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TEMA 4:
COMBINATORIA
ÍNDICE
1.Factorial de un número
2.Clasificación
1.Variaciones con y sin repetición
2.Permutaciones con y sin repetición
3.Combinaciones con y sin repetición
3.Números combinatorios
4.Propiedades
5.Triángulo de Pascal
6.Binomio de Newton
FACTORIAL DE UN NÚMERO
Se define factorial de un número natural (entero positivo) n y se escribe n! como el
producto de los n primeros números naturales.
Ejemplo: 3! = 1·2·3 = 6
CLASIFICACIÓN
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Variaciones con
repetición
Variaciones con repetición de m
elementos tomados de n en n (de
orden n) son los distintos grupos de
n elementos iguales o distintos que
se pueden hacer con los m
elementos que tenemos, de forma
que dos grupos se diferencian en
algún elemento o en el orden de
colocación. Se representa por
VRm,n.
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●
Variaciones sin
repetición
Variaciones sin repetición o
variaciones ordinarias de m
elementos tomados de n en n (de
orden n)son los distintos grupos de
n elementos distintos que se
pueden hacer con los m elementos
que tenemos, de forma que dos
grupos se diferencian en algún
elemento o en el orden de
colocación. Se representa por
Vm,n. (n≤m).
CLASIFICACIÓN
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Permutaciones
con repetición
Permutaciones con repetición de n
elementos donde el primer
elemento se repite a veces, el
segundo b veces, el tercero c
veces, etc.
n = a + b + c + ...
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Permutaciones
sin repetición
Permutaciones sin repetición o
permutaciones ordinarias de n
elementos (de orden n) son los
distintos grupos de n elementos
distintos que se pueden hacer, de
forma que dos grupos se
diferencian únicamente en el orden
de colocación. Se representa por
Pn.
CLASIFICACIÓN
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Combinaciones
con repetición
Son los distintos grupos de n elementos
iguales o distintos que se pueden hacer
con los m elementos que tenemos, de
forma que dos grupos se diferencian en
algún elemento y no en el orden de
colocación. Se representa por Crm,n.
Para construir las combinaciones con
repetición, partimos del conjunto
A={1,2,3,4} y vamos a construir todas
las combinaciones con repetición
posibles.
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Combinaciones
sin repetición
Son los distintos grupos de n elementos
distintos que se pueden hacer con los m
elementos que tenemos, de forma que
dos grupos se diferencian en algún
elemento y no en el orden de colocación.
Se representa por Cm,n. (n≤m). ¿Cómo
se forman?. Para construir las
combinaciones sin repetición, partimos
del conjunto A={1,2,3,4} y vamos a
construir todas las combinaciones sin
repetición posibles.
4. NÚMEROS COMBINATORIOS
Se representan:
Otra forma:
Le podemos considerar como a las combinaciones
que podemos hacer como m elementos
tomados de n en n.
Se lee m sobre n.
Ejemplo:
NÚMEROS COMBINATORIOS
1. Cualquier número entero positivo sobre cero es igual a 1:
2. Cualquier número entero positivo m sobre 1 es igual a m:
3. Cuando la suma de los números que representan
el número de elementos por grupo es igual
al número de elementos,
podemos decir que
los dos números combinatorios son iguales:
4. La suma de dos números combinatorios con el mismo número de elementos y
los números que representan los elementos por grupo son consecutivos es
otro número combinatorio en el que el número de elementos aumenta en una unidad
y el número de elementos por grupo es el del mayor:
NÚMEROS COMBINATORIOS
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Triángulo de Pascal
El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y
simétrico Se empieza con un 1 en la primera fila, y en las filas
siguientes se van colocando números de forma que cada uno de ellos
sea la suma de los dos números que tiene encima.
BINOMIO DE NEWTON
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La fórmula que nos permite hallar las potencias de
un binomio se conoce como binomio de Newton.