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TEMA 4: COMBINATORIA ÍNDICE 1.Factorial de un número 2.Clasificación 1.Variaciones con y sin repetición 2.Permutaciones con y sin repetición 3.Combinaciones con y sin repetición 3.Números combinatorios 4.Propiedades 5.Triángulo de Pascal 6.Binomio de Newton FACTORIAL DE UN NÚMERO Se define factorial de un número natural (entero positivo) n y se escribe n! como el producto de los n primeros números naturales. Ejemplo: 3! = 1·2·3 = 6 CLASIFICACIÓN ● ● Variaciones con repetición Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (de orden n) son los distintos grupos de n elementos iguales o distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación. Se representa por VRm,n. ● ● Variaciones sin repetición Variaciones sin repetición o variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (de orden n)son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación. Se representa por Vm,n. (n≤m). CLASIFICACIÓN ● ● ● Permutaciones con repetición Permutaciones con repetición de n elementos donde el primer elemento se repite a veces, el segundo b veces, el tercero c veces, etc. n = a + b + c + ... ● ● Permutaciones sin repetición Permutaciones sin repetición o permutaciones ordinarias de n elementos (de orden n) son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer, de forma que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación. Se representa por Pn. CLASIFICACIÓN ● ● Combinaciones con repetición Son los distintos grupos de n elementos iguales o distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación. Se representa por Crm,n. Para construir las combinaciones con repetición, partimos del conjunto A={1,2,3,4} y vamos a construir todas las combinaciones con repetición posibles. ● ● Combinaciones sin repetición Son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación. Se representa por Cm,n. (n≤m). ¿Cómo se forman?. Para construir las combinaciones sin repetición, partimos del conjunto A={1,2,3,4} y vamos a construir todas las combinaciones sin repetición posibles. 4. NÚMEROS COMBINATORIOS Se representan: Otra forma: Le podemos considerar como a las combinaciones que podemos hacer como m elementos tomados de n en n. Se lee m sobre n. Ejemplo: NÚMEROS COMBINATORIOS 1. Cualquier número entero positivo sobre cero es igual a 1: 2. Cualquier número entero positivo m sobre 1 es igual a m: 3. Cuando la suma de los números que representan el número de elementos por grupo es igual al número de elementos, podemos decir que los dos números combinatorios son iguales: 4. La suma de dos números combinatorios con el mismo número de elementos y los números que representan los elementos por grupo son consecutivos es otro número combinatorio en el que el número de elementos aumenta en una unidad y el número de elementos por grupo es el del mayor: NÚMEROS COMBINATORIOS ● ● Triángulo de Pascal El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico Se empieza con un 1 en la primera fila, y en las filas siguientes se van colocando números de forma que cada uno de ellos sea la suma de los dos números que tiene encima. BINOMIO DE NEWTON ● La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.