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INSTITUCIÓN EDUCATIVA
JUAN HURTADO
Belén de Umbría
UNIDAD DE PRODUCCIÓN DE CONOCIMIENTO N° 3
TRIGONOMETRÍA GRADO 10° Año 2.010
Esp. Jorge Iván Lugo C.
NOMBRE ____________________________GRADO ________
3.1. TÍTULO
“APLICACIÓN DE
TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS
Y
OBLICUÁNGULOS”
3.2. PLANTEAMIENTO
Históricamente los inicios de la trigonometría se encuentran en África; los antiguos egipcios y
babilonios fueron los primeros en plantear estudios rudimentarios en esta área. Un estudio
más elaborado de la trigonometría se promovió en Grecia, en donde se establecía una
estrecha relación entre trigonometría y astronomía. El griego Hiparco de Nicea, conocido como
el padre de la trigonometría, planteó una tabla trigonométrica, pero fue Ptolomeo, cuatro siglos
más tarde, quien en su libro el Almagesto incorporó una tabla primitiva de Senos basada en
cuerdas usada en la descripción de las posiciones de las estrellas.
La trigonometría se aplicó en campos de la navegación y geodesia para determinar una
distancia que no podía ser medida de forma directa. Loa astrónomos buscaban gran exactitud
que les permitiera predecir eclipses, seguridad en la navegación, conocer movimientos de los
astros y elaborar calendarios. También se encuentran notables aplicaciones en la física y en
casi todas las ramas de la ingeniería.
3.3. LOGROS
 Plantea y resuelve situaciones problema aplicando funciones trigonométricas.
 Plantea y resuelve situaciones problema aplicando teoremas de Seno y Coseno.
Esp. Jorge Iván Lugo C.
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3.4. CONDUCTA DE ENTRADA
La rama de la matemática a la que se le da el nombre de trigonometría está dedicada, ante
todo, a medidas y relaciones numéricas que existen entre los lados y los ángulos de un
triángulo y su aplicación al cálculo de sus diversos elementos. Por consiguiente, si el
enunciado de un problema puede traducirse en un dibujo constituido por líneas rectas y
ángulos, puede tratar de resolverse por los métodos de la trigonometría plana. De esta
manera, a partir de un conjunto suficiente de datos conocidos, pueden determinarse los
distintos elementos de la figura, tales como las dimensiones de ángulos, áreas, etc.
1. La altura de una montaña cuya cumbre y base eran inaccesibles, se determinó del
siguiente modo: se midió el ángulo de elevación de la cumbre desde un punto situado a
determinada distancia en una llanura horizontal y se vio que era 30°; se repitió la medida
desde un punto más alejado, un kilómetro más allá de la montaña, y se comprobó que el
ángulo de elevación era, en este caso, 25°. ¿Cuál es la altura de la montaña?
2. Resuelva el siguiente planteamiento:
En la siguiente cruz X = 64 cm. Calcule el área de la cruz.
x
3.5. ORIENTACIÓN TEMÁTICA
Aplicación de Triángulos Rectángulos
Los valores de las funciones trigonométricas fueron definidos en términos de la razón entre las
longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Consideremos un triángulo rectángulo con
ángulos agudos  y , los lados opuestos a estos ángulos por a y b, respectivamente, y sea r
la longitud de la hipotenusa del triángulo. El vértice del ángulo  en el origen de un sistema de
coordenadas, cuyo eje positivo de las X es una extensión del lado de longitud b:
Esp. Jorge Iván Lugo C.
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Y
a : Lado Opuesto a ángulo 
b : Lado Adyacente a ángulo 
r : Hipotenusa: Radio
: Ángulo
(b,a)

r
a

X
b
Las coordenadas del vértice de  son (b,a). Como el ángulo  queda en posición normal, se
puede escribir:
Sen 
Cateto Opuesto
b Cateto Adyacente
a Cateto Opuesto
a
Cos  

Tan  
r
hipotenusa
r
hipotenusa
b Cateto Adyacente
El uso de las ecuaciones anteriores permiten plantear situaciones que pueden ser resueltas
con triángulos rectángulos (es decir, determinar los lados y ángulos desconocidos). Para
resolver un triángulo basta con conocer: un lado y un ángulo agudo o dos lados cualesquiera.
Ejemplos Aplicados:
1. Un hombre está situado a 15 m del pie de un mástil de bandera, y el ángulo de elevación
(ángulo agudo formado por la visual y la horizontal que pasa por el punto de observación) al
tope del mástil es de 60°. Hallar la altura del mástil.
2. Desde un cierto punto sobre el plano del pie de una montaña, el ángulo de elevación al pico
es de 45°. En otro punto, situado a 2000 m más lejos que el punto anterior, el ángulo de
elevación es de 30°. ¿Cuál es la altura de la montaña?
3. Cierto canal de televisión sitúa una antena de 115 pies sobre un cerro. Los ángulos de
elevación de la punta y la base de la antena con respecto al suelo son 47º y 39º
respectivamente, ¿Cuál es la altura del cerro?
4. Un pájaro está ubicado en la copa de un árbol y observa el extremo de la sombra que
proyecta el árbol en el piso con un ángulo de depresión de 58º. Si la sombra proyectada en
el piso mide 8,8 metros, ¿cuál es la altura del árbol?.
5. Una persona sube por un camino que tiene una pendiente de 25º con respecto a la
horizontal. Después de caminar 750 m, ¿a qué altura sobre el nivel inicial se encuentra la
persona?
6. Una embarcación parte desde un faro que tiene una altura de 50 m. Cuando se encuentra a
2 km sufre fallas y envía una señal al extremo superior del faro mediante un reflector. ¿Cuál
es el ángulo de elevación que forma el reflector de la embarcación con la parte superior del
faro?. ¿Cuál es el valor del ángulo de depresión que se forma en el extremo superior del
faro?
Esp. Jorge Iván Lugo C.
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3.6. TRABAJO INDIVIDUAL
Plantear y resolver las siguientes situaciones:
1. El extremo inferior de una escalera apoyada contra una pared se encuentra a 10 m de la
pared. Si alcanza justo hasta una ventana situada a 20 m del suelo, ¿qué ángulo forma la
escalera con el suelo?
2. Un observador ve un globo aerostático con un ángulo de elevación de 35º. Si el observador
se desplaza 500 m hacia la posición del globo, el ángulo de elevación es de 43º. ¿Cuál es
la altura del globo?
3. Desde la parte alta de una torre de 120 pies de altura, el ángulo de depresión de un objeto
colocado en el plano horizontal de la base de la torre, es de 24°. ¿A qué distancia está el
objeto del pie de la torre? ¿A qué distancia del observador está el objeto?
4. Un avión se encuentra, en un momento dado, a 4000 m en la vertical de un barco. Se
observa entonces desde el avión un iceberg con un ángulo de depresión de 22°. Hallar la
distancia del avión al iceberg.
5. Un hombre de pie, situado a 5 metros de la pared de una galería de arte, observa que el
ángulo de elevación de la parte superior de uno de los cuadros es 30° y el ángulo de
elevación de la parte inferior es 15°, ¿Cuál es la altura del cuadro?
6. Un avión de reconocimiento que vuela a 1000 m ve dos botes delante de él. Si los ángulos
de depresión son 31° y 42°, respectivamente, hallar la distancia entre los botes.
7. En un cierto punto el ángulo de elevación de la cumbre de una montaña es de 34° 28’; en
un segundo punto, 500 m más alejado, el ángulo de elevación de la cumbre es de 31°.
Hallar la altura de la cumbre.
8. Un observador en el suelo ve hacia el este una cometa con un ángulo de elevación de 36° y
otra persona la ve hacia el oeste, con un ángulo de elevación de 36°. Si estos dos
observadores están separados 200 pies, ¿a qué altura está la cometa?
9. Desde la azotea de un edificio se observa que los ángulos de elevación y depresión a la
parte superior e inferior de una torre, son 42° y 28°, respectivamente. Si la altura del edificio
es de 32 m, ¿cuál es la altura de la torre?
10. Desde el puente de un trasatlántico, 20 m arriba del nivel del agua, se observa una balsa
con un ángulo de depresión de 21°. Hallar la distancia del trasatlántico a la balsa.
11. Un buque navega 32 km al sur y después 15 km al oeste. Determinar el rumbo que debe
tomar para regresar a su punto de partida.
12. Una torre de telecomunicaciones de 150 m de altura, proyecta una sombra de 70 m. ¿Cuál
es el ángulo de elevación del sol en ese instante?
3.7. TRABAJO GRUPAL
Esp. Jorge Iván Lugo C.
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Reúnase con dos compañeros más y resuelvan los siguientes problemas:
Esp. Jorge Iván Lugo C.
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