Download Diapositiva 1 - IES Pablo Serrano

TRIGONOMETRÍA
Mariano Benito
1
MEDIDAS DE ÁNGULOS
GRADO:
1 Grado es la medida del ángulo que es 1/90 del ángulo recto.
Ángulo
recto
1º = 60 minutos = 60’
1º
RADIÁN:
Radio
1 Radián
Radio
EQUIVALENCIAS:
1’ = 60 segundos = 60’’
1 Radián es la medida del ángulo
cuyos lados abarcan un arco que
mide igual que el radio de la
circunferencia que lo ha trazado.
2π Radianes
Media Circunferencia =Ángulo Llano = π Radianes
π Radianes
1/4 de Circunferencia =Ángulo Recto =
2
Circunferencia =
Mariano Benito
2
EJERCICIOS:
1.- Convierte en grados, minutos y segundos los siguientes radianes: 3π radianes,
π/4 radianes, 1 radián. (Pasar a diapositiva 4).
 radianes
1 radián
son 180º 
1180 180

x


 57º 17' 44.81' '

son x 

3.14
2.- Convierte en radianes los siguientes ángulos sexagesimales: 70º, 135º, 330º.
180º son  radianes 
70   70  3'14

x


 1.2217 radianes

70º
son
x 
180
180
Los demás apartados, ¡hazlos tú!
Mariano Benito
3
Ejercicio
¿Cuántos grados, minutos y segundos es 1 radián?
π radianes  180º 
180º1 180
  x  π  3.14
1 radián  xº 
1 8 0 0 0º
314
6 1 2 0’
314
9 2 4 0’’
314
2300
57º
2980
19’
2960
29’’
1 0 2º
1 5 4’
102 x 60 = 6120’
1 3 4’’
154 x 60 = 9240’’
1 radián  57º 19' 29' '
Mariano Benito
4
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
a
a
b
b
c

c
¿Cuántas veces está a contenido en b?
b
 sen
a
¿Cuántas veces está a contenido en c?
c
 cos 
a
¿Cuántas veces está c contenido en b?
senα
b

 tan 
c
cosα
Mariano Benito
5
EJERCICIOS:
3.- Halla las razones trigonométricas de los ángulos marcados en los siguientes
triángulos:
β
5
12.5
β
4
10
α
3
α
7.5
4
 0.8
5
3
cos    0.6
5
4
tg   1.333
3
sen 
10
 0.8
12.5
7.5
cos  
 0.6
12.5
10
tg 
 1.333
7.5
sen 
Mariano Benito
Halla tú
las del
ángulo
β.
6
LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO NO
DEPENDEN DEL TRIÁNGULO DONDE ESTÉ DIBUJADO.
Son triángulos semejantes
a
b
b b'
  b'  senα
a 1
c c'
  c'  cosα
a 1
b b'
  tanα
c c'

c
1
b’

c’
Mariano Benito
7
RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
senα
tanα 
cosα
a
b

c
2
2
2
b
c
b

c
a




senα 2  cosα 2        2  2  1
a
a
a a
2
2
1
 senα  cosα   senα 
2
1  tanα   1  

 
2
cosα
cosα2
 cosα 
2
Mariano Benito
2
2
8
EJERCICIOS:
4.- Sabiendo que senx = 0.8, calcula las demás razones trigonométricas de x.
Llamamos senx  s, cos x  c y tgx  t. Planteamos el sistema :
s 2  c 2  1 0.82  c 2  1c  1  0.82  0.36  0.6 cos x  0.6
s 
0.8 
0.8

t
t
t


1
.
33
tgx  1.33


c 
c
0.6

5.- Sabiendo que tgx = 1.5, calcula las demás razones trigonométricas de x.
Llamamos senx  s, cos x  c y tgx  t. Planteamos el sistema :
s 2  c 2  1 s 2  c 2  1(1,5  c) 2  c 2  13,25  c 2  1  c  0,3077  0,555 cos x  0,555
s 
s 


t
1,5 
s

1
,
5

c
s

1
,
5

0
,
555

0
,
832

 senx  0,832
c 
c 
Emplea la calculadora para averiguar de qué ángulo se trata en los
dos ejercicios.
Mariano Benito
9
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DE 45º
Hipotenusa:
L2  L2  L 2
L
1
2
sen45º 


2
L 2
2
L 2
L
45º
L
L
1
2
cos45º 


2
L 2
2
L
tan45º   1
L
Mariano Benito
10
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 30º Y 60º
Dividimos el triángulo equilátero con su altura h
2
3L2 L
L
2
h  L   

3
2
4
2
 
30º 30º
L
L
h
60º
L/2 L 1
sen30º 

  cos60º
L
2L 2
cos30º 
(L/2) 3 L 3
3


 sen60º
L
2L
2
tan30º 
L/2
1
3


3
(L/2) 3
3
tan60º 
(L/2) 3
 3
L/2
60º
L/2
L/2
L
Mariano Benito
11
VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
LOS ÁNGULOS PRINCIPALES
α
0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360 º
Seno
0
1
2
Coseno
1
Tangente
0
3
2
3
3
2
2
2
2
3
2
1
2
1
3
Mariano Benito
1
0
-1
0
0
-1
0
1

0

0
12
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
UNIDAD, radio = 1
α
90º
0º  α  90º
senα
α
180º
en el primer cuadrante
cosα
tanα
0º
270º
Mariano Benito
13
EJERCICIOS:
6.- Dibuja el ángulo de 65º en la circunferencia unidad. Dibuja sus razones
trigonométricas y fíjate en el signo que tienen. Comprueba los resultados con la
calculadora.
tg65º
65º
1
Las tres razones son positivas y
con la calculadora obtenemos:
sen65º
sen65º = 0,906
cos65º = 0,423
cos65º
tg65º = 2,145
Haz lo mismo con el ángulo de 20º.
Mariano Benito
14
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
UNIDAD, radio = 1
β en el segundo cuadrante
90º  β  180º
90º
senβ
β
180º
0º
cosβ
tanβ
270º
Mariano Benito
15
EJERCICIOS:
7.- Dibuja el ángulo de 120º en la circunferencia unidad. Dibuja sus razones
trigonométricas y fíjate en el signo que tienen. Comprueba los resultados con la
calculadora.
El seno es positivo; el coseno y
la tangente son negativas.
sen120º
120º
Su valor es:
sen120º = 0,866
cos120º
cos120º = -0,5
tg120º
tg120º = -1,732
Haz lo mismo con el ángulo de 150º.
Mariano Benito
16
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
UNIDAD, radio = 1
90º
γ
180º
tanγ
0º
cosγ
senγ
γ
en el tercer cuadrante
180º  γ  270º
270º
Mariano Benito
17
EJERCICIOS:
8.- Dibuja el ángulo de 210º en la circunferencia unidad. Dibuja sus razones
trigonométricas y fíjate en el signo que tienen. Comprueba los resultados con la
calculadora.
210º
cos210º
El seno y el coseno son
negativos. La tangente es
positiva.
tg210º
Su valor es:
sen210º = -0,5
sen210º
cos210º = -0,866
tg210º = 0,577
Haz lo mismo con el ángulo de 225º.
Mariano Benito
18
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
UNIDAD, radio = 1
90º
δ
180º
0º
cosδ
senδ
tanδ
270º
Mariano Benito
δ
en el cuarto cuadrante
270º  δ  360º
19
EJERCICIOS:
9.- Dibuja el ángulo de 315º en la circunferencia unidad. Dibuja sus razones
trigonométricas y fíjate en el signo que tienen. Comprueba los resultados con la
calculadora.
El seno y la tangente son
negativos. El coseno es
positivo.
315º
Su valor es:
cos315º
sen315º = -0,707
sen315º
cos315º = 0,707
tg315º
tg315º = -1
Haz lo mismo con el ángulo de 330º.
Mariano Benito
20
SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Seno
+ +
_ _
Coseno
_
+
_ +
Tangente
_
+
+
_
Mariano Benito
21
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS
OPUESTOS
Dos ángulos a y b son opuestos si a + b = 0º (o 360º). Son a y -a.
a
-a
sen (-a) =
-sen a
cos (-a) =
cos a
tg (-a) =
-tg a
EJEMPLO:
sen 330º = sen (-30º) = -sen 30º  
3
2
3
tg (-30º) = -tg 30º  
3
cos 330º = cos (-30º) = cos 30º
tg 330º =
Mariano Benito
1
2

22
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS
COMPLEMENTARIOS
Dos ángulos a y b son complementarios si a + b = 90º. Son a y 90º-a.
sen (90º-a) = cos a
cos (90º-a) =
tg (90º-a) =
90º-a
a
sen a
sen(90º a) cosa


cos(90º a) sena
1/tg a
EJEMPLO:
sen 60º = cos 30º 
cos 60º = sen 30º

3
2
1
2
tg 60º = 1/tg 30º  3
Mariano Benito
23
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS
SUPLEMENTARIOS
Dos ángulos a y b son suplementarios si a + b = 180º. Son a y 180º-a.
180º-a
sen (180º-a) =
sen a
cos (180º-a) =
-cos a
tg (180º-a) =
a
-tg a
EJEMPLO:
sen 150º = sen 30º 
1
2
3
2
3
tg 150º = -tg 30º  
3
cos 150º = -cos 30º  
Mariano Benito
24
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS
QUE DIFIEREN EN 180º
Dos ángulos a y b difieren en 180º si b - a = 180º. Son a y 180º+a.
180º+a
a
sen (180º+a) =
-sen a
cos (180º+a) =
-cos a
tg (180º+a) =
tg a
EJEMPLO:
sen 210º = -sen 30º  
1
2
3
2
3

3
cos 210º = -cos 30º  
tg 210º = tg 30º
Mariano Benito
25
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS MAYORES QUE 360º.
Si queremos calcular las razones trigonométricas de un ángulo α >360º, primero
calculamos las vueltas completas que dicho ángulo da a la circunferencia, para lo que
dividiremos α entre 360º
α
r
360º
es decir,
α = 360ºn + r
n
Lo que quiere decir que el ángulo α da n vueltas completas a la circunferencia más
un ángulo de r.
Ejemplo: Calcula las razones trigonométricas de 750º.
750º = 360º.2 + 30º
750º
1
2
3
cos750º = cos30º =
2
3
tg750º = tg30º =
3
sen750º = sen30º =
Mariano Benito
26