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Munive Saldaña Evans Josué
Álgebra Lineal
- 14210427
¿Para que sirve un axioma de un
espacio vectorial?
El enfoque axiomático es fundamental para definir objetos matemáticos ya
que nos ayudan a determinar si se cumplen o no ciertas propiedades.
Decimos que un conjunto de objetos matemáticos , junto con dos
operaciones y (que llamamos la suma vectorial y la multiplicación de un
escalar¹ por un vector, respectivamente) forman un espacio vectorial, si se
cumplen los diez axiomas siguientes:
1-La multiplicación en los números reales positivos es cerrada, x, yЄ R⁺ y por la
primera regla de los signos xyЄ R⁺. Por lo tanto el axioma se cumple.
2(x+y)+z=x+(y+z)
xy+z=x+yz
xyz=xyz
por lo tanto, el axioma se cumple.
3x+y=x+y
xy=xy
Por lo tanto, el axioma se cumple.
4x+ 𝑒 = x
x 𝑒=x⇒ 𝑒=1
Como el elemento neutro de la suma existe es 1, el axioma se cumple. Es importante
resaltar que el elemento neutro no siempre es cero; de manera general se denota
como 0, pero no quiere decir que será, como tal, un cero; todo dependerá de la forma
en la cual este definida la operaciónón de suma
5x+(-1)=1
x-x=1
1
x(𝑥 −1 )=1 ⇒ 𝑥 −1 = 𝑥
Por lo que el axioma se cumple para cualquier elemento de T, ya que este conjunto no
contiene cero.
6-Un numero real positivo elevado a cualquier potencia siempre es positivo. Por lo
tanto, el axioma se cumple.
7(α β)x= α (βx)
𝑥 αβ = α(𝑥 β )
=(𝑥 β )α ⇒ 𝑥 αβ
Por leyes de los exponentes, el axioma se cumple.
8(α+β)x= αx + βx
𝑥 α+β = 𝑥 α + 𝑥 β
=𝑥 α 𝑥 β ⇒ 𝑥 α+β
Nuevamente, por leyes de los exponentes, el axioma se cumple.
9α(x + y)= αx + αy
(𝑥 + 𝑦)α =𝑥 α + 𝑦 α
(𝑥𝑦)α = 𝑥 α 𝑦 α ⇒ (𝑥𝑦)α
Por leyes de los exponentes, una vez mas, el axioma se cumple.
10-
(1)x=x
𝑥1
El ultimo axioma se cumple. Por lo tanto, el conjunto T, con las operaciones definidas,
es un espacio vectorial sobre el campo de los números reales.