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ECUACIONES DIFERENCIALES
Y ÁLGEBRA LINEAL
Unidad 3
EDOL DE ORDEN SUPERIOR
Sesión 5.2
EDOL homogénea de orden superior con
coeficientes constantes. Principio de superposición.
MA 264 EDO & AL
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Logro de la sesión:
Al finalizar la sesión el estudiante reconoce las
EDOLH de orden superior con coeficientes
constantes y explica el principio de superposición.
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EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR
Como ya se sabe, una ecuación diferencial ordinaria
de orden 𝑛 es lineal, si se puede escribir de la forma:
𝑎𝑛 𝑥 𝑦 (𝑛) + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑦 (𝑛−1) + ⋯+𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥)
donde:
𝑎𝑘 𝑥 ; 𝑘 = 0, … , 𝑛;𝑎𝑛 𝑥 ≠ 0 son funciones de 𝑥
Una ecuación diferencial ordinaria que no se pueda
expresar de esta forma es no-lineal.
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EDOL HOMOGÉNEA Y NO HOMOGÉNEA
𝑎𝑛 𝑥 𝑦 (𝑛) + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑦 (𝑛−1) + ⋯+𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥)
Coeficientes constantes
Si las 𝒂𝒊 𝒙 son constantes ∀𝒊 = 𝟎, 𝒏 y 𝒈 𝒙 = 𝟎, la
EDOL es homogénea con coeficientes constantes.
Si 𝒈 𝒙 ≠ 𝟎 , la EDOL será no homogénea.
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EJEMPLO.
𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
𝑥 2 − 𝑒𝑥
+ 𝑦 = 𝑥3
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Lineal
Orden 2
No homogénea
Coeficientes variables
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EJEMPLO.
𝑑3 𝑢
𝑑2 𝑢
−5 2 =0
3
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Lineal
Orden 3
Homogénea
Coeficientes constantes
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EJEMPLO.
𝑦 ′′′ − 𝑦 ′ = 𝑥 2 + 𝑠𝑒𝑛𝑥
Lineal
Orden 3
No homogénea
Coeficientes constantes
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EJEMPLO.
𝑦𝑦 ′′ + 𝑥𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥 2 + 1
No Lineal
Orden 2
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PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
ECUACIONES HOMOGÉNEAS
Si 𝑦1 ; 𝑦2 ; … ; 𝑦𝑘
son soluciones de una EDOL
homogénea, entonces
𝑦 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 + ⋯ + 𝑐𝑘 𝑦𝑘
es también una solución de la EDOL.
Es decir, la C.L. de 𝑘 soluciones de una EDOL
también es solución.
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SOLUCIÓN GENERAL DE UNA EDOLH
Si 𝑦1 ; 𝑦2 ; … ; 𝑦𝑛 es un conjunto L.I. de soluciones
de una EDOL homogénea de orden n en un
intervalo I,
entonces la solución general de la
EDOL en dicho intervalo es:
𝑦 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑦𝑛
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EJEMPLO.
Las funciones 𝑦1 = 𝑥 2 y 𝑦2 = 𝑥 2 ln 𝑥 son soluciones
de la EDOL homogénea
𝑥 3 𝑦 ′′′ − 2𝑥𝑦 ′ + 4𝑦 = 0
Entonces, por el principio de superposición
𝑦 = 𝑐1 𝑥 2 + 𝑐2 𝑥 2 ln 𝑥
es también una solución de la EDOL.
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