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Es la figura que esta formado por segmentos de rectas unidos por sus extremos dos a dos. Vértice Medida del ángulo central B Diagonal A C Centro Medida del ángulo externo E D Lado Medida del ángulo interno Triángulo : 3 lados Cuadrilátero: 4 lados Pentágono: 5 lados Hexágono: 6 lados Heptágono: 7 lados Octógono: 8 lados Eneágono : 9 lados Decágono: 10 lados Undecágono: 11 lados Dodecágono: 12 lados Pentadecágono:15 lados Icoságono: 20 lados PRIMERA PROPIEDAD Numéricamente: Lados, vértices, ángulos interiores, ángulos exteriores y ángulos centrales son iguales. • Lados • Vértices • Ángulos interiores • Ángulos exteriores • Ángulos centrales SEGUNDA PROPIEDAD A partir de un vértice de un polígono, se pueden trazar (n-3 ) diagonales. Ejemplo: ND = (n-3) = (5-3) = 2 diagonales TERCERA PROPIEDAD El número total de diagonales que se puede trazar en un polígono: n(n 3) ND 2 Ejemplo: ND 5(5 3) 5 diagonales 2 CUARTA PROPIEDAD Al trazar diagonales desde un mismo vértice se obtiene (n-2) triángulos Ejemplo: 1 3 2 Ns. = ( n – 2 ) = 5 - 2 = 3 triángulos QUINTA PROPIEDAD Suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono: Si =180°(n-2) Donde (n-2) es número de triángulos Ejemplo: Suma de las medidas de los ángulos interiores del triangulo 180º 180º 180º Si = 180º x número de triángulos = 180º(5-2) = 540º SEXTA PROPIEDAD Suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono es 360º Se = 360° Ejemplo: + + + + = 360º SEPTIMA PROPIEDAD Al unir un punto de un lado con los vértices opuestos se obtiene (n-1) triángulos Ejemplo: Punto cualquiera de un lado 4 1 3 2 Ns. = ( n – 1 ) = 5 - 1 = 4 triángulos OCTAVA PROPIEDAD Al unir un punto interior cualquiera con los vértices se obtiene “n” triángulos Ejemplo: 5 4 1 3 2 Ns. = n = 5 = 6 triángulos NOVENA PROPIEDAD Número de diagonales trazadas desde “V” vértices consecutivos, se obtiene con la siguiente fómula. (V 1)(V 2) ND V n 2 Ejemplo: 1 2 y así sucesivamente 1ra. Propiedad Medida de un ángulo interior de un polígono regular o polígono equiángulo. m i 180(n 2) n 3ra. Propiedad Medida de un ángulo central de un polígono regular. m c 360 n 2da. Propiedad Medida de un ángulo exterior de un polígono regular o polígono equiángulo. m e 360 n 4ta. Propiedad Suma de las medidas de los ángulos centrales. Sc = 360° Ejemplo Nº 01 En un polígono, la suma de las medidas de los ángulos exteriores e interiores es 1980°. Calcule el total de diagonales de dicho polígono. RESOLUCIÓN Del enunciado: Se + Si = 1980° Luego, reemplazando por las propiedades: 360° + 180°( n - 2 ) = 1980° Resolviendo: n = 11 lados Número de diagonales: ND n(n 3) 2 ND 11 ( 11 3 ) 2 ND = 44 Ejemplo Nº 02 ¿Cómo se denomina aquel polígono regular, en el cual la medida de cada uno de su ángulo interno es igual a 8 veces la medida de un ángulo externo RESOLUCIÓN Polígono es regular: Del enunciado: mi = 8(me ) Reemplazando por las propiedades: 180 ( n 2 ) 360 8 ( ) n n Resolviendo: n = 18 lados Luego polígono es regular se denomina: Polígono de 18 lados Ejemplo Nº 03 Calcule el número de diagonales de un polígono convexo, sabiendo que el total de las diagonales es mayor que su número de lados en 75. RESOLUCIÓN Del enunciado: Reemplazando la propiedad: ND = n + 75 n(n3) = n + 75 2 n2 - 5n - 150 = 0 Resolviendo: n = 15 lados Luego, el número total de diagonales: n(n 3) ND 2 ND 15 ( 15 3 ) 2 ND = 90 Ejemplo Nº 04 En un polígono regular, se le aumenta un lado, la medida de su ángulo interno aumenta en 12°; entonces el número de vértices del polígono es: RESOLUCIÓN Polígono es regular: Del enunciado: Polígono original: n lados Polígono modificado: (n+1) lados Reemplazando por la propiedad: 180( n 2 ) 180( n 1 2 ) 12 Resolviendo: n = 5 lados n n1 Número de lados = Número de vértices NV= 5 vértices Ejemplo Nº 05 El número total de diagonales de un polígono regular es igual al triple del número de vértices. Calcule la medida de un ángulo central de dicho polígono. RESOLUCIÓN Polígono es regular: Del enunciado: ND = 3n Reemplazando por la propiedad: n(n3 ) = 3n Resolviendo: 2 Luego, la medida de un ángulo central: 360 360 m c m c n 9 n = 9 lados mc = 40° CUADRILÁTEROS Son aquellas figuras que tienen cuatro lados y dos diagonales, pueden ser convexos, no convexos y cruzados. Clasificación: I. Trapezoides II. Trapecios Clasificación: III. Paralelogramos Propiedades Básicas: 1. En el Trapecio: 2. En el paralelogramo Ejemplo Nº 01 En la figura, hallar RESOLUCIÓN Ejemplo Nº 02 En el cuadrilátero ABCD. Hallar la medida de «x»; si a + b = 160° A) 80° B) 90° C) 100° D) 120° E) 135° RESOLUCIÓN Ejemplo Nº 03 En el trapezoide ABCD, el ángulo A mide 60° y el ángulo D mide 60°. Si el ángulo C es recto entonces x es igual a: A) 10 B) 14 C) 12 D) 15 RESOLUCIÓN Ejemplo Nº 04 En un trapecio ABCD la base menor AB es igual a la altura BH; el ángulo A mide 135º y el ángulo B mide 143º. Halla la longitud de la mediana, si AB = 12 u. RESOLUCIÓN Ejemplo Nº 05 Sobre los lados no paralelos AB y CD de un trapecio ABCD, se toman los puntos E y F, de modo que EF es paralelo a las bases; además EF = 14 u, AD = 16 u, BE = 3(EA) y CF = 3(FD). Calcula BC. A) 6 RESOLUCIÓN B) 7 C) 8 D) 12 Ejemplo Nº 06 En un trapecio el segmento que une los puntos medios de las diagonales es 8 y la suma de las bases es 60. Hallar la base menor del trapecio. A) 20 B) 22 C) 24 D) 26 E) 28 RESOLUCIÓN