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Límite de una sucesión
Leyenda del ajedrez (1)
Una leyenda cuenta que el
inventor del ajedrez presentó su
invento a un príncipe de la India.
El príncipe quedó tan
impresionado que quiso
premiarle generosamente, para
lo cual le dijo: "Pídeme lo que
quieras, que te lo daré".
El inventor del ajedrez formuló
su petición del modo siguiente:
"Deseo que me entregues un
grano de trigo por la primera
casilla del tablero, dos por la
segunda, cuatro por la tercera,
ocho por la cuarta, dieciseis por
la quinta, y así sucesivamente
hasta la casilla 64".
Leyenda del ajedrez (2)
La sorpresa fue cuando el secretario del
príncipe calculó la cantidad de trigo que
representaba la petición del inventor, porque
toda la tierra del reino sembrada de trigo era
insuficiente para obtener lo que pedía el
inventor.
¿Cuántos trigo pedía?
Leyenda del ajedrez (3)
En cada casilla hay que ir poniendo 1, 2,
4, 8, 16 granos.
En la última casilla habrá que colocar 2 a
la 64 potencia, que es
18.446.744.073.709.551.615, es decir
más de 18 trillones de granos.
Esto nos denota que la sucesión an = 2n
es una sucesión cuyo límite es infinito
(no deja de crecer). ¿Esto ocurrirá con
todas las sucesiones?
Límite de una sucesión
• Definición: El límite de
una sucesión es el
numero al que tiende
cuando n toma valores
cada vez mayores.
• Este valor puede ser un
número (que llamaremos
l) o también puede ser +∞
ó -∞.
• Se escribe lim an  l
Con la calculadora
• Calculemos
 2n 
lim 

 n 3
Para ello haremos una tabla con valores
crecientes a n.
Con la calculadora
Hemos obtenido la siguiente tabla:
n
2n
n3
1
0,5
2
0,8
3
1
4
1,1428
5
1,25
6
1,3333
7
1,4
8
1,4545
9
1,5
10
1,5384
¿Notas alguna tendencia? Con 10 términos no parece suficiente.
Calcula con la calculadora el vigésimo, trigésimo y centésimo
término e indica cuál es el límite de esta sucesión.
Gráficamente
Esta es la
gráfica de la
tabla:
¿Se aprecia
el valor al que
tiende la
sucesión?
2
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
10
20
30
40
Definiciones
• Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos
uno a continuación de otro: a1, a2, a3 ,..., an
• Por ejemplo: 3, 6, 9,..., 3n
• Los números a1, a2 , a3 , ...; se llaman términos de la
sucesión.
• El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la
sucesión.
• Por ejemplo: a3 = 9
• El término general an es un criterio que nos permite
determinar cualquier término de la sucesión.
No siempre existe un término general en
una sucesión.
Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci
no tiene término general, sino que se
genera por una ley de recurrencia:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…
• El límite de una sucesión, por lo tanto, es el
número al cual se van aproximando los
términos de una sucesión.
Por ejemplo,
•
•
•
•
a 1= 1
a2= 0.5
a1000= 0.001
a1000 000 = 0.000001
El límite es 0.
•
•
•
•
a1= 0.5
a2= 0.6666....
a1000= 0.999000999001
a1000 000 = 0.999999000001
El límite es 1.
•
•
•
•
•
a1= 5
a2= 7
a1000= 2 003
a1000 000 = 2 000 003
Ningún número sería el límite de esta
sucesión, el límite es ∞.
Una sucesión muy especial es:
Su límite es el número e que equivale
aproximadamente a 2,7183. Es uno de los
números más importantes en la
matemática, pues es la base de los
logaritmos naturales o neperianos
Ejercicios
• Calcula los siguientes límites dando valores
grandes y extrae una norma general para este
tipo de límites:
lim 3  7n

lim n 2  30n  10


lim  n3  100n

Ejercicios
• Calcula los siguientes límites dando valores
grandes y extrae una norma general para límites
de la forma lim P(x)/Q(x):
 2n 
lim  2

 n 3
 2n 2 

lim 
 n 3
 3n3 

lim  2
 n 3
 n 
lim  3

n 4
• Calcula los siguientes límites dando valores
grandes y extrae una norma general para límites
de funciones exponenciales:
•
•
•
•
lim 4n
lim 2-n
lim 0,5n
lim 3n