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I.
Introdución
II.
La carga eléctrica
III. El campo eléctrico
IV. El potencial eléctrico
V.
La ley de Gauss
VI. La capacitancia y la corriente eléctrica
VII. Los campos eléctricos en la materia
VIII. El campo magnético
IX. Los campos magnéticos en la materia
X.
La ley de Ampere
XI. La inducción y la inductancia
XII. Las ecuaciones de Maxwell
XIII. Las ondas electromagnéticas
La ÓPTICA es la rama de la Física
que estudia el comportamiento y las
propiedades de la luz, incluyendo sus
interacciones con la materia y la
construcción de instrumentos que la
usan o la detectan.
Wikipedia
Veamos qué es una onda
Unas oscilación es la variación
repetitiva, generalmente en el
tiempo, de alguna propiedad
alrededor de un valor central o
entre dos o más estados.
Unas oscilación es la variación repetitiva,
generalmente en el tiempo, de alguna propiedad
alrededor de un valor central o entre dos o más
estados.
La frecuencia de una oscilación es el número de
repeticiones de dicha oscilación por segundo.
Se le denota por la letra f o por la letra griega .
1
Se mide en hertz Hz: 1 Hz  1 s 
s
1
El período es el tiempo que tarda
una oscilación.
Se le denota por la letra T .
Se mide en segundos.
 La frecuencia de una oscilación es el número
de repeticiones de dicha oscilación por segundo.
 El período es el tiempo que tarda una oscilación.
1
T
f
Puede haber oscilaciones
muy complejas, pero la más
sencilla de todas es el
movimiento armónico
simple.
Se llama movimiento armónico simple
al que se escribe como
x  t   xm cos t   
donde xm ,  y  son cantidades por definir.
Podríamos haber usado
x  t   xm sin t   
x  t   xm cos t   
 xm es la amplitud de la oscilación
  es la frecuencia angular de la oscilación,
y está dada como   2 f
  es la constante de fase de la oscilación
x  t   xm cos  t 
x  t   cos t 
x  t   8cos  2t   
x  t   xm cos t   
 xm es la amplitud de la oscilación
  es la frecuencia angular de la oscilación,
y está dada como   2 f
  es la constante de fase de la oscilación
F   kx
Ecuación diferencial:
mx   kx
Condiciones iniciales:
x t  0  0
v  t  0   v0
F   kx

mx   kx con x  t  0   0 y v  t  0   v0
La solución es:
x t  
v0

sin t
F   kx ;
x t  
v0

2
sin t
v0  2
x(t)
1.0
0.5
2
0.5
1.0
4
6
8
10
t
mx   kx
k
x x
m
2
d x k

x

0
2
dt
m
2
d x k

x

0
2
dt
m
k
k
k
   0       i
m
m
m
2
k

m
it
 it
x  t   c1e  c2e
x  t   c1e
it
 c2e
 it
x t  0  0
x t  0  0
x  t  0   v0
 c1  c2  0
 c2  c1
x  t   c1  e
it
e
 it
  2ic sin t
1
x  t   2ic1 sin t
x  t  0   v0
x t  0  0
 2ic1 cos 0  v0
v0
 c1 
2i
x t  
x  t  0   v0
v0

sin t
F  kx

mx   kx con x  t  0   0 y v  t  0   v0
La solución es:
x t  
v0

sin t
x t  
v0

sin t
v0
dx d  v0
 v0 d
v
  sin t  
 sin t   cos t  
dt dt  

  dt
v  v0 cos t 
F  kx ; x  t  
v0

sin t ; v  t   v0 cos t
2
v0  2
x(t), v(t)
2
1
2
1
2
4
6
8
10
t
F   kx ; x  t  
v0

sin t ; v  t   v0 cos t
1 2
K  mv
2
2
0
mv
2
K
cos t 
2
F  x   kx
xf
U  k 
xi
xf
U    F  x  dx
xi
1 2
1 2
xdx  kx f  k xi
2
2

1 2
U  kx
2
F  x   kx
1 2
U  kx
2
xf
U    F  x  dx
xi

k
m
1
2 2
U  m x
2
F   kx ; x  t  
v0

sin t ; v  t   v0 cos t
1
U  m 2 x 2
2
2
0
2

k
m
2
0
mv
1
2 v
2
2
U  m
sin t  
sin t 
2

2
F   kx ; x  t  
mv02
K
cos 2 t 
2
2
0
v0

sin t ; v  t   v0 cos t
mv02
U 
sin 2 t 
2
2
0
2
0
mv
mv
mv
2
2
E
cos t  
sin t  
2
2
2
Jean Baptiste Joseph Fourier
1822
Toda oscilación, por más compleja que sea,
puede ser escrita como una suma, generalmente
infinita, de oscilaciones armónicas simples.
g  x    cos  2 x  1  2cos  3x  2   3cos  3  x   5cos

2x

8
6
5
4
2
4
2
2
15
4
10
5
5
2
5
4
6
10
5
40
20
20
5
10
40
10
15
Una onda es una perturbación
de alguna propiedad de un
medio, la cual se propaga a
través del espacio
transportando energía.
Una onda es un patrón de movimiento que puede
transportar energía sin transportar agua con ella.
Una onda es una perturbación de alguna
propiedad de un medio, la cual se propaga a
través del espacio transportando energía.
La energía es transferida a
través del espacio, pero no la
materia.
Una onda es una perturbación de alguna propiedad de un
medio, la cual se propaga a través del espacio transportando
energía.
•El medio perturbado puede ser de naturaleza
diversa, como el aire, agua, un trozo de metal,
etc.
•Las propiedades que sufren la perturbación
pueden ser también variadas, por ejemplo,
densidad, presión, campo eléctrico, campo
magnético.
Todas las ondas mecánicas requieren de:
(1) Alguna fuente de perturbación
(2) Un medio que pueda ser perturbado
(3) Algún mecanismo físico a través del cual
los elementos del medio pueden influir
entre ellos.
Podemos pensar en:
1. Pulsos
2. Ondas. Que son perturbaciones
periódicas de un medio
Un pulso u onda viajeros que causan
que los elementos del medio
perturbado se muevan
perpendicularmente a la dirección de
la propagación se llama transversal.
Un pulso u onda viajeros que
causan que los elementos del medio
perturbado se muevan
paralelamente a la dirección de la
propagación se llama longitudinal.
Algunas ondas en la naturaleza presentan
movimientos transversales y longitudinales
combinados
Es una única perturbación que se mueve a
través de un medio de un punto al siguiente.
y  x, t  0  f  x 
y  x, t   y  x  vt ,0 
y  x, t   f  x  vt 
f  x, t   e
Out[21]=
1.0
1.0
1.0
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
,
0.4
2
0.4
0.2
2
4
6
8
10
2
0.2
2
4
6
8
10
2
1.0
1.0
1.0
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
,
0.4
,
0.4
0.2
2
,
0.4
0.2
Out[23]=
 ( x t )2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0.4
0.2
2
2
0.2
2
4
6
8
10
2
1
f  x 
2
1 (x  t)
Out[35]=
1.0
1.0
1.0
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
,
0.4
0.2
20
15
10
20
15
10
5
10
5
20
15
10
5
1.0
1.0
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
,
0.4
0.2
15
0.2
1.0
0.4
20
0.4
0.2
5
Out[34]=
,
,
0.4
0.2
20
15
10
5
0.2
20
15
10
5
Por lo tanto,
1) Si el pulso viaja hacia la derecha,
y  x, t   f  x  vt 
2) Si el pulso viaja hacia la izquierda,
y  x, t   f  x  vt 
 2

y  x, t   A sin   x  vt  


1.0
1.0
1.0
0.5
0.5
0.5
Out[7]=
2
4
6
8
10
,
2
4
6
8
10
,
0.5
0.5
0.5
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
0.5
0.5
0.5
Out[8]=
2
4
6
8
10
,
2
4
6
8
10
,
0.5
0.5
0.5
1.0
1.0
1.0
y  x, t   sin  x  t 
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
x
 2

y  x, t   A sin   x  vt  


 2

y  x, t   A sin   x  vt  


La frecuencia: El número de veces que la onda
1
oscila por segundo. Es decir, f 
T
 Amplitud
 Longitud de onda
 Período
 Frecuencia
 2

y  x, t   A sin   x  vt  


Por definición, la onda viaja una distancia
igual a una longitud de onda en un periodo T .
Por lo tanto, la velocidad de la onda,
la longitud de onda y el periodo están
relacionados por la expresión

v
T
Por definición, la onda viaja una distancia
igual a una longitud de onda en un periodo T .
Por lo tanto, la velocidad de la onda,
la longitud de onda y el periodo están

relacionados por la expresión v 
T
 2

Por ende y  x, t   A sin 
 x  vt   se escribe
 

  x t 
y  x, t   A sin  2    
   T 
  x t 
y  x, t   A sin  2    
   T 
Introduciendo,
el número angular de onda k 
2

2
y la frecuencia angular  
 2 f
T
tenemos
y  x, t   A sin  kx  t 
k
2

;
2

 2 f ;
T
y  x, t   A sin  kx  t 
Tenemos que
v

T
f
y

2 / k 
v 

T 2 /  k
y  x, t   A sin  kx  t   
k

2

2
 2 f
T
 es la constante de fase
y  x, t   A sin  kx  t   
dy
vy 
  A cos(kx  t   )
dt
t 0
y  x, t   A sin  kx  t    ;
A 1
k 1
 1
 =0
dy
vy 
  A cos(kx  t   )
dt
1.0
0.5
6
4
2
2
0.5
1.0
4
6
t 1
y  x, t   A sin  kx  t    ;
A 1
k 1
 1
 =0
dy
vy 
  A cos(kx  t   )
dt
1.0
0.5
6
4
2
2
4
0.5
t 1
1.0
6
e  cos   i sin 
i
y  x, t   A sin  kx  t   
y  x, t  
e
i ( kx t )
y  x, t   e
e
2i
 i ( kx t )
i ( kx t  )
1
K   m  v y2
2

1
K   x  v y2
2
1
dK    dx  v y2
2
2
1
1
dK    A cos  kx  t   dx   2 A2 cos 2  kx  t  dx
2
2
1
dK   2 A2 cos 2  kx  t  dx
2


1
1
2 2
2
K     A cos  kx  t  dx   2 A2  cos 2  kx  t  dx
2
2
0
0
cos
(
kx


t
)
dx

2
cos ( x   ) 
2

dx
)
t


kx
(
cos


2
1  cos  2  x    
2
1  cos  2  kx  t  
2
1
1
  dx   cos  2  kx  t   dx
2
2
x 1
sin  2  kx  t  
 
2 4k
dx 

2
cos
 (kx  t )dx
0
x
1
 cos (kx  t )dx  2  4k sin 2  kx  t  
2


x 1

0 cos (kx  t )dx   2  4k sin 2  kx  t  0
2
 1
 1

 
sin  2  k   T      sin  2T 
 2 4k
  4k

 1
1

 
sin  2  2  2   
sin  4  
2 4k
4k
2
1
dK   2 A2 cos 2  kx  t  dx
2

1
1
2 2
2
2 2 
K     A cos  kx  t  dx   A  
2
2
2
0
1
2 2
K    A 
4
F  x   kx
1 2
U  kx
2
xf
U    F  x  dx
xi

k
m
1
2 2
U  m x
2
1
2 2
U    m   y
2
1
2 2
U    x   y
2
1
2 2
dU     dx   y
2
1
dU     dx   2 y 2
2
2
1 2
1 2 2 2
dU     A sin  kx  t   dx   A sin  kx  t  dx
2
2


1 2 2
U    dU    A  sin 2  kx  t  dx
2
0
0
1 2 2
U    A 
4
E  K   U 
1
1
2 2
E   A    2 A2
4
4
1
E   2 A2
2
1
E   2 A2
2
1
2 2
 A  1
E E 2
P


  2 A2v
t
T
T
2
1
P   2 A2v
2
1
2 2
P   A v
2
La taza de transferencia de energía en una onda sinusoidal en
una cuerda es proporcional a (a) el cuadrado de la frecuencia,
(b) el cuadrado de la amplitud, y (c) la velocidad de la onda.
De hecho, la taza de transferencia de energía en una onda
sinusoidal es proporcional a el cuadrado de la frecuencia
angular y al cuadrado de la amplitud.
T es la tensión en la cuerda
En la dirección horizontal la
fuerza neta es cero, ya que se
trata de una onda transversal.
En la dirección vertical la fuerza neta es
F
y
 T sin  B  T sin  A  T  sin  B  sin  A 
Suponiendo que los ángulos son pequeños,
podemos hacer la aproximación
sin   tan 
y obtenemos
F
y
 T  tan  B  tan  A 
F
y
 T  tan  B  tan  A 
Es claro que
 y 
tan  B   
 x  B
así que
 y 
y tan  A   
 x  A
 y   y  
 Fy  T  x    x  

B
A
Aplicando la segunda ley de Newton
a un segmento de la cuerda x, que
tiene masa m  x, tenemos
 y
 Fy  ma y  x  t 2 


2
 y 
 y  
F

T

 y  x   x  

B
A
 2 y 
 Fy  x  t 2 


 y
 y   y  
x  2   T      
 t 
 x  B  x  A 
2
 y   y 
 


2
  y  x  B  x  A

2
T t
x
 y   y 
 


2
 y
x  B  x  A

 lim
2
x  0
T t
x
 y
 y
 2
2
T t
x
2
2
 y
 y

2
2
T t
x
2
2
 y 1  y


0
2
2
2
x v t
2
2
T
v

 y 1  y
 2 2 0
2
x
v t
2
2
y  x, t   A sin  kx  t   
y
 kA cos  kx  t   
x
2 y
2


k
A sin  kx  t   
2
x
y
  A cos  kx  t   
t
 y
2


A sin  kx  t   
2
t
2
2 y 1 2 y
 2 2 0
2
x
v t
2 y 1
 2
2
v
x
2 y 1
 2
2
v
x
pero
v
y  x, t   A sin  kx  t   
2

2 y
2
A sin  kx  t     2 A sin  kx  t   
k


2
v
t
2 y  2  2 
   k  2  A sin  kx  t   
2
v 
t


k
así que
2 y 1 2 y
 2 2 0
2
v t
x
2 y 1 2 y
 2 2 0
2
x
v t
y  x, t   f  x  vt 
y
 f   x  vt 
x
2 y
 f   x  vt 
2
x
y
2 y
2
  vf   x  vt 

v
f   x  vt 
2
t
t
2
2
 y 1  y
1 2
 2 2  f   x  vt   2 v f   x  vt   0
2
x
v t
v
 y 1  y


0
2
2
2
x
v t
2
2
y  x, t   f  x  vt   f  x  vt 

f
x
,
y
,
z
,
t


1
2
 f  x, y , z , t   2

0
2
v
t
2
 2 f  x, y , z , t   2 f  x, y , z , t   2 f  x , y , z , t  1  2 f  x , y , z , t 


 2
0
2
2
2
2
x
y
z
v
t
Una onda estacionaria es aquella que permanece fija, sin
propagarse a través del medio. Este fenómeno puede darse,
bien cuando el medio se mueve en sentido opuesto al de
propagación de la onda, o bien puede aparecer en un medio
estático como resultado de la interferencia entre dos ondas
que viajan en sentidos opuestos.
Una onda es una perturbación de alguna
propiedad de un medio, la cual se propaga a
través del espacio transportando energía
•El medio perturbado puede ser de naturaleza
diversa, como el aire, agua, un trozo de metal,
etc.
•Las propiedades que sufren la perturbación
pueden ser también variadas, por ejemplo,
densidad, presión, campo eléctrico, campo
magnético.
Una onda es un patrón de movimiento que puede
transportar energía sin transportar agua con ella
La frecuencia: El número de veces que
oscila por segundo
Desplazamiento
Distancia
  Longitud de la onda
y  Amplitud de la onda
 La energía en una onda es directamente proporcional
al cuadrado de su amplitud, a su intensidad.
 La energía de una onda varía de manera continua,
entre cero e infinito.
¿Qué es una partícula?
Las partículas son pelotas
•
•
•
•
Posición x
Masa m
Energía E
Momentum p = mv

 

        

        








•Una partícula está localizada en el espacio y
tiene propiedades físicas discretas, tales como la
masa
•Una onda está inherentemente extendida sobre
una región del espacio de varias longitudes de
onda y puede tener amplitudes en un rango
continuo de valores
•Las ondas se superponen y pasan unas a través
de las otras, mientras que las partículas
colisionan y rebotan alejándose unas de otras
•Son cosas totalmente
diferentes
•No sólo son diferentes, son
contradictorias: Un objeto es
onda o es partícula
¿Cuál es la teoría correcta?
Aquella que esté de acuerdo con
las observaciones experimentales,
la que concuerde con los hechos
1. El rayo incidente, el rayo reflejado y la normal, se encuentran en un mismo plano.
2. El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.
1. El rayo incidente, el rayo reflectado y la normal, se encuentran en un mismo plano.
2. Si 1 es el ángulo de incidencia y  2 es el ángulo de refracción, se cumple que
n1 sin 1  n2 sin  2
donde n1 y n2 son los indices de refracción de los respectivos medios.
•La reflexión
Ambas teorías podían explicarla
•La refracción
Ambas teorías podían explicarla
•La doble refracción
La explicación de la teoría ondulatoria
era muy complicada, poco convincente.
Muy “ad-hoc”
Dados los hechos expuestos, y por
la enorme influencia de Newton, la
teoría corpuscular fue aceptada y
dejo de ser cuestionada durante
todo el siglo XVIII
•La teoría corpuscular de la luz está en
contradicción con la experiencia.
•La teoría corpuscular de la luz no puede
explicar el experimento de la doble
rendija de Young
La discusión sobre si la luz son
ondas o son partículas revivió.
No sólo revivió, sino que agarró
una fuerza tremenda.
La discusión sobre si la luz son ondas
o son partículas revivió.
En los primeros 50 años del siglo XIX,
y gracias a los trabajos, tanto teóricos
como experimentales, de mucha gente
(Young, Fresnel, Arago, Airy, Fizeau)
se llegó a la conclusión de que la luz
era una onda.
•La reflexión. Las dos teorías
•La refracción. Las dos teorías
•La doble refracción. Las dos teorías
•La interferencia. Sólo la ondulatoria
•La reflexión. Las dos teorías
•La refracción. Las dos teorías
•La doble refracción. Las dos teorías
•La interferencia. Sólo la ondulatoria
•La difracción. Sólo la ondulatoria
• Hay dos tipos de carga eléctrica.
Cargas “positivas” + y cargas “negativas” –
• Las cargas del mismo signo se repelen.
Las cargas de signos opuestos se atraen.
¡Así es!
• La carga eléctrica se conserva
• La carga eléctrica está cuantizada.
El cuanto es
e=1.602 x 10-19 coulombs = 4.803 x 10-10 statcoulombs
Los imanes. Los griegos
•Tiene dos polos
•Los polos iguales se rechazan, los
diferentes de atraen
La brujula
• Durante la primera mitad del
siglo XIX se estudiaron los
fenómenos electromagnéticos.
• Gian Domenico Romagnosi,
Oersted, Ampere, Henry,
Faraday, Maxwell,….
En 1864, James Clerk Maxwell
reflexionaba y entonces ….
.......
D  
D
 H 
J
t
B
 E 
0
t
B  0
y hubo luz
¿Por qué?
En 1864, James Clerk
Maxwell unificó los
fenómenos eléctricos y
magnéticos, en la teoría
electromagnética, mediante
la formulación de sus
famosas Ecuaciones de
Maxwell
D  
D
J
t
B
 E 
0
t
B  0
 H 

E 
0
B  0
B
 E  
t
  B  0 J

E 
0
B
 E  
t
B  0
E
  B   0 J   0 0
t
Quedó clarísimo que los
fenómenos eléctricos y
magnéticos son diferentes
manifestaciones de una misma
cosa, los fenómenos
electromagnéticos
¡Ah!, pues lo increíble es que,
estudiando sus ecuaciones,
Maxwell se dio cuenta que…
E  0
B  0
B
 E  
t
1  E
 E 2 2 0
c t
donde
2
2
c
1
 0 0
E
  B   0 0
t
1  B
 B 2 2 0
c t
2
2
 300, 000 km/s
¡Ah!, pues lo increíble es
que, estudiando sus
ecuaciones, Maxwell se dio
cuenta que equivalían a una
ecuación de ONDA.
1  E
 E 2 2 0
c t
2
2
1  B
 B 2 2 0
c t
2
2
donde
c
1
 0 0
 300, 000 km/s
¡Ah!, pues lo increíble es que,
estudiando sus ecuaciones, Maxwell
se dio cuenta que equivalían a una
ecuación de ONDA.
Que esa onda electromagnética
viajaba a la misma velocidad que la
velocidad de la luz ….
Y se hizo la luz …..
!La luz es una
onda electromagnética!
Era tan “oscuro” que Hemholtz, en 1871, le encargo
a Heinrich Hertz clarificar sus estudios, pero sobre
todo demostrar que las “ondas electromagnéticas” de
la teoría de Maxwell se propagaban a la velocidad de
la luz
Hacía 1888 Hertz había construido
aparatos para generar y detectar ondas
electromagnéticas (ondas VHF y UHF).
Explicó la reflexión, la refracción, la
polarización, la interferencia y la
velocidad de las ondas
electromagnéticas.
Hacía 1888 Hertz había construido aparatos para generar y
detectar ondas electromagnéticas (ondas VHF y UHF).
Explicó la reflexión, la refracción, la polarización, la
interferencia y la velocidad de las ondas electromagnéticas.
¡Descubrió también el
Efecto Fotoeléctrico!
•La longitud de la onda (ó la
frecuencia) determina el color de la
luz
•La amplitud de la onda es la
intensidad de la luz
•La dirección de oscilación de los
campos determina la polarización
La luz está caracterizada
por una frecuencia y una
longitud de onda,
que determinan su color:
  c