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ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
CÁLCULO DE RESISTENCIA ELÉCTRICA EN CONDUCTORES
Antonio J. Barbero
Departamento de Física Aplicada. UCLM
1
Problema 1. Sector circular
Problema 2. Arandela
Problema 3. Cono truncado
Problema 4. Conductor semicilíndrico
Problema 5. Cable coaxial
2
PROBLEMA 1
Una pieza de material óhmico tiene forma de sector
circular de ángulo  y de radios interno y externo a y b,
respectivamente. Su espesor es c, y la conductividad del
material es . Determinar la resistencia eléctrica entre el
borde interior y exterior de la pieza.
Si se estableciese una d.d.p. V entre el borde interior y el
exterior, dada la simetría del problema, el campo eléctrico O
tendría en cada punto la dirección de la línea radial, ya que
los bordes interior y exterior son equipotenciales y el
campo es perpendicular a las equipotenciales.
c
a
b

r


E

E

E
V
Tomaremos como referencia de distancias el centro O de la circunferencia,
donde r = 0 (de esta forma el borde interno es r = a y el externo es r = b).
Puesto que las líneas de campo se abren de modo homogéneo con simetría cilíndrica
según nos alejamos del centro, la intensidad del campo eléctrico (módulo) debe ser
inversamente proporcional a r.
1
E
r
3
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
y
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
PROBLEMA 1 (Continuación)


E
E


E
J (r ) 
J (r )
Siendo un material óhmico, la relación
 entre campo

eléctrico y densidad de corriente es J (r )   E (r )
V
Por lo tanto, si escribimos la densidad de corriente como

k
J ( r )  ur
r
Entonces el campo eléctrico puede escribirse como

ur

1 
k 
E (r )  J (r ) 
ur

r
y
La resistencia está dada en general por
R




E (r ) dr


J (r ) dS

E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
V
I
(Véase detalle del cálculo en transparencia siguiente)
4
PROBLEMA 1 (Continuación 2)


dS  c r d  ur


r  r  ur

r
d
r  d

I

V




J ( r ) dS 

ur
k

u r c r d  u r  k c 
r

k
J ( r )  ur
r
c
d
y
0
b



E ( r ) dr 
k 

k b
ur dr  ur  ln
r
 a
a
R
V
1
b

ln
I  c a
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
a

r
b


1 
k 
E (r )  J (r ) 
ur

r
5
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
PROBLEMA 2
A) Calcular la resistencia de una arandela de
cobre, de radio interno a = 5 mm y radio
externo externo b = 20 mm, medida entre el
borde interior y el borde exterior.
B) Calcular la resistencia de una arandela de
las mismas dimensiones pero construida la
mitad de cobre y la mitad de plata.
El espesor de la arandela es c = 0.5 mm y las
resistividades del cobre y la plata son
Cu = 1.7210-8 m y Ag = 1.6210-8 m
A)
b
Cu
a
c
b
Cu
B)
a
Ag
c
y
A) La solución es inmediata a partir del resultado del problema anterior, teniendo
en cuenta que en la arandela el ángulo  = 2 rad.
 Cu 
1
Cu
RA 
1
 Cu c 
ln
b Cu b

ln  7.59 106 
a 2 c a
6
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
PROBLEMA 2 (Continuación)
B) Conectando las dos semi-arandelas en la forma indicada tenemos dos conductores
en paralelo, cada uno de ellos con un ángulo  =  rad.
 Cu 
 Ag 
RB 
1
Cu
1
 Ag
RCu  RAg
RCu  RAg
RCu 
RAg 
1
 Cu c 
1
 Ag
ln
b Cu b

ln
 1.52 105 
a c a
b  Ag b
ln 
ln
 1.43 105 
c a  c a
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
y
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
1.52 1.43
5  1.52 1.43 105  7.37 106 

10
1.52  1.43
1.52  1.43
7
PROBLEMA 3
2a
Un conductor óhmico tiene forma de cono truncado de
las dimensiones que se muestran en la figura adjunta. La
conductividad del material es . Determine la resistencia
de la pieza medida entre las bases superior e inferior.
Sea b el radio de la base inferior

h
b  a  h tg
La pieza puede considerarse formada por una serie de láminas
circulares planas apiladas, de espesor dz cada una de ellas.
b
Si consideramos el origen de coordenadas z = 0 en el centro de la base inferior, el área de cada
una de estas láminas es:
2
2
S ( z )   b  z tg    a  [h  z ] tg 
La resistencia elemental de
cada una de estas placas es
dR 
Z
1 dz
 S ( z)
R
y
h
 aa  h tg 
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
h
2a
R
dz

h
b


dz

1 1 1
1





 a  [h  z ] tg 2
 tg  a a  h tg 
0
dz
1

 a  [h  z ] tg 2 tg
u  a  [h  z ] tg

du
1 1


tg  u
 u 2
du  tg  dz
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
8
PROBLEMA 4
Entre dos semicilindros conductores concéntricos de longitud L y radios a y b (b > a)
hay un dieléctrico de permitividad  y resistividad , siendo  inversamente
proporcional a la distancia al eje central del conjunto. Entre ambos se establece una
ddp V0. Determine:
A) La resistencia entre ambos conductores, la densidad de corriente y el campo
eléctrico.
B) Las densidades de carga libre. Compruebe que no hay carga libre neta.
Resistencia entre los conductores
Sea k la constante de proporcionalidad   k / r
L
Consideraremos que el dieléctrico está formado por
una serie de capas semicilíndricas superpuestas
cuyo espesor es dr y siendo el área de cada una rL.
b
V0
r

ur
a
dr
Resistencia de cada capa: dR 
Intensidad de corriente:
V abLV0
I 0
R k b  a 
El conjunto de todas esas capas está en serie, por eso
podemos determinar la resistencia total sumando las
contribuciones de todas ellas.
 dr k dr

Lr Lr 2
b
Resistencia total
Densidad de corriente:


I   abV0 ur
j
u
Lr r k a  b  r
R

k dr
k  1 1
   
2
Lr L  a b 
a
Campo eléctrico:

 k   abV0  ur
E   j  j 

r
 b  a  r2
9
Suponemos que el potencial del conductor interno es el mayor
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
y
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
PROBLEMA 4 (Continuación)



abV0  ur

Densidades de carga: El vector desplazamiento es D  E   

 b  a  r2
Densidad volumétrica de carga libre
abV0  1
V   

 b  a  r3
 1
A
abV 1  1
rEr   1   Az    0   
V  D 
r r
r 
z
 b  a  r r  r 
(Por la simetría del problema sólo depende de la coordenada radial)
El vector unitario está
dirigido hacia dentro
Densidades superficiales de carga libre
 b  D r b   
V0  a

bab
 a  D r a   
V0  b

baa
y
La carga libre neta Qf es la suma de las densidades de carga volumétrica y superficial
Qf 

V
b
abV0
V dV   aaL   bbL  
ba

M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
Lrdr
 V0  b
 V0  a



aL





 bL
r3
baa
bab
a
 abV0  1 1   V0 
 V 
Q f  L
     
bL    0 aL
 b  a  b a   b  a 
ba
 V 
 V 
 V 
 V 
Q f  L 0 (a  b)    0 bL    0 aL  L 0 (a  b  b  a)  0
ba
ba
ba
ba
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
10
PROBLEMA 5
E
l
Un cable coaxial está formado por un conductor interno de radio a y un conductor
e
externo concéntrico de radio b. El medio entre ambos conductores es un dieléctrico
c
isótropo y homogéneo de permitividad  y conductividad σ. Calcule la capacidad por t
unidad de longitud y la resistencia de fuga entre ambos conductores.
r
i
Q
Supongamos
una
ddp
V
entre
ambos
conductores
(el
interno
es
positivo)
Cálculo de la capacidad C 
c
V
i





 
Q/ L 
D Q/ L  d
D
Q/ L
D
b
ur
D
ur
E 
D
DdS  Q  D  2 rL
2

r
2 r

a
2 r

S
r
D
d

b
D

a
Q/L   Q/L

Carga libre contenida
V


E
d
r

ur dr 
ln b / a 

y
en
una
longitud
L
del
2

r
2

a
D


conductor interno
Corte transversal
El conductor
interno es positivo
C
L
Q
Q

Q/L
V
2
ln b / a 

C
2

L ln b / a 
Resistencia de fuga
Si la conductividad del dieléctrico no es nula, fluirá corriente del conductor
positivo al negativo y en el medio dieléctrico se establecerá un campo de densidad de corriente. Si el medio
es isótropo, la ley de Ohm nos dice que las líneas de flujo de J y de E serán las mismas.
11
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
PROBLEMA 5 (Continuación)
Expresamos la capacidad y la resistencia en términos de los campos:
Q
C 
V
 
EdS
S
V
R 
I
S
L


  
 
JdS
EdS
 
 
 Edr
   


 Edr  Edr


 
DdS
 
 Edr
L
L
S
S
L
Las integrales de superficie se refieren a un área que encierra al conductor positivo interno, y
las integrales de línea representan la ddp entre ambos conductores.

Multiplicando ambas ecuaciones:
  

  
 
  Edr 

E
d
S

E
dS

 S

S
L
RC  
  
 
 
 EdS   Edr 
EdS
 S


S

 L




Si el medio es homogéneo,  y σ pueden sacarse
fuera de las integrales, y el producto RC queda:
R

C
Observe que las unidades SI de σ son (m)-1
R
RC 




siendo C 
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
y
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
2 L
ln b / a 
ln b / a 
2 L
12