Download 3.5 Ecuaciones cuadraticas

Ecuación cuadrática o de segundo
grado
Una ecuación se dice cuadrática si es
de la forma:
ax  bx  c  0
2
Donde:
a 0
b y c son números dados llamados
coeficientes de la ecuación.
Ecuación cuadrática incompleta
1) Cuando b = 0
EJEMPLO
:
2x  8  0
2
2x  8
2
Se resuelve como
si fuese de primer
grado
x1  2
x 4
2
x2   2
Ecuación cuadrática incompleta
2) Cuando C = 0
EJEMPLO:
2 x  8x  0
2
x 2x  8  0
x  0
Se saca factor
común a x
2x  8  0
x4
Ecuación cuadrática completa
Se aplica la fórmula
EJEMPLO:
x
b
b2  4 a c
2a
b5
2 x 5 x 3 0
2
x
5
5
a2
c  3
52  4 .2 .(3)
2. 2
25  24
x
4
5 7
x
4
 5 7
x
4
 5 7
x
4
2
x
4
1
x
2
 12
x
4
x3
Ecuación con trinomio cuadrado perfecto
2) Cuando C = 0
EJEMPLO:
x  4x  4  0
2
Se factoriza el
trinomio
x  2  0
x  2( x  2)  0
2
x2  0
x2  0
x  2
x  2
Ecuaciones cuadráticas de fácil resolución
6
Retomemos el ejercicio del número 365
3 x2 + 6x -360 = 0
• Utilizando una ecuación equivalente
x2 + 2x – 120 = 0
• Completando el trinomio cuadrado perfecto
x2 + 2x + 1 - 1 – 120 = 0
( x + 1 )2 – 121 = 0
Generalicemos
el
Los
números
2
(x + 1 ) = 121
método que
son
aplicamos en
x + 1 =  11
10,11
y 12
este
ejercicio
x1 = 10 ; x2 = -12
7
Resolución de la ecuación cuadrática
8
Discriminante de la Ecuación cuadrática
Se llama DISCRIMINANTE de una ecuación de
segundo grado al valor:
  b 4ac
2
El nº de soluciones de una ecuación de segundo grado
dependerá del SIGNO del Determinante
Si:
Tiene 2 soluciones
>0
reales distintas


=0

<0
Tiene 1 solución DOBLE
No tiene solución
Discriminante de la Ecuación cuadrática
10
Discriminante de la Ecuación cuadrática
11
Discriminante de la Ecuación cuadrática
12
Propiedades de las raíces de una ecuación
de segundo grado
A partir de la fórmula se obtienen las siguientes propiedades
1) Suma de raíces
b
x1  x2 
a
2) Producto de raíces
c
x1  x2 
a
Ejercicios
14
Ejercicio
•
Encuentre dos números consecutivos y positivos enteros cuyo
producto sea 30.
•
El número 365 tiene la característica de ser la suma de los
cuadrados de dos números naturales consecutivos. Indique
cuáles son.
15
Ejercicios
• Utilizando el discriminante decir cuántas soluciones tiene
cada una de las siguientes ecuaciones
a) x  6 x  5  0
2
2
b) x  x  1  0
3
2
2
 x
c)    3x  1  0
2
2 2
1
d )  x  2x   0
3
2
16