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Probabilidad
Probabilidad
¿De cuál de las siguientes bolsas es más probable sacar la bola roja?
PI 
2
3
PII 
4
7
PIII 
3
5
Por tanto, es más probable sacar una bola roja de la bolsa I
http://www.youtube.com/watch?v=_mbO-ndr740
Probabilidad
Las probabilidades y el sentido común
¿Existen leyes del azar? Nuestro sentido común
pareciera decirnos que el azar y las leyes son
conceptos contradictorios. Si algo sucede al azar, es
porque no hay leyes que lo determinan. Como puede
hablarse entonces de leyes del azar? Sin embargo,
existe una rama de la Matemática que trata sobre las
leyes del azar y es la Teoría de Probabilidades.
El calculo de probabilidades nos permite prever algunas eventualidades de origen
aleatorio. Cuando hablamos de prever, debemos hacerlo con mucho cuidado,
pues no se trata de enunciar una profecía, sino de una cuantificación o medida
con respecto a la ocurrencia de un evento.
Probabilidad
Las probabilidades y el sentido común
El objetivo de la Teoría de Probabilidades es interpretar y calcular las
probabilidades de fenómenos complejos en función de las probabilidades mas
sencillas de fenómenos conocidos. Esto último podemos hacerlo intuyendo los
eventos por simetría, por ejemplo, el clásico lanzamiento de una moneda.
Cuando lanzamos una moneda, suponemos a priori la cualidad simétrica de que
ambos lados (cara y sello) tienen igual posibilidad de ocurrir o, para decirlo
cuantitativamente, tienen igual probabilidad de ocurrir. Como hay solo
dos casos posibles (cara o sello), decimos que hay un caso de dos de que
resulte cara y, por supuesto, también un caso de dos de que resulte sello. Esto se
puede cuantificar mejor si empleamos esta relación como razón geométrica y
decimos: probabilidad de cara es uno entre dos igual a un medio, y probabilidad
de sello es uno entre dos igual a un medio, y lo escribimos como:
Probabilidad
Las probabilidades y el sentido común
1
P cara 
 
2
;
1
P sello 
 
2
En virtud de nuestra experiencia, y tomando el termino suceso en la acepción
del lenguaje corriente, podemos enunciar lo siguiente: “La probabilidad de un
suceso es la razón entre el número de casos esperados y el número de casos
posibles”.
Así, por ejemplo, lanzamos un dado y esperamos obtener un numero impar.
Sabemos que un dado tiene tres números impares: 1; 3 y 5, estos son los casos
esperados, y sabemos también que tiene seis números: 1; 2; 3; 4; 5 y 6, estos
son los casos posibles. Luego, calculamos:
3
1
P impar 
 P impar 




6
2
Probabilidad
Definiciones formales y probabilidad
Recordando los ejemplos ya descritos sobre lanzamiento de monedas o
dados, hechos con resultados al azar, y teniendo en cuenta que son actos
que se pueden realizar todas las veces que se desee, definiremos:
Experimento aleatorio (E): es todo proceso que se puede repetir
indefinidamente con resultados imprevisibles. Así, son experimentos
aleatorios el lanzamiento de una moneda, de un dado, la extracción de
una bola de bingo, ciertos procesos productivos de la naturaleza o de la
industria como los nacimientos (macho o hembra) o artículos (buenos o
defectuosos), etc.
Probabilidad
Definiciones formales y probabilidad
Espacio muestral: dado un experimento aleatorio E, se llama espacio
muestral Ω de E al conjunto formado por todos los resultados posibles
del experimento.
Por ejemplo, en el caso del lanzamiento de una moneda tenemos el
espacio muestral: Ω1={c; s}
Si lanzamos un dado, el espacio muestral es: Ω2={1; 2; 3; 4; 5; 6}
Evento o suceso: se llama evento o suceso de un experimento aleatorio E
a cualquier subconjunto A del espacio muestral Ω de este experimento.
Probabilidad
Definiciones formales y probabilidad
Hay sucesos que siempre van unidos a todo experimento aleatorio:
• Suceso seguro: está formado por todos los resultados posibles del
experimento. Es el suceso que ocurre siempre y coincide con el espacio
muestral.
• Suceso imposible: es el suceso que no se produce nunca; es decir, no
aparece al realizar un experimento aleatorio.
Probabilidad
Ejemplo 1:
De la urna de la derecha sacamos una bola al azar y
anotamos su número.
I. Describe su espacio muestral, ¿cuántos casos tiene?
Resolución:
Tiene 10 casos
Probabilidad
Ejemplo 1:
II. Describe los siguientes sucesos:
• Bola roja (A):
• Bola verde (B):
• Bola azul (C):
• Bola roja con número impar (D):
• Bola con número par (F):
Probabilidad
Ejemplo 1:
III. Calcula la probabilidad de cada uno de los sucesos
anteriores
5
1

10
2
2
1

Bola verde (B): P B 
10
5
3
Bola azul (C): P C 
10
 
•
Bola roja (A): P A 
•
 
•
 
• Bola roja con número impar (D): P  D  
• Bola con número par (F): P  F  
5
1

10
2
2
1

10
5
Probabilidad
Ejemplo 2:
Lanzamos al aire una moneda tres veces. Determina el espacio
muestral y los elementos que conforman los sucesos A: obtener
dos caras y un sello, y B: obtener por lo menos un sello.
Resolución:
Determinamos el espacio muestral: Ω  ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss
Determinamos el suceso A (obtener dos caras y un sello): A  ccs, csc, scc
Determinamos el suceso B (obtener por lo menos un sello):


B  ccs, csc, css, scc, ssc, sss
Probabilidad
Probabilidad de un suceso
Ley de Laplace
Si los sucesos elementales del espacio muestral son equiprobables, la
probabilidad de un suceso A, denotado P(A), es el cociente entre el
número de casos favorables de que ocurra el suceso A y el número de
casos posibles:
 
P A 
número de casos favorables
número de casos posibles

 
n  Ω
n A
Probabilidad
Ejemplo 3:
En una urna, colocamos diez canicas, cuatro rojas y seis azules.
Determinemos la probabilidad de sacar una canica roja.
El número de casos favorables es 4, porque hay 4 canicas de color
rojo en la urna y el número de casos posibles es 10, porque hay 10
bolas en la urna. Luego,
 
P R 
Número de casos favorables
Número de casos posibles
 
P R 
4
2
P R 
10
5
 
De igual manera, la probabilidad de
sacar una canica azul es:
 
P A 
6
3
P R 
10
5
 
Probabilidad
Probabilidad de un suceso
Propiedades de la probabilidad
Para cada suceso A, la probabilidad P(A) está comprendida desde 0
hasta 1, es decir, 0  P  A   1
• La probabilidad del suceso seguro (Ω) es 1, es decir P  Ω   1
• La probabilidad del suceso imposible Ø es 0, es decir P  Ø   0
 
• Si Ā es el suceso contrario o complementario de A, P A  1  P  A 
• Si A y B son dos sucesos compatibles, P  A  B  P  A   P  B  P  A  B
• Si A y B son dos sucesos incompatibles, P  A  B  P  A   P  B
Probabilidad
Ejemplo 4:
Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado, salga un
número par o primo.
Resolución:
Determinamos el espacio muestral y los sucesos A, salir número par, y
B, salir número primo:





Ω  1, 2, 3, 4, 5, 6 ; A  2, 4, 6 ; B  2, 3, 5

Aplicamos la propiedad de sucesos compatibles, ya que existe un número
par que también es primo (el número 2)


 
 




P AB  P A P B P AB  P AB 
3 3 1
5



6 6 6
6
Probabilidad
Probabilidad de sucesos independientes y dependientes
Sucesos independientes
Dos sucesos son independientes cuando el resultado del primero no
influye en la probabilidad del segundo. La probabilidad de un suceso
ligado a dos sucesos independientes se calcula multiplicando la
probabilidad de cada suceso.|


   
P A  B  P A .P B
Probabilidad
Probabilidad de sucesos independientes y dependientes
Ejemplo 5:
Se extraen dos cartas de una baraja de 52, en forma sucesiva y con
reposición. Calcula la probabilidad de que ambas cartas sean de corazones.
Resolución:
Al reponer la carta extraída en el primer suceso, la probabilidad del segundo
suceso no queda afectada, ya que la baraja mantiene las 52 cartas. Calculamos la
probabilidad de cada suceso:
P(A): obtener corazón en la primera extracción. P(A) = 13/52
P(B): obtener corazón en la segunda extracción. P(B) = 13/52
Calculamos la probabilidad del experimento aleatorio:
13 13
1
P A  B  P A .P B 
.

52 52
16


   
Probabilidad
Probabilidad de sucesos independientes y dependientes
Sucesos dependientes
Dos sucesos son dependientes cuando el resultado del primero influye en
la probabilidad del segundo. La probabilidad de un suceso ligado a dos
sucesos dependientes se calcula multiplicando la probabilidad del primer
suceso por la probabilidad del segundo suceso, habiendo ocurrido el
primero.
 A
P A  B  P A .P B


 
Probabilidad
Probabilidad de sucesos independientes y dependientes
Ejemplo 6:
Se extraen dos cartas de una baraja de 52, en forma sucesiva y sin
reposición. Calcula la probabilidad de que ambas cartas sean de corazones.
Resolución:
Al no reponer la carta extraída en el primer suceso, la probabilidad del segundo
suceso queda afectada, ya que la baraja se reduce a 51 cartas.
Calculamos la probabilidad de cada suceso:
P(A): obtener corazón en la primera extracción: P(A) = 13/52
P(B): obtener corazón en la segunda extracción, habiendo salido corazón en la
primera extracción: P(B) = 12/51
Calculamos la probabilidad del
13 12
1
B
P
A

B

P
A
.P

.

experimento aleatorio:
A
52 51 17


 
 
Probabilidad
Ejercicios
01. Se extrae al azar una carta de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la
probabilidad de que sea una carta roja o un As?
02. Se lanza un dado dos veces en forma sucesiva, ¿cuál es la probabilidad de que
ambos resultados sean 3?
03. En una caja hay 20 tarjetas numeradas del 1 al 20. Se extrae una
carta al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor que 12 o múltiplo de
5?
Probabilidad
Ejercicios
04. De una baraja de 52 cartas se
extraen dos de ellas, una tras otra.
Calcula la probabilidad de obtener:
A. Dos ases
B. “As” en la primera y una carta
distinta en la segunda extracción.
C. Ningún “as”
D. Algún “as”
05. Se lanza una moneda tres veces.
Calcula la probabilidad de obtener:
A. Cara en la primera, sello en la segunda
y cara en la tercera.
B. Dos caras
C. Ninguna cara
D. Al menos un sello
E. Dos caras o dos sellos
Probabilidad
Ejercicios
06. Se lanza una moneda. Si sale cara, se extrae una bola de una bolsa en la
que hay 3 rojas y 2 blancas. Si sale sello, se extrae una bola de otra bolsa
en la que hay 6 rojas y 2 blancas. Calcula la probabilidad de que la bola
extraída de la bolsa sea blanca.
07. Se lanza un dado. Si sale un número mayor que 4, se extrae una bola de una
caja que contiene 3 blancas y 5 negras. En caso contrario, se extrae una bola de
otra caja en la que hay 2 blancas y 6 negras. ¿Cuál es la probabilidad de obtener
finalmente una bola negra?
Probabilidad
Ejercicios
08. Una urna contiene 5 bolas rojas y
2 bolas blancas; otra urna contiene 8
bolas rojas y 4 blancas. Se extrae una
bola de la primera urna y sin ver su
color se introduce en la segunda urna;
luego se extrae una bola de la
segunda urna. Calcula las siguientes
probabilidades:
A. Que la bola extraída de ambas
urnas sea roja.
B. Que la bola extraída de la primera
roja y de la segunda sea blanca.
C. Que la bola extraída de la primera
blanca y de la segunda sea roja.
D. Que la bola extraída de ambas sea
blanca.
E. Que la bola extraída de la segunda
roja.
F. Que la bola extraída de la segunda
blanca.
sea
sea
sea
sea
Probabilidad
Esperanza Matemática
En todo fenómeno probabilístico existen dos posibilidades: acertar o no acertar la
posibilidad de que ocurra un suceso. Así, por ejemplo:
El meteorólogo, después de estudiar las variables que intervienen en el clima,
predice cuál será el comportamiento de este (con el ánimo de acertar). El
comerciante compra diferentes productos para vender y calcula (a veces,
considerando las variables que intervienen en el precio) cuánto deberá vender para
estimar la cantidad a comprar. Un jugador de casino tira los dados con cierta
fuerza esperando que salga determinada cara para ganar el premio.
En estos ejemplos y en muchos otros, todos los que participan tienen la esperanza
de ganar (o acertar y cuánto más veces, mejor), pero esto no es fácil.
Probabilidad
Esperanza Matemática
La esperanza matemática (o valor esperado o, simplemente esperanza) de una
variable aleatoria es la suma de las probabilidades de cada suceso multiplicado por
su valor.
n
   x .p
E x 
Esto es:
i 1
i
i
Entonces, la esperanza matemática de x o valor esperado de x, E(x) es:
 
E x  x1 .p1  x2 .p2  x3 .p3  ...........  xn .pn
Probabilidad
Esperanza Matemática
Ejemplo 7:
Una lotería electrónica realiza su sorteo los domingos al mediodía.
El premio principal lo pueden ganar 0, 1, 2, 3, 4 personas y sus
respectivas probabilidades son 0,80, 0,07, 0,06, 0,04, 0,03.
¿Cuál es el número esperado de ganadores en dicho sorteo?
Resolución:
Para responder a la pregunta debemos calcular la esperanza matemática:
 


E  x   0, 43







E x  0. 0, 80  1. 0, 07  2. 0, 06  3. 0, 04  4. 0, 03

El número esperado de ganadores es 0,43 y se interpreta como: “El número
esperado de ganadores en 100 sorteos es 43”
Probabilidad
Esperanza Matemática
Ejemplo 8:
Elvira le dice a Juan: Esta urna contiene 70 bolas rojas y 30 bolas blancas. Te doy
S/.5 si la bola que extraes es roja y si la bola que extraes es blanca, tú me das
S/.15. Si Juan acepta el reto, ¿qué puede esperar si juega muchas veces?
Resolución:
Analizamos ambas situaciones:
70
7
La probabilidad de extraer bola roja y ganar S/.5 es P R 

100
10
30
3
La probabilidad de extraer bola blanca y perder S/.15 es P B 

100
10
 
 
Calculamos la esperanza matemática E(x)
 
E x  5.
70
3
 ( 15 ).
 1
10
10
Probabilidad
Ejercicios
09. Al invertir en ciertas acciones, una persona puede tener una ganancia en un
año de S/.1 800 con probabilidad de 0,3 o tener una pérdida de S/.500 con
probabilidad de 0,7. ¿Cuál es la ganancia esperada de esta persona? S/.190
10. Para disuadir a sus compañeros de trabajo de participar en apuestas, Pedro
analiza un juego con dados: cada vez que se juega, la casa hace una apuesta de
S/.100. Si el participante lanza dos dados y la suma es 7, gana el doble, ¿es
equitativo este juego?
5° SEC
Análisis Combinatorio