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Profesorado de Educación Primaria
Didáctica de la Matemática I
Geometría- Parte II
I. Estudiar triángulos y ángulos
a) Recuperar el uso del compás y estudiar la propiedad triangular
a) Dados estos dos segmentos, usando la regla no graduada 1 y el compás, construí un triángulo:
a
b
b) Construí otro triángulo distinto al anterior con esos mismo dos lados. ¿Cuántos triángulos diferentes se
puede construir? ¿Por qué?
c) Construí, si es posible, un triángulo que tenga estos segmentos como lados. Usá el compás y la regla no
graduada.
d) Construí, si es posible, un triángulo que tenga estos segmentos como lados. Usá el compás y la regla no
graduada.
e) Construí, si es posible, un triángulo que tenga estos segmentos como lados. Usá el compás y la regla no
graduada.
f) A continuación se proponen medidas de segmentos. Decidan en cada caso si con ellas se puede o no
construir un triángulo.
 3 cm, 2 cm, 1 cm
 8 cm, 12 cm, 5 cm
 8 cm, 4 cm, 4 cm
 7 cm, 1 cm, 2 cm.
g) Con estos segmentos no es posible construir un triángulo: 8 cm, 3 cm, 2 cm. ¿Qué explicación darían de
por qué no se puede?
Uso del GeoGebra
Utilizando el programa de GeoGebra realiza las construcciones de solicitadas en el punto (a)
(desde la a hasta la f)
Indica qué diferencias encontrás al trabajar con un software de geometría con el lápiz y papel.
1
Como regla no graduada podrán usar la “hipotenusa” de la escuadra o cualquier instrumento que permita trazar
líneas rectas.
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b) Propiedades de los triángulos en función de sus lados
Problema 1:
a) Construir un triángulo de tal manera que, al plegarlo, quede dividido en dos triángulos iguales 2.
b) ¿Cuáles de los siguientes triángulos pueden ser partidos en dos triángulos iguales y cuáles no?
c) ¿Qué características debería tener un triángulo para que se pueda partir en dos triángulos iguales?
d) ¿Es verdad que el triángulo que se presenta dibujado también se puede partir en dos triángulos
iguales?
e) ¿Es verdad que este triángulo no se puede partir en dos triángulos iguales?
f)
¿Es verdad que el triángulo designado con la letra A se puede partir de varias maneras y el triángulo
designado con la letra B se puede partir de una sola manera para que queden dos triángulos
iguales?
A
B
Problema 2 (Con re gla y c ompás)
a) Usando segmentos de 4 cm, 5 cm ó 6 cm como lados intentá hacer varios triángulos escalenos, isósceles
y equiláteros.
b) ¿Se pueden construir dos equiláteros distintos con lados de 4 cm?
c) ¿Se pueden construir dos isósceles distintos con un lado de 5 cm y otro de 6 cm?
Uso del GeoGebra : realiza el Problema 2 además con GeoGebra.
2
Algunos textos denominan a esta relación con el nombre de congruencia.
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Problema 3 (usando regla y compás)
a) ¿Qué información es necesaria considerar para poder copiar en una hoja lisa estos triángulos?
b) ¿Qué información es necesaria considerar para poder copiar en una hoja lisa estos triángulos
sabiendo que el triángulo A es isósceles y el triángulo B es equilátero?
A
B
c) Revisión del concepto de ángulo. Uso del transportador.
Problema 1: (en peq ueños grupos )
a) Cada grupo recibe un dibujo –sin que los otros grupos lo vean- y debe enviar a otro grupo un mensaje sin
dibujos para que al recibirlo, puedan construir una figura igual a la que ustedes tienen. (Todos los grupos
reciben dibujos de paralelogramos cuyos lados midan 4 cm y 6 cm, pero todos con diferentes medidas de
los ángulos entre lados consecutivos. Algunos grupos reciben rectángulos.
b) Cada grupo recibe las instrucciones de otro grupo y debe realizar la construcción.
c) Finalizada la construcción a partir de las indicaciones recibidas, cada grupo se reúne con el que le ha
enviado el mensaje para determinar, por superposición, si las figuras les han quedado iguales.
Problema 2:
a) Copiar en una hoja en blanco los siguientes dibujos
b) ¿Cuál de estos dos ángulos es mayor?
A
B
c) ¿Cuántas veces entra el ángulo menor en el ángulo mayor?
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d) ¿Cuáles de estos ángulos son mayores, menores o iguales que el ángulo de 90º? Podés usar la
escuadra para medir el ángulo recto.
d) Propiedades de los ángulos del triángulo
Problema 1:
a) Construí 5 triángulos diferentes que todos tengan como uno de sus lados el segmento AB y que el vértice
C esté en la recta L
L
A
B
b) ¿En qué lugares de la recta L podría estar el vértice C para que el triángulo ABC tenga un ángulo recto?
¿Y para que tenga un ángulo obtuso? ¿Y para que tenga tres ángulos agudos?
Problema 2:
a) Construí en cada caso, si es posible, un triángulo con las medidas de ángulos que se proponen:
30º, 50º, 100º
40º, 30º, 50º
100º, 20º, 20º
75º, 75º, 30º
100º , 35º y 40º
b) Construí en cada caso un triángulo con:
- Un ángulo de 90º y otro de 40º. ¿Cuánto te parece que mide el tercer ángulo?
- Uno de 90º y otro de 30º. ¿Cuánto te parece que mide el tercer ángulo?
- Uno de 90º y otro de 70º. ¿Cuánto te parece que mide el tercer ángulo?
Uso del GeoGebra: realiza el Problema 2 con GeoGebra
Problema 3
En pequeños grupos intenten entender estas demostraciones que explican por qué la suma de los ángulos
interiores de cualquier triángulo es 180º.
Demostración 1:
360°.
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Si a cualquier rectángulo se lo divide al medio trazando una de sus diagonales, se obtienen dos triángulos
rectángulos iguales.
En cada uno de ellos, la suma de sus ángulos
interiores será 180°, para que todos los ángulos
sumen los 360°.
Esto permite afirmar que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo rectángulo es 180°.
Si ahora se considera un triángulo que no es rectángulo, como el del siguiente dibujo, el mismo puede ser
partido en dos triángulos rectángulos, mediante una perpendicular a uno de sus lados, que pase por el
vértice opuesto:
A
B
En este triángulo, formado por dos triángulos rectángulos A y B, la suma de todos los ángulos de los dos
triángulos es 360°, resultado de hacer 180° + 180°. Pero los dos ángulos rectos marcados no son ángulos
interiores. Entonces, si a los 360° le quitamos esos dos ángulos rectos, se obtienen 180°, pues 360° - 90° 90° = 180°.
Luego, la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°
Demostración 2:
El siguiente dibujo representa un triángulo “dentro” de un rectángulo:
Al trazar una línea perpendicular a la base que pasa por el vértice
opuesto, el rectángulo grande queda dividido en dos rectángulos más
pequeños. Los lados del triángulo forman las diagonales de esos
rectángulos. Por lo tanto cada rectángulo queda dividido en dos triángulos
b
c
m
a
d
b̂ y el ángulo ĉ mide lo mismo que el ángulo
ˆ , bˆ y cˆ , es 180°, entonces la suma entre las
d̂ . Como la suma entre las medidas de los ángulos m
ˆ , aˆ y dˆ también es 180°.
medidas de los ángulos m
iguales. Entonces el ángulo â mide los mismo que el ángulo
Luego, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.
Problema 4:
a) Dibujen un triángulo isósceles que tenga un ángulo de 40° y otro ángulo de 70°. ¿Es posible anticipar la
medida del tercer ángulo?
b) ¿Será cierto que si se conocen las medidas de dos de los ángulos de un triángulo isósceles, es posible
encontrar la medida del tercero? Y que si se conoce uno, ¿se puede saber la de los otros dos?
c) ¿Será cierto que en cualquier triángulo equilátero, los tres ángulos miden lo mismo? ¿Cuánto mide cada
ángulo?
Problema 5
a) ¿Es cierto que si un triángulo es rectángulo e isósceles, dos de sus ángulos medirán 45º?
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b) Encontrar, sin medir, la medida del ángulo C de la siguiente figura que está formada por un triángulo ABD
equilátero y un triángulo BDC isósceles. Al ángulo ABC mide 90º.
D
A
C
B
e) Construir y elaborar razones.
Problema 1
a) Construí un triángulo obtusángulo que tenga dos lados de 5 cm que formen el ángulo obtuso. ¿Cuántos
hay?
b) Construí un triángulo rectángulo que tenga dos lados de 5 cm que formen el ángulo recto. ¿Cuántos
hay?
Problema 2
a) Construí un triángulo isósceles que tenga un lado de 5 cm y otro de 8 cm. ¿Se puede construir otro
distinto?
b) Construí un triángulo isósceles con un lado de 4 cm y otro de 8 cm. ¿Se puede construir otro distinto?
Problema 3
a) ¿Cuántos triángulos hay con lados de 4 cm, 5 cm y 6 cm?
b) ¿Cuántos triángulos hay con ángulos de 60º, 40º y 80º?
Problema 4
a) ¿Cuál de estos triángulos puede ser descripto con el siguiente mensaje: “Uno de sus lados mide 4 cm y
el otro mide 3 cm”?
b) ¿Cuál de estos triángulos puede ser descripto con el siguiente mensaje: “Tiene un ángulo de 40° y otro
ángulo de 60°”?
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c) ¿Qué datos sería necesario agregar para que, en cada caso, el triángulo descripto sea único?
Problema 5
a)
b)
c)
d)
e)
f)
¿Existen triángulos isósceles con un ángulo recto?
¿Y con un ángulo obtuso?
¿Existen triángulos con tres ángulos obtusos? ¿Y con dos?
¿Hay triángulos obtusángulos equiláteros?
¿Y triángulos rectángulos equiláteros?
¿Hay triángulos con dos ángulos rectos?
Problema 6 (en pequeños grupos):
El siguiente dibujo está formado por un triángulo ABD equilátero y otro, BDC, isósceles. Sabiendo que el
ángulo B mide 130º, calcular la medida del ángulo C, sin medirlo.
A
B
D
C
f) Usar propiedades para demostrar o para discutir verdades.
-
Determinar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones y justificar:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Todos los triángulos equiláteros son isósceles
No hay triángulos con dos ángulos rectos.
Cualquier triángulo rectángulo isósceles tiene dos ángulos de 40º.
No hay triángulos con dos ángulos agudos.
No hay triángulos con dos ángulos obtusos.
No hay triángulos con dos ángulos rectos.
Hay infinitos triángulos cuyos lados sean 10, 6 y 6 cm.
Hay un solo triángulo cuyos ángulos sean 40º, 80º y 60º
No existe un triángulo de 10, 5 y 5 cm.
Existe un triángulo con tres lados de 0,00008 mm.
El estudio de Triángulos y ángulos fue tomado de: “La geometría como medio para “entrar en la racionalidad”. Una
secuencia para la enseñanza de los triángulos en la escuela primaria”; de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich
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