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Física del Estado Sólido Dra. Mónica Trejo Duran Bandas de energía Los electrones en un átomo solo toman ciertos valores de energía discretos. En un sólido cada nivel atómico se junta en muchos niveles de energía cercanos formando bandas de energía. De acuerdo con el principio de exclusión de Pauli solamente dos electrones (con diferente spin) pueden ocupar un nivel de energía atómico con un conjunto de números cuánticos n, l y m. 2N electrones deben ocupar una banda de energía conteniendo N niveles de energía. Al igual que en los átomos los niveles de energía más bajos se llenan primero y los más altos quedan vacíos, así las bandas de energía más bajas son llenados y las bandas de más alta energía están vacías. Las bandas de energía permitidas están separadas por estados o bandas de energía prohibidas. Las bandas vacías o parcialmente llenas se llaman bandas de conducción y las bandas completamente llenas por electrones de valencia se llaman bandas de valencia. Electrón libre Banda de Conducción 𝐸𝑔 gap Banda de Valencia Cuando el mínimo de la banda de conducción y el máximo de la banda de valencia están en 𝑘 ≠ 0 𝑘 ′ diferentes Cuando el mínimo de la banda de conducción y el máximo de la banda de valencia están en 𝑘 = 0 Banda de Conducción Banda de Valencia 𝐸𝑔 MASA EFECTIVA. Cerca del mínimo de conducción la dependencia de la energía del electrón en el vector de onda puede ser aproximada a una función parabólica similar a la del electrón en el espacio libre. Sin embargo, la curvatura de esta dependencia es diferente a la del espacio libre, así como las direcciones cristalográficas son diferentes y la curvatura depende de la dirección. Para encontrar su forma se introduce el tensor de masa efectiva son componentes definidos como: 1 1 𝜕 2 𝐸𝑛 = 𝑚𝑖,𝑗 ℏ2 𝜕𝑘𝑖 𝜕𝑘𝑗 Donde 𝑘𝑖 y 𝑘𝑗 son las proyecciones del vector de onda 𝑘 . Cuando E(𝑘) depende solamente de la magnitud de 𝑘 y no de la dirección de 𝑘, este 1 tensor se reduce a la masa efectiva 𝑚𝑛 Para el caso del Arsenio de Galio (Ga As) Para el caso de Silicio (Si) ℏ2 𝑘 2 𝐸𝑛 𝑘 = 𝐸𝑐 + 2𝑚𝑛 ℏ2 𝑘𝑙2 𝑘𝑡2 𝐸𝑛 𝑘 = 𝐸𝑐 + + 2 𝑚𝑙 𝑚𝑡 Donde 𝑘𝑙 y 𝑘𝑡 son componentes transversales (t) y longitudinales (l) del vector 𝑘 𝑚𝑙 masa efectiva longitudinal 𝑚𝑡 masa efectiva transversal Primera zona de Brillouin de FCC Puntos de simetría Γ, Χ, L Líneas de simetría Δ, Λ, Σ Dependencia angular de 𝐸(𝑘) dibujando superficie en el espacio 𝑘 correspondiente a la misma energía del electrón. Superficies esféricas de igual energía (GaAs). Mínima energía en el punto Γ Superficies elipsoidales de igual energía (Si). Iguales Mínima energía en el punto Χ E Valle L recordar que [001] y [010] [111] y [111] son equivalentes para la simétrica cúbica • En todos los semiconductores cúbicos el punto más alto de la banda de valencia esta localizado en el punto Γ de la 1ª zona de Brillouin (𝑘 = 0,0,0) Valle X 𝐸𝐿 𝐸Δ [111] • Hay dos bandas de valencia llamadas bandas huecos ligeros y huecos pesados que tienen la Hoyos misma energía en el punto 𝑘 = 0 (son ligeros degenerados). Mientras que la tercera banda separada de las otras dos se llama banda split-off [001] 𝐸Γ = 𝐸𝑔 Hoyos pesados Banda Split-off Arseniuro de Galio E Cuando iluminamos con luz un semiconductor, un electrón de la banda de valencia toma energía del fotón y experimenta una transición a la banda de Valle X conducción. A esta transición se llama transición interbanda o absorción de fotones. Valle L 𝐸Γ [111] 𝐸𝐿 Banda Split-off 𝐸Δ [001] Hoyos ligeros Hoyos pesados • Cuando un campo eléctrico es ampliado a semiconductor (ejemplo: GaAs), los portadores de carga gana energía del campo eléctrico y ocupan estados de energía más altos. Campo eléctrico bajo • Los electrones primero ocupan estados de energía en el mínimo más bajo de la banda de conducción (mínimo Γ). Silicio Campo eléctrico alto Los electrones primero ocupan estados de energía en el mínimo más alto (L) de la banda de conducción. FUNCIONESDE DISTRIBUCIÓN Y DENSIDAD DE ESTADOS. El número de niveles llenos en la banda de conducción y de niveles desocupados en la banda de Valencia depende de la temperatura. A más altas temperaturas más electrones adquieren suficiente energía térmica para pasar a estados de energía más altos en la banda de conducción. Ahora calcularemos la concentración de electrones en la banda de conducción. Consideremos un sistema con una gran cantidad de partículas (N) como un gas de moléculas, donde cada partícula puede tomar ciertos valores de energía 𝐸1 , 𝐸1 ,…, 𝐸𝑖 . Si tenemos que el número de estados es mucho más grande que el número de partículas entonces la probabilidad de encontrar una partícula en un cierto estado es mucho menor que uno. La probabilidad de encontrar una partícula en el estado con energía Ei está dado por. 𝑁𝑖 𝑃 𝐸𝑖 = 𝑁 𝑁𝑖 es el número de partículas en el estado 𝐸𝑖 La energía promedio de las partículas es: < 𝐸 >= 𝑖 𝑁𝑖 𝐸𝑖 𝑁 En equilibrio la probabilidad de tener partículas en 2 estados de energía 𝐸𝑘 y 𝐸𝑖 están relacionados por los factores de Boltzmann. 𝐸𝑘 −𝐸𝑖 𝑃 𝐸𝑖 = 𝑒 𝑘β 𝑇 𝑃(𝐸𝑘 ) Esta ecuación significa que la probabilidad de encontrar una partícula en un cierto estado de energía 𝐸𝑖 , decrece exponencialmente con 𝐸𝑖 . Para un espectro continuo de energía, la probabilidad de encontrar una partícula entre 𝐸 y 𝐸 + 𝑑𝐸 está dado por: 𝑓 𝑑𝐸 = 𝑒 𝐸 𝑘β 𝑇 𝑑𝐸 Donde f es llamada Función de Distribución de Boltzmann. Para electrones, el principio de Exclusión de Pauli establece que no más de dos electrones pueden ocupar un nivel de energía dado. Los electrones tienden a ocupar primero los estados con más bajas energías. Así, todos los estados con energías bajas son llamados exactamente en la misma forma. Así que para bajas energías, la función de probabilidad electrónica f, debe ser igual a uno ya que todos esos estados están ocupados. La función de distribución electrónica es: 1 𝑓𝑛 𝐸 = 1+𝑒 𝐸−𝐸𝐹 𝑘β 𝑇 𝑓𝑛 → Función de distribución de Fermi-Dirac. La energía 𝐸𝐹 es llamada Energía de Fermi o Nivel de Fermi y se define como la 1 energía por la cual 𝑓𝑛 𝐸 = . Cuando 𝐸 > 𝐸𝐹 por algunos 𝑘β 𝑇 , 𝑓𝑛 𝐸 ≪ 1 y la 2 distribución de Fermi- Dirac se reduce a la distribución de Boltzmann. Cuando E es mucho menos que 𝐸𝐹 por algunos 𝑘β 𝑇, 𝑓𝑛 𝐸 = 1 de acuerdo con el principio de Exclusión de Pauli. Cuando 𝑇 → 0 𝑓𝑛 𝐸 → función escalón 𝑓𝑛 𝐸 = 1 𝑓𝑛 𝐸 = 0 𝐸 − 𝐸𝐹 (𝑒𝑉) 𝑠𝑖 𝐸 < 𝐸𝐹 𝑠𝑖 𝐸 > 𝐸𝐹 La 𝑓𝑛 𝐸 nos permite encontrar la probabilidad de que un estado esté lleno. Mas adelante veremos cómo encontrar 𝐸𝐹 , por lo pronto supondremos que la conocemos. La concentración total de electrones en la banda de conducción será: 𝑛 = concentración [m−3 ] 𝑓𝑛 𝐸 = nº de ocupación 𝑔𝑛 𝐸 = densidad de estados de de volumen por unidad de energía [m−3 J −1 ] 𝐸𝑐𝑡 𝑛= 𝑓𝑛 𝐸 𝑔𝑛 𝐸 𝑑𝐸 𝐸𝑐 𝐸𝑐 , 𝐸𝑐𝑡 energía inferior y superior de la banda de conducción 1 𝑑𝑁 𝑔𝑛 𝐸 = = 4𝜋 𝑉 𝑑𝐸 𝑚 𝜂 𝑘β 𝑇 𝑁𝑐 = 2 2𝜋ℏ2 𝜂𝜂 = 𝐸𝐹 − 𝐸𝑐 𝑘β 𝑇 3 𝑒𝑚𝜂 2 ℏ2 𝐸 ∞ 1 − 𝐸𝑐 2 𝑛= 𝑓𝑛 𝐸 𝑔𝑛 𝐸 𝑑𝐸 = 𝑁𝑐 𝐹1 (𝜂𝜂 ) 2 𝐸𝑐 3 2 Densidad efectiva de estados para la banda de conducción 𝐹1 𝜂𝜂 2 2 = 𝜋 ∞ 0 1 𝑥2 1 + 𝑒 𝑥 −𝜂𝜂 𝑑𝑥 Integral de Fermi ELECTRONES Y HUECOS EN SEMICONDUCTORES. Para entender y describir la operación de un dispositivo semiconductor necesitamos conocer cómo los portadores de corriente eléctrica (electrones y huecos) están distribuidos en un material semiconductor en energía y espacio, cómo cambian sus concentraciones y cómo se mueven los electrones y huecos en un campo eléctrico ampliado y las ecuaciones básicas que describen el movimiento. E Los cambios en el nivel de ocupación electrónica en la banda de valencia son más fácilmente entendibles identificando el movimiento del nivel de energía del hueco. Donde hueco = partícula ficticia, ausencia de electrón, vacante de energía (+q) si e= -q La función de ocupación de Fermi-Dirac para huecos es: 1 𝑓𝑝 𝐸 = 1 − 𝑓𝑛 𝐸 = 1+𝑒 𝐸𝐹 −𝐸 𝑘β 𝑇 La dependencia de la energía en la banda de valencia del vector de onda es: ℏ2 𝑘 2 𝐸𝑝 𝑘 = 𝐸𝑣 + 2𝑚𝑝 𝑚𝑝 masa efectiva del hueco y 𝐸𝑣 tope de la banda de Valencia. La densidad de estados de energía permitidos por unidad de volumen en una banda de valencia parabólica (Densidad de estados de huecos): 2𝑚𝑝 𝑔𝑝 𝐸 = 4𝜋 ℎ2 3 2 𝐸𝑣 − 𝐸 1 2 La concentración de huecos: ∞ 𝑝= 2 𝐸𝑐 Donde: 𝑁𝑐 = 2 𝑔𝑝 𝐸 𝑓𝑝 𝐸 𝑑𝐸 = 𝑁𝑉 𝐹1 (𝜂𝑝 ) 𝑚 𝑝 𝑘β 𝑇 2𝜋ℏ2 3 2 Densidad efectiva de estados para la banda de valencia 𝐸𝑉 − 𝐸𝐹 𝜂𝑝 = 𝑘β 𝑇 Los huecos ligeros tienen masa efectiva 𝑚𝑝𝑙 y los huecos pesados tienen masa efectiva 𝑚𝑝ℎ Así para la banda de huecos, la densidad efectiva de estados está dada por: 𝑚𝑝𝑙 𝑘β 𝑇 𝑁𝑉𝑙 = 2 2𝜋ℏ2 3 2 𝑁𝑉ℎ 𝑚𝑝ℎ 𝑘β 𝑇 =2 2𝜋ℏ2 3 2 Así: 𝑁𝑉 = 𝑁𝑉𝑙 + 𝑁𝑉ℎ 𝑚𝑝ℎ 𝑘β 𝑇 =2 2𝜋ℏ2 3 2 𝑚𝑝𝑙 𝑘β 𝑇 +2 2𝜋ℏ2 3 2 = 3 2 𝑚𝑝ℎ + 2 3 3 2 𝑚𝑝𝑙 densidad de estados de masa efectiva CONCENTRACIONES DE ELECTRONES Y HUECOS. Cuando el nivel de Fermi, 𝐸𝐹 , está en el gap de energía y 𝐸𝑐 − 𝐸𝐹 , 𝐸𝐹 − 𝐸𝑉 es más grande que varias energías 𝑘β 𝑇, el semiconductor se dice que es no degenerado. Cuando 𝐸𝑐 − 𝐸𝐹 > 3𝑘β 𝑇 𝐹1 2 De donde 𝑛 = 𝑁𝑐 𝑒 𝐸𝐹 −𝐸𝐶 𝐸𝐹 − 𝐸𝑐 ≈ 𝑒 𝑘β 𝑇 𝑘β 𝑇 𝐸𝐹 −𝐸𝐶 𝑘β 𝑇 Y sí 𝐸𝐹 − 𝐸𝐶 > 3𝑘β 𝑇 𝑝 = 𝑁𝑉 𝑒 𝐸𝑉 −𝐸𝐹 𝑘β 𝑇 Como puede verse las concentraciones n y p en un semiconductor no degenerado son mucho más pequeños que la densidad efectiva de estados, Nc y Nv , en la banda de conducción y de valencia respectivamente. Cuando el nivel de Fermi en la banda de conducción es 𝐸𝐹 − 𝐸𝑐 > 3𝑘β 𝑇 o el nivel de Fermi en la banda de valencia es 𝐸𝑉 − 𝐸𝐹 > 3𝑘β 𝑇 el semiconductor es llamado Degenerado. Para un semiconductor degenerado tipo n 4 𝐸𝐹 − 𝐸𝑐 𝐹1 ≈ 3 𝑘β 𝑇 𝜋 2 3 2 1 2𝑚𝑑𝑛 (𝐸𝐹 − 𝐸𝑐 ) 𝑛≈ 2 3𝜋 ℏ2 3 2 Y para un tipo P 𝑝≈ 1 2𝑚𝑑𝑝 (𝐸𝑉 − 𝐸𝐹 ) 3𝜋 2 ℏ2 3 2 Nivel de Fermi para un semiconductor degenerado Tipo n 𝐸𝐹 − 𝐸𝑐 = ℏ2 Tipo p 2 2 3𝜋 𝑛 3 2𝑚𝑑𝑛 𝐸𝑉 − 𝐸𝐹 = ℏ2 2 2 3𝜋 𝑝 3 2𝑚𝑑𝑝 CONCENTRACIÓN DE ELECTRONES Y HUECOS. n distancia distancia Tipo n Densidad de estados Función de distribución 𝑓𝑛 1 No degenerado 𝑔𝑛 0.5 𝐸𝐶 energía 𝐸𝐹 energía 𝐸𝐶 𝑓𝑛 1 𝑔𝑛 Degenerado 0.5 𝐸𝐶 energía 𝐸𝐶 𝐸𝐹 energía Densidad de electrones por unidad de energía (tipo n) No degenerado 𝑑𝑛 𝑑𝐸 𝐸𝐶 energía Degenerado 𝐸𝐶 energía Tipo p Densidad de estados Función de distribución 𝑓𝑝 1 𝑔𝑝 No degenerado 0.5 energía 𝐸𝑉 𝐸𝐹 𝐸𝑉 energía 𝑓𝑝 𝑔𝑝 1 Degenerado 0.5 energía 𝐸𝑉 𝐸𝐹 𝐸𝑉 energía Densidad de electrones por unidad de energía (tipo p) No degenerado Degenerado 𝑑𝑝 𝑑𝐸 𝑑𝑝 𝑑𝐸 energía energía 𝐸𝑉 𝐸𝑉 Para un semiconductor no degenerado 𝑛𝑝 = 𝑁𝑐 𝑁𝑉 𝑒 𝐸𝑔 −𝑘 𝑇 β donde𝐸𝑔 = 𝐸𝐶 − 𝐸𝑉 Es la energía gap. Esta ecuación se puede reescribir 𝑛𝑝 = 𝑛𝑖2 Donde 𝑛𝑖 = 𝐸 1 − 𝑔 𝑁𝑐 𝑁𝑉 2 𝑒 2𝑘β 𝑇 ← Ley de acción − masa ← Concentración intrínseca de portadores El producto np para un semiconductor no degenerado es independientemente del nivel de Fermi y está determinado por la densidad de estados en la banda de valencia y conducción, la energía gap y la temperatura. La ley de acción – masa es válida en equilibrio térmico. Si se quiere realizar una estimación aproximada de la dependencia de 𝑛𝑖 con respecto a 𝐸𝑔 , asumamos que 𝑚𝑛 = 0.3𝑚𝑒 y 𝑚𝑝 = 0.6𝑚𝑒 con los que podremos calcular 𝑁𝑐 y 𝑁𝑉 tenemos que 𝑛𝑖 = 1.34x1021 ⋅ 3 𝑇2 K ⋅𝑒 𝐸𝑔 −2𝑘 𝑇 β 𝑚−3 Para 300 K, la gráfica de esta ecuación se muestra en la figura siguiente. (para Si 𝐸𝑔 = 1.11 eV, para GaAs 𝐸𝑔 = 1.42 eV) Algunas constantes importantes ℎ = 6.626x10−34 J ⋅ s ℏ = 1.054x10−34 J ⋅ s 𝑘β = 1.7806x10−23 J eV −5 = 8.6133x10 K K • La concentración de portadores es pequeña comparada con la concentración de electrones de valencia en un semiconductor 1023 cm−3 • De la ley de acción-masa, tenemos np~[107 − 1010 ] SEMICONDUCTORES INTRÍNSECOS, DOPADOS Y COMPENSADOS. Donadores y Aceptores. En un semiconductor puro neutral, la concentración de electrones cargados negativamente debe ser igual a los huecos cargados positivamente, en este caso se dice que es intrínseco. Como 𝑛 = 𝑝 entonces 𝑛 = 𝑝 = 𝑛𝑖 = 𝐸 1 − 𝑔 𝑁𝑐 𝑁𝑉 2 𝑒 2𝑘β 𝑇 Y el nivel de Fermi es llamado Nivel de Fermi intrínseco (𝐸𝑖 ) 𝐸𝑖 = 𝐸𝑔 3 𝑚𝑑𝑝 𝑚𝑑𝑝 𝑁𝑐 + 𝑁𝑉 3 + 𝑘β 𝑇 ln = 𝐸𝑐 − + 𝑘β 𝑇 ln 2 4 𝑚𝑑𝑛 2 4 𝑚𝑑𝑛 Donde 𝐸𝑔 ~1 eV y 𝑘β 𝑇 ~ 26 eV a temperatura ambiente (300 K). Como son cualidades pequeñas, 𝐸𝑖 queda aproximadamente a la mitad del gap. 𝐸 𝐸𝐶 𝐸𝑖 𝐸𝑉 distancia Cuando se introducen en un semiconductor dopantes: Donadores (tipo n, electrones) o aceptores (tipo p, huecos) se les llama semiconductores extrínsecos. Para el Silicio los donadores o impurezas introducen niveles de energía dentro del gap muy cercanas al mínimo de la banda de conducción. Estos son Antimonio (Sb), Fósforo (P), y Arsénico (As) Un donador es neutral cuando ocupado por un electrón después de donado a la banda de conducción queda cargado positivamente. Para el silicio los aceptores son Boro (B), Aluminio (Al), Galio (Ga) y Indio (In) ya que pierde un electrón de valencia para formar 4 enlaces con un vecino de silicio cercanos. Así el átomo provee un nivel vacío disponible de energía por un electrón, crea un hueco. Los niveles de energía de los aceptores superficiales están arriba y cerca del máximo de la banda de valencia. Un aceptor está negativamente cargado cuando es ocupado por un electrón y se hace neutral después de aceptar un electrón de la banda de valencia. 𝐸 𝐸 𝐸𝐶 𝐸𝐶 𝐸𝑑 𝐸𝑎 𝐸𝑉 𝐸𝑉 distancia distancia Donador Aceptor Las energías 𝐸𝐶 − 𝐸𝑑 para donadores y 𝐸𝑎 − 𝐸𝑉 para aceptores son llamadas Energía de ionización donador o aceptor. Los donadores y aceptores más llamados superficiales cuando sus energías de ionización son más pequeñas o cercanas a la energía térmica 𝑘β 𝑇. Los donadores y aceptores superficiales están cerca de ser totalmente ionizados, esto es, todas cercanas a ellos proporcionan electrones a la banda de conducción y huecos a la banda de valencia respectivamente. La siguiente figura muestra el modelo que puede ser usando para estimar la energía de ionización del donador 𝐸𝐶 − 𝐸𝑑 . Modelo del átomo de hidrógeno. Es Si Si 𝐸𝑆 − Eo 𝐸0 vacio + 𝐸𝑛 𝐸𝐵 𝑞2 𝑚𝑒 𝑞 4 = = 8𝜋𝜖0 𝑎𝐵 32𝜋 2 𝜖02 ℏ2 𝑎𝐵 4𝜋𝜖0 ℏ2 = 𝑚𝑒 𝑞 2 + vacío Átomo de hidrógeno Donador 𝐸𝐵 = 2 𝑛 − 𝑚𝑒 + + Átomo de hidrógeno me 𝑛 = 1,2, … Energía de Bohr 𝐸𝐵 = 13.6 eV = 2.18x10−18 J Radio de Bohr 𝑎𝐵 = 0.52917 Å La energía del estado base está determinado por la energía de Bohr donde la permisividad del espacio libre es reemplazada por la permisividad dieléctrica del semiconductor y 𝑚𝑒 es remplazada por 𝑚𝑛 ( masa efectiva del electrón.) 𝜖0 𝐸𝐶 − 𝐸𝑑 ≈ 𝜖𝑠 2 𝑚𝑛 𝑚𝑒 𝑞 4 𝜖0 ≈ 13.6 𝑚𝑒 32𝜋 2 𝜖02 ℏ2 𝜖𝑠 2 𝑚𝑛 (eV) 𝑚𝑒 𝐸𝐶 = 0 𝑛=3 −1 𝑛=2 GaAs 𝑚𝑛 = 0.067𝑚𝑒 𝜖𝑠 = 12.9 𝜖0 −5 𝑛=1 −6 Nivel base del donador El radio también se modifica 𝑎𝑏𝑒𝑓𝑓 4𝜋𝜖0 ℏ2 𝑚𝑛 𝜖0 = 𝑚𝑒 𝑞 2 𝑚𝑒 𝜖𝑠 𝑚𝑒 𝜖𝑠 → 𝑎𝑏𝑒𝑓𝑓 (Å) = 0.52917 𝑚𝑛 𝜖0 GaAs 𝑎𝑏𝑒𝑓𝑓 = 102 Å Para una concentración 𝑁𝑑 de átomos donadores, la concentración de donadores ionizados (o vacíos) 𝑁𝑑+ está dada por: 𝑁𝑑 𝑁𝑑+ = 1 + 𝑔𝑑 𝑒 𝐸𝐹 −𝐸𝑑 𝑘β 𝑇 Donde 𝐸𝑑 es el nivel de energía donador y 𝑔𝑑 es llamado factor de degeneración de donadores. La razón de las concentraciones de vacíos 𝑁𝑑+ y llenos (𝑁𝑑0 = 𝑁𝑑 − 𝑁𝑑+ ) es. 𝐸𝐹 −𝐸𝑑 𝑁𝑑0 𝑘β 𝑇 + = 𝑔𝑑 𝑒 𝑁𝑑 Similarmente, para núcleos aceptores 𝑎 𝑁𝑎− 1 𝐸𝐹𝑘−𝐸 𝑇 β 0 =𝑔 𝑒 𝑁𝑎 𝑎 donde 𝐸𝑎 es el nivel de energía aceptor y 𝑔𝑎 el factor de degeneración de aceptor. 𝜖0 𝐸𝑎 − 𝐸𝑉 ≈ 𝜖𝑠 2 𝑚𝑝 𝑚𝑒 𝑞 4 𝑚𝑒 32𝜋 2 𝜖02 ℏ2 CONCENTRACIÓN DE ELECTRONES Y HUECOS. Un semiconductor uniforme en un campo eléctrico cero debe ser neutral ya que la carga eléctrica más un campo eléctrico. La posición del nivel de Fermi puede encontrarse de condición de neutralidad. 𝑝 + 𝑁𝑑+ − 𝑁𝑎− −𝑛=0 𝑁𝑑+ concentración de donadores ionizados 𝑁𝑎− concentración de aceptores ionizados Cuando el semiconductor es dopado solamente por donadores 𝑁𝑎− = 0 tenemos 𝑛 = 𝑝 + 𝑁𝑑+ Ahora encontramos la concentración de electrones (n indica tipo de conductibilidad) 𝑛𝑛 = 2 𝑁𝑑+ + 4𝑛𝑖2 + 𝑁𝑑+ Para los donadores ionizados superficiales 𝑁𝑑+ ≈ 𝑁𝑑 así que: 𝑛𝑛 ≈ 1 2 1 2 𝑁𝑑2 + 4𝑛𝑖2 + 𝑁𝑑 La concentración de huecos en un material tipo n es: 𝑛𝑖2 𝑝𝑛 = 𝑛𝑛 En la mayoría de los casos en los semiconductores tipo n, 𝑁𝑑+ ≈ 𝑁𝑑 ≫ 𝑛𝑖 así que 𝑛𝑛 ≈ 𝑁𝑑 𝑝𝑛 ≈ 𝑛𝑖2 𝑁𝑑 𝐸𝐹 ≈ 𝐸𝐶 − 𝑘β 𝑇 ln 𝑁𝑐 𝑁𝑑 Para un semiconductor tipo P, la condición de carga neutral es: 𝑝 = 𝑛 + 𝑁𝑎− 1 𝑝𝑝 = 2 𝑁𝑎− 2 + 4𝑛𝑖2 + 𝑁𝑑− 1 𝑛𝑛 ≈ 2 𝑁𝑎2 + 4𝑛𝑖2 + 𝑁𝑎 Cuando 𝑁𝑎− ≈ 𝑁𝑎 Cuando𝑁𝑎− ≈ 𝑁𝑎 ≫ 𝑛𝑖 𝑝𝑝 ≈ 𝑁𝑎 𝑛𝑝 ≈ 𝑛𝑖2 𝑁𝑎 𝑁𝑉 𝐸𝐹 ≈ 𝐸𝑉 + 𝑘β 𝑇 ln 𝑁𝑎 (Valido solo para semiconductores no degenerados) Cuando ambos donadores y aceptores están presentes en un semiconductor se dice que esta compensado. En un semiconductor compensado, el tipo de conductividad (p o n) es determinada por la gran concentración de impurezas. Si , 𝑁𝑑 > 𝑁𝑎 la densidad efectiva donador es 𝑁𝑎𝑒𝑓𝑓 = 𝑁𝑑 − 𝑁𝑎 Si 𝑁𝑎 > 𝑁𝑑 𝐸𝑐 𝑁𝑑𝑒𝑓𝑓 = 𝑁𝑑 − 𝑁𝑎 - - + + Electrones en la banda de conducción + + 𝐸𝑐 + + + - - - - - 𝐸𝑉 - - - Huecos en la banda de valencia + + 𝑁𝑑 < 𝑁𝑎 𝑁𝑑 > 𝑁𝑎 𝐸𝑉 + - - + + Si las impurezas están totalmente ionizadas podemos usar la ecuación 𝑃𝑝 y 𝑛𝑛 para concentración de portadores de n y p si sustituimos 𝑁𝑑 por 𝑁𝑑𝑒𝑓𝑓 y 𝑁𝑎 por 𝑁𝑎𝑒𝑓𝑓 La razón de compensación se define como: 𝑁𝑎 , 𝑁𝑑 𝑘= 𝑁𝑑 , 𝑁𝑎 𝑁𝑎 < 𝑁𝑑 𝑁𝑑 > 𝑁𝑎 𝑘 ≈ 0.05 o más grande Ejemplo El silicio es dopado con átomos de fósforo (concentración 1016 átomos/cm−3 ) y átomos de Boro (5x1016 átomos/cm−3 ) Calcule la concentración de electrones y huecos en este material a 600 K 𝐶𝐹 = 1x1016 cm−3 (Fósforo → 𝐷𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟) 𝐶𝐵 = 5x1016 cm−3 (Boro → 𝐴𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜𝑟) Como se puede ver, dado que el Boro es un aceptor, el material es tipo P. La concentración efectiva de aceptores es: 5x1016 − 1x1016 = 4x1016 cm−3 Ya que a 600 K todos los aceptores están ionizados 𝑝 ≈ 4x1016 cm−3 La concentración de electrones (lo que se nos pide) se calcula de 𝑛 = conocer 𝑛𝑖 A 300 K, 𝑘β 𝑇 = 0.02584 eV, por tanto 𝑛𝑖 = 𝐸 1 − 𝑔 𝑁𝑐 𝑁𝑉 2 𝑒 2𝑘β 𝑇 Necesitamos conocer 𝑁𝑐 y 𝑁𝑉 𝑛𝑖2 𝑝 , sólo nos falta • Por tanto 𝑁𝑐 = 2 𝑚 𝑛 𝑘β 𝑇 2𝜋ℏ2 3 2 𝑚 𝑝 𝑘β 𝑇 𝑁𝑉 = 2 2𝜋ℏ2 3 2 • De diapositivas anteriores tenemos 𝑚𝑛 = 0.3𝑚𝑒 𝑚𝑝 = 0.6𝑚𝑒 Donde 𝑚𝑒 es la masa del electrón libre, por tanto 𝑁𝑐 = 2.04x1057 𝑁𝑉 = 5.76x1057 Aplicando la fórmula 𝐸𝑔 = 1.1 eV 𝑛𝑖 = 𝐸 1 − 𝑔 𝑁𝑐 𝑁𝑉 2 𝑒 2𝑘β 𝑇 = 2.04x1057 5.76x1057 1 2 1.1 − 𝑒 2(0.02584) ≈ 1010 cm−3 Debemos aplicar una regla de tres puesto que como el problema nos pide para T=600 K no conocemos 𝑚𝑛 y 𝑚𝑝 por tanto 𝑛𝑖 = 1010 600 300 3 2 1.1 1.1 − 𝑒 2(0.02584) 𝑒 2(0.05168) ≈ 1.3x1015 cm−3 𝑛𝑖2 1.3x1015 𝑛= = 𝑝 4x1016 2 ≈ 4.23x1013 cm−3 MOVILIDAD DE ELECTRONES Y HUECOS Y VELOCIDADES DE ARRASTRE. Los electrones y huecos (en la banda de conducción y banda de valencia) son capaces de moverse en un semiconductor. Ellos portan la unidad de carga elemental 𝑞 = 1.602x10−19 C son llamados fundamentalmente portadores de carga o portadores libres. En ausencia de campo eléctrico los portadores de carga experimentan movimiento término aleatorio caótico. La energía cinética promedio por movimiento térmico por electrón es La velocidad térmica del electrón es: 2 𝑚𝑛 𝑣𝑡ℎ𝑛 2 3 𝑘 𝑇 2 β 3 = 𝑘β 𝑇 2 → 𝑣𝑡ℎ𝑛 3𝑘β 𝑇 = 𝑚𝑛 1 2 𝑣𝑡ℎ𝑝 3𝑘β 𝑇 = 𝑚𝑝 1 2 Aunque tienen velocidad el promedio de movimiento es cero. La velocidad de arrastre de un electrón 𝑣𝑛 causada por un campo eléctrico, se sobrepone a este movimiento térmico caótico. De la segunda ley de Newton 𝑚𝑒 𝑑𝑉𝑛 = −𝑞𝐸 𝑑𝑡 un electrón en un campo eléctrico En un semiconductor se sustituye la masa efectiva 𝑑𝑉𝑛 𝑚𝑛 = −𝑞𝐸 𝑑𝑡 Pero hay colisiones causadas por vibraciones de átomos cercanos, impurezas imperfecciones del cristal 𝑑𝑉𝑛 𝑉𝑛 𝑚𝑛 = −𝑞𝐸 − 𝑚𝑛 𝑑𝑡 𝜏𝑛𝑝 𝑉𝑛 → 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 𝜏𝑛𝑝 → tiempo de relajación del momento del electrón Para campos eléctricos bajos 𝜏𝑛𝑝 es independiente de 𝐸 Se define al camino libre promedio como el camino que recorre el electrón antes de chocar con otros núcleos o electrones 𝜆𝑛 = 𝑉𝑡ℎ𝑛 𝜏𝑛𝑝 𝜏𝑛𝑝 ~ 10−12 𝑎 10−14 𝑠 e A bajas frecuencias ω ≪ 1 𝜏𝑛𝑝 y por tanto 𝜆𝑛 ~ 1500 Å 𝑎 𝑇 = 300 K 𝑑𝑉𝑛 𝑑𝑡 ≈ 0 por lo que 𝑞𝜏𝑛𝑝 𝑉𝑛 𝑞𝐸 = −𝑚𝑛 → 𝑉𝑛 = − 𝐸 = 𝜇𝑛 𝐸 𝜏𝑛𝑝 𝑚𝑛 Donde hemos definido 𝜇𝑛 , la movilidad del electrón. (El signo negativo indica el sentido opuesto al campo eléctrico 𝜇𝑛 = Ejemplo 𝑞𝜏𝑛𝑝 𝑚𝑛 La movilidad del electrón en el GaAs a T= 77 K y T= 300 K es igual a cm2 9,000 𝑉𝑠 cm2 300,000 𝑉𝑠 y respectivamente. La masa efectiva del electrón (𝑚𝑛 ) es 0.067 𝑚𝑒 . Encuentre el camino promedio libre a esas temperaturas. Solución 𝜏𝑛𝑝 = 𝑚𝑛 𝜇𝑛 𝑞 𝜆𝑛 = 𝑉𝑡ℎ𝑛 𝜏𝑛𝑝 3𝑘β 𝑇 = 𝑚𝑛 𝜆𝑛 77 K = 3 ⋅ 1 2𝑚 𝑛 𝜇𝑛 𝑞 8.6133x10−5 = 3𝑘β 𝑇𝑚𝑛 ⋅ 77 ⋅ 0.067 1 2 𝜇𝑛 𝑞 9.11x10−28 1 2 𝜆𝑛 300 K = 3 ⋅ 8.6133x10−5 ⋅ 300 ⋅ 0.067 9.11x10−28 300,000 = 2.67𝜇𝑚 1.602x10−19 1 300,000 2 = 1,570 Å 1.602x10−19 La densidad de corriente del electrón está dada por j = −𝑞𝑛𝑉𝑛 = 𝑞𝑛𝜇𝑛 𝐸 El tiempo de relajación del momento está dado aproximadamente por 1 1 1 1 ≈ + + +⋯ 𝜏𝑛𝑝 𝜏𝑖𝑖 𝜏𝑛𝑖 𝜏𝑙𝑎𝑡𝑡𝑖𝑐𝑒 De donde 𝜏𝑖𝑖 = dispersión impurezas ionizadas 𝜏𝑛𝑖 = dispersión impurezas neutrales 𝜏𝑙𝑎𝑡𝑡𝑖𝑐𝑒 = dispersión vibraciones de red Similarmente ocurre para huecos. Ya que a bajos campos eléctricos 𝜏𝑛𝑝 y 𝑚𝑛 son independientes del campo eléctrico, la velocidad de arrastre del electrón 𝑣𝑛 es proporcional al campo eléctrico. Para altos campos eléctricos, cuando los electrones ganan una energía considerable del campo eléctrico, 𝜏𝑛𝑝 y en ciertos casos 𝑚𝑛 son funciones fuertemente ligadas a la energía del electrón, por ende, al campo eléctrico. Para este caso la ecuación de balance de energía queda 𝑑𝐸𝑛 𝐸𝑛 − 𝐸0 = −𝑞 𝐹 ⋅ 𝑉𝑛 − 𝑑𝑡 𝜏𝑛𝐸 𝜏𝑛𝑝 y 𝑚𝑛 son funciones de 𝐸𝑛 3 Aquí 𝐸𝑛 es la energía del electrón y 𝐸0 = 𝑘β 𝑇0 es la energía del electrón bajo 2 equilibrio térmico, 𝑇0 es la temperatura del semiconductor y 𝜏𝑛𝐸 es el tiempo de relajación efectiva (10−11 a 10−13 s) 𝑑𝐸𝑛 = 0 → 𝐸𝑛 = 𝐸0 + 𝑞𝜏𝑛𝐸 𝐸 ⋅ 𝑉𝑛 𝑑𝑡 2 𝑞 𝑇𝑛 = 𝑇0 + 𝜏 𝐸 ⋅ 𝑉𝑛 3 𝑘β 𝑛𝐸 3 2 Se introduce el término temperatura del electrón tal que 𝐸𝑛 = 𝑘β 𝑇n Para campos eléctricos grandes 𝑇𝑛 ≫ 𝑇0 . En este caso los electrones son llamados electrones calientes Los electrones calientes transfieren energía como vibraciones térmicas a la red cristalina, tales vibraciones pueden moldearse como oscilaciones armónicas con una cierta frecuencia. El electrón es acelerado en el campo eléctrico hasta que gana suficiente energía para excitar a la red 𝑚𝑛 𝑉𝑛2𝑚𝑎𝑥 = 𝐸𝑛 − 𝐸0 ≈ ℏ𝜔𝑙 2 Donde 𝑣𝑛 𝑚𝑎𝑥 es la máxima velocidad de arrastre del electrón. Entonces ocurre el proceso de dispersión y los electrones pierden todo el exceso de energía y toda la velocidad de arrastre El promedio de la velocidad de arrastre 𝑣𝑛 = campo eléctrico 𝑣𝑛 ≈ 𝑣𝑛 𝑚𝑎𝑥 2 es entonces independiente del ℏ𝜔𝑙 = 𝑣𝑠𝑛 2𝑚𝑛 Donde 𝑣𝑠𝑛 es llamada velocidad de saturación del electrón 𝑣𝑠𝑛 ≈ 105 de arrastre es casi constante para campos eléctricos altos m s Así la velocidad En algunos semiconductores vemos que 𝑑𝑉𝑛 𝜇𝑛 = < 0 → 𝐸 ↑, 𝑉𝑛 ↓ 𝑑𝐹 Excepto en el Si. Velocidad del electrón vs hueco en Si La velocidad de huecos es considerablemente menor que la velocidad del electrón en casi todos los semiconductores Fórmulas de velocidades de huecos y electrones 𝜇𝑛 𝐸 𝑣𝑛 = 𝜇 𝐸 1 + 𝑣𝑛 𝑠 𝑣𝑝 = 2 𝜇𝑝 𝐸 𝜇𝑝 𝐸 1+ 𝑣 𝑠 Fórmulas de movilidades de huecos y electrones 𝜇𝑛 = 𝜇𝑚𝑛 + 𝜇𝑚𝑛 𝜇𝑚𝑝 𝜇𝑜𝑛 𝜇𝑜𝑝 𝑇 = 88 300 𝑇 = 54 300 −0.57 −0.57 𝑐𝑚2 𝑉𝑠 𝑐𝑚2 𝑉𝑠 𝑇 −2.33 𝑐𝑚2 = 1250 300 𝑉𝑠 𝑇 −2.33 𝑐𝑚2 = 407 300 𝑉𝑠 𝜇𝑜𝑛 𝑁 1 + 𝑁𝑇 𝑐𝑛 𝑁𝑐𝑛 = 𝜇𝑝 = 𝜇𝑚𝑝 + 𝑣 1.26x1017 𝑁𝑐𝑝 = 2.35x1017 𝑇 𝑣 = 0.88 300 𝑁𝑐𝑝 = 𝑣 2.4 𝑐𝑚−3 2.4 𝑐𝑚−3 −0.146 2.4x107 1+ 𝑇 300 𝑇 300 𝜇𝑜𝑝 𝑁 1 + 𝑁𝑇 𝑐𝑝 𝑇 600 0.8𝑒 𝑐𝑚 𝑠 𝑁𝑇 = 𝑁𝑎 + 𝑁𝑑 DIFUSIÓN El proceso de difusión está relacionado con el movimiento térmico aleatorio. Para ilustrarlo usamos un modelo unidimensional simple que supone que los portadores deben moverse aleatoriamente de izquierda a derecha, con igual probabilidad. Consideremos las regiones adyacentes de longitud 𝜆𝑥 , donde 𝜆𝑥 = 𝑣𝑡ℎ𝑛 𝜏𝑛𝑝 es el camino libre medio en la dirección x y 𝑣𝑡𝑥 es la componente x de la velocidad térmica de 𝑣𝑇 . Supongamos que la región izquierda tiene más electrones que la derecha. En promedio la mitad de los electrones se moverá de izquierda a derecha y viceversa y entonces el flujo neto de difusión el cual tiende a igualar la concentración de electrones en las dos regiones Concentración 𝑛𝑙𝑒𝑓𝑡 Concentración 𝑛𝑟𝑖𝑔ℎ𝑡 Proceso de difusión La densidad de corriente de difusión (fluyendo de izquierda a derecha) puede calcularse como 𝑗𝑑𝑖𝑓𝑓 𝑞 𝑁𝑙𝑒𝑓𝑡 − 𝑁𝑟𝑖𝑔ℎ𝑡 𝑞𝜆𝑥 𝑁𝑟𝑖𝑔ℎ𝑡 − 𝑁𝑙𝑒𝑓𝑡 𝑞𝜆𝑥 Δ𝑛 =− = = 𝜏𝑛𝑝 2𝜏𝑛𝑝 2𝜏𝑛𝑝 DondeΔ𝑛 = 𝑁𝑟𝑖𝑔ℎ𝑡 − 𝑁𝑙𝑒𝑓𝑡 𝑁𝑙𝑒𝑓𝑡 𝜆𝑥 𝑛𝑙𝑒𝑓𝑡 = 2 𝑁𝑟𝑖𝑔ℎ𝑡 𝜆𝑥 𝑛𝑟𝑖𝑔ℎ𝑡 = 2 Son los números de electrones que cruzan la frontera entre regiones en direcciones opuestas. Si 𝜆𝑥 es pequeña comparada con una distancia característica de la variación de la concentración de electrones 𝑛(𝑥) entonces Δ𝑛 = 2 𝑑𝑛 𝜆 𝑑𝑥 𝑥 Obtenemos 𝑗𝑑𝑖𝑓𝑓 𝑑𝑛 𝜆2𝑥 𝑑𝑛 =𝑞 = 𝑞𝐷𝑛 𝑑𝑥 𝜏𝑛𝑝 𝑑𝑥 Donde el coeficiente de difusión es 2 𝑣2 𝜏𝑛𝑝 𝜆2𝑥 𝑇𝑥 2 𝐷𝑛 = = = 𝑣𝑇𝑥 𝜏𝑛𝑝 𝜏𝑛𝑝 𝜏𝑛𝑝 Ya que 2 2 2 2 𝑚𝑛 𝑣𝑇ℎ𝑛𝑧 𝑣𝑇ℎ𝑛 𝑚𝑛 𝑣𝑇ℎ𝑛𝑥 𝑚𝑛 𝑣𝑇ℎ𝑛𝑦 𝑚𝑛 3 = + + = 𝑘β 𝑇 2 2 2 2 2 2 𝑣𝑇ℎ𝑛𝑥 𝑘β 𝑇 = 𝑚𝑛 De donde obtenemos 2 𝐷𝑛 = 𝑣𝑇ℎ𝑛𝑥 𝜏𝑛𝑝 = La movilidad a campos bajos 𝜇, está dada por 𝑞𝜏𝑛𝑝 𝜇𝑛 = 𝑚𝑛 𝑘β 𝑇𝜏𝑛𝑝 𝑚𝑛 Y 𝐷𝑛 = 𝑘β 𝑇𝜇𝑛 𝑞 (Relación de Einstein) Ejemplo: Las movilidades de electrones y huecos en Si a temperatura ambiente (T=300 K) son 1000 𝑐𝑚2 𝑉𝑠 y 300 y huecos. Solución T=300 K 𝑘β 𝑇 = 0.02584 eV 𝑞 𝑐𝑚2 𝑉𝑠 respectivamente. Calcule los coeficientes de difusión de electrones 𝑘β 𝑇𝜇𝑛 𝑐𝑚2 𝐷𝑛 = = 0.02584 ∗ 1000 ≈ 25.8 𝑞 𝑉𝑠 𝑘β 𝑇𝜇𝑝 𝑐𝑚2 𝐷𝑝 = = 0.02584 ∗ 300 ≈ 7.75 𝑞 𝑉𝑠 Bajo condiciones de equilibrio (j=0) un dopamiento no uniforme deja un campo eléctrico 𝑘β 𝑇 𝜕𝑛 𝜕𝑛 𝑛 𝜕𝐸𝑐 𝐸𝑏𝑖 = − → =− 𝑞𝑛 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑘β 𝑇 𝜕𝑥 𝐸𝑏𝑖 → Campo eléctrico Built-in (se aplica en Transitores BJT Ejemplo: La concentración de electrones en un dispositivo de longitud 1 μm varía linealmente con la distancia desde 1016 cm−3 a 1.1x1017 cm−3 . Grafica el campo eléctrico built-in como una función de la distancia a T= 300 K Solución 𝑥 Para un perfil lineal 𝑛 = 𝑛0 + ∆𝑛 y el campo eléctrico built-in está dado por 𝐿 𝑘β 𝑇 𝜕𝑛 𝑘β 𝑇 1 kV 𝐸𝑏𝑖 = − =−𝑛 = −0.258 𝑥 0 𝑞𝑛 𝜕𝑥 0.1 + 𝑥 μm cm ∆𝑛 + 𝐿 𝑞𝐿 El signo negativo indica que el campo va en dirección negativa de x Distancia (μm) Ecuaciones Básicas de Semiconductor Modelo Difusión-Arrastre El máximo de la banda de conducción y el máximo de la banda de valencia corresponden a energías potenciales de electrones y huecos respectivamente 𝐸𝑐 = −𝑞𝜙 + 𝑐𝑡𝑒 𝐸𝑉 = −𝑞𝜙 − 𝐸𝑔 + 𝑐𝑡𝑒 Cuando un campo eléctrico es aplicado a un semiconductor, las bandas se «inclinan» y los electrones y huecos se mueven en direcciones opuestas creando una corriente eléctrica. E n e r g í a 𝐸 - electrón + hueco Distancia En un campo eléctrico bajo, la conductividad de densidad de corriente para electrones y huecos están dados por la suma de la densidad de corriente de arrastre (αE) y la densidad de corriente de difusión (α𝛻n) 𝐽𝑛 = 𝑞 𝑛𝜇𝑛 𝐸 + 𝐷𝑛 𝛻𝑛 𝐽𝑝 = 𝑞 𝑝𝜇𝑝 𝐸 − 𝐷𝑝 𝛻𝑝 En un semiconductor 𝛻𝑛 = 0, 𝛻𝑝 = 0 y estas ecuaciones se reducen a 𝐽𝑛 = 𝑞𝑛𝜇𝑛 𝐸 = 𝜎𝑛 𝐸 𝐽𝑝 = 𝑞𝑝𝜇𝑝 𝐸 = 𝜎𝑝 𝐸 Así que la densidad de corriente total es 𝑗 = 𝜎𝐸 Donde 𝜎 = 𝜎𝑛 + 𝜎𝑝 La corriente eléctrica I está dada por 𝐼= Donde R= resistencia S= sección de cruce L= Longitud U= voltaje aplicado 𝜎𝑆 𝑈 𝐸𝐿 = 𝐿 𝑅 𝐿 𝑅= 𝜎𝑆 Para campos eléctricos grandes, los portadores adquieren energía del campo eléctrico y la energía del portador es más grande que la energía térmica promedio 3 𝑘 𝑇. Como una consecuencia, la velocidad de los electrones y los huecos no son 2 β proporcionalmente grandes al campo eléctrico cuando éste es alto. Los coeficientes de difusión dependen de 𝐸. Ya que las velocidades de arrastre del electrón y el hueco dependen de 𝐸, las siguientes ecuaciones fenomenológicas son frecuentemente usadas para modelar un dispositivo semiconductor. 𝐽𝑛 = 𝑞 −𝑛𝑉𝑛 𝐸 + 𝐷𝑛 𝐸 𝛻𝑛 𝐽𝑝 = 𝑞 𝑝𝑉𝑝 𝐸 − 𝐷𝑝 𝐸 𝛻𝑝 Ecuaciones Difusión − Arrastre Modelo Difusión − Arrastre Donde 𝑉𝑛 𝐸 , 𝑉𝑝 𝐸 , 𝐷𝑛 𝐸 , 𝐷𝑝 𝐸 se suponen que son las mismas funciones del campo eléctrico como las obtenidas por condiciones de estado estable. Este modelo de difusión y arrastre no describe lo que ocurre realmente . Es un modelo burdo. El campo eléctrico en si mismo depende de la distribución de cargas en el semiconductor (llamado espacio de carga). La dependencia del campo eléctrico en la densidad del espacio de carga 𝜌 está descrita por la ecuación de Poisson 𝛻⋅𝐸 = Donde 𝜌 𝜖 𝜌 = 𝑞 𝑁𝑑+ − 𝑁𝑎− − 𝑛 + 𝑝 + 𝑞 𝑝𝑡 − 𝑛𝑡 𝑞𝑝𝑡 y 𝑞𝑛𝑡 son las densidades de carga de cualquier otra impureza cargada que esté presente en el semiconductor. Frecuentemente esas impurezas son despreciadas así que 𝜌 ≈ 𝑞 𝑁𝑑+ − 𝑁𝑎− − 𝑛 + 𝑝 Para un semiconductor uniforme bajo condiciones de equilibrio térmico las relaciones son sencillas. 𝑛≈ 𝑁𝑑+ − 𝑁𝑎− 𝑛𝑖2 𝑝≈ 𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑛 Pero los semiconductores rara vez son uniformes y usualmente operan bajo condiciones de no equilibrio. Razón de Generación (G).- Este proceso describe el fenómeno que ocurre cuando un fotón absorbido promueve un electrón de la banda de valencia hacia la banda de conducción, creando en ambas un electrón un la banda de conducción y un hueco en la banda de valencia (par electrón-hueco). Esta razón es igual a la concentración de pares electrón-hueco producidos en 1 segundo . Razón de recombinación (R).- Cuando un electrón de la banda de conducción cae hacia un espacio vacante en la banda de valencia , los pares electrón-hueco son destruidos. A este proceso se le llama Recombinación R que es igual a la concentración de pares electrón-hueco recombinados en 1 segundo. En un semiconductor uniforme 𝑑𝑝 𝑑𝑛 = =𝐺−𝑅 𝑑𝑡 𝑑𝑡 En estado estacionario 𝐺=𝑅 La razón de recombinación es 𝑅= 𝑝𝑛 − 𝑝𝑛𝑜 𝜏𝑝𝑙 Donde 𝑝𝑛 es la concentración de portadores minoritarios (huecos) en un semiconductor tipo n, 𝑝𝑛𝑜 es la concentración de huecos en equilibrio y 𝜏𝑝𝑙 es el tiempo de recombinación o tiempo de vida de un hueco 𝑝𝑛 = 𝑝𝑛𝑜 + 𝐺𝜏𝑝𝑙 Para un semiconductor no uniforme 𝜕𝑛 1 = 𝛻 ⋅ 𝐽𝑛 + 𝐺 − 𝑅 𝜕𝑡 𝑞 𝜕𝑝 1 = 𝛻 ⋅ 𝐽𝑝 + 𝐺 − 𝑅 𝜕𝑡 𝑞 Ecuaciones de continuidad - - - Estado estacionario - - - - - - Volumen incrementado dos 𝑒 − recombinados 4 𝑒 − dejaron la b de valencia Note que en un semiconductor no uniforme, el exceso de concentración de electrones o huecos debe existir aún cuando la razón de generación sea cero, los portadores adicionales vienen de fuera (por ejemplo, los contactos) Ejemplo Encuentre el perfil de campo eléctrico en un semiconductor tipo P con una movilidad de cm2 huecos μ = 100 y una concentración de huecos p0 = 1015 cm−3 con una densidad de Vs A corriente j = 1 2 . La región tipo P es cercana a una región altamente dopada (con pb = cm 𝜕𝑝 1 = − 𝛻 ⋅ Jp + G − R 𝜕𝑡 𝑞 1 1 dj 0 = − 𝛻 ⋅ Jp → 0 = − 𝑞 𝑞 dx pero j = qpμp E 𝛻p = 0, 𝛻n = 0 d Así que qpμp E = 0 dx qpμp E = 𝑐𝑡𝑒 Tenemos 2 incógnitas 𝜌 yE, pero la ecuación de Poisson dice 𝜌 𝛻⋅𝐸 = 𝜖 𝑦 𝜌 = 𝑞 𝑝 − 𝑝0 [𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙] 𝑑E 𝑞 𝑝 − 𝑝0 = 𝑑𝑥 𝜖𝑠 𝑗 Sustiyendo 𝑝 = qpμ p𝐸 𝑑E 𝑞 𝑗 = − 𝑝0 𝑑𝑥 𝜖𝑠 qpμp 𝐸 Introduciendo un campo adimensional 𝑓 = 𝐸0 = Ec. Diferencial con C. I E 0 = 𝐸 𝐸0 qμp Pp y coordenadas adimensionales 𝑡 = 𝑗 𝜖𝑠 𝐸0 y 𝑥0 = qμ0 P0 qP0 𝑑𝑓 1 − 𝑓 = 𝑑𝑡 𝑓 𝑗 𝑓 𝑑𝑓 = 𝑑𝑡 1−𝑓 𝑥 𝑥0 Integrando 1−𝑓 𝑓𝑏 − 𝑓 − ln =𝑡 1 − 𝑓𝑏 𝐸 0 𝑓𝑏 = 𝐸0 Para valores dados de parámetros V 𝐸0 = 6242 , x0 = 9x10−9 m m El perfil del campo queda Campo eléctrico V cm 60 40 20 10 20 Distancia (nm) Ejemplo La razón de generación G, en un semiconductor tipo n es uniforme e igual a 1020 cm−3 s−1 . El semiconductor es dopado con donadores superficiales con concentración 𝑁𝑑 = 1015 cm−3 . El tiempo de vida de un hueco es de 1μs. ¿Cuál es la concentración de electrones en el estado estable? Solución Los electrones y los huecos son generados en pares, el exceso de concentración de electrones y huecos ∆n y ∆p son iguales . De la ecuación 𝑝𝑛 = 𝑝𝑛𝑜 + 𝐺𝜏𝑝𝑙 ∆p = 𝐺𝜏𝑝𝑙 = 1020 x 10−6 = 1014 cm−3 Suponiendo que todos los donadores superficiales están ionizados tenemos 𝑛 = 𝑁𝑑 + ∆n = 1.1x1015 cm−3 Semiconductor Cuasi neutral Cuando los electrones y huecos son generados en pares en un semiconductor uniforme, el semiconductor permanece neutral o cuasi neutral. Un ejemplo sería una pieza de semiconductor tipo n donde los portadores extras son generados por luz. Esta situación ocurre en un diodo semiconductor, en un transistor unión bipolar, en una celda solar y en otros dispositivos. Aplicamos la ecuación básica de un semiconductor a un semiconductor cuasi neutral. Por simplicidad, consideremos una situación de estado estable. 1 𝜕𝑗𝑛 +G−R=0 𝑞 𝜕𝑡 1 𝜕𝑗𝑝 +G−R=0 𝑞 𝜕𝑡 Sustituyendo en la ecuación para densidad de corriente 𝜕 2 𝑛𝑛 𝜕𝑛𝑛 𝜕𝐸 𝐷𝑛 + μ 𝐸 + μ 𝑛 +𝐺−𝑅 =0 𝑛 𝑛 𝑛 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕 2 𝑝𝑛 𝜕𝑝𝑛 𝜕𝐸 𝐷𝑝 − μ𝑝 𝐸 − μ𝑝 𝑝𝑛 +𝐺−𝑅 =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 𝜕𝑥 Bajo la suposición que el semiconductor es un cuasi metal tenemos 𝑛𝑛 − 𝑛𝑛0 ≈ 𝑝𝑛 − 𝑝𝑛0 Ya que 𝜕𝑛𝑛 𝜕𝑥 ≈ 𝜕𝑝𝑛 𝜕𝑥 y 𝜕 2 𝑛𝑛 𝜕𝑥 ≈ 𝜕2 𝑝𝑛 𝜕𝑥 las ecuaciones se simplifican 𝜕 2 𝑝𝑛 𝜕𝑝𝑛 𝐷𝑎 − μ𝑎 𝐸 +𝐺−𝑅 =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 Donde μ𝑝 𝑝𝑛 D𝑛 + μ𝑛 𝑛𝑛 D𝑝 𝐷𝑎 = μ𝑛 𝑛𝑛 + μ𝑝 𝑝𝑛 μ𝑎 = μ𝑝 μ𝑛 (𝑛𝑛 − 𝑝𝑛 ) μ𝑝 𝑝𝑛 + μ𝑛 𝑛𝑛 Coeficiente de Difusión ambipolar Movilidad ambipolar Cuando 𝑛𝑛 ≫ 𝑝𝑛 , 𝐷𝑎 ≈ 𝐷𝑝 , μ𝑎 ≈ μ𝑝 𝜕 2 𝑝𝑛 𝜕𝑝𝑛 𝐷𝑝 − μ 𝐸 +𝐺−𝑅 =0 𝑝 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 Ecuación de Continuidad para portadores minoritarios huecos en una muestra tipo n bajo condiciones de estado estable y cuasi neutral Densidades de desplazamiento y corriente total Las ecuaciones de continuidad dan paso a una útil ecuación para semiconductor 𝜕 𝑞 𝑝 − 𝑛 + 𝛻 ⋅ 𝐽𝑛 + 𝐽𝑝 = 0 𝜕𝑡 De ρ = 𝑞 𝑁𝑑+ − 𝑁𝑎− − 𝑛 + 𝑝 𝑞 𝜕 𝜕ρ 𝑝−𝑛 = 𝜕𝑡 𝜕𝑡 Derivando la ecuación de Poisson con respecto al tiempo encontramos 𝜕 𝛻⋅𝐸 𝜕ρ = 𝜖𝑠 𝜕𝑡 𝜕𝑡 Integrando sobre el espacio, obtenemos 𝜕𝐸 𝑗 𝑡 = 𝐽𝑛 + 𝐽𝑝 + 𝜖 𝜕𝑡 𝜕𝐸 𝜖 𝜕𝑡 Densidad total de corriente Densidad de desplazamiento de corriente La corriente total es la integral de la densidad de corriente sobre una sección transversal de la muestra 𝐼= 𝑗 𝑑𝑠 𝑠 Para una muestra con sección transversal constante S y una densidad de corriente uniforme obtenemos I = jS