Download Guía de ejercicios: “Ecuaciones de primer grado”

Depto. de Matemática
Prof. Eduardo Abud Yoma
8vo básico
Guía de ejercicios
“Ecuaciones de primer grado”
Resolver una ecuación significa encontrar el valor de la incógnita que hace cumplir la
igualdad. Para esto, se debe aislar la incógnita en uno de los lados de la igualdad, aplicando
eficientemente las propiedades de las igualdades que son:
Sean a, b y c números reales y c distinto de cero, entonces siempre se tendrá que:
𝑎+𝑐 =𝑏+𝑐
Si 𝑎 = 𝑏 ⟹ {
𝑎⋅𝑐 =𝑏⋅𝑐
I.
Resuelve las siguientes ecuaciones. Recuerda utilizar correctamente las propiedades
de las igualdades.
29
−4
𝑥
30
𝑥+1
3
=
5
8
3+𝑥 =4
31
𝑥−2
4
=
1
2
05
5−𝑥 =4
32
3
4
06
6 − 𝑥 = −9
07
2𝑥 = 9
33
3
𝑥−4
=2
08
3𝑥 = 5
34
𝑥−1
4
=
𝑥
3
09
8𝑥 = 24
35
𝑥+1
4
=
𝑥−3
2
10
−6𝑥 = 48
36
11
16𝑥 = −16
3
4−𝑥
= 𝑥+5
12
2𝑥 + 5 = 11
37
2𝑥+3
3𝑥−4
13
3𝑥 − 7 = 5
38
𝑥+3
𝑥−1
14
5𝑥 − 3 = 2𝑥 + 9
39
15
2(𝑥 + 1) = 𝑥 + 3
(𝑥−1)(𝑥+2)
(𝑥−3)(2𝑥−3)
=2
40
𝑥 2 +5𝑥−3
3
4𝑥 2 −3𝑥+5
12
41
2𝑥 2 −5𝑥−1
3𝑥 2 −4𝑥+5
42
𝑥
2
+3=1
43
𝑥
5
−3=4
−2+
01
𝑥+5=8
02
𝑥−3=5
03
𝑥 − 9 = −6
04
1
=2
1
= 𝑥−4
5
4
2
=5
𝑥+5
= 𝑥−2
=
1
16
8(𝑥 + 5) = 3(𝑥 + 2)
17
2𝑥(3𝑥 + 5) = 6𝑥 2 + 2
18
3(𝑥 + 5) + 2(𝑥 + 4) = −2
19
(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) = (𝑥 + 2)(𝑥 + 4)
20
(2𝑥 + 5)(3𝑥 + 4) = (𝑥 + 8)(6𝑥 − 9)
21
(5𝑥 − 1)(4𝑥 − 1) − 2(2𝑥 + 3)(5𝑥 − 4) = 0 44
𝑥
3
22
(2𝑥 − 3)2 − 𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (3𝑥 + 5)(𝑥 + 1)
45
23
2(𝑥 − 3)(𝑥 + 4) = 𝑥(𝑥 + 5) + (𝑥 − 3)2
𝑥+2
3
+4=8
46
𝑥+3
2
3
4
47
2
5
2
2
2
24
3(𝑥 − 1) − (𝑥 + 3) = 2𝑥 − 14𝑥 + 29
25
𝑥
2
=
26
𝑥
3
=7
27
2
𝑥
=8
28
−2
7
=
𝑥
3
2
=3
𝑥
𝑥
3
1
5𝑥
6
=3
1
5
+
𝑥−2
3
=6
𝑥−4
4
−
𝑥−2
2
=
48
2+
𝑥−3
4
49
7𝑥+5
2𝑥−3
+ 4
3
50
6𝑥−1
+
4
- 1/6 -
=
𝑥
𝑥+3
3
𝑥+5
2
= 12
1
7𝑥 − 3 = 6
Depto. de Matemática
Prof. Eduardo Abud Yoma
1ro Medio
Problemas de planteo
Para resolver problemas matemáticos con enunciados verbales, generalmente es necesario
hacer una transformación desde el lenguaje cotidiano al matemático. Es así como aprenderemos a
interpretar algunos clásicos enunciados verbales en lenguaje matemático.
Lenguaje cotidiano
Más; suma; adición; agregar; añadir; aumentar.
Menos; diferencia; disminuido; exceso; restar.
Multiplicación; de, del; veces; producto; por.
División; cociente; razón; es a.
Igual; es; da; resulta; se obtiene; equivale a.
Un número cualquiera.
Antecesor de un número cualquiera.
Sucesor de un número cualquiera.
Cuadrado de un número cualquiera.
Cubo de un número cualquiera.
Doble de un número; duplo; dos veces; número par; múltiplo
de 2.
Triple de un número; 3 veces; múltiplo de 3.
Mitad de un número.
Lenguaje algebraico
+
−
⋅
:
=
𝑥
𝑥−1
𝑥+1
𝑥2
𝑥3
2𝑥
3𝑥
𝑥
o
1
𝑥
2
1
𝑥
3
Tercera parte de un número.
Número impar cualquiera.
Semisuma, promedio, media aritmética de dos números.
o
2
𝑥
3
2𝑥 − 1 o 2𝑥 + 1
𝑥+𝑦
2
𝑥−𝑦
2
Semidiferencia de dos números.
Números consecutivos cualesquiera.
Números pares consecutivos.
Números impares consecutivos.
Múltiplos de 5 consecutivos.
Múltiplos de 6 consecutivos.
Recíproco, inverso multiplicativo de un número.
Inverso aditivo de un número.
Un número de dos dígitos (visualmente xy)
Un número de tres dígitos (visualmente xyz)
El 20% de una cantidad.
𝑥, 𝑥 + 1, 𝑥 + 2, 𝑥 + 3 …
2𝑥, 2𝑥 + 2, 2𝑥 + 4 …
2𝑥 + 1, 2𝑥 + 3, 2𝑥 + 5 …
5𝑥, 5𝑥 + 5, 5𝑥 + 10, …
6𝑥, 6𝑥 + 6, 6𝑥 + 12, …
1
o 𝑥 −1
𝑥
−𝑥
10𝑥 + 𝑦
100𝑥 + 10𝑦 + 𝑧
20
𝑥 o 0,2𝑥
100
45
𝑥
100
El 45% de una cantidad.
El 65,8% de una cantidad.
o 0,45𝑥
0,658𝑥
Algunos ejemplos:
– La diferencia entre un número cualquiera y 4 𝑥 − 4
– Al doble de un número agregarle el triple de otro número" 2𝑥 + 3𝑦
– El exceso del quíntuplo de un número sobre otro número cualquiera 5𝑥 − 𝑦
1
– A la cuarta parte de un número agregarle el triple de otro número 4 𝑥 + 3𝑦
– El cuadrado de la diferencia entre un número cualquiera y 3 (𝑥 − 3)2
– La diferencia entre el cuadrado de un número y 3 𝑥 2 − 3
2𝑥−3𝑦
– La cuarta parte de la diferencia entre el doble de un número y el triple de otro número 4
– La tercera parte del cuadrado de la suma entre dos números
1
+4𝑥
(𝑥+𝑦)2
3
– A un número cualquiera añadirle su cuarta parte 𝑥
– El cuadrado del quíntuplo de un número (5𝑥)2
– El quíntuplo del cuadrado de un número 5𝑥 2
– El exceso del cubo del doble de un número sobre el cuádruplo del cuadrado de otro (2𝑥)3 − 4𝑦 2
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II.
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23
24
25
26
Expresa algebraicamente los siguientes enunciados verbales.
Un número cualquiera.
El doble de un número cualquiera.
Un número aumentado en 5.
Un número disminuido en 3.
Un número aumentado en su mitad.
El antecesor de un número cualquiera.
El sucesor de un número cualquiera.
Un número par cualquiera.
Un número impar cualquiera.
Dos pares consecutivos cualesquiera.
Tres impares consecutivos cualesquiera.
El exceso de un número sobre 3.
El exceso de un número cualquiera sobre
otro número cualquiera.
La quinta parte de un número.
La centésima parte de un número.
Las tres cuartas partes de un número
cualquiera.
El cuadrado de un número cualquiera.
El cubo de un número cualquiera.
El doble de un número aumentado en 4.
El triple de un número disminuido en 5.
El cuádruple del exceso de un número
sobre 8.
El exceso del cuádruple de un número
sobre 8.
El doble del cubo de un número.
El cubo del cuádruple de un número.
El cubo de la diferencia entre dos números
cualesquiera.
La tercera parte de la diferencia entre el
doble de un número y el triple de otro
número.
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33
34
35
36
37
38
39
40
El doble del cubo de un número
disminuido en el cuádruplo del cubo de
otro número.
El triple del cuadrado de la diferencia
entre un número y 13.
La cuarta parte de la adición entre un
número cualquiera y 3.
La diferencia entre la cuarta parte del cubo
de un número y la tercera parte del
cuadrado de otro número.
La quinta parte del cuadrado de la suma de
dos números cualesquiera.
El cubo de la diferencia entre la mitad de
un número y la cuarta parte del triple de
otro número.
La mitad del exceso del cuadrado del triple
de un número sobre el doble del cubo de
otro número.
A la cuarta parte de un número agregarle
sus tres cuartas partes.
El cuadrado de la tercera parte de la
diferencia entre el cuádruplo del cubo de
un número y el cuadrado del triple de otro
número.
La mitad del exceso de la tercera parte de
un número y sus tres cuartas partes.
Un múltiplo de siete cualquiera.
Un múltiplo de cuatro cualquiera.
La suma de dos múltiplos de cinco
cualesquiera.
La suma de tres múltiplos consecutivos de
8.
Método de resolución de problemas
Un posible método para la resolución de un problema de planteo, puede ser:
1°.
Leer el problema con atención: para entenderlo e identificar la información
relevante, porque el problema puede tener información que no nos ayude a resolverlo. Ejemplo: “A
un determinado vagón del metro que viaja por la Línea 1, suben en la primera estación (Escuela
Militar) a las 15:33 hrs. 33 personas, de las cuales 15 eran adultos y 18 niños. En la segunda estación
(Alcántara) bajan 2 adultos y suben 6 adultos y 2 niños. En la siguiente estación (El Golf) bajan 1
adulto y 1 niño y suben 4 adultos. En la estación Tobalaba bajan 5 adultos y 8 niños y suben solo 3
adultos. En la estación Los Leones bajan 10 adultos y 6 niños y suben al vagón 10 adultos. En la
estación Pedro de Valdivia bajan 3 adultos y suben 39 niñas. Con la información del enunciado,
responde:
 ¿Cuántas estaciones lleva recorridas el tren del problema al salir de Pedro de Valdivia? (6)
(Discriminar información relevante)
 ¿Cuántas personas se encuentran en el vagón al salir el tren de la estación Pedro de Valdivia?
(61) ¿Cuántos son adultos y cuántos son niños? (17 adultos y 44 niños) (Posibles preguntas
con la información que entrega el problema)
 Suponiendo que el metro demora en cada estación aproximadamente 1,5 minutos, ¿a qué
hora está dejando la estación Los Leones? (15:40 hrs.) ¿Cuántas personas puede
transportar un vagón del metro simultáneamente? (a lo menos 61) (Respuestas
aproximadas dependiendo del contexto de la pregunta y/o de la información que nos
entregue el problema)
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1ro Medio

Suponiendo que un vagón de metro puede transportar simultáneamente a un total máximo
de 65 personas, ¿cuántos vagones necesitaría un tren que se dispone a transportar
simultáneamente a 400 pasajeros? (7) (Pertinencia de la solución)
2°.
Definir una estrategia a seguir: pues hay muchas formas de resolver un mismo
problema y una son más eficientes que otras.
3°.
Realizar los cálculos necesarios y comprobarlos: por atentos que estemos,
siempre es posible equivocarnos en ellos.
4°.
Chequear la pertinencia de la solución encontrada: “una cosa es en el mundo de
la matemática y otra en el mundo real”.
5°.
problema.
Responder: debemos preocuparnos de responder claramente a lo que nos pide el
Algunas estrategias
•Aproximación: “Las notas de Carolina en matemática son: 1er trimestre 6,2; 2do trimestre 6,3
y
trimestre 6,5. ¿Cuál es su nota final? (19/3=6,3333333...6,3)
•Ensayo y error: Probamos suerte, con ojo matemático, hasta dar con la solución.
(Factorización de x2bxc en (xp)(xq) tal que pq=b y pq=c)
•Comenzar por el final: “Un grupo de amigas se puso a recolectar latas vacías para
reciclarlas. María recolectó 24 latas más que Susana. Susana recolectó el doble de latas que Javiera.
Javiera recolectó 12 latas menos que Loreto. Si María recolectó 642 latas, ¿cuántas recolectó
Loreto?” (321)
•Hacer un diagrama: Es utilizada como una estrategia complementaria. Sirve para ordenar
los datos, las ideas, la situación problema. “Tenemos un maniquí donde podemos poner 1 pantalón y
1 blusa en vitrina. Si hay pantalones azules, verdes y rojos y blusas blancas y negras, ¿de cuántas
formas podemos vestir el maniquí? (Diagramas: 6 formas diferentes)
•Plantear una ecuación: Estrategia que más utilizaremos. Es importante determinar bien la
incógnita. “En el último curso de Enseñanza Media un alumno tiene el triple de la edad de un alumno
de Primero Básico y uno de los profesores del curso tiene el doble de la edad del alumno de E.M.
Determinar sus edades si entre los tres suman 60 años.”(x/3; x; 2x6, 18 y 36 años)
3er
Resuelve cada uno de los siguientes problemas, planteando una ecuación.
III.
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11
12
13
El doble de la suma entre un número y 5 es igual a 20. ¿Cuál es el número?
El producto de dos números cuya diferencia es 6, es igual a la suma entre 48 y el cuadrado del
número menor.
La edad de Sergio es 6 veces mayor que la edad de David. Dentro de 15 años la edad de Sergio
será el triple de la de David. ¿Qué edad tiene actualmente cada uno de ellos?
La suma de las edades de María y Patricia es 30 años. Dentro de 5 años María tendrá el triple
de la edad de Patricia. ¿Cuáles son actualmente sus edades?
La diferencia entre dos números es 2. La diferencia entre sus cuadrados es igual a 8. ¿Cuáles
son los números?
Un padre tiene 24 años más que su hijo. ¿Cuáles son sus edades si dentro de 8 años la edad del
padre será el doble que la edad del hijo?
La diferencia entre los cuadrados de dos números enteros consecutivos es 13. ¿Cuáles son
estos números?
La diferencia entre los cuadrados de dos números pares consecutivos es 36. ¿Cuáles son estos
números?
La diferencia entre el triple de cierto número y el cuádruplo de la diferencia entre el mismo
número y 1, es igual a 5. ¿Cuál es este número?
La edad de una persona es 41 años y la de su hijo es 9 años. ¿En cuántos años más la edad del
padre triplicará la edad del hijo?
En una granja hay conejos y gallinas. ¿Cuántos animales de cada especie hay si en total son 23
cabezas y 66 patas?
El dinero de dos personas está en razón de 12: 7 y una de ellas tiene $ 85.000 más que la otra.
¿Cuánto tiene cada una?
Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 1: 3: 6. ¿Cuánto mide el ángulo mayor?
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Dos máquinas hacen un trabajo en 7 días. ¿Cuánto se demorarán 5 máquinas en hacer el
mismo trabajo?
Dos ángulos complementarios están en la razón 5: 13. ¿Cuánto mide el ángulo menor?
Las edades de dos personas están en la razón 1: 3. Si la mayor tiene 36 años más que la menor,
¿cuál es la edad de cada una?
Una máquina imprime los sueldos de los trabajadores de una empresa en 2 horas. ¿Cuántas
impresoras como ésta se requerirán para hacer el mismo trabajo en 30 minutos?
Un árbol que mide 4 metros de altura proyecta una sombra de 5 metros. ¿Qué altura tiene
otro árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 7 metros?
𝑘𝑚
Un automóvil que lleva una velocidad media de 100 ℎ demora 5 horas en recorrer la
distancia entre dos ciudades. ¿Qué velocidad media llevaba otro vehículo que demoró 8 horas
en el mismo trayecto?
Dos trabajadores cavan un pozo de 3 metros de profundidad en 4 horas. ¿Cuántos metros
cavarían 5 trabajadores en el mismo tiempo y bajo similares condiciones de trabajo?
Un camión recorre 125 kilómetros en 2,5 horas. ¿Cuánto tardará en recorrer 200 kilómetros si
mantiene la misma velocidad?
En una fábrica de automóviles hay tres máquinas que pintan 90 autos en 8 horas. ¿Cuántas de
esas máquinas se necesitarían para pintar 210 autos en el mismo tiempo de trabajo?
Diez litros de una solución desinfectante contienen 200 mg de cloro. ¿Cuánto cloro contienen
35 litros de la misma solución?
Cinco trabajadores hacen una obra en 20 días. ¿Cuánto demorarán 4 trabajadores en hacer la
misma obra?
En un corral, la mitad de los animales son ovejas, la cuarta parte son cabras, la octava parte
son cerdos y además hay un caballo. ¿Cuántos animales hay en total?
El total de una herencia en dinero se reparte entre 4 hermanos de tal forma que Pedro recibe
la tercera parte del total, María recibe la quinta parte del total, Juan recibe la sexta parte del
total y Ramón recibe los $ 1.200.000 restantes. ¿Cuánto es el monto total de la herencia?
Los dos quintos de una vara están pintados de azul, los tres octavos de verde y los 18cm
restantes de blanco. ¿Cuál es la longitud de la vara?
Una computadora hace un trabajo en 4 horas y otra lo hace en 6 horas. Si trabajan juntas, ¿en
cuánto tiempo harán el trabajo?
La llave A llena un estanque en 2 horas, la llave B lo llena en 3 horas y la llave C en 4 horas. ¿En
cuánto tiempo se llenará el estanque si se abren las tres llaves al mismo tiempo?
Un grifo llena una piscina en 10 horas y otro lo hace en 15 horas. El desagüe de la piscina la
vacía en 9 horas. Si se abren ambos grifos y el desagüe al mismo tiempo, ¿en cuánto tiempo se
llena la piscina?
Ana tiene 14 años menos que Beatriz y ambas edades suman 56 años. ¿Qué edad tiene cada
una?
Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103.
Un número multiplicado por 5, sumado con el mismo número multiplicado por 6 da 55. ¿Cuál
es el número?
El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cuál es el
número?
Si a cierto número se agrega 180, resulta 7 veces el exceso del mismo número sobre 60. ¿Cuál
es el número?
Hallar dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194.
La suma de tres números es 200. El mayor excede al del medio en 32 y el menor es el
quíntuple de 13. ¿Cuáles son estos números?
En un hotel de 2 pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones que hay en el primer piso son la
mitad de las que hay en el segundo piso, determina la cantidad de habitaciones de cada piso.
Un caballero se ha comprado un traje, un bastón y un sombrero en $ 259.000. El traje costó 8
veces lo que el bastón y el sombrero $ 30.000 menos que el traje. Determinar los precios
respectivos?
El numerador de una fracción excede al denominador en 2. Si el denominador se aumenta en
1
7, el valor de la fracción es 2. ¿Cuál es la fracción?
3
41
Se ha de repartir una herencia entre tres hermanos: al mayor le corresponden los 5 de ella, al
42
segundo 6 de la herencia. Si al menor le tocaron US$ 70.000, ¿a cuánto ascendía la herencia?
Si a un número se le suma la quinta parte de él, se obtiene el número siguiente, ¿cuál es el
número?
1
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Un comerciante vende la mitad de una pieza de género y luego la mitad del resto y le sobran 4
metros. ¿Cuántos metros medía la pieza de género?
Si a un número se suma 5, se multiplica la suma por 3, se resta 6 del producto y se divide la
diferencia por 7, se obtiene un número que tiene 5 unidades menos que el número. ¿Cuál es el
número?
¿Cuántas botellas de 1,5 litros se necesitan para envasar 608 litros de una bebida?
Después de cortar el 75 % de la longitud de una tabla, quedan 30 cm de ella. ¿Cuál era el largo
de la tabla antes del corte?
En la tumba de Diofanto de Alejandría, matemático que vivió en el siglo III, se encuentra el
siguiente epitafio: “Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto, y los números pueden mostrar,
¡oh milagro!, cuán larga fue su vida, cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. Había
transcurrido además una duodécima parte de su vida cuando se cubrió de vello su barba. La
séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó un quinquenio más, y
le hizo dichoso el nacimiento de su primogénito. Este entregó su cuerpo y su hermosa existencia
a la tierra, habiendo durado su vida la mitad de la de su padre. Diofanto descendió a la sepultura
habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo.” Determina la edad que tenía Diofanto al
morir.
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