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ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO CÁLCULO DE RESISTENCIA ELÉCTRICA EN CONDUCTORES Antonio J. Barbero Departamento de Física Aplicada. UCLM 1 Problema 1. Sector circular Problema 2. Arandela Problema 3. Cono truncado Problema 4. Conductor semicilíndrico Problema 5. Cable coaxial 2 PROBLEMA 1 Una pieza de material óhmico tiene forma de sector circular de ángulo y de radios interno y externo a y b, respectivamente. Su espesor es c, y la conductividad del material es . Determinar la resistencia eléctrica entre el borde interior y exterior de la pieza. Si se estableciese una d.d.p. V entre el borde interior y el exterior, dada la simetría del problema, el campo eléctrico O tendría en cada punto la dirección de la línea radial, ya que los bordes interior y exterior son equipotenciales y el campo es perpendicular a las equipotenciales. c a b r E E E V Tomaremos como referencia de distancias el centro O de la circunferencia, donde r = 0 (de esta forma el borde interno es r = a y el externo es r = b). Puesto que las líneas de campo se abren de modo homogéneo con simetría cilíndrica según nos alejamos del centro, la intensidad del campo eléctrico (módulo) debe ser inversamente proporcional a r. 1 E r 3 E l e c t r i c i d a d y M a g n e t i s m o PROBLEMA 1 (Continuación) E E E J (r ) J (r ) Siendo un material óhmico, la relación entre campo eléctrico y densidad de corriente es J (r ) E (r ) V Por lo tanto, si escribimos la densidad de corriente como k J ( r ) ur r Entonces el campo eléctrico puede escribirse como ur 1 k E (r ) J (r ) ur r y La resistencia está dada en general por R E (r ) dr J (r ) dS E l e c t r i c i d a d M a g n e t i s m o V I (Véase detalle del cálculo en transparencia siguiente) 4 PROBLEMA 1 (Continuación 2) dS c r d ur r r ur r d r d I V J ( r ) dS ur k u r c r d u r k c r k J ( r ) ur r c d y 0 b E ( r ) dr k k b ur dr ur ln r a a R V 1 b ln I c a E l e c t r i c i d a d a r b 1 k E (r ) J (r ) ur r 5 M a g n e t i s m o E l e c t r i c i d a d PROBLEMA 2 A) Calcular la resistencia de una arandela de cobre, de radio interno a = 5 mm y radio externo externo b = 20 mm, medida entre el borde interior y el borde exterior. B) Calcular la resistencia de una arandela de las mismas dimensiones pero construida la mitad de cobre y la mitad de plata. El espesor de la arandela es c = 0.5 mm y las resistividades del cobre y la plata son Cu = 1.7210-8 m y Ag = 1.6210-8 m A) b Cu a c b Cu B) a Ag c y A) La solución es inmediata a partir del resultado del problema anterior, teniendo en cuenta que en la arandela el ángulo = 2 rad. Cu 1 Cu RA 1 Cu c ln b Cu b ln 7.59 106 a 2 c a 6 M a g n e t i s m o PROBLEMA 2 (Continuación) B) Conectando las dos semi-arandelas en la forma indicada tenemos dos conductores en paralelo, cada uno de ellos con un ángulo = rad. Cu Ag RB 1 Cu 1 Ag RCu RAg RCu RAg RCu RAg 1 Cu c 1 Ag ln b Cu b ln 1.52 105 a c a b Ag b ln ln 1.43 105 c a c a E l e c t r i c i d a d y M a g n e t i s m o 1.52 1.43 5 1.52 1.43 105 7.37 106 10 1.52 1.43 1.52 1.43 7 PROBLEMA 3 2a Un conductor óhmico tiene forma de cono truncado de las dimensiones que se muestran en la figura adjunta. La conductividad del material es . Determine la resistencia de la pieza medida entre las bases superior e inferior. Sea b el radio de la base inferior h b a h tg La pieza puede considerarse formada por una serie de láminas circulares planas apiladas, de espesor dz cada una de ellas. b Si consideramos el origen de coordenadas z = 0 en el centro de la base inferior, el área de cada una de estas láminas es: 2 2 S ( z ) b z tg a [h z ] tg La resistencia elemental de cada una de estas placas es dR Z 1 dz S ( z) R y h aa h tg M a g n e t i s m o h 2a R dz h b dz 1 1 1 1 a [h z ] tg 2 tg a a h tg 0 dz 1 a [h z ] tg 2 tg u a [h z ] tg du 1 1 tg u u 2 du tg dz E l e c t r i c i d a d 8 PROBLEMA 4 Entre dos semicilindros conductores concéntricos de longitud L y radios a y b (b > a) hay un dieléctrico de permitividad y resistividad , siendo inversamente proporcional a la distancia al eje central del conjunto. Entre ambos se establece una ddp V0. Determine: A) La resistencia entre ambos conductores, la densidad de corriente y el campo eléctrico. B) Las densidades de carga libre. Compruebe que no hay carga libre neta. Resistencia entre los conductores Sea k la constante de proporcionalidad k / r L Consideraremos que el dieléctrico está formado por una serie de capas semicilíndricas superpuestas cuyo espesor es dr y siendo el área de cada una rL. b V0 r ur a dr Resistencia de cada capa: dR Intensidad de corriente: V abLV0 I 0 R k b a El conjunto de todas esas capas está en serie, por eso podemos determinar la resistencia total sumando las contribuciones de todas ellas. dr k dr Lr Lr 2 b Resistencia total Densidad de corriente: I abV0 ur j u Lr r k a b r R k dr k 1 1 2 Lr L a b a Campo eléctrico: k abV0 ur E j j r b a r2 9 Suponemos que el potencial del conductor interno es el mayor E l e c t r i c i d a d y M a g n e t i s m o PROBLEMA 4 (Continuación) abV0 ur Densidades de carga: El vector desplazamiento es D E b a r2 Densidad volumétrica de carga libre abV0 1 V b a r3 1 A abV 1 1 rEr 1 Az 0 V D r r r z b a r r r (Por la simetría del problema sólo depende de la coordenada radial) El vector unitario está dirigido hacia dentro Densidades superficiales de carga libre b D r b V0 a bab a D r a V0 b baa y La carga libre neta Qf es la suma de las densidades de carga volumétrica y superficial Qf V b abV0 V dV aaL bbL ba M a g n e t i s m o Lrdr V0 b V0 a aL bL r3 baa bab a abV0 1 1 V0 V Q f L bL 0 aL b a b a b a ba V V V V Q f L 0 (a b) 0 bL 0 aL L 0 (a b b a) 0 ba ba ba ba E l e c t r i c i d a d 10 PROBLEMA 5 E l Un cable coaxial está formado por un conductor interno de radio a y un conductor e externo concéntrico de radio b. El medio entre ambos conductores es un dieléctrico c isótropo y homogéneo de permitividad y conductividad σ. Calcule la capacidad por t unidad de longitud y la resistencia de fuga entre ambos conductores. r i Q Supongamos una ddp V entre ambos conductores (el interno es positivo) Cálculo de la capacidad C c V i Q/ L D Q/ L d D Q/ L D b ur D ur E D DdS Q D 2 rL 2 r 2 r a 2 r S r D d b D a Q/L Q/L Carga libre contenida V E d r ur dr ln b / a y en una longitud L del 2 r 2 a D conductor interno Corte transversal El conductor interno es positivo C L Q Q Q/L V 2 ln b / a C 2 L ln b / a Resistencia de fuga Si la conductividad del dieléctrico no es nula, fluirá corriente del conductor positivo al negativo y en el medio dieléctrico se establecerá un campo de densidad de corriente. Si el medio es isótropo, la ley de Ohm nos dice que las líneas de flujo de J y de E serán las mismas. 11 M a g n e t i s m o PROBLEMA 5 (Continuación) Expresamos la capacidad y la resistencia en términos de los campos: Q C V EdS S V R I S L JdS EdS Edr Edr Edr DdS Edr L L S S L Las integrales de superficie se refieren a un área que encierra al conductor positivo interno, y las integrales de línea representan la ddp entre ambos conductores. Multiplicando ambas ecuaciones: Edr E d S E dS S S L RC EdS Edr EdS S S L Si el medio es homogéneo, y σ pueden sacarse fuera de las integrales, y el producto RC queda: R C Observe que las unidades SI de σ son (m)-1 R RC siendo C E l e c t r i c i d a d y M a g n e t i s m o 2 L ln b / a ln b / a 2 L 12