Download GEOMETRIA 4º semana CS

SEMANA 4
(e + x ) =
360
= 72º
5
45º +x = 72º
POLÍGONOS Y
CUADRILÁTEROS
1.
Calcule el número de diagonales
medias de un polígono, en donde el
número
de
diagonales
es
el
cuádruple del número de ángulos
internos.
A) 20
D) 44
B) 27
E) 55
x=27º
RPTA.: E
3.
Un icoságono regular ABC… y un
pentadecágono regular ABMN… están
ubicados en distintos semiplanos
↔
C) 35
respecto a AB Calcule: m∢MCB
A) 72º
D) 69º
RESOLUCIÓN
B) 36º
E) 60º
C) 24º
Dato: NºDiag.= 4(Nº ∢ s internos)
RESOLUCIÓN
n(n − 1)
Piden: NºDiag.Medias=
=?
2
Reemplazando en el dato:
n (n − 3)
( )
=4 n
2
(n − 3) = 8 → n = 11
11 (11 − 1)
D.M. =
= 55
2
RPTA.: E
2.
Se tienen los polígonos regulares
ABCDE y ABPQRSTU, ambos en un
mismo semiplano respecto a AB ,
Calcule: m∢UAE .
A) 72º
D) 24º
B) 45º
E) 27º
C) 20º
*
*
*
RESOLUCIÓN
A
B
∆ BMC (2x + e1 + e2 ) = 180º
x
P
E
C
42º
→
D
T
R
∢ Externo
ɵ = 360º ; Piden x=?
e
n
En el Octógono:
e=
360º
= 45º
8
En el Pentágono
x = 69º
RPTA.: D
Q
S
*
ɵ 1 = 360 = 18º
e
20
ɵ 2 = 360 = 24º
e
15
e1 + e2 = 42º e
e
U
Piden: x=?
4.
9 es un número de diagonales que se
pueden trazar desde 5 vértices
consecutivos de un polígono regular
de “n” lados. Calcule “n”.
A) 5 lados
B)7 lados
C) 6 lados
D) 8 lados
E) 9 lados
S∧ = 180º ( 8 − 2 ) = 1080º
RESOLUCIÓN
i
Piden: Nº lados =n=?
RPTA.: D
Dato: Nº Diag. Trazados
Desde 5 vértices =9
*
6.
Recordando:
Nº Diag. Trazados desde
“k”
vértices
consecutivos
= nk −
En un decágono convexo, calcule el
máximo número de ángulos internos
de medida 100º.
A) 3
D) 6
(k + 1) (k + 2)
2
B) 4
E) 7
C) 5
RESOLUCIÓN
En un polígono de “n” lados.
Reemplazando:
*
9 = n(5) −
→
(5 + 1) (5 + 2)
80º
2
100º
80º
100º
n=6
RPTA.: C
100º
5.
80º
Calcule la suma de las medidas de
los ángulos internos de un Polígono
Regular ABCDE…, de “n” lados; si
AC
100º
CE
A) 540º
D) 1080º
B) 720º
E) 1260º
100º
C) 900º
80º
RESOLUCIÓN
D
e
C
e
a
a
Piden: máx. Nº ∢ si=100º
* Para 1∢i = 100º → 1∢e = 80º
⋮
e
a
θ
θ
θ
E
ɵ = 320º
* Para 4∢i = 100 → 4e
e
ɵ = 400º
* Para 5∢i → 5e
(Esto es imposible)
Por que: Seɵ = 360º
B
a
θ
“n” lados
⇒
A lo máximo
Solo se pueden conseguir 4 ángulos.
A
RPTA.: B
Dato: AC
CE
Piden: S∧ = 180º (n − 2 ) = ?
i
*
⇒
⇒
∆ABC ≅ ∆CDE ..............(L.A.L.)
m∢BCA = m∢DCE = θ
ɵ = 2θ = 360º
e
n
ɵ
En c : 4θ = 90º
360º
2θ = 45º =
n
n=8
7.
Calcule el perímetro de un octógono
equiángulo ABCDEFGH,
AB=EF= 2 2 ; HG =
DE = 1 y GF=8.
2 , AH = 3,
A) 16+6 2
B) 18+6 2
C) 16+8 2
D) 8 2 + 10
E) 18+8 2
RESOLUCIÓN
Q
2
B
6
RESOLUCIÓN
e
A e
3
C
R
e
e
3 2
2 2
3
e2
D
3
1
E
e1
H
2
e
2 2
e
P
1
∧
i2
i4 e
4
i1
S
i5
en
∧
∧
in
Pide: Perímetro octógono=?
*
∧
∧
2
F
8
i3
∧
e 2
e
G
e3
∧
i 6 e5
e6
ɵ = 360
Calculando: e
n
-
ɵ = 360 = 45º
e
8
Dato: ɵi1 + ɵi2 + ...iɵ5 = 760º
Piden: e6 + e7 + ...en = ?
Se determinan 4 triángulos
notables de 45º y un rectángulo.
⇒
PQ=RS=6
*
Se sabe: e1 + e2 + ...en = 360º...(I)
→
RD=3 y CD= 3 2
*
⇒
PS=QR=11
BC=6
ɵi1 + e = 180º
1
ɵi2 + e = 180º
2
→
.
.
.
Perímetro= 18 +8 2
RPTA.: E
8.
La suma de las medidas
ángulos internos de un
convexo es 760º.Calcule la
las medidas de los ángulos
correspondientes a los
restantes.
A) 190º
D) 220º
B) 200º
E) 230º
.
.
.
ɵi5 + e = 180º
n
760 + ( e1 + e2 + ...e5 ) = 180º(5)
de cinco
polígono
suma de
externos
vértices
( e1 + e2 + ...e5 ) = 140º
Reemplazando en (I)
140º + ( e6 + e7 + ...en ) = 360º
( e6 + e7 + ...en ) = 220º
C) 210º
RPTA.: D
9.
En un polígono regular cuyo semiperímetro es p, el número que
expresa su perímetro es el igual al
número de diagonales. Además la
medida del ángulo interior es p veces
la medida del ángulo exterior.
¿Cuánto mide el lado del polígono
regular?
1
5
1
D)
2
A)
B)
1
4
E)1
C)
1
3
RESOLUCIÓN
NºDiag =
×
(n − 3) (n − 3 − 3)
2
n2 − 3n − 2n − 6 = n2 − 9n + 18
4n = 24
n = 6 (Hexágono)
RPTA.: D
→
×
11.
*
− (n + 3) =
2
Resolviendo:
×
×
n (n − 3)
Por el vértice B de un triángulo ABC,
se traza una recta exterior. Calcule
la distancia del punto medio de la
mediana BM a la recta, sabiendo que
las distancias de los vértices A y C a
dicha recta miden 8
y 12
respectivamente.
Sea “n” es Nº lados.
nx
2
n(n − 3)
* 2p=Nº Diagonales=
2
Datos: semiperímetro: “p”=
∧
A)2
D)5
* m∢ i = p (p∢e )
B) 10
E) 7
C) 3
Piden: x=?
RESOLUCIÓN
Reemplazando en los datos:
n(n − 3)
...(I)
2
 360º 
180º (n − 2)
= P
 ...(II)
n
 n 
(n − 2) = 2p...(III)
2p =
(I) =(III)
→
n (n − 3)
n=4
2
Q
B
R
P
= (n − 2)
12
×
H
N
10
Reemplazando:”p” en (III)
8
nx
1
(n − 2 ) = 2   → x =
2
 2 
a
A
a
C
M
RPTA.: D
10.
Si un polígono de n lados tuviera (n3) lados, tendría (n+3) diagonales
menos. ¿Qué polígono es?
A) Triángulo
C) Pentágono
E) Octógono
B) Cuadrilátero
D) Hexágono
*
En el trapecio AHQC:
Trazamos la base media MP
8 + 12
= 10
2
∆ MPB (Base media)
10
x=
2
MP =
RESOLUCIÓN
*
Piden: “n” (¿Qué polígono es?)
Dato: Para: “n” lados→
Nº Diagonales. =
Dato: AH=8
CQ=12
Piden: NR =x=P
n (n − 3)
2
-(n+3)
Reemplazando el Nº lados en el 2do
polígono
x=5
RPTA.: D
12.
Las distancias de los vértices A y B
de un triángulo ABC a una recta que
pasa por su baricentro miden 3 y 4
respectivamente; calcule la distancia
del vértice C a dicha recta. La recta
intercepta a AB y BC .
A)7
D) 8
B)5
E)1
C)
100 + a
3
D) 50
E) 40
RESOLUCIÓN
C) 3
a
B
C
RESOLUCIÓN
P
B
x
E
Q
F
m
A
N
4
2x
G R
Q S
Dato: AD=50
Piden: 2EF+GD
2(x)+y=?
∆ ACG (Base media)
AG=2X
AD=2x+y
2x+y=50
P
3
*
x
A
M
C
⇒
*
Dato: AH=3
BQ=4
“G” Baricentro
⇒ BG=2GM = 2m
Piden: CP=x
En el trapecio AHPC (trazamos la
base media: MR =
*
RPTA.: D
(
bisectrices interiores de los ángulos
A y B se interceptan en P y las
bisectrices interiores de los ángulos
C y D se interceptan en Q. Calcule la
longitud del segmento PQ si AB=6 ,
BC=4, CD=8, AD=10
3+ x
...(I)
2
En el ∆ BQG(NS=2); MR =NS=2
3+ x
2=
2
1
2
3
E)
2
A) 1
x=1
B)
D) 2
RPTA.: E
13.
AD en G,
2EF+GD.
BC=a,
50 + a
5
m
m
B)
50 + a
3
C
8
calcule
A
A)
α α
P Q
×
6
intercepta a
AD=50,
4
B
β
β
C
Q son puntos medios de AB y
CD ; AC ∩ PQ = {E} , PQ ∩ BD = {F} .La
CF
C) 0
RESOLUCIÓN
En un trapecio ABCD, BC // AD, P y
prolongación de
)
En un trapecio ABCD BC // AD , las
14.
Luego:
En (I)
→
D
50
m
H
y
G
M
10
θ
θ
β
α
4
N
4
D
Dato: AB=6
BC=4
CD=8
AD=10
Piden: PQ=x=?
*
∴
RPTA.: D
∆ ABN (Isósceles)
*
16.
AM=6 y ND=4
∆ MCD (Isósceles)
*
MD=8→MN=4
BCNM: x =
*
4−4
2
En un triángulo ABC; AB=5 y
BC=30; Calcule la distancia del
punto medio de AC hacia la bisectriz
del ángulo ABC; si m∢ABC = 106º .
A) 10
D) 4
x=0
RPTA.: C
B)8
E) 12
C)6
RESOLUCIÓN
En un trapecio ABCD, BC // AD y se
ubica el punto medio M de B, tal que
m∢MDA = m∢MDC y se traza
15.
→ CH = 4
(53,37º)
53º
θ=
2
53º 53º
CH ⊥ AD . Si BC = 1 , AD = 4 y CH
toma su máximo
calcule m∢MDA .
A) 37º
B) 53º
53º
2
E) 30º
D)
valor
C)
entero,
87º
2
Dato: BC=30
AB=5
m ∢ABC = 106º
Piden: MN=x=?
RESOLUCIÓN
B
1
C
↔
*
Trazamos: AH
L
*
CQ
L
∆ ABH y ∆ CBQ (37º, 53º)
⇒ AH = 4 y CQ =24
↔
M
4
θ
4
Piden: m∢MDA = θ
Trazamos la base media
1+4
= 2, 5 → CD = 5
2
∆ MND = (Isósceles)
MN =
ND=NC=2,5 → CD 5
*
Trapecio: AHCQ (propiedad)
24 − 4
x=
= 10
2
RPTA.: A
17.
Calcule la medida del ángulo que
forman las diagonales de un trapecio
isósceles; si una diagonales el doble
de la base media.
D
Dato: BC=1
AD=4
“CH” es máximo entero
*
*
θ
H
A
5
N
θ
CHD: CH < 5
A) 60º
D) 53º
B) 45º
E) 37º
C) 30º
RESOLUCIÓN
⇒
DM=a; CM=5
m∢ACM = 106º
∆ ACM(a + b = 8)
a+b
x=
→x =4
2
RPTA.: B
19.
En un cuadrado ABCD, de lado 6, en
CD y
N, respectivamente, tal que CM=MD.
Si la m∢MBN = 45º . Calcule MN.
2 (a + b)
Dato: Ac = BD =
AD se ubican los puntos M y
2
Pide: x=?
A) 3
B)4
D) 3 2
E) 5
C) 4 2
Trazamos: CK // BD
*
RESOLUCIÓN
▱ BCKD (Paralelogramo)
DK = a;CK = a + b
m∢ACK = x
53º
2
∆ ACK (Equilátero)
→
x = 60º
RPTA.: A
18.
37º
2
Calcule la longitud de la base media
de un trapecio isósceles, si las
diagonales forman 106º y tienen por
longitud 5m c/u.
A) 3
D) 8
B) 4
E) 5
C) 6
RESOLUCIÓN
B
a
C
M
106º
m∢MBN = 45º
5
106º
5
Dato: AB=BC=6
CM=MD=3
Piden: MN=x=?
5
*
A
b
D
a
M
Datos:
:Trapecio Isósceles
m∢AMD = 106º
AC = BD = 5
*
Pide:(Longitud de la base media)
=x
a+b
x=
=?
2
Trazamos CM // BD
BCMD (Paralelogramo)
⇒
*
*
→
 53º 
∆ BCM (notable) 

 2 
37º
m∢ABN =
2
 37º 
∆ ABN 

 2 
AN=2 ⇒ ND=4
∆ MND (37º, 53º)
x=5
RPTA.: E
20.
Un trapecio rectángulo ABCD, es
recto en A y B. Si:
m∢BCA= 2 (m∢ADB ) , AD = a y BC
=b. Calcule AC.
a−b
2
A) a+b
B)
D) a-b
E) 2a+b
C) 2a-b
RESOLUCIÓN
b
C
2θ
B
×
θ
Q
×
θ
θ
A
a
D
Dato: BC=b
AD=a
m∢ACB = 2m∢ADB = 2θ
Piden: AC=x=?
*
⇒
Construimos el rectángulo
ABQD
m∢AQB = m∢ADB = θ
∆ ACQ = (Isósceles)
CQ=AC=x
Luego: BQ = AD
b+x=a
x=a-b
RPTA.: D