Download logica(Tablas de Verdad)

Curso de Matemática
Propedeútica
Año académico 2008
MSc. Ing. Julio Rito Vargas Avilés
15-ene-2008
1
1
1 = 6
2
2
2 = 6
3
3
3 = 6
4
4
4 = 6
5
5
5 = 6
6
6
6 = 6
7
7
7 = 6
8
8
8 = 6
9
9
9 = 6
(1 + 1 + 1) ! = 6
2 + 2 + 2
= 6
3 x 3 - 3
= 6
√4 + √4 + √4 = 6
5≠ 5+ 5
= 6
6+
= 6
6 - 6
-7 ÷ 7 + 7 = 6
3√8
+ 3√8 + 3√8 = 6
√9 x √9 - √9 = 6
Lógica matemática.
La
lógica
matemática
sirve
de
fundamento al razonamiento matemático,
evitando ambigüedades y contradicciones
mediante la determinación absolutamente
precisa y rigurosa de lo que es un
razonamiento matemático válido.
Proposición

Una proposición es una oración que es
verdadera o falsa, pero no es verdadera y
falsa a la vez.
Simbólicamente:
p: 2 + 2 = 4
q: El cinco es un número primo
r: Estelí es la capital de Nicaragua
s: √4 + 5 = 9
Proposición

Lo que no es una proposición.
1.
Qué hora es?
Lee esto con atención.
x+1=2
x+y=z
2.
3.
4.
Proposición
La negación de una proposición es otra
proposición, llamada la negación de p.
Simbólicamente: ¬p
~p
Ejemplo:
p: 12 + 33 = 39
¬p: 12 + 33 ≠ 39

Proposición

Tabla de verdad para la negación de una
proposición.
p
v
f
¬p
f
v
p
¬p
1
0
0
1
Proposiciones compuestas

Son dos o más proposiciones simples unidas
por medio de operador lógico.
:
operador de la conjunción (léase “y”)
: operador de disyunción incluyente (“o”)

:
operador
condicional
(“si…entonces…”)

:
operador
bicondicional
(“p
si
y
sólo
q
”)


: operador de disyunción excluyente (“o”)
La Conjunción

Sean p y q proposiciones. La proposición
p ^ q, es la proposición que es verdadera
cuando tanto p como q son verdaderas y falsa
en cualquier otro caso.
p q
v v
v f
f v
f
f
p^q
v
f
f
f
fórmula 2n
n= número de proposiciones.
La Disyunción inclusiva

Sean p y q proposiciones. La proposición
p v q, es la proposición que solo es falsa
cuando tanto p como q son falsas.
fórmula 2n
p q
v v
v f
f v
f
f
pvq
v
v
v
f
n= número de proposiciones.
La Disyunción excluyente

Sean p y q proposiciones.
La proposición
p  q, es la proposición
que solo es verdadera
cuando tanto p como q
son falsas.
fórmula 2n
n= número de proposiciones.
p
q
v
v
f
f
v
f
v
f
p q
f
v
v
f
La Implicación

Sean p y q proposiciones.
La proposición
p  q, es la proposición
que solo es falsa cuando
p es verdadero y q es
falso.
fórmula 2n
n= número de proposiciones.
p
q
v
v
f
f
v
f
v
f
p q
v
f
v
v
La Doble implicación

Sean p y q proposiciones.
La proposición
p  q, es la proposición
que solo es verdadera
cuando tanto p como q
tienen el mismo valor de
verdad.
fórmula 2n
n= número de proposiciones.
p
q
v
v
f
f
v
f
v
f
p q
v
f
f
v
Resumen
Verificación de Aprendizajes
(e) ninguna
(e) ninguna
Prueba

Escribir las correspondientes sentencias lógicas para las siguientes
frases:

Una relación es una relación de equivalencia si y sólo si es reflexiva,
simétrica y transitiva.
p: R es relación de equivalencia
r: R es reflexiva
s: R es simétrica
t: R es transitiva
prst

Si la humedad es alta, lloverá esta tarde o esta noche.
p: la humedad es alta
q: lloverá esta tarde
r: lloverá esta noche
pqr
Prueba

El cáncer no se cura al menos se determine su
causa y se encuentre un nuevo fármaco.
p: el cáncer se cura
q: se encuentra su causa
r: se encuentra un nuevo fármaco
pqr

Se requiere valor y preparación para escalar
esta montaña.
p: se requiere valor
q: se requiere preparación
r: escalar la montaña
rqp
Prueba

Si es un hombre que hace una campaña
dura, probablemente será elegido.
p: hace campaña dura
q: será elegido
( p  q )  ( p  q )
Prueba
Prueba
Prueba
DEMOSTRAR QUE
ES UNA CONTRADICCIÓN
( p  q )  (q  p )
 ( p  q )  (q  p ) ley DeMorgan
 ( p  q )  (q  p ) equivalenc ia de la imp.
 ( p  p )  (q  q ) ley asociativa

 f
f

f
ley de la negación
Def. de conjunción
Prueba
DEMOSTRAR QUE
Sabemos que (a  b)  a  b
Dado que ( p  q)  ( p  q) 
 ( p  q)  ( p  q)
 por negación de la doble imp.
 (p  q)  ( p  q)  por equiv. implicació n
 ( p  q)  ( p  q)  ley de DeMorgan
 f  Por Def. doble negación
 v ley negación
Inferencia lógica

Doble negación: de una premisa p puede
concluirse su doble negación y viceversa.
p
 p

 p
p
Simplificación: De una conjunción puede
concluirse cualquiera de las proposiciones que
la componen.
pq
p
pq
q
Inferencia lógica

Adición: De una proposición p, tomada como premisa,
puede concluirse la disyunción de la misma con
cualquier otra proposición.
p
pq

Modus Ponendo Ponens(MPP): De una fórmula
condicional y la afirmación de su antecedente como
premisas, puede concluirse la afirmación del
consecuente.
pq
p
q
Inferencia lógica

Modus Tolendo Tollens(MTT): De una fórmula
condicional y la negación de su consecuente como
premisas, puede concluirse la negación del
antecendente.
pq
q
p

Modus Tolendo Ponens(MTP):De una disyunción y la
negación de uno de sus miembros como premisas,
puede concluirse la afirmación la afirmación del otro
miembro.
pq
p
q
Inferencia lógica

Distributiva: La conjunción de una proposición y una
fórmula disyuntiva puede transformarse en la
disyunción de dos conjunciones.
p  (q  r )
( p  q)  ( p  r )

Distributiva: La disyunción de una proposición y una
fórmula conjuntiva puede transformarse en la
conjunción dos conjunciones disyunciones.
p  (q  r )
( p  q)  ( p  r )
Inferencia lógica

D´Morgan: Una conjunción puede transformarse en una
disyunción en la cual se niega las proposiciones
integrantes y se niega la totalidad de la fórmula.
pq
(p  q)

D´Morgan: Una disyunción puede transformarse en una
conjunción en la cual se niega las proposiciones
integrantes y se niega la totalidad de la fórmula.
pq
(p  q )
Resolver
A partir de las reglas de inferencia demostrar la validez
del siguiente esquema de inferencia:
1) p v  q
2) p v r
3)
q

r
4 ) De 1 y 3 resulta
5) De 2 y 4 resulta
p (MTP)
r (MTP)
A partir de las reglas de inferencia demostrar la validez
del siguiente esquema de inferencia:
1)  p v r v q
2)  r
3) q

p
4 ) r v (p v q) expresando (1) por ley asociativa
5) De 4 y 2 resulta (p v q) (MTP)
6) De 5 y 3 resulta p
(MTP)
A partir de las reglas de inferencia demostrar la validez
del siguiente esquema de inferencia:
1)  p
2) q v p
3) q

f
4 ) De 2 y 1 resulta q (MTP)
De De 4 y 3 resulta f (ley negación)
A partir de las reglas de inferencia demostrar la validez
del siguiente esquema de inferencia:
1) ( p  q )  r
2)
rs
3)
qs

p
4)
5)
6)
7)
8)
De 3 resulta  s
(por Simplificación)
De 2 y 4 resulta r (por MTT)
De 1 y 5 resulta  (p  q) (MTT)
De 6 resulta  p v  q Ley DeMorgan
De 7 resulta  p (Simplificación disyunción)
Ejemplos
Sean:
p: Pablo es extraño
q: A Pablo le gustan leer libros de matemáticas.

Exprese cada una de las proposiciones en el lenguaje
ordinario:
¬p ^ q :
p^q:
¬(p ^ q):
p v ¬ q:
¬p v ¬ q:
Ejemplos
Sean:
p: Pablo es extraño
q: A Pablo le gustan leer libros de matemáticas.
Exprese cada una de las proposiciones en el lenguaje
ordinario:
¬p ^ q :
p^q:
¬(p ^ q):
p v ¬ q:
¬p v ¬ q:
p →q :
p ↔q :

Ejemplos
Sean:
p: Pablo es extraño
q: A Pablo le gustan leer libros de matemáticas.

Exprese cada una de las proposiciones en el lenguaje ordinario:
¬p ^ q : Pablo no es extraño y le gusta leer libros de matemática.
p ^ q : Pablo es extraño y le gusta leer libros de matemática.
¬(p ^ q): No es cierto que Pablo es estraño y le guste leer libros de
p v ¬ q: Pablo es extraño o no le gusta leer libros de matemáticas.
¬p v ¬ q: Pablo no es extraño o no le gusta leer libros de matemática
p → q : Si Pablo es extraño entonces le gusta leer libros de mat.
p ↔ q : Pablo es extraño si y solo si le gusta leer libros de mat.
Ejemplos
Sean:
r: La humanidad contamina el medio ambiente.
s: La humanidad sobrevivirá.
Si r es verdadera y s es falsa. Determine el valor de
verdad de las siguientes proposiciones:

(r٨s) v¬s :
¬r v ¬s :
r ٨ ¬s :
¬r v s :
r→s :
r ↔s :
Ejemplo

p
Determine el valor de verdad de
¬(p٨q)٨[(pvq)٨q]
q
(p٨q)
¬(p٨q)
(pvq) (pvq)٨q
¬(p٨q)٨[(pvq)٨q]
Equivalencias lógicas
p ٨V≡p
p vF≡p
p vV≡V
p ٨F≡F
p vp ≡p
p ٨p ≡p
p vq ≡q v p
p ٨q ≡q ٨ p
¬(¬p) ≡ p
Leyes de identidad
Leyes de denominación
Leyes idempotencias
Leyes conmutativas
Ley de la doble negación
Equivalencias lógicas
(p v q) v r ≡ p v (q v r)
(p ٨ q) ٨ r ≡ p ٨ (q ٨ r)
p v (q ٨ r) ≡( p v q)٨(p v r)
p ٨ (q v r) ≡( p ٨ q)v(p ٨ r)
¬(p v q) ≡ ¬p ٨ ¬ q
¬(p ٨ q) ≡ ¬p v ¬ q
p v (p ٨ q) ≡ p
p ٨ (p v q) ≡ p
(p v ¬p) ≡ V
(p ٨ ¬p) ≡ F
Leyes asociativas
Leyes distributivas
Leyes de De Morgan
Leyes de absorción
Ley de negación
Equivalencias lógicas
p → q ≡ ¬p v q
p → q ≡ ¬q → p
p v q ≡ ¬p → q
p ٨ q ≡ ¬(p →¬q)
¬(p →q) ≡ p ٨ ¬q
(p → q) ٨(p → r) ≡ (p → (q ٨ r)
(p → r) ٨(q → r) ≡ (p v q) → r
(p → q) v (p → r) ≡ p → (q v r)
(p → r) v (q → r) ≡ (p ٨ q) → r
Equivalencias lógicas
p ↔ q ≡ (p → q) ٨ (q → p)
p ↔ q ≡ ¬p ↔ ¬q
p ↔ q ≡ (p ٨ q) v (¬p ٨ ¬q)
¬(p ↔ q) ≡ p ↔ ¬q
Ejemplo 1
Muestre que (p ٨ q) → (p v q) es una tautología.
Demostración:
¬(p v (¬p ٨ q)) ≡ ¬p ٨ ¬(¬p ٨ q) Ley de DeMorgan
≡ ¬p ٨ [¬(¬p) v ¬q] “
“
≡ ¬p ٨ [p v ¬q] Ley doble neg.
≡ (¬p ٨ p) v (¬p ٨ ¬q) Ley distrib.
≡ F v (¬p ٨ ¬q) Ley negación
≡ ¬p ٨ ¬q Ley de Indentidad
Ejemplo 1
Justifica que las proposiciones ¬(p v (¬p ٨ q)) y
¬p ٨ ¬q son lógicamente equivalentes.
Demostración:
¬(p v (¬p ٨ q)) ≡ ¬p ٨ ¬(¬p ٨ q) Ley de DeMorgan
≡ ¬p ٨ [¬(¬p) v ¬q] “
“
≡ ¬p ٨ [p v ¬q] Ley doble neg.
≡ (¬p ٨ p) v (¬p ٨ ¬q) Ley distrib.
≡ F v (¬p ٨ ¬q) Ley negación
≡ ¬p ٨ ¬q Ley de Indentidad
Ejemplo 2
Muestre que (p ٨ q) → (p v q) es una tautología.
Demostración:
(p ٨ q) → (p v q) ≡ ¬(p ٨ q) v (pvq) por equiv.
≡ (¬p v ¬q)v(pvq) DeMorgan
≡ (¬p v p) v (q v ¬q) Conm yAsoc.
≡ V v V Leyes de negación
≡ V regla disyunción
Predicados y Cuantificadores
Predicados y Cuantificadores
P(x) : función proposicional
Ejemplo:
P(x) : (x+1) ≥ x
Notación: xP(x) léase, para todo x P(x), para
cada x P(x), o para cualquier x P(x).
Q(x): x ≤ 4
Predicados y Cuantificadores
Todo A es B su negación es Algún A no es B.
 Ningún A es B su negación es Algún A es B.

Predicados y Cuantificadores
Predicados y Cuantificadores
Predicados y Cuantificadores