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Fundamentación
matemática
Temas
• Notación sumatoria
• Propiedades de la sumatoria
• Productoria y sus propiedades
Simbolos matemáticos
¿Cuales son los más importantes y para que sirven?
Ejercicios
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Quien lee esto?
Bovinos ≠ Bovidos
Xi! (En permutaciones y combinatoria Probabilidad)
Cerdos=marranos
X<Y ∧ Y>X
X~N(0,1) ∨ X~Y (Probabilidad)
a≥b
4.99≅5
A Ų B (probabilidad)
50±6 (Deviaciones, erorres estandar, etc)
• ¿Puedes dar un ejemplo de cada uno ?
Ejercicios
• Puedes hacer esto?
• Si, X1=5 X2=3
• X1!=
• X1!-X2!=
• (X1!-3)2=
• X2!/X1!-X1=
Y el diagrama de Venn (para
probabilidad)
Notación sumatoria
• En muchas ocasiones las en estadística requieren de
la adición de una serie de números para generar la
suma total de todos los números de una serie. La
solución es usar los primeros números de la serie,
luego puntos suspensivos y finalmente los últimos
números de la serie.
• 1+2+3…+100
• Una mejor solución es hacer uso del simbolo
sumatoria o sigma
Notación sumatoria
• Si una variable se puede denotar por X, entonces las
observaciones sucesivas de esta variable se escriben:
• X1+X2+X3+…+Xn
• La letra griega Σ se emplea para indicar la suma de estas n
observaciones
n
åx
i
= x1 + x2 + x3 +... + xn
i=1
3
åx
i
=
i=1
• Se lee como: La sumatoria desde i hasta n de Xi
Ejemplos
1. Si, X1=3, X2=9, X3=11
• Determine:
3
2
x
å i=
i=1
• X1+ X2+X3= 3 + 9 + 11=23
2. Si, X1=2, X2=1, X3=-1
• Determine:
3
2
x
å i =
i=1
¿Quien lo hace?
Ejemplos
3. Si, X1=9, X2=6, X3=5, X4=8, X5=12
Determine:
5
å( x
i
- 5) =
i=1
4. Si, X1=9, X2=6, X3=5, X4=8, X5=12
Determine:
5
3
(
x
5)
=
å i
i=1
Ejercicios en clase
• Si, X1=9, X2=6, X3=5, X4=8, X5=12
Determine:
5
åx
i
=
i=3
Si, X1=9, X2=6, X3=5, X4=8, X5=12
Determine:
4
åx
i=1
2
i
- 2 =
Notación sumatoria
• Cuando se trata esta expresión en forma algebraica, se deben
identificar variables y constantes.
¿Que es una constante? ¿qué es una variable? (Quiz rápido).
Si X es una variable a y b son constantes por lo tanto:
Quien lo comprueba Si, X1=9, X2=6, X3=5 (a=2, b=3)
Propiedades de la sumatoria
1. La sumatoria una expresión que es la suma de 2 ó más
términos, es igual a la suma de las sumatorias por separado.
Comprobemoslo si, (X1=4, X2=2), (Y1=8, Y2=0), (Z1=5, Z2=1)
2. La suma de una constante multiplicada por una variable, es
lo mismo que la constante multiplicada por la suma de la
variable.
Comprobarlo
Propiedades de la sumatoria
3. La suma de una constante es igual a n veces la constante
¿Puedes demostrarlo?
4. Y la suma de un producto de dos variables? …Es igual
n
åx
i
yi =(x1 y1 ) + (x2 y2 ) +... + (xn yn )
i=1
¿Un ejemplo?
Formula de la sumatoria de n
números consecutivos
n
n(n +1)
åi =1+ 2 + 3+ 4 +... + n = 2
i=1
¿Si se cumple? Compruebelo con n=6 y n=10
Ahora, ¿que haría para n=1000?
También hay una formula para la sumatoria de los cuadrados de n
números consecutivos
Etc…
Ejercicios
Ejercicios
Otras formas de expresar
sumatorias (para ANOVA).
Productoria
• En estadística cuando se tienen varios datos en secuencia que
se deciden multiplicar, se le llama productoria.
• Se define como el producto de los términos x1, x2, x3, ... , xn.
(Productoria simple)
• Es similar a la sumatoria pero se expresa como:
• Hay un caso especial:
Propiedades de la productoria
1. Productoria de una constante
2. Productoria de una constante por una variable
Propiedades de la productoria
3. Productoria de dos variables
¿Y en la división?
4. Productoria doble
Ejercicios productoria
Ejercicios productoria
Exponentes y multiplicación de
exponentes
Multiplicación de exponentes
Ejemplos
División de exponentes
División de exponentes
Elevando potencia a la
potencia
Ejercicios elevando a la
potencia
Elevando un producto a una
potencia