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Índice
₪ Introducción
₪ Contenido
 Factorización (definición)
 Importancia y aplicación del algebra (factorización)
 Casos de Factorización:
 Trinomio de la forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
• Condiciones
• Reglas
• Ejemplos
 Trinomio de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
• Condiciones
• Ejemplos
 Suma y diferencias de cubos
• Suma
• Diferencia
• Ejemplos
 Cuatrinomio cubo perfecto
• Características
• Ejemplos
 Practica
₪ Conclusión
₪ Bibliografía
Introducción
En esta presentación estaremos presentando las
diferentes formulas, leyes de la factorización
para poder resolver los casos de:
₳ Trinomio de la forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ,
₳ Trinomio de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄,
₳ Suma y diferencias de cubos,
₳ Cuatrinomio cubo perfecto.
Factorización
• Es el proceso de encontrar dos o mas
expresiones cuyo producto sea igual a una
expresión dada; es decir, consiste en
transformar a dicho polinomio como el
producto de dos o mas factores.
Importancia y aplicación del algebra
(factorización)
•Importancia del algebra:El algebra es la rama de las matemáticas que
estudia las relaciones y cantidades. Junto a la geometría, el análisis
matemático, la combinatoria y la teoría de números, el álgebra es una
de las principales ramas de la matemática.
La palabra «álgebra» deriva del tratado escrito por el matemático
persa Muhammad ibn Musa al-Juarismo, titulado Al-Cita al-Jabra wa-lMuqabala (en árabe ‫( )كتاب الجبر والمقابلة‬que significa "Compendio de
cálculo por el método de completado y balanceado"), el cual
proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de
ecuaciones lineales y cuadráticas. Etimológicamente, la palabra
«álgebra» (también nombrado por los árabes Amucabala) ‫(جبر‬yebr)
(al-dejaber), proviene por lo tanto del árabe y significa "reducción",
operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o
fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).
• Aplicación del Algebra
Casos
de
Factorización
𝟐
Trinomio de la forma 𝒙 + 𝒃𝒙 + 𝒄
(Condiciones)
• Tienen que cumplir con las siguientes condiciones:
1. El coeficiente del primer termino es uno.
2. El primer termino es una letra de cualquiera elevada al
cuadrado.
3. El segundo termino tiene la misma letra que el primero
con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad
cualquiera, positiva o negativa.
4. El tercer termino es independiente de la letra que aparece
en el primer y segundo términos y es una cantidad
cualquiera, positiva o negativa.
Reglas
1) El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo
primer termino es X, o sea la raíz cuadrada del primer
termino del trinomio.
2) En el primer factor, después de X se escribe el signo del
segundo termino del trinomio, y en el segundo factor,
después de X se escribe el signo que resulta de multiplicar
el signo de 2ª termino del trinomio por el signo del 3ª
termino del trinomio.
3) Si los dos factores binomios tienen en el medio signos
iguales se buscan dos números cuya suma sea el valor
absoluto del segundo termino del trinomio y cuyo
producto sea el valor absoluto del 3ª termino del
tercer trinomio. Estos números son los segundos términos de
los binomios.
4) Si los dos factores binomios tienen en el medio signos
distintos se buscan dos números cuya diferencia sea el valor
absoluto del segundo termino del trinomio y cuyo producto
sea el valor absoluto del tercer termino del trinomio. El mayor
de estos números es el segundo termino del primer binomio,
y el menor, el segundo termino del segundo binomio.
Ejemplos
• Factorar:
a) 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔 = (x + 2) (x +3 )
b) 𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝒙 − 𝟑 𝒙 − 𝟒
c) 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝒙 + 𝟓 𝒙 − 𝟑
d) 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟏𝟒 = (𝒙 − 𝟕)(𝒙 + 𝟐)
Trinomio de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
(Condiciones)
Se diferencia de los trinomios estudiados en el caso anterior
porque el primer termino tiene un coeficiente distinto a 1.
Debe cumplir con las siguientes condiciones:
 Debe estar organizado de la forma correspondiente( es decir,
debe coincidir con la formula)
 El primer termino debe ser positivo, tener un coeficiente a
diferente de uno y la parte literal debe tener raíz cuadrada
exacta.
 La variable que esta acompañando el segundo termino debe
ser la raíz cuadrada del termino numero uno.
Ejemplos
• 20𝑥 2 + 7𝑥 − 6
(20) (20) (20)
20𝑥 2 + 7𝑥 − 6
=
20
(20𝑥)2 +7 20𝑥 − 120
=
20
20𝑥 + 15 (20𝑥 − 8)
=
20
5 4𝑥 + 3 4(5𝑥 − 2)
=
20
= (4𝑥 + 3)(5𝑥 − 2)
Suma y diferencias de cubos
(Suma)
La suma de dos cubos perfectos se descompone
en dos factores :
1) La suma de sus raíces cubicas.
2) El cuadrado de la primera raíz menos el
producto de las dos raíces, mas el cuadrado
de la segunda raíz. 𝑎3 +𝑏 3
3) raíz cubica de del primer termino a3 es a,
raíz cubica del primer termino b3 es b.
𝑎3 +𝑏 3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )
Suma y diferencia de cubos
(Diferencia)
La diferencia de dos cubos perfectos se
descompone en dos factores:
1. La diferencia de sus raíces cubicas.
2. El cuadrado de la primera raíz mas el
producto de las dos raíces, ,as el cuadrado de
la segunda raíz. 𝑎3 −𝑏 3
3. Raíz cubica del primer termino 𝑎3 es a, raíz
cubica de segundo termino 𝑏 3 es b.
𝑎3 −𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )
Ejemplos
• 125 − 𝑤 18 𝑧 36 = (5 −
𝑤 6 𝑧12 ) (5)2 + 5 𝑤 6 𝑧12 + (𝑤 6 𝑧12 )2
= (5 − 𝑤 6 𝑧12 )(25 + 5𝑤 6 𝑧12 + 𝑤 12 𝑧 24 )
• 27𝑎3 + 8𝑏 6 𝑐 9 = (3𝑎 +
2𝑏 2 𝑐 3 ) (3𝑎)2 −(3𝑎)(2𝑏 2 𝑐 3 )(2𝑏 2 𝑐 3 )2
= (3𝑎 + 2𝑏 2 𝑐 3 )(9𝑎2 − 6𝑎𝑏 2 𝑐 3 + 4𝑏 4 𝑐 6 )
Cuatrinomio cubo perfecto
(Características)
Debe cumplir con las siguientes características:
₢ Tiene cuatro términos.
₢ El primer y ultimo termino son cubos perfectos.
₢ El segundo termino es igual al triplo del cuadrado
de la raíz cubica del primer termino por la raíz
cubica del cuarto termino.
₢ El tercer termino es igual al triplo de la raíz cubica
del primer termino multiplicado por el cuadrado
de la raíz cubica del ultimo termino.
Ejemplos
• 8𝑥 3 + 12𝑥 2 + 6𝑥 + 1 = (2𝑥 + 1)3
3
8𝑥 3 = 2𝑥
3
1=1
3 2𝑥 2 1 = 3 4𝑥 2 1 = 12𝑥 2
3(2𝑥)(1)2 = 6𝑥
• 8𝑥 6 + 54𝑥 2 𝑦 6 − 27𝑦 9 − 36𝑥 4 𝑦 3 =
(2𝑥 2 − 3𝑦 3 )3
3
8𝑥 6 = 2𝑥 2
3
27𝑦 9 = 3𝑦 3
3 2𝑥 2 )2 3𝑦 3 = 3(4𝑥 4 3𝑦 3 = 36𝑥 4 𝑦 3
3 2𝑥 2 3𝑦 3 )2 = 3(2𝑥 2 9𝑦 6 = 54𝑥 2 𝑦 6
Practica
• Trinomio de la forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄:
𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 𝑥 − 2 𝑥 − 2
𝑚2 + 5𝑚 − 14 = 𝑚 + 7 𝑚 − 2
• Trinomio de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐:
3𝑥 2 − 5𝑥 − 2 =
(3𝑥)2 −5 𝑥3 −6
3
(3𝑥 − 3)(3𝑥 + 2)
3
3 𝑥 − 1 1(3𝑥 + 2)
3
(𝑥 − 1)(3𝑥 + 2)
Conclusión
Al realizar este proyecto hemos concluido que:
El algebra siempre se ha utilizado en la vida
cotidiana.
Para resolver diferentes casos de factorización
tiene una formula.
Cada caso de factorización tiene
procedimientos diferentes.
Bibliografía
• Libro de Algebra de Baldor
• Material entregado por el profesor.
• Internet
• Teorema del tercer Trimestre IX ª.