6)  (9)   (6  9)   54
   
(6)  (9)   (6  9)   54
   
Observa:
1º. Se halla el producto de sus valores absolutos.
2º. El resultado es positivo (+) si los factores son del mismo signo.
El resultado es negativo (–) si tienen distinto signo.
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Los números enteros
12
Matemáticas 1º
Producto de varios enteros
Calculamos –4 x 8 x (–3)
Observa:
–4 x 8 x (–3) = –32 x (–3) = 96
Se obtiene
el mismo
resultado
–4 x 8 x (–3) = –4 x (–24) = 96
Luego:
Para multiplicar varios números enteros se agrupan de dos en dos en el
orden que se prefiera y se realizan las multiplicaciones por parejas.
Otros ejemplos: 1º. El producto –5 x 7 x (–3) puede hacerse:
–5 x 7 x (–3) = –35 x (–3) = 105
–5 x 7 x (–3) = –5 x (–21) = 105
2º. 5 x 8 x (–4) x 3
5 x 8 x (–4) x 3 = 40 x (–12) = –440
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Los números enteros
13
Matemáticas 1º
División de números enteros
¿Cuál es el número que multiplicado por –8 es igual a 32? –8 x ? = 32
El número buscado debe ser negativo y de valor absoluto igual a 32 : 8 = 4.
Luego el número es –4.
Efectivamente –8 x (–4) = 32
El cociente de dos números enteros (dividendo y divisor) es un número:
Positivo, si el dividendo y el divisor tienen el mismo signo.
Negativo, si el dividendo y el divisor tienen distinto signo.
Su valor absoluto es igual al cociente de los valores absolutos
del dividendo y del divisor.
Por tanto, para dividir números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven.
Pueden darse cuatro casos:
Regla de los signos:
(+21) : (+7) = + (21 : 7) = 3
+ : + = +
144 : (–12) = –(144 : 12) = –12
+ : – = –
(–48) : (+6) = – (48 : 6) = –8
– : + = –
(–72) : (–8) = + (72 : 8) = 9
– : – = +
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Los números enteros
14
Matemáticas 1º
Técnicas y estrategias
PROBLEMA
TANTEA
La suma de los valores absolutos de dos números enteros es igual a
84 y la suma de los números es igual a 36. ¿Cuáles son los números?
Si los números fueran 4 y –7, tendríamos que:
4   7  4  7  11
Suma de valores absolutos:
No puede ser, los
resultados no coinciden.
Suma de los números:
4 + (–7) = –3.
Por ser su suma igual a 36, el número de mayor valor absoluto es positivo
ELIGE UNA ESTRATEGIA
Un número negativo
–
Representamos la situación sobre la recta numérica:
Sumando positivo
+
36
0
Suman 36
36
Suma de valores absolutos: 84
Luego 84 – 36 es igual al doble del valor absoluto del sumando negativo.
RESUELVE EL PROBLEMA
84 – 36 = 48; la mitad es 24.
24 será el valor absoluto del sumando negativo. Por tanto será – 24. Y el otro número,
24 + 36 = 60
COMPRUEBA
 24  60  24  60  84
– 24 + 60 = 36
Correcto.
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