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TRIGONOMETRIA
(Trígono=Triángulo; metria=medida)
1.- TEOREMA DE PITAGORAS
La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado
2
2
𝑎 +𝑏 =𝑐
2
2.- RAZONES TRIGOMENTRICAS
Se definirán las razones trigonométricas para el ángulo 𝛼
EJEMPLOS
1.- Escribir las razones trigonométricas para el ángulo β
2) En el triangulo de la figura hallar las razones trigonométricas para
los ángulos dados
3) En el triangulo de la figura, determine el valor de x
4.-En el triangulo de la figura, determine el valor de x
EJERCICIOS
1.- En los siguientes triángulos, hallar las razones trigonométricas de
los ángulos dados
3- Determina en cada caso el valor de x
2.- Determina el valor de x en cada caso
RAZONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
(Si se conocen los lados y se desea saber el valor de los ángulos)

Permiten conocer el valor de un ángulo, teniendo el valor de la
razón trigonométrica asociada

EJEMPLO: Si quisiéramos conocer el valor del ángulo Ѳ
Por ejemplo:
sabemos que cos θ = 0,5
SHIFT cos-1 0,5 =60º
EJEMPLOS
1.- Determina el valor de β
2.- Determina el valor de Ѳ
ACTIVIDADES
1.- Determina en cada caso el valor del ángulo α. Aproxima tu resultado
REPASO
1.- En el triangulo de la figura, calcular:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
sen α
sen β
cos α
cos β
el lado que falta
tan α
tan β
α
β
2.- Del ejercicio anterior, calcule las mismas incógnitas, si los valores de
los catetos son:
a) 10 y 15 cm
b) 12 y 18 cm
c) 2 y 4 cm
d) 9 y 13 cm
APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRIA
Ya que la trigonometría relaciona la medida de los lados y los ángulos en
un triángulos rectángulo
nos será de gran utilidad en problemas de medición de longitudes
difíciles para el hombre, tales como:



alturas de montañas, arboles
anchura de ríos o lagos
altura de edificios, puentes etc.
EJEMPLO
Determina la altura del árbol,
sabiendo que su sombra mide 8 m
cuando el ángulo de elevación del
sol es de 60º
Definiciones previas
 Angulo de elevación: Se llama ∢ de elevación al angulo formado
por la horizontal y la recta que une al observador con el objeto
cuando el objeto esta sobre el observador

Angulo de depresión: Se llama ∢ de elevación al angulo formado
por la horizontal y la recta que une al observador con el objeto
cuando el objeto esta bajo el observador
EJERCICIOS
1.- Determina la altura del árbol, sabiendo
que su sombra mide 8 m cuando el ángulo
de elevación del sol es de 53º
R: 10,6 m
2.- ¿Cuál es la sombra que proyecta un
hombre que mide 1,93 m si el sol forma un
ángulo de elevación de 30º?
R: 3,34 m
3.- Una escalera de 8 m se encuentra apoyada en una pared y forma con
esta un ángulo de 40°. Calcula la distancia entre la pared y el pie de la
escalera
R: 5,14 m
4.- Un niño eleva un volantín con una cuerda tensa que forma un ángulo
de elevación de 60° con la horizontal. ¿A qué altura se encuentra el
volantín del suelo si la longitud de la cuerda es de 18 m y el niño mide
1,5 m?
R: 17 m
5.- ¿Cuál es la altura de un puente que
cruza un rio de 35 m de ancho, si
desde uno de los extremos del puente
se ve la base del mismo, pero del lado
opuesto, con un ángulo de depresión
de 15º?
R: 9,4 m
6.-Un topógrafo necesita medir
la altura de una montaña. Para
esto, mide el ángulo de elevación
desde dos puntos diferentes. En
el primer punto el ángulo mide
42º, avanza medio kilometro y el
ángulo aumenta en 5º. ¿Cuál es
la altura de la montaña?
7.- Un automóvil sube por un camino cordillerano que tiene una
inclinación de 5º. ¿Cuántos metros debe recorrer para alcanzar una
altura de 10 m?
8.- Un avión asciende con un ángulo de 40º mientras viaja a velocidad
de 800 Km/h. ¿Cuánto tiempo tardara en llegar a una altura de 10.000
metros?
9.- Un avión se encuentra a 2.300 m
de altura cuando comienza su
descenso
para
aterrizar.
¿Qué
distancia debe recorrer el avión
antes de tocar la pista, si baja con
un ángulo de depresión de 25º?
R: 5.442
10.-Desde un punto P situado a nivel del suelo se observa la punta de
una chimenea bajo un ángulo de elevación de 30° y acercándose 20
metros desde otro punto Q el ángulo de elevación es de 60°. Determine
la altura de la chimenea y la distancia desde ésta hasta el primer punto
de observación P
R: y= 10 m; x=17,3 m