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Tema: 8 Gráficas, estadística y azar 1 Matemáticas 1º Recuerda. Ejes de coordenadas Observa: La nariz del payaso está en el punto (3, 2). Para encontrar la nariz hay que recorrer: 3 unidades sobre el eje horizontal. 2 unidades sobre el eje vertical. Cualquier punto del plano tiene dos coordenadas. Para situar un punto en el plano se necesitan dos rectas perpendiculares que se llaman ejes de coordenadas. El punto de corte de los ejes se llama origen. La primera coordenada (abscisa) se mide sobre el eje horizontal. La segunda coordenada (ordenada) se mide Origen sobre el eje vertical. Eje de ordenadas O Eje de abscisas IMAGEN FINAL 8 Gráficas, estadística y azar 2 Matemáticas 1º Tablas y gráficas (I) María tiene que hacer unas fotocopias de un trabajo y le han dicho que cuestan 3 céntimos de euro cada una. Completa la siguiente tabla: 1 Número de fotocopias Precio en céntimos de € 3 2 6 3 9 4 ... 12 5 ... 15 6 7 ... 21 ... 18 8 24 ... Cada fotocopia vale 3 céntimos de euro, luego los valores que faltan son: Precio en céntimos de € Tema: 36 33 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 0 Hemos obtenido los pares de números (1, 3), (2, 6), (3, 9 ), … (8, 24). Cada par de números se puede representar gráficamente en el plano. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 La representación gráfica de estos pares es un conjunto de puntos aislados del plano. Número de fotocopias IMAGEN FINAL 8 Gráficas, estadística y azar 3 Matemáticas 1º Tablas y gráficas (II) Un kilogramo de patatas cuesta 36 céntimos de euro. Completa la siguiente tabla: 1 Peso en kilogramos Precio en céntimos de € 36 2 3 4 5 6 7 8 72 108 144 ... 180 ... 216 ... 252 ... 288 ... Los valores que faltan son: 144, 180, 216 ... Precio en céntimos de € Tema: 324 288 252 216 180 144 108 72 36 0 Los pares obtenidos son: (1, 36), (2, 72), (3, 108), … (8, 288). 1 2 (2,5, 90) Si damos valores intermedios al peso, (por ejemplo 2,5 kg) obtenemos valores intermedios del precio (90 céntimos de euro). Par (2,5, 90). 3 Resulta así una línea en lugar de puntos aislados. 4 5 6 7 8 Peso (kg) IMAGEN FINAL Tema: 8 Gráficas, estadística y azar 4 Matemáticas 1º Lectura de gráficas El mástil de una bandera produce una sombra que va variando según la hora del día, con arreglo a la gráfica: De la observación de esta gráfica podemos deducir: a) Cada cuadradito del eje horizontal representa media hora. b) Cada cuadradito del eje vertical representa 2,5 metros. c) A las 8 h la sombra medía 22,5 metros; a las 10 h 30 min, era de 10 m. d) A las 12 h la sombra es mínima; es de unos 8 metros. IMAGEN FINAL Tema: 8 Gráficas, estadística y azar 5 Matemáticas 1º Lectura de gráficas. Para practicar En las gráficas siguientes se da la velocidad de dos coches, uno moderno y otro antiguo, durante los 30 primeros minutos. Observando las gráficas podemos deducir: Moderno a) El coche moderno salió a 80 km/h y mantiene una velocidad constante. b) A los 10 min, a los 20 min y a los 30 min, su velocidad es de 80 km/h. Antiguo c) El coche antiguo salió a 40 km/h. d) Tarda 20 min en alcanzar los 80 km/h. e) A los 25 min continúa a 80 km/h. 40 km/h IMAGEN FINAL Tema: 8 Gráficas, estadística y azar 6 Matemáticas 1º Recuento de datos El número de calzado de los alumnos y alumnas de una clase es: 36, 34, 35, 40, 36, 37, 40, 41, 35, 37, 37, 38, 37, 39, 37, 38, 42, 37, 35, 34, 35, 39, 36, 41, 37, 35, 39, 34, 36, 37 Para efectuar el recuento formamos la siguiente tabla Nº de calzado Recuento Nº de alumnos 34 35 36 37 38 39 40 41 42 /// //// //// //// /// // /// // // / 3 5 4 8 2 3 2 2 1 30 IMAGEN FINAL 3 alumnos usan el número 34. Se dice que la frecuencia absoluta del dato 34 es 3. La frecuencia absoluta del dato 35 es 5. La suma de las frecuencias absolutas debe ser 30, que es e1 número total de alumnos. 8 Gráficas, estadística y azar 7 Matemáticas 1º Diagrama de barras Los pares de valores asociados a la tabla que resume los datos del número de calzado de los alumnos y alumnas de una clase es: Nº de calzado Nº de alumnos 34 35 36 37 38 39 40 41 42 3 5 4 8 2 3 2 2 1 Los pares de valores de la tabla son: (34, 3), (35, 5), …, etc. Los representamos y levantamos una barra hasta el punto: Frecuencias Tema: 30 Si unimos los extremos de las barras obtenemos el polígono de frecuencias. IMAGEN FINAL 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 8 5 4 3 3 2 2 2 1 34 35 36 37 38 39 40 41 42 Número de calzado La altura de cada barra es igual a la frecuencia absoluta del dato asociado. Tema: 8 Gráficas, estadística y azar 8 Matemáticas 1º Diagrama de sectores En una clase se ha hecho una encuesta sobre el deporte preferido. Esta es la tabla de frecuencias absolutas: Deporte Frec. absoluta Fútbol Baloncesto Atletismo Natación Balonvolea Balonmano 12 8 6 5 3 2 36 Esta situación la podemos representar en un círculo. Para ello lo dividimos en 36 partes iguales. Tantas como encuestados. A cada parte le corresponde un ángulo de 10º Natación Atletismo 60º 6 Baloncesto 5 80º 8 Este gráfico se llama diagrama de sectores El ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta de cada dato. 50º 30º 3 2 12 Balonvolea 20º Balonmano 120º Fútbol IMAGEN FINAL Tema: 8 Gráficas, estadística y azar 9 Matemáticas 1º Media ponderada Un profesor de Matemáticas hace tres exámenes cada trimestre. Para la calificación final considera que los segundos exámenes valen doble que los primeros, y los terceros ejercicios de cada trimestre el triple que los primeros. La notas de Joaquín fueron: Notas Valen por 1.er trimestre 4 5 3 1 2 3 2.º trimestre 3.er trimestre 5 6 7 4 5 6 1 2 3 1 2 3 Su calificación final fue: 4 ·1 5 · 2 3 · 3 5 ·1 6 · 2 7 · 3 4 ·1 5 · 2 6 · 3 93 5,17 1 2 3 1 2 3 1 2 3 18 Suma de los pesos Esta media se llama media ponderada. Los valores 1, 2 y 3 por los que se multiplican las notas para darles una determinada importancia se llaman pesos. IMAGEN FINAL Tema: 8 Gráficas, estadística y azar 10 Matemáticas 1º Recuerda. Experiencias de azar Juan está tirando una moneda y ha obtenido 5 caras. Vuelve a tirar la moneda. ¿Podemos predecir si saldrá cara o cruz? No sabemos, pues se trata de una experiencia de azar. Puede volver a salir cara; o puede salir cruz. Yolanda está tirando un dado cuyas caras están numeradas del 1 al 6. Cuando tira el dado no puede predecir el resultado. Alberto tiene un dado trucado, todas sus caras valen 6. Cuando tire el dado sabemos que sacará un 6. Una experiencia es de azar si no se puede predecir el resultado. Se llaman experimentos aleatorios los que dan lugar a experiencias de azar. IMAGEN FINAL Tema: 8 Gráficas, estadística y azar 11 Matemáticas 1º Más, igual o menos probable Observa las siguientes bolsas: Si sacas una bola sin mirar de cada una de estas bolsa, ¿qué posibilidad hay de que sea azul? Imposible. Poco Igual de Muy Seguro probable. probable. probable. Un hecho o suceso de un experimento aleatorio es: Imposible, si nunca ocurre. Seguro, si siempre ocurre. Poco probable, o improbable, si tenemos poca confianza de que ocurra. Bastante probable, si tenemos mucha confianza de que ocurra. Si dos resultados de un experimento aleatorio tiene la misma probabilidad de ocurrir, se dice que son equiprobables, o que tienen la misma probabilidad. IMAGEN FINAL Tema: 8 Gráficas, estadística y azar 12 Matemáticas 1º ¿Cómo hallar la probabilidad? 1. En una rifa hay 100 papeletas numeradas del 1 al 100; todos los números son equiprobables. Si tú has comprado una papeleta, tienes 1 oportunidad de 100 de ganar. 1 Diremos que tu probabilidad de ganar es 100 Si hubieras comprado 5 papeletas, tendrías 5 oportunidades de 100. 5 Tu probabilidad de ganar sería 100 2. Las caras de un dado de han coloreado como se muestra en la figura. Si lanzamos el dado: 1 a) la probabilidad de sacar un 5 es 6 Hay 6 casos (6 caras) igualmente probables, y hemos apostado a uno: al 5. b) la probabilidad de sacar una cara verde es c) la probabilidad de sacar una cara roja es 4 , pues hay 4 caras verdes. 6 2 , pues hay 2 caras rojas. 6 IMAGEN FINAL Tema: 8 Gráficas, estadística y azar 13 Matemáticas 1º Probabilidad de un suceso En el experimento aleatorio de lanzar un dado, un suceso es cada uno de los resultados (el 6, por ejemplo), o que salga número par, o número mayor que 4, etc. Suceso “salir par” Si todos los resultados de un experimento aleatorio son equiprobables, se tiene: probabilid ad de un suceso número de casos favorables al suceso número total de casos posibles Si lanzamos un dado, se tienen las probabilidades siguientes: 3 Hay 3 casos favorables: salir 2, 4 o 6 a) la probabilidad de salir par es Hay 6 casos posibles: 1, 2, 3, 4, 5 y 6 6 2 b) la probabilidad de salir un número mayor que 4 es , pues los casos 6 favorables son 2: los números 5 y 6. IMAGEN FINAL c) la probabilidad de salir múltiplo de 3 es 2 6 Los casos favorables son 3 y 6. La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1 Tema: 8 Gráficas, estadística y azar 14 Matemáticas 1º Técnicas y estrategias Para resolver un problema: HAY QUE CONTAR Como la probabilidad es igual al número de resultados favorables entre el número de resultados posibles, para hallar la probabilidad de un suceso hay que: Ver si todos los resultados son equiprobables. Entonces: Contar cuántos resultados posibles tiene el experimento. Contar cuántos resultados son favorables al suceso. Por ejemplo, si se extrae una carta de una baraja española: 1. Cada carta tiene la misma probabilidad de ser salir. 2. Hay 40 resultados posibles: 10 de cada palo. Con esto, podemos preguntanos: (Hay 10 oros) 10 Probabilidad de salir oros = p (O) = 40 4 Probabilidad de salir rey = p (R) = 40 (Hay 4 reyes) Probabilidad de salir as de bastos = p (AB) = 1 40 (Hay 1 as de bastos) IMAGEN FINAL