Download Diapositiva 1 - apuntesmanuel

Cuadrilátero menor
Cuadrilátero mayor
1 2 3 4
1,5 3 5 6
Observamos que sus lados son
proporcionales:
1,5 3 4,5 6
 
  1,5
1
2
3
4
Además, como los dos cuadriláteros tienen los ángulos iguales diremos que son
semejantes, con razón de semejanza 1,5
Los lados, ángulos, puntos que se corresponden en una semejanza se llaman
homólogos.
1,5 3 4,5 6
 
  1,5
1
2
3
4
razón de semejanza 1,5
Observa que la razón de semejanza se extiende a los perímetros:
1,5  3  4,5  6 15

 1,5
1 2  3  4
10
Ejemplos
Los lados de un pentágono miden 4, 5, 7, 9 y 11 cm. Si el perímetro de otro
pentágono semejante es de 180 cm, cuánto mide cada uno de sus lados?
Como vimos anteriormente, la relación de semejanza entre lados homólogos
es la misma que la que hay entre los perímetros. Encontremos esa relación:
180
180

5
4  5  7  9  11 36
Cada lado del pentágono de perímetro 180 cm es 5 veces mayor que su
correspondiente homólogo.
Por tanto, cada uno de sus lados medirá 20, 25, 35, 45, 55 cm respectivamente
¿Serán semejantes estos dos rectángulos?
6,68 3,46

2,47 1,53
puesto que
6,68
 2,7
2,47
3,46
 2,2
1,53
Por tanto aunque los ángulos son iguales al no
tener sus lados proporcionales no son
semejantes.
¿Serán semejantes estos dos rectángulos?
5,61 3,46

 2,2
2,47 1,53
Los lados son proporcionales y los ángulos
son iguales por tanto los dos rectángulos son
semejantes.
¿Serán semejantes?
Aunque los lados son proporcionales
los ángulos son distintos, por tanto no son
semejantes.
Se fotocopia una hoja rectangular que mide 21 cm de ancho y 30 de alto.
¿Qué porcentaje de ampliación se marca para obtener una copia de 63 cm
de ancho? ¿Cuál será el de reducción para obtener una de 15 cm de alto?
Las fotocopias conservan la
forma por lo que son
semejantes.
Ampliación:
La razón de semejanza es
Por cada cm de nuestra hoja, la ampliación será de 3 cm, por lo que por cada
100 cm se ampliará 300. Un porcentaje del 300%.
Reducción:
La razón de semejanza es
Por cada cm de nuestra hoja, la reducción será de medio centímetro. Por lo
que en 100 cm, la reducción sería de 50 cm. Un porcentaje del 50%.
Semejanza en áreas y volúmenes
Los rectángulos son semejantes, ya que
8 6
 2
4 3
Sus áreas son 4·3 = 12 cm2 y 6 · 8 = 48 cm2
La razón de sus áreas es 48  4
12
El área del rectángulo mayor es cuatro veces el área del rectángulo menor.
Observa que la razón de las áreas es el cuadrado de la razón de semejanza.
Los triángulos de la izquierda son semejantes, su razón de semejanza es
Sus áreas son
23
3 y
2
La razón de sus áreas es
69
 27 cm2
2
6 9 10,82
 
3
2 3 3,61
27
9
3
El área del triángulo mayor es 9 veces el área del menor.
Si dos figuras son semejantes, sus áreas son proporcionales con razón de
proporcionalidad el cuadrado de la razón de semejanza.
De los dos ejemplos obtenemos la siguiente conclusión: si dos figuras
geométricas son semejantes con razón de semejanza r, entonces sus áreas
respectivas serán proporcionales con razón r al cuadrado.
Estos dos cuerpos son semejantes
porque tienen las tres dimensiones que
los conforman semejantes
Su razón de semejanza es 2.
Sus volúmenes son 3 · 1 · 3 = 9 cm3 y
6 · 2 · 6 = 72 cm3
72
La razón de sus volúmenes es 9  8
El volumen del ortoedro grande es 8 veces mayor que el pequeño, es decir,
su razón de semejanza 2 elevado al cubo.
Si dos cuerpos son semejantes, con razón de semejanza r, sus volúmenes
serán proporcionales con razón r 3
Ejemplos
1.-Si el volumen de un silo es de 45.000 m3, ¿cual será el volumen de la
maqueta de ese silo a escala 1: 40?
Por cada unidad de longitud sobre el papel corresponden 40 en la realidad.
razón de semejanza: r 
Vreal
 40 3 
Vescala
40
 40
1
45.000
 64.000 
Vescala
45000  Vescala  64000 
Vescala 
45.000 45

 0,7 m3  700 dm3
64000 64
2.-Hacemos una maqueta a escala 1:50 de una piscina rectangular, que en realidad
mide 4 m de largo, 10 m de ancho y 2 m de profundidad. Calcula las dimensiones de
la maqueta, el área del fondo y su volumen.
la razón de semejanza es
Largo (m)
r  50
Ancho (m)
4
4
 50  50 x  4  x 
 0,08 m
x
50
10
 50  50 y  10  y  0,2 m
y
Profundidad (m)
2
2
 50  50 z  2  z 
 0,04 m
z
50
Dimensiones de la piscina: 4 m de largo, 10 m de ancho y 2 m de
profundidad.
Dimensiones de la maqueta 0,08 m de largo, 0,2 m de ancho y 0,04 m de
profundidad.
Afondo maqueta  0,08  0,2  0,016 m2  160 cm2
Vmaqueta  Afondomaqueta  0,04  0,016  0,04  0,00064 m3  640 dm3
Si calculamos el área y el volumen usando la razón de semejanza:
A fondopiscina
A fondo maqueta
V piscina
V maqueta
 50 2 
 50 3 
2500  A fondo maqueta  4 10  A fondo
maqueta 
125.000  V maqueta  4 10  2  V maqueta 
40
 0,016 m 2
2500
80
 0,00064 m3
125000
3.- Una estatua mide 10 m de altura y pesa 200 kg. ¿Cuánto pesará una
reproducción del mismo material que mida 22 cm de altura?
Como 10 m = 1000 cm la razón de semejanza es
r
22
 0,022
1000
Por ser figuras semejantes, la razón de proporcionalidad de los volúmenes es
Vreproducción
Vestatua
 0,0223 
Vreproducción  0,12167 Vestatua
Preproducción  0,12167  Pestatua  Preproducción  0,12167·200  0,00243 kg  2,43 gr
Teorema de Tales
Si dos rectas secantes se cortan por dos o más rectas paralelas, los segmentos
correspondientes que determinan sobre las rectas secantes son proporcionales.
Ejemplos
1.-Divide un segmento en tres partes iguales
2.- Representa en la recta real los números racionales
3
5
y
4
3
5
2
 1
3
3
3.-Usando el teorema de Tales, divide un segmento en 2 partes, una el doble que la otra.
Triángulos en posición de Tales
Halla x e y
Determina las medidas que faltan en la figura
Criterios de semejanza de triángulos
Es suficiente que se cumpla una de las siguientes condiciones para que dos
triángulos sean semejantes:
Criterio 1: Que tengan dos ángulos iguales.
Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales también el tercero lo será, por lo tanto
se podrán colocar en posición de Tales y serán semejantes.
Criterio 2: Que tenga sus lados proporcionales
Dibujamos sobre el triángulo grande un triángulo
semejante tomando la medida de 5cm junto al de
25 cm y trazando una paralela al lado más largo.
Por el teorema de
Tales:
x= 6 cm y= 4 cm.
Las medidas coinciden con el triángulo pequeño, por tanto los dos triángulos
pequeños son iguales y en consecuencia, el triángulo grande es semejante al
pequeño.
Criterio 3: Que tengan un ángulo igual y sus lados contiguos proporcionales.
Tomamos las medidas de FE y de FG sobre los lados AC y AB respectivamente.
Los dos triángulos de la figura están en
posición de Tales, por tanto son semejantes.
Pero como AHI es el mismo triángulo que FEG
los triángulos de partida serán semejantes.
Ejemplos
5
cm
Razona la semejanza de
dos triángulos si:
a) Sus lados 3miden
2, 4 y 6 cm, y 3, 6 y 9 cm, respectivamente.
c
m
Sí porque tiene sus lados proporcionales:
2,5
0c
3 6 9
   1,5
2 4 6
m
b) Son triángulos
rectángulos isósceles
0°
90,
1,5
90
0c
m
,0
°
Los ángulos de los dos triángulos medirán 90º, 45º y 45º por tanto
serán semejantes.
cm
90
cm
1,50
90,0
°
,0
°
c) Son triángulos isósceles
d) Son triángulos equiláteros
Todo triángulo equilátero tiene sus tres lados iguales, por tanto dos
triángulos equiláteros tendrán siempre sus lados proporcionales.
Determina las longitudes de la hipotenusa del menor y los catetos del mayor.
Determina la longitud de CN
Cálculo de distancias
1.- Calcula la altura a la que está el globo
Los triángulos ABC y A´BC´ están en la posición de Tales, por tanto son
semejantes
Si h es la altura a la que está el globo, se cumplirá:
h 62

 h  31
1
2
2.-Alejandro ve reflejada en un estanque una paloma que está posada en la
cornisa de un edificio. Si la distancia al edificio es de 32 m y Alejandro mide 1,75
m, a qué altura está la paloma?
Los triángulos ABP y PCD son semejantes porque son rectángulos y los
ángulos con vértice P son iguales al producirse por reflexión de la luz.
h
30
52,5

 2h  52,5  h 
 26,25
1,75 2
2
3.-Calcula la altura de la torre si sabes que la altura del farol es de 6 m.
Triángulos en posición de Tales, por tanto son semejantes
300
h 50
 8,1

 37h  300  h 
37
6 37
Semejanza de triángulos rectángulos
Para que dos triángulos rectángulos sean semejantes es suficiente con que tengan
igual uno de sus ángulos agudos
a
90
a´
a´
,0
°
,0
90
90
°
,0
°
Si a = a´, como los
dos triángulos tienen un ángulo recto, los otros dos
a
ángulos serán iguales.,0 °Por tanto los triángulos serán semejantes.
90
Una consecuencia de esta propiedad es que dado un triángulo rectángulo,
cualquier triángulo obtenido al trazar una recta perpendicular sobre uno de sus
lados es semejante al primero:
C
CC
c
C´´´
C´
C´´
A´´
bb
A
AA
A´´´
A´
B
BB
Ejemplos
Se cumple:
Calcula las medidas de a, b y h.
6 10
36

 10a  36  a 
 3,6
a 6
10
b  10  3,6  6,4
8 10
48

 10h  48  h 
 4,8
h 6
10
Teorema del cateto
Se cumple por semejanza
b a
2
  b  am
m b
c a
2
  c  an
n c
Leemos: “el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la
proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa”.
Teorema de la altura
h n
  h2  n  m
m h
“el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las
proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa”.
Ejemplo
Calcula la medida de la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa en un
triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente.
La hipotenusa se obtiene usando Pitágoras:
a 2  32  4 2  a  9  16  25  5
Para calcular la altura sobre la hipotenusa usamos el teorema de la altura
9
 1,8
5
16
42  5  n  n 
 3,2
5
32  5  m  m 
h 2  1,8  3,2  h  5.76  2,4