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ECUACIONES LINEALES
DEFINICIÓN
Una ecuación es una igualdad donde por lo
menos hay un número desconocido, llamado
incógnita o variable, y que se cumple para
determinado valor numérico de dicha
incógnita.
Se denominan ecuaciones lineales o de
primer grado a las igualdades algebraicas con
incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a
uno, que no se escribe).
REPASO DE OPERACIONES BÁSICAS
Recordemos algunas operaciones entre enteros y fraccionarios:
SUMA DE ENTEROS:
1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le
pone el signo común.
3+5=8
(−3) + (−5) = −8
2. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le
restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.
−3+5=2
3 + (−5) = −2
Propiedades de la suma de números enteros
1. Interna:
El resultado de sumar dos números enteros es otro número entero.
a+b
3 + (−5)
2. Asociativa:
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c)
(2 + 3) + (−5) = 2 + [3 + (−5)]
5 − 5 = 2 + (−2)
0=0
3. Conmutativa:
El orden de los sumandos no varía la suma.
a+b=b+a
2 + (−5) = (−5) + 2
−3 = −3
4. Elemento neutro:
El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él
da el mismo número.
a+0=a
(−5) + 0 = −5
5. Elemento opuesto
Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el
cero.
a + (-a) = 0
5 + (−5) = 0
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.
−(−5) = 5
Resta de enteros:
La resta de números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.
a − b = a + (−b)
7−5=2
7 − (−5) = 7 + 5 = 12
Propiedades de la resta de números enteros
1.Interna:
La resta dos números enteros es otro número entero.
a−b
10 − (−5)
2. No es Conmutativa:
a−b≠b−a
5−2≠2−5
Multiplicación de enteros:
La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor
absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la
aplicación de la regla de los signos.
Regla de los signos
2 · 5 = 10
(−2) · (−5) = 10
2 · (−5) = −10
(−2) · 5 = −10
Propiedades de la multiplicación de números enteros
1. Interna:
El resultado de multiplicar dos números enteros es otro número entero.
a·b
2 · (−5)
•
2. Asociativa:
El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números
enteros cualesquiera, se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]
6 · (−5) = 2 · (−15)
−30 = −30
•
3. Conmutativa:
El orden de los factores no varía el producto.
a·b=b·a
2 · (−5) = (−5) · 2
-10 = -10
•
4. Elemento neutro:
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el
mismo número.
a·1=a
(−5) · 1 = (−5)
5. Distributiva:
El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número
por cada uno de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a · c
(−2) · (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5
(−2) · 8 = (−6) + (−10)
−16 = −16
6. Sacar factor común:
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto
extrayendo dicho factor.
a · b + a · c = a · (b + c)
(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)
•
DIVISIÓN DE ENTEROS:
La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores
absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicación
de la regla de los signos.
•
Regla de los signos
10 : 5 = 2
(−10) : (−5) = 2
10 : (−5) = −2
(−10) : 5 = −2
Suma y resta de fraccionarios:
•
Con el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.
•
Con distinto denominador
En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se
restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.
Multiplicación de Fraccionarios:
•
•
•
•
Multiplicación de fracciones
La multiplicación de dos fracciones es otra fracción que tiene:
Por numerador el producto de los numeradores.
Por denominador el producto de los denominadores.
División de Fraccionarios:
•
•
•
La división de dos fracciones es otra fracción que tiene:
Por numerador el producto de los extremos.
Por denominador el producto de los medios.
SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES
Resolver una ecuación linear de una incógnita es encontrar el valor (o los valores) que
satisface la ecuación, es decir, el valor que al sustituirlo por la variable se confirma que los
dos miembros de la ecuación son verdaderamente iguales. El procedimiento para encontrar
este valor se llama Despeje.
PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES LINEALES:
El grado de una ecuación viene dado por el exponente mayor de la incógnita. En este tema
trabajamos con ecuaciones lineales (de grado 1) con una incógnita.
Solucionar una ecuación es encontrar el valor o valores de las incógnitas que transforman
la ecuación en una identidad.
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Para conseguir ecuaciones equivalentes, sólo se puede aplicar alguna de las siguientes
propiedades:
Propiedad 1: Sumar o restar a las dos partes de la igualdad una misma expresión.
Propiedad 2: Multiplicar o dividir las dos partes de la igualdad por un número diferente de
cero.
Procedimiento para resolver Ecuaciones Lineales:
Eliminar denominadores: multiplicando ambas partes de la ecuación por el mínimo común
múltiplo de los denominadores. (Propiedad 2).
Eliminar paréntesis. (Propiedad distributiva).
Transposición de términos. Conseguir una ecuación de la forma a ⋅ x = b . (Propiedad 1).
Despejar la incógnita.
Comprobar la solución.
Ejemplos:
3(2x + 5) − 2(4 + 4x) = 7 Lo primero que hacemos será las operaciones de los paréntesis
6x + 15 − 8 − 8x = 7 sumamos los términos en x y los términos independientes
− 2x + 7 = 7 transponemos los términos
− 2x = 7 − 7 ⇒ − 2x = 0 despejamos la incógnita ⇒ x = 0
Comprobación:
Al sustituir en la ecuación x = 0, transforma la ecuación en identidad:
( 2(0)+5) - 2(4+4(0)) = 7 ⇒ 3 ⋅ 5 − 2 ⋅ 4 = 7
Planteamiento y solución de una Ecuación Lineal a partir de una situación
problema:
Procedimiento para resolver problemas de ecuaciones:
Definición de la incógnita
Traducir al lenguaje algebraico el enunciado.
Planteamiento de la ecuación.
Resolución de la ecuación.
Ver si el resultado de la ecuación es coherente
con el enunciado