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RAZONES – PROPORCIONES
Razón: Comparación de dos términos:
El primero Término
: Antecedente
El segundo Término : Consecuente
Proporción: Igualdad de dos razones.
Continua
Aritmética
a b  bc
"b " es media diferencial de "a y c"
"c " es tercera diferencial de "a y b"
Aritmética
ab  r
Discreta
a b  cd
"d " es cuarta diferencial de "a, b
y
c"
Pr oporción
Razón
Continua
Geométrica
a
r
b
Geométrica
a b

b c
"b " es media proporcional de "a y c"
"c " es tercera proporcional de "a y b"
Discreta
a c

b d
"d " es cuarta proporcional de "a, b
NOTA :
Proporción Contínua : Cuando los término s medios son iguales.
Proporción Discreta : Cuando todos los términos son diferentes.
y
c"
TRILCE
La gradeza está en querer aprender
2
PROPIEDADES
I.- La suma de los antecedentes sobre
la suma de los consecuentes NO hace
variar la razón:
Para la proporción : a  c cumple :
b
d
a b cd

b
d
a
c

ba
dc
ab
cd

b
d
a
c

ba
d c
a c
a
c


bd
b
d
PARA RAZONES GEOMÉTRICAS
EQUIVALENTES:
a1
a
a
a
 2  3  ....  n  k (razón)
b1
b2
b3
bn
a 1  a 2  a 3  ....  a n
 k (No cambia)
b 1  b 2  b 3  ...  b n
II.- El producto de los antecedentes
sobre el producto de los consecuentes
hace variar la razón:
a 1  a 2  a 3  ....  a n
n
 k (Si cambia)
b 1  b 2  b 3  ...  b n
PROBLEMITAS
1. La
razón
aritmética
y
la
razón
10
geométrica de dos números son 15 y
7
respectivamente. Hallar el valor del
consecuente de dichas razones.
a) 42
b) 35
c) 28
d) 50
e) 25
2. La suma de dos números es 806, si su
4
razón es
. ¿Cuál es su razón aritmética?
9
a) 248
b) 320
c) 558
d) 50
e)
310
3. Dos números son entre sí como 6 es a 7;
si su producto es 2688. Dar la diferencia
de los números.
a) 8
b) 384
c) 64
d) 48
e) 56
4. Pamela recibe S/.280 de su padre,
enseguida compra un vestido y piensa “lo
que gasté y no gasté están en relación de 5
a 9”. ¿Cuánto le queda luego de hacer la
compra?
a) 160
120
b) 100
c) 140
d) 180 e)
5. A una fiesta asistieron 180 persona
entre varones y mujeres, si por cada 5
mujeres hay 4 varones. ¿Cuál es la relación
entre el número de mujeres y el número de
varones después que se retiran 20 parejas?
a) 5:4
b) 4:3
c) 3:4
d) 9:7
e) 7:9
6. En un corral el número de pavos excede
al número de gallinas en 75.Además se
observa que por cada 8 pavos hay 5
gallinas. ¿Cuál es el número de pavos y
gallinas que hay en el corral?
a) 315
b) 375
c) 325
d) 800 e)
625
7. La suma y diferencia de dos números
están en relación de 11 a 7. Cuando el
mayor disminuye en 40 y el menor
aumenta en 30, ambos resultan iguales.
¿Cuál es el mayor?
a) 10
b) 20
c) 30
d) 70
e) 90
Academia Antonio Raimondi
8. Hallar la media diferencial de 353 y 535.
a) 442
b) 244
c) 444
d) 888 e)
424
9. ¿Cuál es la media proporcional de 140 y
35?
a) 60
b) 70
c) 80
d)
140 e) 210
10. ¿Cuál es la tercera diferencial de 800
y 500?
a) 200
b) 100
c) 400
d) 250 e)
650
11. Hallar la tercera proporcional de 5 y
15.
a) 20
b) 75
c) 10
d) 25
e) 45
12. Hallar la cuarta proporcional de 20;
50 y 110.
a) 275
b) 280
c) 265
d) 175 e)
135
13. Hallar la cuarta diferencial de 100 y
de la tercera diferencial de 120 y 90; y de
la media proporcional de 100 y 49.
a) 15
b) 40
c) 60
d) 30
e) 90
14. Hallar el valor de P  A  M  E , SI:
P: Cuarta diferencial de 6; 10 y 14.
A: Media Proporcional de 1 y 4.
M: Tercera proporcional de 16 y 12.
E: Media diferencial de 12 y 16.
a) 40
b) 41
c) 42
d) 43
e) 44
15. Tres números son entre sí como 2; 3 y
5, sabiendo que su suma es 180. ¿Cuál es el
valor del mayor número?
a) 100
b) 90
c) 120
d) 54
e) 36
16. Los antecedentes de varias razones
equivalentes son: 3; 4 y 5. Si la suma de los
2 primeros consecuentes es 42. Hallar el
último.
a) 20
b) 90
c) 30
d) 15
e) 60
Fharytmética
3
conoce
que:
A  B  C  1200 ,
3 5 10
además:
. Por lo tanto diga Ud.
 
A B C
¿Cuál es el valor de A  B  C ?
a) 36
b) 18
c) 42
d) 72
e) 54
17.
Se
18. En una serie de 4 razones geométricas
equivalentes los antecedentes son: 14; 28;
56 y 98. Si el producto de los tres primeros
consecuentes es 216. Hallar el cuarto
consecuente.
a) 35
b) 14
c) 21
d) 7
e) 42
19. En
una
proporción
geométrica
continua, la suma de los términos es 32 y
la diferencia de los extremos es 16. Hallar
el producto de los extremos
a) 6
b) 12
c) 48
d) 20
e) 36
20. La suma de los 4 términos de una
proporción geométrica continua es a la
diferencia de sus términos extremos como
3 a 1. ¿En qué proporción están los
términos extremos?
a) 2:1
b) 5:2
c) 7:3
d) 4:1
e) 5:9
a 28 e

  7 , además e  f  56 y
b
d
f
b  d  f  13 . Hallar: “a”
a) 7
b) 14
c) 21
d) 35
e)
28
21.
Si:
ab 3
bc 7
y

 .
ab 2
bc 3
ac
Calcular:
a c
23
27
29
25
a)
b)
c)
d)
27
23
21
24
24
25
22. Si:
e)
23. Si una ficha naranja equivale a 3
fichas rojas y una ficha roja equivale a 6
fichas blancas, entonces 90 fichas blancas
equivalen a:
TRILCE
La gradeza está en querer aprender
4
a) 20 rojas
rojas
d) 20 naranjas
b) 10 naranjas
c) 10
25. Si “b” es la media proporcional de “a”
e) 5 naranjas
a c  11 b

 ,
b
a 1
c
a  b  c  19 . Calcular a  b  c
a) 80
b) 224
c) 216
192
24. Si:
y “c”, además a  b  c  93 y
además:
d) 240 e)
Hallar “ a  b ”
a) 42
b) 80
e) 45
c) 20
2
2
2
2
a b
b c

1
.
25
d) 125
PROMEDIOS
Es la cantidad media de varias cantidades diferentes. Existen:
Promedio Aritmético (Ma)
Ma 
a 1  a 2  ...  a n
n
Promedio Geométrico (Mg)
Mg 
n
a 1  a 2  ...  a n
Promedio Armónico (Mh)
Mh 
n
1
1
1

 ... 
a1 a 2
an
Para dos números A y B:
Ma 
A B
2
2
Mg  Ma  Mh
Mg 
A B
Ma  Mg  Mh
EJERCICIOS
I. Hallar el promedio aritmético de:
1) 12; 25; 35 y 24
Rpta: 24
2) 16; 22; 32; 40 y 50
Rpta: 32
3) 44; 32; 55; 39; 68 y 56
Rpta:
49
II. Hallar el promedio geométrico de:
1) 9 y 36
Rpta: 18
2) 12; 32; y 36
Rpta: 24
3) 6; 9; 16 y 24
Rpta: 12
III. Hallar el promedio armónico de:
1) 3 y 6
Rpta: 4
2) 8; 6 y 24
Rpta: 9
3) 6; 6 y 6
Rpta: 6
4) 10; 12; 20 y 30
Rpta: 15
Mh 
2AB
A B
Ma  Mh  A  B
c) Se incrementa en 2
incrementa en 1
e) No cambiara
d)
Se
2. Dados los números 12; 18 y 27, calcular
el error que se comete al tomar el
promedio aritmético como promedio
geométrico.
a) 1,5
b) 1
c) 0,5
d) 2
e) 0, 3
PROBLEMITAS
3. El promedio de A y 10 es 15, el
promedio de C y 15 es 10 y el promedio de
A; 10; B; 35; C y 15 es 20. Hallar el valor de
A B  C .
a) 40
b) 50
c) 55
d) 60
e) 45
1. Pamela obtuvo puntajes de 87, 83 y 88
en sus primeras tres notas de matemáticas
este semestre. Si recibe un 90 en la cuarta
nota, entonces su promedio.
a) Se incrementa en 4
b) Se incrementa
en 3
4. La media aritmética de 5 números es
85.Si se considera un sexto número
entonces el promedio aumenta en 15, por
lo tanto el sexto número es:
a) 175
b) 185
c) 165
d) 195 e)
155
Academia Antonio Raimondi
5
5. El mayor promedio de dos números es
100 mientras que su menor promedio es
36. hallar la diferencia de dichos números.
a) 120
b) 220
c) 160
d) 150
e) 180
6. Si las medias aritmética y geométrica
de dos números “m” y “n” son 4 y 5. hallar
la Mh (m; n) .
a) 3
b) 3,2
c) 3,4
d) 6
e) 6,4
7. Un tren recorre la distancia que separa
dos ciudades A y B a una velocidad de 60
m/s ; pero al regreso de B hacia A de 140
m/s. Cual es la velocidad promedio del
recorrido.
a) 84
b) 86
c) 88
d) 82
e) 80
8. Un ciclista recorre una pista cuya forma
es de un triángulo equilátero con
velocidades de 4 m/s; 6 m/s y 12 m/s cada
lado respectivamente. Cual es la velocidad
promedio del recorrido total.
a) 8
b) 6
c) 10
d) 7
e) 6,3
9. Si el promedio de las edades de 4
personas es de 18 años y ninguno de ellos
tiene menos de 15 años. Cual es la mayor
edad que pueda tener uno de ellos.
a) 24
b) 35
c) 27
d) 36
e) 22
10.Si el promedio de las edades de 5
personas es de 20 años y ninguno tiene
más de 22 años. Cual es la menor edad que
pueda tener uno de ellos.
a) 12
b) 8
c) 14
d) 10
e)
16
 m.a    m.h  de A y B es 196 y
 m.a    m.g  es 245 ¿Cuál es la diferencia
11. Si
entre A y B ¿
a) 20
b) 19
22
c) 23
d) 21
e)
12. En que relación están la media
aritmética y la media armónica de 2
Fharytmética
números sabiendo que la media aritmética
es a la media geométrica como 5 es a 3.
a) 26/5
b) 5/9
c)
25/9
d) 16/3
e) 49/7
13. El promedio armónico de 20 números
diferentes es 18 y el promedio armónico de
otros 30 números diferentes es 54. Hallar
el promedio armónico de los 50 números.
a) 16
b) 20
c) 30
d) 40
e) 50
14. El promedio aritmético de 20 números
es 35 y el promedio aritmético de otros 30
números es 60. Hallar el promedio
aritmético de los 50 números.
a) 60
b) 50
c) 70
d) 40
e) 20
15. El promedio aritmético de 25 números
20, si el promedio aritmético de 5 de ellos
es 20 ¿Cuál es la suma de los números
restantes?
a) 300
b) 70
c) 400
d) 600
e) 500
16. El promedio aritmético de 5 números
pares consecutivos es 24. Hallar el
promedio Geométrico de la 5ta parte del
menor y la séptima parte del mayor.
a) 6
b) 4
c) 2
d) 5
e) 8